Periodic homeomorphisms without points of lower period closed orientable surfaces

Full Text

1. Введение и формулировка результатов Везде далее используются следующие обозначения: • Σg,τ - ориентированная компактная двумерная поверхность рода g c τ дырами; • Σg = Σg,0; • N(A) - трубчатая окрестность множества A ⊂ Σg,τ (односторонняя трубчатая окрестность множества A в случае, когда множество A принадлежит краю поверхности Σg,τ). Напомним, что гомеоморфизм f : Σg,τ → Σg,τ называется периодическим гомеоморфизмом периода n ∈ N, если для любого натурального k < n. Периодом точки x ∈ Σg,τ периодического гомеоморфизма f : Σg,τ → Σg,τ называется наименьшее натуральное число k такое, что fk(x) = x. Точка x ∈ Σg,τ называется точкой меньшего периода периодического гомеоморфизма f периода n, если ее период k < n. © Е.Е. Чилина, 2026 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 604 Гомеоморфизмы называются топологически сопряженными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм такой, что В 1937 году Я. Нильсеном [5] найдены необходимые и достаточные условия существования класса топологической сопряженности сохраняющего ориентацию периодического гомеоморфизма компактной ориентируемой поверхности. В 2017 году Х. Хангом [4] эти результаты были обобщены на меняющие ориентацию гомеоморфизмы компактных ориентируемых поверхностей. Доказано, что каждый класс периодических отображений описывается конечным числом инвариантов, которые будем называть характеристикой периодического гомеоморфизма. Ряд работ К. Йокояма 1983, 1984, 1992 годов [7-9] содержит классификацию периодических отображений в том числе и на неориентируемых поверхностях. Описать представителя в каждом классе сложно. Однако имеются некоторые решения для частных случаев. Например, для двумерной сферы задача была решена Б. Керекьярто [6] в 1934 году, а для двумерного тора частично решена Браурэм [3] в 1919 году. Для сохраняющих ориентацию периодических гомеоморфизмов двумерного тора полная классификация и реализация приведена в работе Д.А. Баранова, В.З. Гринеса, О.В. Починки и Е.Е. Чилиной [2] 2023 года, а также есть классификация сохраняющих ориентацию периодических гомеоморфизмов поверхности рода 2 с частичной реализацией в работе 2021 года Д.А. Баранова и О.В. Починки [1]. Настоящая работа посвящена реализации и нахождению характеристик каждого класса топологической сопряженности периодических гомеоморфизмов без точек меньшего периода замкнутых ориентируемых поверхностей. Приведём основные сведения про периодические гомеоморфизмы, необходимые для формулировки результатов настоящей работы (более детально см. [4]). Пусть f : Σg,τ → Σg,τ - периодический гомеоморфизм периода n. Тогда факторпространство Σg,τ/f является компактной поверхностью. Обозначим через πf : Σg,τ → Σg,τ/f естественную проекцию. Введём следующие обозначения: • Bfk -множество всех точек периода k < n гомеоморфизма f; • Bf - множество всех точек периода меньшего n гомеоморфизма f; • Bf = πf(Bf). Отображение πf является n-листным ветвленным накрытием с множеством ветвления Bf = = πf(Bf). Выберем точку x¯0 ∈ πf-1(x) из полного прообраза точки x ∈ Σg,τ/f \ Bf и определим гомоморфизм Ωf : π1(Σg,τ/f \ Bf,x) → Zn следующим образом. Для каждой петли γ ⊂ Σg,τ/f \ Bf в точке x ∈ Σg,τ/f \ Bf обозначим через [γ] элемент фундаментальной группы π1(Σg,τ/f \ Bf,x), состоящий из всех петель в точке x, гомотопных γ. Для петли γ обозначим через γ¯ её поднятие на Σ с началом в точке x¯0 и концом в точке x¯1. Тогда существует натуральное число r n такое, что fr(¯x0) = ¯x1 (см. рис. 1). Определим гомоморфизм Ωf([γ]) = r (mod n). Так как группа Zn