On the spectral properties of a difference operator with incommensurable shifts on a finite interval

Full Text

1. Введение Краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений обладают рядом особенностей, существенно отличающих их от краевых задач для классических дифференциальных уравнений. Одна из таких особенностей связана с регулярностью обобщенных решений. Обобщенные решения краевых задач для дифференциально-разностных уравнений с целочисленными или соизмеримыми сдвигами на конечном интервале впервые рассматривались в работах [6, 7]. В этих работах было установлено, что гладкость таких решений может нарушаться во внутренних точках интервала, даже если правая часть уравнения бесконечно дифференцируема. При этом точки нарушения гладкости связаны со значениями сдвигов в дифференциально-разностном операторе. Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений возникают в теории управления системами с последействием [1, 10, 11, 17, 20], а также в работах, посвященных гипотезе Т. Като о квадратном корне из оператора [13, 21]. © А.С. Кириленко, 2026 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 499 Основы теории краевых задач для дифференциально-разностных уравнений заложены в монографии [20]. В работах [8, 14, 15, 20] были получены необходимые и достаточные условия для правых частей дифференциально-разностных уравнений, которые гарантируют существование обобщенных решений, сохраняющих гладкость на всем интервале. Гладкость обобщенных собственных функций дифференциально-разностных операторов исследовалась в [2, 22]. Краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами впервые рассматривались в [12, 19], а затем в [3-5, 13, 18, 20]. Однако большинство работ, посвященных краевым задачам для дифференциально-разностных уравнений, было сосредоточено на дифференциальноразностных операторах с соизмеримыми сдвигами, в то время как дифференциально-разностные операторы с несоизмеримыми сдвигами остаются менее изученными. Ввиду специфики задач для операторов с несоизмеримыми сдвигами прямое применение методов, разработанных для операторов с целочисленными сдвигами, невозможно. Однако в работах [5, 18] были описаны методы исследования таких задач в случае, когда орбита границы является конечной. В этом случае получены условия сильной эллиптичности [5] и показан способ сведения исходной задачи к нелокальной [18]. Случаи симметрических разностных операторов в краевых задачах для дифференциально-разностных уравнений с бесконечной орбитой границы исследовались в работах [3, 4]. В данной работе получена оценка расположения собственных значений заданного разностного оператора с несоизмеримыми сдвигами. Используемый подход может быть применен и к изучению дифференциально-разностных операторов. В разделе 2 приводится постановка задачи. В разделе 3 исходная спектральная задача сводится к вспомогательной дискретной задаче на решетке. В разделах 4 и 5 исследуются геометрия решетчатой полосы и свойства решений дискретной задачи. В разделе 6 доказывается оценка собственных значений, а в разделе 7 рассматривается случай λ = 0. 2. Постановка задачи В работе [20] была рассмотрена краевая задача , гдеи для всех f0 ∈ 2 Для достаточно малых ε было доказано, что обобщенное решение v задачи (2.1), (2.2) при f0(t) ≡ 1 не принадлежит W22(a,b) для всех (a,b) ⊂ (0,π). Однако открытым остается вопрос о справедливости этого результата, если ε не является малым. Разделим (2.1) на ε и обозначим. Тогда уравнение (2.1) примет вид . (2.3) Будем полагать, что λ ∈ C. Обозначим Q := (0,π). Введем оператор RQ = PQRIQ : L2(0,π) → L2(0,π), где IQ : L2(0,π) → L2(R) и PQ : L2(R) → → L2(0,π) задаются формулами (IQv)(t) = v(t) (t ∈ Q), (IQv)(t) = 0 (t /∈ Q), (PQv)(t) = v(t) (t ∈ Q). Определение 2.1. Функция v ∈ W˚21(Q) называется обобщенным решением задачи (2.3) (2.2), если (λv - Rv) ∈ W22(Q) и . Это определение эквивалентно следующему. Определение 2.2. Функция v ∈ W˚21(0,π) называется обобщенным решением задачи (2.3), (2.2), если для всех ϕ из W˚21(Q) выполнено равенство . (2.4) Так как RQ : W˚21(Q) → W21(Q) ограничен, по теореме Рисса о представлении линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве существуют ограниченные операторы B : W˚21(Q) → W˚21(Q) и G : L2(Q) → W˚21(Q) такие, что , (2.5) (2.6) Здесь - эквивалентное скалярное произведение в W˚21(Q). Лемма 2.1. Оператор B : W˚21(Q) → W˚21(Q) представляется в виде . (2.7) Доказательство. Найдем явный вид оператора B из (2.5). Для любых имеем . Таким образом, почти всюду на Q выполнено . Следовательно, Bv = RQv + at + b. Так как оператор B : W˚21(Q) → W˚21(Q), имеем (Bv)(0) = v(τ) + b = 0, т. е. b = -v(τ). Аналогично (Bv)(π) = v(π - 1) + aπ - v(τ) = 0. Следовательно, . Значения v(τ) и v(π - 1) корректно определены в силу вложения W21(0,π) ⊂ C[0,π]. Для исследования свойств оператора B далее рассматривается спектральная задача для оператора RQ. 3. Вспомогательная задача на решетке Рассмотрим спектральную задачу для оператора RQ : L2(Q) → L2(Q), Q = (0,π), RQv = λv. Это эквивалентно