Современная математика. Фундаментальные направления

На примере системы «хищник-жертва» в условиях неоднородного ареала построена математическая модель взаимодействующих популяций, обладающая разнообразными эволюционными стратегиями. Модель основана на системе уравнений в частных производных «диффузия-адвекция-реакция» и позволяет учитывать многофакторный таксис видов. Предложены модифицированные функции локального взаимодействия хищника и жертвы, обеспечивающие многообразие эволюционных стратегий системы. Исследован ряд ключевых параметров, отвечающих за формирование стратегий с идеальным свободным распределением (ИСР). Рассмотрены функции миграции, позволяющие учесть все виды направленного движения особей жертвы и хищника. Приведены условия для потоковых параметров системы, при которых возможна реализация ИСР-подобных стратегий. Представлены результаты вычислительных экспериментов для ряда стационарных и колебательных режимов.

В статье изучается начально-краевая задача для одномерных уравнений динамики сжимаемой вязкой смеси. Доказывается теорема существования и единственности решения начально-краевой задачи без каких-либо ограничений на структуру матрицы вязкостей, кроме стандартных физических требований симметричности и положительной определенности.

Традиционно непрерывные модели математической биологии направлены на динамику взаимодействующих популяций как стационарных гомогенных общностей. Состояние популяций в уравнениях регулируется общими для всех особей \( \forall t,N(t) \) факторами эффективности воспроизводства, гибели, ограничения жизненного пространства или лимитом ресурсов. Существуют много видов с неперекрывающейся последовательностью поколений, сменяющих друг друга в разных сезонных условиях. Число годовых поколений --- важная характеристика экологии вида при захвате нового ареала. Длина жизненного цикла и показатель репродуктивной активности r у смежных поколений насекомых в ареале различны из-за необходимости зимовки. Колебания этих величин влияют на стремительные вспышки численности. Показано, что применение дискретных моделей \( x_{n+1}=\psi(x_n;r)\varphi(x_{n-i})-\Xi \)  оказывается нереалистично по фундаментальным причинам. Появление циклов \( p\neq2^i \) в порядке теоремы Шарковского избыточно для анализа популяций и прогноза массовых размножений насекомых. В статье предложен метод организации моделей сопряженного развития череды поколений в системе разрывных дифференциальных уравнений как последовательности краевых задач. Модель событийно переопределяется для получения решения на отрезках времени, соответствующих условиям сезона. Модель с учетом конкуренции и запаздывающей регуляции актуальна для анализа череды пиков активности вредителей, для которых характерны отдельные чрезвычайно многочисленные поколения.

Мы рассматриваем оператор энергии четырехэлектронных систем в примесной модели Хаббарда и исследуем структуру существенного спектра и дискретных спектров для второго синглетного состояния системы. Показано, что в одномерном и двумерном случаях для существенного и дискретного спектра существуют такие ситуации: (а). существенный спектр оператора второго синглетного состояния четырех электронов в примесной модели Хаббарда состоит из объединения восьми сегментов, а дискретный спектр оператора состоит из шести собственных значений; (б). существенный спектр оператора состоит из объединения шестнадцати сегментов, а дискретный спектр оператора состоит из четырнадцати собственных значений; (в). существенный спектр оператора состоит из объединения тринадцати сегментов, а дискретный спектр оператора состоит из девяти собственных значений; (г). существенный спектр оператора состоит из объединения трех сегментов, а дискретный спектр оператора состоит из трех собственных значений. В трехмерном случае возникают такие ситуации: (а). существенный спектр оператора состоит из объединений восьми сегментов, а дискретный спектр оператора состоит из шести собственных значений, или существенный спектр оператора состоит из объединений трех сегментов, а дискретный спектр оператора состоит из трех собственных значений; (б). существенный спектр оператора состоит из объединений восьми сегментов, а дискретный спектр оператора состоит из шести собственных значений; (в). существенный спектр оператора состоит из объединений шестнадцати сегментов, а дискретный спектр оператора состоит из четырнадцати собственных значений; (г). существенный спектр оператора состоит из объединений трех сегментов, а дискретный спектр оператора состоит из трех собственных значений.

Рассмотрен самосопряжённый оператор, действующий в пространстве Крейна и обладающий инвариантным подпространством, которое является максимальным неотрицательным и распадается в прямую сумму равномерно положительного (т. е. эквивалентного гильбертову пространству по отношению к внутреннему псевдоскалярному произведению) и конечномерного нейтрального подпространств. Доказано существование разностного выражения, преобразующего порождённую этим оператором последовательность моментов в последовательность, представимую как разность позитивных последовательностей моментов. В случае циклического оператора этот результат применён для построения функционального пространства, в котором исследуемый оператор моделируется как оператор умножения на независимую переменную.