Том 72, № 3 (2026): К 100-летию со дня рождения Георгия Александровича Каменского

В настоящей работе рассматривается задача на собственные значения оператора Лапласа в ограниченной плоской области. Из общей теории компактных самосопряженных операторов следует, что спектр задачи дискретен и уходит в бесконечность. Однако задача нахождения спектра для произвольной области очень сложна, но для некоторых областей существуют хорошо разработанные методы оценки первого собственного значения. Одним из них является метод построения безэффективного разреза --- топологического разреза, не меняющего первое собственное значение спектра оператора, --- предложенный Хершем и Вайнбергером. Кроме того, в случае, когда область является кольцом, работает метод аппроксимации первой собственной функции функцией Морса---Смейла. В настоящей работе в предположении, что первая собственная функция оператора Лапласа на кольце является функцией Морса---Смейла, мы установили существование безэффективного разреза, гомеоморфного окружности. Для области, являющейся 2-диском более, чем с одной дырой, также установлено существование безэффективного разреза, отделяющего одну компоненту связности края от остальных. Построены примеры, в которых разрез не гомеоморфен окружности.

Доказан критерий асимптотической устойчивости нулевого решения систем дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами в линейных членах в терминах разрешимости дифференциального уравнения Ляпунова. Установлена равномерная оценка для решений систем дифференциальных уравнений, позволяющая указать скорость убывания при $t \to +\infty.$ Получено описание области притяжения и указана оценка скорости сходимости нулевого решения систем нелинейных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами в линейных членах. Исследована робастная устойчивость для почти периодических возмущений.

В настоящей работе доказываются локальная и глобальная теоремы о существовании интегральных решений задачи Коши для класса полулинейных дифференциальных включений смешанного типа с отклоняющимся аргументом в банаховых пространствах. Для доказательства используются топологические методы нелинейного анализа для многозначных уплотняющих отображений.

Работа посвящена вопросам устойчивости (равномерной, асимптотической, экспоненциальной) линейных автономных дифференциальных уравнений нейтрального типа. Перечисленные виды устойчивости предлагается интерпретировать как свойства интегрального функционала, определенного на лебеговых пространствах измеримых функций. При таком подходе удается провести тонкий анализ наиболее сложного вида устойчивости "--- асимптотической, и разделить случаи совпадения и не совпадения ее с экспоненциальной устойчивостью. Второй случай реализуется, когда оператор при производной необратим, и у рассматриваемого уравнения проявляются свойства, которые отличают его от дифференциальных уравнений запаздывающего типа. Специальный раздел посвящен исследованию равномерной устойчивости, для проверки которой получен легко проверяемый признак.

Изучается нелинейная система из трех дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием и неотрицательными начальными данными. Первые два уравнения описывают численность двух взаимодействующих популяций, третье уравнение --- численность комплексов, образованных в результате контактных взаимодействий пар индивидуумов. Длительность существования комплексов задается функцией распределения на конечном промежутке времени. Возникающая задача Коши имеет единственное решение на полуоси, и компоненты решения неотрицательны. Система дифференциальных уравнений имеет одно положение равновесия с неотрицательными компонентами, и это положение равновесия является локально асимптотически устойчивым. Аналогичные результаты установлены для систем уравнений, содержащих сосредоточенное запаздывание, и без запаздывания.

В настоящей работе исследуется начальная задача для дифференциально-разностных уравнений параболического типа с пространственным сдвигом в двух случаях"--- в первом случае уравнение содержит помимо дифференциального оператора разностный оператор, отвечающий сдвигам в старших членах, во втором случае"--- в младших. Получены фундаментальные решения этих уравнений. В обоих случаях решение начальной задачи строится в виде свертки фундаментального решения с начальной функцией, которая полагается суммируемой. Исследуется поведение построенных решений и их производных при больших значениях времени, а также сходимость решений к начальной функции. Реализовано визуальное сравнение поведения и временной динамики фундаментальных решений указанных уравнений при разных значениях параметров, входящих в уравнения, при помощи численного метода левых прямоугольников.