следующей задаче для функции v(t) ∈ L2(R): (3.1) (Rv)(t) = v(t - 1) + v(t + τ) = λv(t) (почти всюду на Q), (3.2) v(t) = 0 (почти всюду на R \ Q). (3.3) Определение 3.1. При фиксированном δ ∈ Q решетчатой полосой ΠδQ будем называть множество ΠδQ = {(p,q) ∈ Z2 : p + qτ + δ ∈ Q}. Для наглядности на рис. 1 приведен частный случай. Точки целочисленной двумерной сетки, лежащие в белой области, являются точками полосы Π0Q. Вдоль горизонтальной оси изменяется p, вдоль вертикальной - q. Предложение 3.1. Для любого иррационального числа 0,9 < τ < 1 и произвольного δ > 0 существуют p,q ∈ N такие, что Отсюда следует плотность в R множества {t ∈ R | ∃p,q ∈ Z : t = p + τq}. Доказательство этого хорошо известного факта можно найти в [16]. Рис. 1. Модельный пример ΠQ0 для некоторого τ. Fig. 1. A model example of ΠQ0 for some τ. Лемма 3.1. Пусть функция v ∈ L2(R) - решение задачи (3.2) (3.3). Зададим для фиксированной функции v (из класса эквивалентных) и некоторого δ из Q функцию wδ(p,q) равенством wδ(p,q) = v(p + τq + δ). (3.4) Тогда для почти всех δ из Q функция wδ : Z2 → C является решением следующей задачи: wδ(p - 1, q) + wδ(p, q + 1) = λwδ(p,q) ((p,q) ∈ ΠQδ ), (3.5) wδ(p,q) = 0, ((p,q) ∈ Z2 \ ΠQδ ). (3.6) Доказательство. Зафиксируем (p,q) ∈ Z2 и положим t = p + τq + δ, где δ ∈ Q. Тогда соотношения (3.2), (3.3) принимают вид v(p + τq + δ - 1) + v(p + τq + δ + τ) = λv(p + τq + δ) ((p,q) ∈ ΠQδ), v(p + τq + δ) = 0 ((p,q) ∈ Z2 \ ΠδQ) для почти всех δ ∈ Q. Для фиксированной пары (p,q) эти соотношения выполняются для почти всех δ ∈ Q. Поскольку Z2 счетно, они выполняются одновременно для всех (p,q) ∈ Z2 при почти всех δ ∈ Q. Полагая wδ(p,q) = v(p + τq + δ), получаем (3.5), (3.6). 4. Решетчатые линии и числа сужения Введем несколько определений, связанных с геометрией решетчатых полос. Определение 4.1. Решетчатой m-линией будем называть множество: lm = {(p,q) ∈ Z2 | q - p = m}. Эти множества соответствуют прямым q = p+m на Z2. Так, на рис. 2 точки (0,1) и (1,2) прямой q = p + 1 являются элементами решетчатой 1-линии l1. Важную роль для дальнейшего рассмотрения играют решетчатые m-линии всего с одной точкой (p,q) из решетчатой полосы ΠQδ . Поэтому введем следующее определение. Рис. 2. Модельный пример решетчатой m-линии l1 (m = 1) и решетчатой полосы Π0Q для некоторого τ. Fig. 2. A model example of a lattice m-line l1 (m = 1) and a lattice strip Π0Q for a certain τ. Определение 4.2. Числами сужения мы будем называть такие числа g ∈ Z, что на решетчатой g-линии существует лишь одна точка из решетчатой полосы ΠQδ . Множество таких чисел обозначим следующим образом: G = {g ∈ Z | существует единственная точка (p,q) ∈ lg ∩ ΠδQ}. Модельным примером такого g для рис. 2 является g = 0. Действительно, решетчатой 0-линии l0 принадлежит лишь одна точка из решетчатой полосы Π0Q - это точка (1,1). Лемма 4.1. Для любого δ ∈ Q и фиксированного m ∈ Z верны следующие утверждения: 1). Пересечение решетчатой m-линии lm с полосой ΠδQ содержит либо одну, либо две точки. 2). Пусть m и m + 1 не являются числами сужения, то есть существуют целые p1 и p2 такие, что (p1, p1 + m), (p1 + 1, p1 + 1 + m) ∈ ΠδQ; (p2, p2 + (m + 1)), (p2 + 1, p2 + 1 + (m + 1)) ∈ ΠδQ. Тогда либо p2 = p1, либо p2 + 1 = p1. 3). Пусть m и m + 2 не являются числами сужения, то есть существуют целые p1 и p2 такие, что (p1, p1 + m), (p1 + 1, p1 + 1 + m) ∈ ΠδQ. (p2, p2 + (m + 2)), (p2 + 1, p2 + 1 + (m + 2)) ∈ ΠδQ. Тогда p2 + 1 = p1. 4). Множество чисел сужения G счетно и не ограничено ни сверху, ни снизу. То есть для любых M, m ∈ Z существуют числа сужения gM, gm ∈ G такие, что gM > M и gm < m. Доказательство. 1). Сначала заметим, что расстояние между соседними точками (p,p+m) и (p+1,(p+1)+m) одной решетчатой m-линии есть. При этом расстояние между точками пересечения прямой√ y-x = m и прямыми x+τy+δ = 0, 2π x + τy + δ = π постоянно для любых m, δ и равно . 1 + τ Очевидна следующая оценка: . Следовательно, для любых фиксированных m ∈ Z и δ ∈ Q существует либо одна точка (p1,p1+ + m) ∈ ΠQδ , либо две точки (p2,p2 + m) ∈ ΠQδ и (p2 + 1,(p2 + 1) + m) ∈ ΠQδ . Это завершает доказательство первого пункта. 2). Докажем, что если m и m +1 не являются числами сужения, то есть существуют целые p1 и p2 такие, что (p1, p1 + m), (p1 + 1, p1 + 1 + m) ∈ ΠδQ, (4.1) (p2, p2 + (m + 1)), (p2 + 1, p2 + 1 + (m + 1)) ∈ ΠδQ, то p2 = p1 или p2 + 1 = p1. Из (4.1) следует, что (4.2) 0 < p1 + τ(p1 + m) + δ < π, (4.3) 0 < (p1 + 1) + τ(p1 + 1 + m) + δ < π. (4.4) Убедимся, что для всех i,j ∈ N случаи p2 = p1 - 1 - j и p2 = p1 + i невозможны. Для этого подставим эти значения в формулы для точек из lm+1 ∩ ΠδQ. Пусть p2 = p1 - 1 - j. Тогда из (4.2) получим (p1 - 1 - j, p1 - 1 - j + (m + 1)), (p1 - 1 - j + 1, p1 - 1 - j + 1 + (m + 1)) ∈ ΠδQ. Следовательно, (p1 - 1 - j, p1 - j + m), (p1 - j, p1 - j + m + 1) ∈ ΠδQ. (4.5) Докажем, что точка (p1 - 1 - j, p1 - j + m) не принадлежит ΠδQ. В силу неравенства (4.4) (p1 + 1) + τ(p1 + 1 + m) < π. (4.6) С другой стороны, из (4.5) следует, что 0 < (p1 - 1 - j) + τ(p1 - j + m) + δ (4.7) Прибавляя 