A diffusion--convection equation with two spatial variables and multiple time-delay variables is considered. The diffusion and convection coefficients are assumed to depend on the unknown function. The problem is discretized, and interpolation--extrapolation procedures are introduced to account for the time delays. Two variants of an alternating-direction method analog are constructed: one using piecewise-constant interpolation, and the other using piecewise-linear interpolation combined with extrapolation by continuation. Consequently, the method reduces to solving two three-diagonal systems of linear algebraic equations at each time step; these systems exhibit diagonal dominance given a sufficiently small discretization step. The order of the method's error is analyzed: the first variant is of the first order with respect to the time step $\Delta$ and the second order with respect to the spatial step $h$, whereas the second variant is of the second order with respect to both $\Delta$ and $h$. Stability issues are investigated. Under certain assumptions, the method's convergence is justified, and the order of convergence is established. Numerical simulation results are presented for a diffusion equation with two time-delay variables. The computed convergence orders for each discretization step in the examples were found to be close to the theoretically derived orders of convergence for the corresponding steps.
Рассматривается диффузионно-конвекционное уравнение с двумя пространственными переменными и несколькими переменными запаздывания по времени. Предполагается, что коэффициенты диффузии и конвекции зависят от искомой функции. Производится дискретизация задачи, для учета запаздывания приводятся интерполяционно-экстраполяционные процедуры. Приводятся конструкции аналога метода переменных направлений в двух вариантах: с кусочно-постоянной интерполяцией и с кусочно-линейной интерполяцией и экстраполяцией продолжением. В результате метод сводится к решению на каждом шаге времени двух трехдиагональных систем линейных алгебраических уравнений, которые имеют диагональное преобладание при достаточно малом шаге дискретизации. Изучается порядок невязки метода, в первом варианте он имеет первый порядок малости относительно шага дискретизации по времени $\Delta$ и второй относительно шага по пространству $h,$ во втором варианте метод имеет второй порядок относительно $\Delta$ и $h.$ Изучаются вопросы устойчивости метода. При определенных предположениях обосновывается сходимость метода и устанавливается порядок сходимости. Приводятся результаты численного моделирования для диффузионного уравнения с двумя переменными запаздываниями. Вычислимые порядки сходимости по каждому шагу дискретизации в примерах оказались близки к теоретически полученным порядкам сходимости по соответствующим шагам дискретизации.