In this paper we examine the initial-value problem for parabolic-type differential-difference equations with a single spatial shift in two cases. In the first case, the equation contains, in addition to a differential operator, a difference operator corresponding to shifts in the higher-order terms; in the second case, the shift appears in the lower-order term. We construct the solutions of the equations and then prove why these solutions are fundamental. In both cases, the solution to the initial-value problem is constructed in a form of a convolution of the fundamental solution with the initial-value function, which is assumed to be summable. The behavior of the constructed solutions and their derivatives at large time values are examined and the convergence of the resulting solutions to the initial function is also established. A visual comparison of the behavior and temporal dynamics of the fundamental solutions of the equations under different values of the parameters involved is implemented using the numerical left rectangle rule.
В настоящей работе исследуется начальная задача для дифференциально-разностных уравнений параболического типа с пространственным сдвигом в двух случаях"--- в первом случае уравнение содержит помимо дифференциального оператора разностный оператор, отвечающий сдвигам в старших членах, во втором случае"--- в младших. Получены фундаментальные решения этих уравнений. В обоих случаях решение начальной задачи строится в виде свертки фундаментального решения с начальной функцией, которая полагается суммируемой. Исследуется поведение построенных решений и их производных при больших значениях времени, а также сходимость решений к начальной функции. Реализовано визуальное сравнение поведения и временной динамики фундаментальных решений указанных уравнений при разных значениях параметров, входящих в уравнения, при помощи численного метода левых прямоугольников.