2+j+τ(j+1) к левой и правой частям неравенства (4.7) и используя неравенство (4.4), получим Поскольку , мы имеем . Из последних двух неравенств мы получим противоречие: π < π. Следовательно, для всех j ∈ N выполняется неравенство Аналогично рассмотрим случай (p1 + i, p1 + i + (m + 1)), (p1 + i + 1, p1 + i + 1 + (m + 1)) ∈ ΠδQ. Выражения (4.2) примут вид (p1 + i, p1 + i + m + 1), (p1 + i + 1, p1 + i + m + 2) ∈ ΠδQ. (4.8) Докажем, что вторая точка не принадлежит решетчатой полосе ΠδQ. Воспользуемся вторым из соотношений (4.8). Тогда получим следующее неравенство p1 + i + 1 + τ(p1 + i + m + 2) + δ < π. Прибавляя i + 1 + τ(i + 2) слева и справа к неравенству (4.3), получим (4.9) (i + 1) + τ(i + 2) < p1 + i + 1 + τ(p1 + m + i + 2) + δ. (4.10) Очевидно, . Отсюда и из (4.10) имеем π < p1 + i + 1 + τ(p1 + m + i + 2) + δ < π. Получено противоречие, следовательно для всех натуральных i имеем 3). Подобно пункту 2, докажем, что если m и m + 2 не являются числами сужения, то есть существуют целые p1 и p2 такие, что (4.11) , то p2 + 1 = p1. Предположим, что p2 = p1 - k. Подставим это выражение для p2 в соотношения (4.11): (p1, p1 + m),(p1 + 1, p1 + m + 1) ∈ ΠδQ, (p1 - k, p1 - k + m + 2),(p1 - k + 1, p1 - k + m + 3) ∈ ΠδQ. Рассмотрим неравенства, которые следуют из вышеописанной принадлежности: p1 + 1 + τ(p1 + m + 1) + δ < π, (4.12) 0 < p1 - k + τ(p1 - k + m + 2) + δ, (4.13) 0 < p1 + τ(p1 + m) + δ, (4.14) p1 - k + 1 + τ(p1 - k + m + 3) + δ < π. (4.15) Пусть. Тогда, прибавляя k + 1 + τ(k - 1) к левой и правой частям неравенства (4.13) и пользуясь неравенством (4.12), получим Пусть. Тогда, прибавляя 1 - k + τ(3 - k) к левой и правой частям неравенства (4.14) и пользуясь неравенством (4.15), получим В силу полученных противоречий имеем, что k = 1, следовательно, p2 + 1 = p1. 4). Докажем, что множество чисел сужения G не ограничено сверху, аналогично доказывается неограниченность снизу. Действительно, предположим противное. Пусть, начиная с некоторого m, пересечениям lm∩ΠδQ (для всех) принадлежат по две точки. Из доказанного в пункте 3 следует, что для координат последовательности точек из пересечения решетчатых линий lm+2k (k ∈ N) с полосой ΠδQ верно следующее (pm+2k, qm+2k) = (pm - k, qm + k). Таким образом, построенная бесконечная последовательность точек лежит на одной прямой с угловым коэффициентом -1. Однако угловой коэффициент прямых, ограничивающих полосу ΠδQ, равен . Значит, прямая, содержащая последовательность точек (pm+2k, qm+2k), выходит за границы полосы, ограниченной прямыми x + τy + δ = 0 и x + τy + δ = π. Таким образом, мы получили, что существуют точки, не принадлежащие полосе ΠδQ, что противоречит построению этих точек. Следовательно, множество чисел сужения не ограничено сверху. Неограниченность снизу доказывается аналогичным образом -все рассуждения сохраняются для перехода от решетчатой m-линии к (m - 2)-линии. Определение 4.3. В дальнейшем очками hm := (pm, qm) будем обозначать точки из пересечения решетчатых m-линии lm и полосы ΠδQ. При этом, если m не является числом сужения, то hm мы будем выбирать так, что точка hm + (1, 1) = (pm + 1, qm + 1) также принадлежит полосе ΠδQ. Для вектора h = (p,q) ∈ Z2 будем использовать обозначение wδ(h) = wδ(p,q). Из пункта 4 леммы 4.1 имеем, что множество чисел сужения G счетно и не ограничено ни сверху, ни снизу. Тогда проиндексируем его целыми числами k ∈ Z так, чтобы gk < gk+1 для любого k. Полученное множество чисел сужения разделяет множество решетчатых m-линий lm на целочисленные отрезки, где gk < m < gk+1. Оказывается, что для задачи (3.5) (3.6) решение для таких m будет иметь специальный вид, который описывает лемма 5.1. Однако сначала сделаем следующее предложение. Предложение 4.1. Множество чисел сужения G обладает следующими свойствами: 1). Для всех k ∈ Z верно, что 1+gk < gk+1. Иными словами, для всех k ∈ Z существует m ∈ Z такое, что gk < m < gk+1. 2). Существует не зависящая от δ верхняя грань у множества разностей соседних чисел сужения {rk+1}k∈Z, rk+1 := gk+1 - gk. Доказательство. 1). Предположим, что существует такое, что gk + 1 = gk+1. Рассмотрим точки и из пересечений решетчатых полосы -линией и -линией соответственно. Для них справедливо одно из следующих равенств: или . Рассмотрим оба случая. a). Пусть . Тогда из определения чисел сужения . Имеем . При этом для второй точки выполняется неравенство Таким образом, , что противоречит предположению. б). Пусть . Тогда, из определения чисел сужения . Тогда для второй точки выполняется неравенство Таким образом, , что противоречит предположению. Следовательно, исходное предположение неверно, что завершает доказательство первого пункта. 