абелева, то гомоморфизм Ωf индуцирует гомоморфизм ωf : H1(Σg,τ/f \ Bf) → Zn. Fig. 1. Lifting the loop γ Пусть f : Σg,τ → Σg,τ - сохраняющий ориентацию периодический гомеоморфизм периода n. Тогда факторпространство Σg,τ/f является ориентированной поверхностью с ориентацией, индуцированной накрытием πf. Если множество , то оно конечно. Введём следующие обозначения: • q1,q2,...,qb - элементы множества Bf; • δ1,...,δc - компоненты связности края поверхности Σg,τ/f; • Sqi, j = 1,...,b - край поверхности cl(N(qi)) (см. рис. 2). Ориентируем кривую Sqi (δi) согласованно с ориентацией поверхности Σg,τ/f \ N(Bf) (Σg,τ/f). Введём множества Q = {ωf(Sq1),...,ωf(Sqb)}, Δ = {ωf(δ1),...,ωf(δc)} и обозначим через h род поверхности Σg,τ/f. Тогда класс топологической сопряженности гомеоморфизма f описывается набором данных [h,n;Q;Δ], который будем называть характеристикой сохраняющего ориентацию периодического гомеоморфизма. Рис. 2. Факторпространство Σg,τ/f по действию сохраняющего ориентацию гомеоморфизма f Fig. 2. The quotient space Σg,τ/f under the action of an orientation-preserving homeomorphism f Теорема 1.1. Пусть f : Σg → Σg - сохраняющий ориентацию периодический гомеоморфизм периода n ∈ N без точек меньшего периода. Тогда число n является делителем числа g - 1 и характеристика f имеет вид . Для любого n ∈ N и h ∈ N∪{0} на поверхности Σg рода g = n(h-1)+1 существует сохраняющий ориентацию периодический гомеоморфизм с характеристикой [h,n;∅;∅]. Реализация таких отображений по заданной характеристике приведена в пункте 4.1. Пусть f : Σg → Σg - меняющий ориентацию периодический гомеоморфизм периода n. Тогда n - чётное число. Если множество для чётного значения k < n, то оно конечно, а если множество для нечетного значения k, то оно состоит из конечного числа простых замкнутых кривых и n = 2k. Факторпространство Σg/f может быть как ориентируемой, так и неориентируемой компактной поверхностью. Введём следующие обозначения: • q1,q2,...,qb - изолированные точки множества Bf; • δ1,...,δc - компоненты связности края поверхности Σg/f; • ι1,...,ιs - произвольный набор простых замкнутых кривых на Σg/f таких, что топологическое пространство cl(N(ιl)) для любого l = 1,...,s гомеоморфно ленте Мебиуса и поверхность Σg/f после разреза по кривым ι1,...,ιs является ориентируемой; • Sqi, j = 1,...,b - край поверхности cl(N(qi)) (см. рис. 3); • Sδj, j = 1,...,c - компонента связности края поверхности cl(N(δj)), отличная от δj (см. рис. 3). Таким образом, Bf = {q1,...,qb,δ1,...,δc}. Разрежем поверхность Σg/f по кривым. Получим ориентируемую поверхность, которую обозначим через Зафиксируем на Σg/f произвольную ориентацию. Ориентация индуцирует ориентацию края поверхности , которая в свою очередь индуцирует ориентацию кривых ιl,Sqi,Sδj. Введём множества Q = {ωf(Sq1),...,ωf(Sqb)}, Δ = {ωf(Sδ1),...,ωf(Sδc)}, I = {ωf(ι1),...,ωf(ιs)} и обозначим через h род поверхности Таким образом, класс топологической сопряженности гомеоморфизма f описывается набором данных (с точностью до отношений эквивалентности R0-R4, приведенных в разделе 2) [h,n;Q;Δ;I], который будем называть характеристикой меняющего ориентацию периодического гомеоморфизма. Рис. 3. Факторпространство Σg/f по действию меняющего ориентацию гомеоморфизма f и поверхность Fig. 3. The quotient space Σg/f under the action of an orientation-reversing homeomorphism f and the surface Σg/f Теорема 1.2. Пусть f : Σg → Σg - меняющий ориентацию периодический гомеоморфизм без точек меньшего периода. Тогда характеристика f эквивалентна одной из следующих: 1. [h,2(2k - 1);∅;∅;{2k - 1}], где h ∈ N ∪ {0}, k ∈ N, g = (2k - 1)(2h - 1) + 1; k 2., НОД{2l - 1,k} = 1, g = 1; 3., НОД{2l - 1,k} = 1, g = 1; 4. 