Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)5276310.22363/2413-3639-2026-72-3-444-453QDITWYArticlesСтатьиResearch ArticleOn solutions of one class of third-order ordinary differential equations with potential operatorsО решениях одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка с потенциальными операторамиhttps://orcid.org/0000-0003-3447-04256507007003T-8088-20196087-3245BudochkinaS. A.БудочкинаСветлана Александровнаbudochkina-sa@rudn.ru57557881000LuuT. H.ЛыуТхи Хуенlyu-t@rudn.ruRUDN UniversityРоссийский университет дружбы народов13102026723On the centenary of the birth of Georgii Alexandrovich KamenskiiК 100-летию со дня рождения Георгия Александровича Каменского44445313102026Copyright ©; 2026, Budochkina S.A., Luu T.H.Copyright ©; 2026, Будочкина С.А., Лыу Т.Х.2026Budochkina S.A., Luu T.H.Будочкина С.А., Лыу Т.Х.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/52763

In this paper, an analogue of the Bernoulli method for finding solutions of a class of third-order ordinary differential equations with potential operators is developed. Helmholtz potentiality conditions are also derived for this purpose. The theoretical results are illustrated with specific examples.

В настоящей статье разработан аналог метода Бернулли для нахождения решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка с потенциальными операторами. Для этого также получены условия потенциальности Гельмгольца. Теоретические результаты проиллюстрированы конкретными примерами.

bilinear formpotential operatorHelmholtz potentiality conditionsanalogue of the Bernoulli methodбилинейная формапотенциальный операторусловия потенциальности Гельмгольцааналог метода БернуллиРабота выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (Мегагрант, соглашение № 075-15-2022-1115).This work was supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Megagrant, Agreement No. 075-15-2022-1115).Беркович Л.М. О самосопряженных дифференциальных уравнениях и об одном классе уравнений Эйлера//Изв. вузов. Сер. Мат.-1969.-8.-С. 3-9.Будочкина С.А. О представлении одного операторного уравнения с первой производной по времени в форме $B_u$-гамильтонова уравнения//Дифф. уравн.-2013.-49, 2.-С. 175-185.-DOI: 10.1134/S0374064113020052.Будочкина С.А., Лыу Т.Х. О вариационном принципе для одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений//Соврем. мат. Фундам. направл.-2025.-71, 1.-С. 71-84.-DOI: 10.22363/2413-3639-2025-71-1-71-84.Галиуллин А.С. Системы Гельмгольца.-М.: РУДН, 1995.Гельмгольц Г. О физическом значении принципа наименьшего действия//В сб.: <<Вариационные принципы механики>>.-М.: Физматгиз, 1959.-С. 430-459.Попов А.М. Обратная задача вариационного исчисления для систем дифференциально-разностных уравнений второго порядка//Мат. заметки.-2002.-72, 5.-С. 745-749.-DOI: 10.4213/mzm464.Савчин В.М. Математические методы механики бесконечномерных непотенциальных систем.-М.: УДН, 1991.Суслов Г.К. О кинетическом потенциале Гельмгольца//Мат. сб.-1896.-19, 1.-С. 197-210.Филиппов В.М. Вариационные принципы для непотенциальных операторов.-М.: УДН, 1985.Филиппов В.М. О вариационном принципе для гипоэллиптических уравнений с постоянными коэффициентами//Дифф. уравн.-1986.-22, 2.-С. 338-343.Филиппов В.М., Савчин В.М., Шорохов С.Г. Вариационные принципы для непотенциальных операторов//Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Нов. достиж.-1992.-40.-С. 3-176.Agrawal O.P. Formulation of Euler-Lagrange equations for fractional variational problems//J. Math. Anal. Appl.-2002.-272, 1.-С. 368-379.-DOI: 10.1016/S0022-247X(02)00180-4.Beccar-Varela M.P., Bhuiyan M.A.M., Mariani M.C., Tweneboah O.K. Analytic methods for solving higher order ordinary differential equations//Mathematics.-2019.-7.-826.-DOI: 10.3390/math7090826.Budochkina S.A. Symmetries and first integrals of a second order evolutionary operator equation//Eurasian Math. J.-2012.-3, 1.-С. 18-28.Budochkina S.A., Dekhanova E.S. On the potentiality of a class of operators relative to local bilinear forms//Ural Math. J.-2021.-7, 1.-С. 26-37.-DOI: 10.15826/umj.2021.1.003.Budochkina S.A., Luu T.H. On connection between variationality of a six-order ordinary differential equation and Hamilton-Ostrogradskii equations//Lobachevskii J. Math.-2021.-42, 15.-С. 3594-3605.-DOI: 10.1134/S1995080222030052.Budochkina S.A., Luu T.H. On variational symmetries and conservation laws of a fifth-order partial differential equation//Lobachevskii J. Math.-2024.-45, 6.-С. 2466-2477.-DOI: 10.1134/S1995080224602765.Budochkina S.A., Luu T.H., Shokarev V.A. On indirect representability of fourth order ordinary differential equation in form of Hamilton-Ostrogradsky equations//Уфимск. мат. ж.-2023.-15, 3.-С. 121-131.-DOI: 10.13108/2023-15-3-118.Budochkina S.A., Vu H.P. On an indirect representation of evolutionary equations in the form of Birkhoff's equations//Eurasian Math. J.-2022.-13, 3.-С. 23-32.-DOI: 10.32523/2077-9879-2022-13-3-23-32.Kalpakides V.K., Charalambopoulos A. On Hamilton's principle for discrete and continuous systems: a convolved action principle//Rep. Math. Phys.-2021.-87, 2.-С. 225-248.-DOI: 10.1016/S0034-4877(21)00027-6.Mayer A. Die Existenzbedingungen eines kinetischen Potentiales//S\"achsischen Acad. Wiss. Phys.-Math. Kl.-1896.-48.-С. 519-529.Tleubergenov M.I., Ibraeva G.T. On the solvability of the main inverse problem for stochastic differential systems//Ukr. Math. J.-2019.-71, 1.-С. 157-165.-DOI: 10.1007/s11253-019-01631-w.Tonti E. Variational formulation for every nonlinear problem//Int. J. Engrg. Sci.-1984.-22, 11-12.-С. 1343-1371.-DOI: 10.1016/0020-7225(84)90026-0.