2). Докажем теперь, что множество разностей {rk+1} := {(gk+1 -gk)} имеет верхнюю грань, не зависящую от δ. Доказательство этого факта использует идею доказательства пункта 4 леммы 4.1. Предположим противное: пусть множество {rk+1} не ограничено сверху. Тогда для любого натурального найдется отрезок [gk,gk+1] такой, что gk+1 - gk > N. Для всех m ∈ (gk,gk+1) решетчатая m-линия пересекает полосу ΠδQ в двух точках. Выберем на каждой такой линии точку hm = (pm,qm) ∈ ΠδQ. Из пункта 3 леммы 4.1 следует, что при переходе через одну линию координаты изменяются как hm+2 = hm + (-1, 1). Таким образом, для всех j ∈ N∪{0}, для которых gk +1+2j < gk+1, точки hgk+1+2j лежат на прямой с угловым коэффициентом -1, т. е. на прямой вида y = -x + b. Границы же полосы ΠδQ задаются прямыми x + τy + δ = 0 и x + τy + δ = π с угловым коэффициентом . Поскольку , эти прямые не параллельны. Рассмотрим функцию F(x,y) = x + τy + δ. Для точки hgk+1+2j имеем F(hgk+1+2j) = F(hgk+1) - j(1 - τ). Так как hgk+1 ∈ ΠδQ, то 0 < F(hgk+1) < π. Если разность gk+1 -gk сколь угодно велика, то число j может быть выбрано настолько большим, что F(hgk+1+2j) = F(hgk+1) - j(1 - τ) < 0, поскольку 1-τ > 0. Но это противоречит тому, что точка hgk+1+2j должна принадлежать полосе (т. е. F должна быть между 0 и π). Следовательно, наше предположение неверно, и множество {rk+1} ограничено сверху. При этом верхняя грань может быть выбрана независимо от δ. Действительно, если , то gk + 1 + 2j < gk+1, поэтому из приведенной выше оценки следует j(1 - τ) < π. Кроме того,. Следовательно, . Предложение 4.2. Для любого числа сужения gk верны следующие утверждения: 1).2). существуетвектор hgk-1h+ (1gk-1, 1)в Πтакже принадлежитδQ; ΠδQ; 3). имеет место представление hgk-1 = hgk + (0, -1). Доказательство. Пусть hgk = (p,q). Так как gk - число сужения, на линии lgk лежит единственная точка полосы ΠδQ, поэтому точки (p-1,q-1) и (p+1,q+1) не принадлежат ΠQδ. Для функции F(x,y) = x + τy + δ это означает (4.16) Из предложения 4.1 следует, что gk - 1 не является числом сужения. Значит, на линии lgk-1 пересечение с полосой состоит из двух точек. Следовательно, существует точкаk ∈ δ . Остается установить явный вид этой точки. hgk-1, для которой hg Рассмотрим точки-1 + (1,1) ΠQ (p,q - 1) и (p + 1,q), принадлежащие линии lgk-1. Вычислим значения F в этих точках: F(p,q - 1) = p + τ(q - 1) + δ = (p + τq + δ) - τ, (4.17) F(p + 1,q) = p + 1 + τq + δ = (p + τq + δ) + 1. Из (4.16) получаем оценки для p + τq + δ: (4.18) (4.19) Проверим принадлежность точек (p,q - 1) и (p + 1,q) полосе. Для (p,q - 1) из (4.17) и (4.19): Поскольку τ < 1, имеем π - 1 - 2τ > π - 1 - 2 > 0. Таким образом, 0 < F(p,q - 1) < π, т. е. (p,q δ Для . Следовательно, (p + 1,q) ∈ ΠδQ. При этом для (p,q -1) имеем (p,q -1)+(1,1) = (p+1,q) ∈ ΠδQ. Следовательно, hgk-1 = (p,q - - 1) = hgk + (0,-1). Рис. 3. Фрагмент решетчатой полосы Π0Q для некоторого τ. Fig. 3. A fragment of the lattice strip Π0Q for some τ. 5. Представление решений в решетчатой полосе ΠδQ Для пояснения технического доказательства следующей леммы приведен рис. 3. На нем изображен фрагмент решетчатой полосы Π0Q. Кружками отмечены точки пересечения полосы с решетчатыми m-линиями; незакрашенными кружками выделены точки, соответствующие числам сужения. Поясним на примере точки сужения hg0 = (pg0,qg0), как используется соотношение (3.5). В этой точке оно имеет вид wδ(pg0 - 1,qg0) + wδ(pg0,qg0 + 1) = λwδ(pg0,qg0). В ситуации, изображенной на рис. 3, выполнено g0 +1 = g1-1, и две точки левой части равенства можно записать как hg1-1 и hg1-1 + (1,1). Поэтому уравнение принимает вид wδ(hg1-1) + wδ(hg1-1 + (1,1)) = λwδ(hg0). Иными словами, значение функции в точке h = (p,q) ∈ lm ∩ ΠδQ связывается со значениями в двух точках соседней решетчатой линии lm+1. Если одна из этих точек не принадлежит полосе ΠδQ, то соответствующее слагаемое равно нулю в силу условия (3.6). Именно такой переход между соседними решетчатыми линиями используется ниже при выводе формул для значений wδ в полосе. Лемма 5.1. Пусть в задаче (3.5), (3.6) параметр. Тогда решение wδ(h) = wδ(p,q), для и некоторого k ∈ Z, удовлетворяет следующей формуле: (5.1) (5.2) где a := wδ(hgk+1), параметр β = 0,1 зависит от k, j ∈ 1,gk+1 - gk - 1 : m = gk+1 - j, вектор-функция- последовательность чисел Фибоначчи, заданная стандартным образом: . (5.3) Доказательство. Пусть wδ(h) - решение задачи (3.5) (3.6). В таком случае для некоторого k ∈ Z рассмотрим набор значений. Пусть решение wδ(h) принимает в точке hgk+1 ∈ lgk+1∩ΠQδ значение a ∈ C. Рассмотрим значения в точках решетчатой полосы из предыдущей решетчатой линии lgk+1-1 ∩ ΠδQ. Из предложения 4.2 следует, что эти точки имеют следующий вид: (pgk+1,qgk+1 - 1), (pgk+1 + 1,qgk+1) ∈ lgk+1-1 ∩ ΠδQ. (5.4) То есть (5.4’) Из (3.5) и (5.4’) получим . Следовательно, a wδ(pgk+1,qgk+1 - 1) = wδ(pgk+1 + 1,qgk+1) = . (5.5) λ В силу (5.4) число gk+1 - 1 не является числом сужения. Поэтому, если gk < gk+1 -2, т. е. gk+1 -2 не является числом сужения. Таким образом, множество lgk+1-2 ∩ΠδQ состоит из двух точек, см. пункт 1 леммы 4.1. Следовательно, существуют точки (pgk+1-2,qgk+1-2),(pgk+1-2 + 1,qgk+1-2 + 1) ∈ lgk+1-2 ∩ ΠδQ, (pgk+1-1,qgk+1-1),(pgk+1-1 + 1,qgk+1-1 + 1) ∈ lgk+1-1 ∩ ΠδQ такие, что (pgk+1-2, qgk+1-2) = (pgk+1-1 + β, qgk+1-1 - 1 + β), (5.6) (pgk+1-2 + 1, qgk+1-2 + 1) = (pgk+1-1 + 1 + β, qgk+1-1 + β), где β = β(k) принимает значения 0 или 1. Теперь найдем значения wδ на