This paper addresses the eigenvalue problem for the Laplace operator in a bounded planar domain. The general theory of compact self-adjoint operators implies that the spectrum of the problem is discrete and tends to infinity. While finding the spectrum for an arbitrary domain is a highly complex problem, well-developed methods exist for estimating the first eigenvalue in certain types of domains. One such method involves constructing an ``effectless cut'' --- a topological cut that does not alter the first eigenvalue of the operator --- as proposed by Hersch and Weinberger. Additionally, when the domain is a ring, a method exists for approximating the first eigenfunction using a Morse--Smale function. In this paper, assuming the first eigenfunction of the Laplace operator on a ring to be a Morse--Smale function, we establish the existence of an effectless cut homeomorphic to a circle. For a domain consisting of a 2-disk with more than one hole, we also demonstrate the existence of an effectless cut that separates one boundary component from the others. We present examples of cuts that are not homeomorphic to a circle.
В настоящей работе рассматривается задача на собственные значения оператора Лапласа в ограниченной плоской области. Из общей теории компактных самосопряженных операторов следует, что спектр задачи дискретен и уходит в бесконечность. Однако задача нахождения спектра для произвольной области очень сложна, но для некоторых областей существуют хорошо разработанные методы оценки первого собственного значения. Одним из них является метод построения безэффективного разреза --- топологического разреза, не меняющего первое собственное значение спектра оператора, --- предложенный Хершем и Вайнбергером. Кроме того, в случае, когда область является кольцом, работает метод аппроксимации первой собственной функции функцией Морса---Смейла. В настоящей работе в предположении, что первая собственная функция оператора Лапласа на кольце является функцией Морса---Смейла, мы установили существование безэффективного разреза, гомеоморфного окружности. Для области, являющейся 2-диском более, чем с одной дырой, также установлено существование безэффективного разреза, отделяющего одну компоненту связности края от остальных. Построены примеры, в которых разрез не гомеоморфен окружности.