линии lgk+1-2. Случай β = 0. Тогда из (5.6), (5.7) имеем (5.7) (5.8) . Рассмотрим уравнение (3.5) в точке hgk+1-2 + (1,1). Тогда в силу (5.8) . Учитывая (5.5), получаем , откуда Но в силу (5.7) . Теперь рассмотрим (3.5) в точке hgk+1-2. Тогда в силу (5.8) . Точка (p - 1, q - 1) ΠδQ (иначе на линии lgk+1-2 было бы три точки), поэтому wδ в этой точке равно 0. Следовательно, , откуда в силу (5.6) . Таким образом, при β = 0, в силу (), имеем ⎧⎨wδ(pgk+1-2,qgk+1-2) = λa2 , 2a ⎩wδ(pgk+1-2 + 1, qgk+1-2 + 1) = λ2 . Случай β = 1. Тогда из (5.6), (5.7) следует, что (5.9) . Рассмотрим уравнение (3.5) в точке hgk+1-2. Тогда в силу (5.9) имеем . Отсюда, согласно (5.5), получим , что в силу (5.9) равно -2, qgk+1- . Рассмотрим теперь (3.5) в точке hgk+1-2 + (1,1): . Точка (pgk+1-1 + 2, qgk+1-1 + 2) не принадлежит полосе, поэтому wδ в этой точке равно 0. В силу (5.5) получим , что в силу (5.9) равно Таким образом, при β = 1 ⎧ 2a ⎨wδ(pgk+1-2,qgk+1-2) = λ2 , a ⎩wδ(pgk+1-2 + 1, qgk+1-2 + 1) = λ2 . Объединяя оба случая, получаем ⎧⎨wδ(pgk+1-2,qgk+1-2) = λa2 , (при β = 0) 2a ⎩wδ(pgk+1-2 + 1, qgk+1-2 + 1) = λ2 , (5.10) ⎧ 2a ⎨wδ(pgk+1-2,qgk+1-2) = λ2 , a (при β = 1) ⎩wδ(pgk+1-2 + 1, qgk+1-2 + 1) = λ2 . Обозначим j := gk+1 - m, тогда j ∈ 0,gk+1 - gk при +1. Отметим, что при j = 0 и j = gk+1 -gk соответствующие m = gk+1 -j являются числами сужения. Для j ∈ 1,gk+1 - gk - 1 введем вектор-столбец Vj, составленный из значений wδ в точках из lgk+1-j ∩ΠδQ по следующему правилу: , если число j + β четно; δ gk+1-j (5.11) , если число j + β нечетно. Перепишем соотношения (5.11) в следующем виде: , (5.12) где - вектор-функция, заданная правилом для нечетных x, (5.13) (1,1), для четных x. Эту функцию также можно представить в виде. По определениям (5.12) и (5.3), выражения (5.5) и (5.10) преобразуются к виду . (5.14) Предположим, что Vj и Vj+1 определены. Докажем формулу . (5.15) Для этого докажем следующее равенство: - , (5.16) что, в силу определения m = gk+1 - j, соответствует . Воспользуемся (5.6), тогда для точек hgk+1-2 и hgk+1-1 верно равенство hgk+1 2 = hgk+1 1 + β · (1,1) + (0,-1). (5.17) - - Из пункта 3 леммы 4.1 следует, что если отрезок [n,n + 2r] не содержит чисел сужения, то справедливы равенства (pn+2r, qn+2r) = (pn - r, qn + r), и тогда hn = hn+2r + r · (1,-1). (5.18) Рассмотрим два случая в зависимости от четности j. а) Пусть j = 2r для некоторого натурального r. Тогда, в силу (5.18), имеем hgk+1-2r = hgk+1-2-2(r-1) = hgk+1-2 + (r - 1) · (1, -1), (5.19) hgk+1-(2r+1) = hgk+1-1-2r = hgk+1-1 + r · (1, -1). Пользуясь (5.17), перепишем (5.19) в виде (5.20) · - - · - . (5.21) Подставим выражение hgk+1-1 из (5.21) в равенство (5.20): . Следовательно, hgk+1-(2r+1) = hgk+1-2r - β · (1,1) + (1,0) = hgk+1-2r + (1 - β) · (1,1) + (0,-1). (∗) б) Пусть теперь j = 2r - 1 для некоторого натурального r. Воспользуемся (5.18), получим hgk+1-(2r-1) = hgk+1-1-2(r-1) = hgk+1-1 + (r - 1) · (1, -1), (5.22) hgk+1-2r = hgk+1-2-2(r-1) = hgk+1-2 + (r - 1) · (1, -1). (5.23) Пользуясь (5.17), перепишем (5.22): . (5.24) Подставим выражение hgk+1-2 из (5.24) в равенство (5.23): . Следовательно, hgk+1 2r = hgk+1 (2r 1) + β (1,1) + (0, 1). (∗∗) Таким образом, из ( hgk+1-(j+1) = hgk+1-j + (1 - β) · (1,1) + (0,-1), для j = 2r, hgk+1-(j+1) = hgk+1-j + β · (1,1) + (0,-1), для j = 2r - 1. Полученный результат совпадает с формулой (5.16): , поскольку в силу β = 0,1 и определения (5.13) выполняется равенство если j + β четно,если j нечетно, (0,0), если j + β нечетно; (1 - β) · (1,1), если j четно. Вектор Vj+1 по определению (5.12) имеет вид , (5.25) так как. Используя результат (5.16) и учитывая, что для любых целых x верно, перепишем (5.25). Получим следующее выражение для Vj+1: Уравнение (3.5) в точке h имеет вид λwδ(h) = wδ (h + (-1,0)) + wδ (h + (0,1)) . Тогда из (5.26) и (5.27) следует равенство (5.27) . (5.28) При этом выполнены равенства , (5.29) (5.30) Тождество (5.29) очевидно в силу коммутативности сложения, так как множества точек {hm,hm+ совпадают. Равенство (5.30) докажем, рассмотрев возможные значения вектора: при, , при, при этом слагаемые равны нулю в силу (3.6), так как пересечению lm ∩ ΠδQ по определению 4.3 принадлежат только hm и hm + (1,1). Таким образом, из (5.12) и (5.28)-(5.30) имеем , т. е. , что соответствует тождеству (5.15). Последовательно применяя (5.15) к V1 и воспользовавшись (5.14), получим . (5.31) Непосредственно проверяется, что T является матрицей сдвига индексов для чисел Фибоначчи. То есть для любого натурального n имеет место свойство . (5.32) Последовательно применяя свойство (5.32) к вектору V1, приходим к явному виду для (5.31) , что в точности совпадает с формулой (5.1) для всех j ∈ 1,gk+1 - gk - 1. Наконец, рассмотрим точку сужения hgk. Докажем, что hgk = (pgk,qgk) = hgk+1 + (1,0). По определению множества чисел сужения G, на линии lgk лежит единственная точка, принадлежащая полосе ΠδQ. То есть точки (pgk - 1,qgk - 1) и (pgk + 1,qgk + 1) лежат вне полосы ΠδQ. Рассмотрим функцию F(p,q) = p + τq + δ. Имеет место следующее свойство: (p,q) ∈ ΠδQ, если и только если 0 < F(p,q) < π. Для точек на линии lgk имеем и (5.33) Учитывая, что F(p ± 1,q ± 1) = F(p,q) ± (1 + τ), из неравенств (5.33) получаем двустороннюю оценку для значения функции в точке hgk: (5.34) Проверим принадлежность пересечению lgk+1∩ΠδQ двух точек: (pgk-1,qgk) и (pgk,qgk+1). Разность их координат равна qgk-(pgk-1) = (qgk-pgk)+1 = gk+1, осталось проверить принадлежность ΠδQ. Вычислим значения функции F в этих точках: , (5.35) (5.36) Используя (5.34), (5.35) и условие 0,9 < τ < 1, оценим F(pgk - 1,qgk): Следовательно, Аналогично, используя (5.34), (5.36) и условие 0,9 < τ < 1, оценим F(pgk,qgk + 1): Следовательно, (pgk,qgk +1) ∈ ΠδQ. Таким образом, точки (pgk -1,qgk) и (pgk,qgk +1) принадлежат lgk+1 ∩ ΠδQ. Из определения 4.3 получим hgk+1 = (pgk - 1,qgk) = hgk + (-1,0). Рассмотрим уравнение (3.5) в точке hgk: λwδ(hgk) = wδ(hgk + (-1,0)) + wδ(hgk + (0,1)). Подставляя hgk = hgk+1 +(1,0), получаем в правой части значения в точках hgk+1 и hgk+1 +(1,1). Эти значения в точности образуют компоненты вектора Vgk+1-gk-1. Следовательно, используя (5.1), находим , что соответствует (5.2) и полностью завершает доказательство. Лемма 5.2. Пусть существует нетривиальное решение v ∈ L2(Q) задачи (3.1) с параметром. Тогда найдется измеримое множество E ⊂ Q положительной меры Лебега такое, что для всех δ ∈ E функция wδ(p,q) = v(p+τq+δ) корректно определена, принимает ненулевое значение в точке и удовлетворяет условиям леммы 5.1. Обозначим черезминимальное число сужения, не меньшее нуля, а через - разности между соседними числами сужения. Пусть s(x) = . Для произвольной решетчатой линии lm выберем k ∈ Z такое, что. Тогда значения функции wδ в точках пересечения lm ∩ ΠδQ выражаются через значение в точке hg0 следующим образом: 1). Значение в самой точке hg0 можем выразить через v(δ) следующим образом: ⎧v(δ), если g0 = 0; wδ(hg0) = ⎪⎪⎪⎪⎨s(g0 + β0)Fg0 +λgs0(vg(0δ)+ 1 + β0)Fg0+1 , если (1,1) ∈ ΠQδ и g0 > 0; (5.37) , если (-1,-1) ∈ ΠδQ и g0 > 0, где параметр β0 = 0,1 соответствует интервалу [g-1,g0]. 2). Значения в точках hgk+1, соответствующих другим числам сужения, выражаются через wδ(hg0): + 1 = 0; 0; (5.38) . 3). Для таких m-линий, что gk < m < gk+1, пересечение lm∩ΠδQ состоит ровно из двух точек: hm и hm + (1,1). Значения функции в них задаются системой (5.39) , где j = gk+1 - m, а параметр β = 0,1 соответствует интервалу [gk,gk+1]. Доказательство. По условию в пространстве L2(Q). Следовательно, существуют константа ε > 0 и измеримое множество E ⊂ Q с мерой μ(E) > 0 такие, что |v(δ)| ε для всех δ ∈ E. В силу леммы 3.1 для почти всех δ ∈ Q функция wδ(p,q) = v(p + τq + δ) корректно определена и удовлетворяет задаче (3.5), (3.6). Пересекая множество E с множеством полной меры, на котором выполнена лемма 3.1, и сохраняя за пересечением обозначение E, считаем, что оба условия выполняются для всех δ ∈ E. В частности, так как δ > 0, начало координат (0,0) принадлежит . Определим . Выведем формулу (5.37). Если g0 = 0, то, поскольку начало координат принадлежит полосе, оно обязано совпадать с точкой hg0, откуда wδ(hg0) = = v(δ). Пусть g0 > 0. В силу неограниченности множества G снизу существует предшествующее число сужения g-1 < 0. Следовательно, 0 ∈ (g-1,g0). Применим лемму 5.1, где j = g0 - 0 = g0. Воспользовавшись равенством (5.1), получим систему (5.40) , где параметр β0 соответствует отрезку [g-1,g0]. Из определения 4.3 для точки (0,0) получим h0, если (1,1) ∈ ΠδQ; (5.41) h0 + (1,1), если (-1,-1) ∈ ΠδQ. Введем функцию s:Z → {0,1}, принимающую значение 0 для нечетных аргументов и значение 1 для четных: . Отметим, что. Используя результат (5.41), перепишем систему (5.40) в следующем виде: ; δ , wδ(hg0), (-1,-1) ∈ ΠδQ. ⎪⎩ λg0 Разрешая данное уравнение относительно wδ(hg0) и учитывая, что wδ(0,0) = v(δ), получаем соотношения (5.37). Для произвольного) рассмотрим значения в точках, соответствующих числам сужения. Из леммы 5.1 имеем рекуррентное соотношение . Рассмотрим случай k + 1 < 0. Последовательно применяя это соотношение для индексов i = = 0,-1,...,k + 2 (т. е. переходя от i = 0 к i = -1, затем к i = -2 и так далее до i = k + 2), получаем цепочку равенств, связывающих wδ(hgk+1) с wδ(hg0). Выполнив замену индекса b = -i, приходим к выражению , что соответствует случаю k + 1 < 0 в формуле (5.38). В случае k + 1 > 0 обратим рекуррентное соотношение: . Применяя его последовательно k + 1 раз для i = 1,2,... ,k + 1, находим , что доказывает случай k + 1 > 0 в формуле (5.38). Наконец, рассмотрим произвольную m-линию. Если m = gk+1, пересечение lm ∩ ΠδQ содержит единственную точку hgk+1, значение в которой уже определено. Если m таково, что gk < m < gk+1, то по определению 4.3 пересечение lm∩ΠδQ состоит ровно из двух точек: hm и hm+(1,1). Согласно лемме 5.1, значения функции в этих точках для j = gk+1 - m удовлетворяют системе . Заметив, что верно представление, приходим к системе (5.39) . Лемма доказана. Предложение 5.1. Существуют константы d1,d2 > 0 такие, что для любого вещественного a > 0 и любого натурального m 2 выполняются неравенства: 1). если a 1, то ; 2). если. Доказательство. 1). Пусть a 1. Поскольку a > 0, для любого натурального m 2 справедливо . Последовательность чисел Фибоначчи строго возрастает, начиная с индекса n = 3, поэтому . Следовательно: . Полагая d1 = 1 > 0, получаем требуемое неравенство. 2). Пусть Тогда, и искомое отношение можно оценить снизу: . Выразим Fm+1 по формуле Бине, учитывая, что: . Исследуем знаменатель . Так как ϕ > 1, величина ϕ-2m-1 строго положительна и монотонно убывает с ростом m. Следовательно, своего максимума знаменатель D(m) достигает при наименьшем четном значении аргумента, то есть при m = 2: для всех m 2. Поскольку знаменатель ограничен сверху величиной D(2), рассматриваемое отношение ограничено снизу своим точным значением при m = 2 . Подставляя, окончательно находим . Поскольку , величина строго больше нуля. 6. Оценка собственных значений Теорема 6.1. Все собственные значения оператора RQ принадлежат множеству {λ ∈ C | |λ| ∈ {0} ∪ (1,ϕ)}. Здесь и далее - золотое сечение. Доказательство. Предположим противное: пусть существует нетривиальное решение v(t) ∈ ∈ L2(Q) задачи (3.1) при |λ| ∈ {/ 0}∪(1,ϕ). Из нашего предположения следует, что либо , либо Продолжим функцию v(t) нулем вне интервала Q. В силу леммы 5.2 существуют константа ε > 0 и измеримое множество E ⊂ Q с мерой Лебега μ(E) > 0 такие, что для всех δ ∈ E функция wδ(p,q) = v(p + τq + δ) корректно определена на решетке и для нее справедливы формулы (5.37), (5.38) и (5.39). I) В зависимости от λ построим последовательность {(p(i),q(i))}i∈N ⊂ Z2 такую, что 1). xi := p(i) + τq(i) → 0 при i → ∞, причем {xi}i∈N строго убывает; если 2). - -∞ | | i→∞ , если 0 < λ 1. Для этого воспользуемся теорией цепных дробей [16]. Разложим иррациональное число τ ∈ ∈ (0,9, 1) в бесконечную цепную дробь. Пусть Pn/Qn - последовательность ее подходящих дробей. Известно, что 0 < |Qnτ - Pn| < 1/Qn, причем разность Qnτ - Pn знакочередуется: для четных n она положительна, а для нечетных - отрицательна. В случае |λ| ϕ выберем последовательность четных подходящих дробей. Положим q(i) = Qni и p(i) = -Pni. Тогда xi = Qniτ - Pni > 0, xi → 0+, а q(i) - p(i) = Qni + Pni → +∞. В случае выберем последовательность нечетных подходящих дробей. Положим q(i) = -Qni и p(i) = Pni. Тогда xi = -(Qniτ - Pni) > 0, xi → 0+, а q(i) - p(i) = -Qni - Pni → -∞. В обоих случаях выберем подпоследовательности так, чтобы При этом свойства lim (q(i) - p(i)) сохраняются. i→∞ II) Оценим снизу модуль значения |wδ(p(i),q(i))| для δ ∈ E таких, что δ+xi ∈ Q. Воспользуемся формулой (5.37). Поскольку функция s принимает только значения 0 и 1, знаменатели в дробях не превосходят Fg0 + Fg0+1 = Fg0+2. Оценивая модуль wδ(hg0), находим: ⎧ε, g0 = 0; |wδ(hg0)| . В силу предложения 4.1 выберем не зависящую от δ общую верхнюю грань R для всех rk. Поскольку имеем Следовательно, множество возможных значений g0 конечно. Тогда, обозначив , получаем равномерную по δ оценку (6.1) Точка (p(i),q(i)) лежит на mi-линии, где . Для каждого δ выберем ki = ki(δ) ∈ ∈ Z так, что далее зависимость ki от δ в обозначениях опускаем. Положим j = gki+1 Если j = 0, то mi = gki+1, и |wδ(p(i),q(i))| = |wδ(hgki+1)|. Если, то воспользуемся системой (5.39) леммы 5.2. Числители ограничены снизу Fj, отсюда верна оценка . Введем не зависящую от δ константу . Тогда для всех i выполняется . (6.2) Далее применим формулы (5.38). Переходя к модулям и учитывая оценку (6.1), находим + 1 = 0; 0; (6.3) . Из построения последовательности (p(i),q(i)) имеем mi → +∞ при при . Поскольку равномерно по δ, для всех достаточно больших i знак ki + 1 совпадает со знаком mi, причем равномерно по δ. Для достаточно больших i объединим оценки (6.2) и (6.3), и получим , если 0); (6.4) если . По предложению 5.1 каждый множитель в (6.4) строго больше 1 + d для некоторого d > 0, не зависящего от i и δ. При этом количество сомножителей равно |ki+1|, следовательно, справедлива оценка | | . (6.5) Поскольку |mi| → ∞, последовательность не зависящих от δ констант Mi стремится к бесконечности при i → ∞. III) Получим противоречие, используя свойства интеграла Лебега. Рассмотрим множества Ei := (E + xi) ∩ Q, где E + xi = {x ∈ R | ∃δx ∈ E : x = δx + xi}. Отметим, что на Ei справедлива оценка модуля функции (6.5), так как (δ + xi) ∈ Ei. Сдвинем эти множества обратно на xi, обозначим . Поскольку Q = (0,π) и xi > 0, имеем Q - xi = (-xi,π - xi). В силу E ⊂ (0,π) пересечение принимает вид. В силу строгой монотонности убывания правые границы интервалов (0,π - xi) строго возрастают, образуя цепочку вложенных измеримых множеств при этом В силу инвариантности относительно сдвига меры Лебега () и ее непрерывности снизу для счетного объединения вложенных измеримых множеств [9], получаем . Оценим норму функции v в пространстве L2(Q). Интегрируя квадрат модуля по измеримому множеству Ei ⊂ Q и делая замену переменной t = δ + xi, находим Для v(δ + xi) приверна оценка (6.5); отсюда получим . Так как при достаточно больших i мера множества интегрирования отделена от нуля (стремится к μ(E) > 0), а Mi → +∞, интеграл Лебега неограниченно возрастает . Однако Ei ⊂ Q, поэтому для функции из L2(Q) должно выполняться < +∞. Полученное противоречие означает, что функция v не может принадлежать пространству L2(Q). Следовательно, изначальное предположение о существовании нетривиального решения неверно, что завершает доказательство. 7. Случай λ = 0 Рассмотрим теперь случай λ = 0. Найдем все функции v ∈ L2(R), удовлетворяющие разностному уравнению v(t - 1) + v(t + τ) = 0, t ∈ Q (7.1) и граничному условию v(t) = 0, t ∈ R \ Q, (7.2) где Q = (0,π), τ - такое иррациональное число, что 0,9 < τ < 1. Лемма 7.1. Множество решений v ∈ L2(R) задачи (7.1) (7.2) непусто и исчерпывается функциями вида ⎧f(t), t ∈ (π - 2 - τ, τ); v(t) = ⎪⎨-f(t - 1 - τ), t ∈ (π - 1, 1 + 2τ); (7.3) , где f ∈ L2(π - 2 - τ, τ) - произвольная функция. Таким образом, λ0 = 0 является собственным значением бесконечной кратности. Доказательство. Исследуем носитель функции v. В силу граничного условия (7.2), если один из смещенных аргументов в уравнении (7.1) выходит за пределы интервала (0,π), то соответствующее слагаемое обнуляется. Это, в свою очередь, влечет обнуление функции и в другой точке, так как имеет место равенство v(t - 1) = -v(t + τ). (7.4) Воспользуемся граничными условиями (7.2). Для этого рассмотрим разбиение интервала (0,π) = (0 получим, чтоПусть v(t + τ) = 0. Выполнив замену переменной, следовательно, v(t-s1) = 0= t + почти всюду. Из уравнения (7.4)τ, получаем, что v(s) = 0 почти всюду на интервале s ∈. (Тогдаτ,1 + τt)+. τ ∈ (π,π + τ), следовательно, v(t + τ) = 0 почти всюду. Из Пусть t ∈ (π - τ,π) уравнения (7.4) получаеминтервалеРассмотрим объединение полученных интерваловs ∈ (π - 1 - τ,πv-(t1)-. 1) = 0. Тогда при s =(tτ,-1 +1 имеем, чтоτ) ∪ (π - 1v(-s) = 0τ,π -почти всюду на1). Из оценок 0,9 < τ < 1 и 3,14 < π < 3,15 вытекают следующие двусторонние неравенства: 1,14 < π - 1 - τ < 1,25, 1,9 < 1 + τ < 2. Поскольку левый конец первого интервала (1 > 2,14), а левый конец второго (π - 1 -τ <τ <1)1строго меньше правого конца второго,25) строго меньше правого конца первого(τ,π -1), для которого почти(π - -(1+τ > 1,9), их объединение образует единый сплошной интервал всюду верно равенство v(t) = 0, t ∈ (τ,π - 1). (7.5) и tРассмотрим теперь оставшиеся значения+ τ лежат внутри отрезка [0,π]. Воспользуемся установленным свойством (7.5).t ∈ [1,π -τ]. Для них оба смещенных аргумента t-1 неравенств[1,πЕсли- τt],-получаем полуинтервал11∈<(τ,π1 +-τ <1), то2,14t ∈< π(1 +-(1 +τ,πτ < π.).τ,πПересекая этот интервал с рассматриваемым отрезком-Для такихτ]. Данное пересечение непусто в силу цепочкиt имеем v(t - 1) = 0, а значит, в силу равенства (7.4), v(t + τ) = 0. Обозначая s = t + τ ∈ (1 + 2τ,π], получаем v(s) = 0, s ∈ (1 + 2τ,π]. (7.6) sмножество=Аналогично, еслиt - 1 ∈ [0t ,π∈ [1-,π2 --tτ+1),-τполучаем∈τ)(.τ,πВ этом случае- 1), то t ∈ (0v(,πt +-τ1) = 0- τ)., Пересечение с отрезкомоткуда следует v(t - 1) = 0[1,π.-Полагаяτ] дает v(s) = 0, s ∈ [0,π - 2 - τ). (7.7) Объединяя результаты (7.5), (7.6) и (7.7) с граничным условием вне Q, заключаем, что функция v(t) с точностью до множества меры нуль может быть отлична от нуля лишь на двух непересекающихся множествах (π - 2 - τ,τ) и (π - 1,1 + 2τ). Отметим, что первый интервал переходит во второй при сдвиге на 1 + τ. Пусть на первом из этих интервалов функция задается произвольной функцией f ∈ L2(π-2-τ,τ), то естьs = tv+(t) =τ, тогдаf(t). t -Рассмотрим независимую переменную1 = s - 1 - τ ∈ (π - 2 - τ,τ). В силу (7.4) получаемs ∈ (π -1,1+2τ). Представим ее в виде v(t - 1) = -v(t + τ), что эквивалентно v(s) = -v(s - 1 - τ). Следовательно, значения функции для(π-2-τ,τ) и v(s) = -f(s-1-τ). Таким образом, из уравнения (7.1) и граничного условия (7.2)s ∈ (π-1,1+2τ) однозначно определяются значениями наv имеет вид (7.3). следует необходимость того, что любое нетривиальное решение Для доказательства достаточности убедимся, что любая функция вида (7.3) удовлетворяет исходной задаче. Действительно, прямая проверка показывает, что при подстановке (7.3) в уравнение (7.1) ненулевые слагаемые попарно сокращаются по построению, а в остальных точках обращаются в нуль. Таким образом, точка λ0 = 0 является собственным значением бесконечной кратности. В заключение отметим возможные направления дальнейшего исследования. В частности, представляет интерес спектральная задача для операторов (Ra,bv)(t) = av(t - 1) + bv(t + τ), a,b ∈ C \ {0}. В этом случае геометрия решетчатой полосы сохраняется, однако рекуррентные соотношения для значений решения зависят от коэффициентов a и b. Представляет интерес также исследование разностных операторов с большим числом несоизмеримых сдвигов, для которых соответствующая решетчатая структура становится существенно более сложной. Получение спектральных оценок в этих случаях выходит за рамки настоящей работы.

About the authors

A. S. Kirilenko

RUDN University

Author for correspondence.
Email: kirilenko-as@rudn.ru
ORCID iD: 0009-0009-3495-8093
SPIN-code: 6311-9225
Moscow, Russia

References

Supplementary files