5. При этом различные характеристики попарно не эквивалентны. Реализация каждой характеристики из теоремы 1.2 приведена в разделе 4.2. 2. Вспомогательные утверждения В настоящем разделе приведены основные сведения о периодических гомеоморфизмах компактных ориентированных поверхностей из работ Я. Нильсена [5] и Х. Ханга [4]. Предложение 2.1. Сохраняющий ориентацию периодический гомеоморфизм f : Σg,τ → Σg,τ с характеристикой [h,n; Q = {θ1,...,θb}; Δ = {η1,...,ηc}] существует тогда и только тогда, когда 1. ; 2. θ1 + ··· + θb + η1 + ··· + ηc = 0 (mod n); 3. если , то НОД{θ1,...,θb,η1,...,ηc,n} = 1; 4. τ = Σ НОД{ηj,n}; j=1 5. . Предложение 2.2. Два сохраняющих ориентацию периодических гомеоморфизма компактной ориентируемой поверхности топологически сопряжены тогда и только тогда, когда их характеристики совпадают. Предложение 2.3. Меняющий ориентацию периодический гомеоморфизм f : Σg → Σg с характеристикой [h,2m; Q = {2θ1,...,2θb}; Δ = {2η1,...,2ηc}; I = {ζ1,...,ζs}] существует тогда и только тогда, когда 1. ; 2. если m чётно, то Δ = ∅; 3. ζl нечетно при l = 1,...,s; 4. [h,m;Q;{η1,...,ηc,ζ1,...,ζs}] - характеристика сохраняющего ориентацию периодического гомеоморфизма; 5. . Пусть f -меняющий ориентацию периодический гомеоморфизм замкнутой ориентируемой поверхности с характеристикой [h,2m; Q = {2θ1,...,2θb}; Δ = {2η1,...,2ηc}; I = {ζ1,...,ζs}]. Определим следующие отношения для характеристик меняющих ориентацию периодических гомеоморфизмов замкнутых ориентируемых поверхностей: R0 [h,2m;Q;Δ;I] ∼ [h,2m;Q;Δ;I]; R1 [h,2m;Q;Δ;I] ∼ [h,2m;{-2θ1,...,-2θb};{-2η1,...,-2ηc};{-ζ1,...,-ζs}]; R2 [h,2m;Q;Δ;I] ∼ a)[h,2m;{-2θ1,2θ2,...,2θb};Δ;{ζ1,...,ζs 1,ζs + 2θ1}], b), c) h, R3 3; R4 [h,2m;Q;Δ;{ζ1,ζ2}] ∼ [h,2m;Q;Δ;{ζ1 + 2d,ζ2 - 2d}] при s = 2, где если h > 0 = . НОД{θ1,...,θb,η1,...,ηc}, если h = 0 Предложение 2.4. Два меняющих ориентацию периодических гомеоморфизма замкнутой ориентируемой поверхности топологически сопряжены тогда и только тогда, когда их характеристики эквивалентны посредством отношений R0-R4. 3. Характеристики периодических гомеоморфизмов без точек меньшего периода замкнутых ориентируемых поверхностей Настоящий раздел содержит доказательства теорем 1.1-1.2. 3.1. Доказательство теоремы 1.1. Пусть f : Σg → Σg -сохраняющий ориентацию периодический гомеоморфизм периода n ∈ N без точек меньшего периода. Из пункта 5 предложения 2.1 следует, что род поверхности Σg/f равен . Так как , то число n является делителем числа g - 1 и характеристика f имеет вид . 3.2. Доказательство теоремы 1.2. Рассмотрим меняющий ориентацию периодический гомеоморфизм f : Σg → Σg без точек меньшего периода. Тогда его характеристика имеет вид [h,¯ 2m;∅;∅; I = {ζ¯1,...,ζ¯s}]. Согласно пункту 1 предложения 2.3, . Если, то при нечётных s получим, что , а при чётных s получим . Таким образом, согласно предложению 2.4, характеристика f эквивалентна одной из следующих: 1) [h,2m;∅;∅;{ζ1}], 2) [h,2m;∅;∅;{ζ1,ζ2}]. В случае 1), согласно пункту 4 предложения 2.3, [h,m;∅;{ζ1}] -характеристика сохраняющего ориентацию периодического гомеоморфизма. Из пункта 2 предложения 2.1 следует, что ζ1 = 0 (mod m). Так как значение ζ1 определено с точностью до сравнимости по модулю 2m и, согласно пункту 3 предложения 2.3, ζ1 нечетно, то ζ1 = m, где m = 2k - 1, k ∈ N. Таким образом, характеристика f эквивалентна характеристике [h,2(2k - 1);∅;∅;{2k - 1}], (3.1) где k ∈ N. Из пункта 5 предложения 2.3 получаем, что g = (2k - 1)(2h - 1) + 1. Так как различным k ∈ N соответствует различный период, то им же соответствуют и различные классы эквивалентности. Рассмотрим случай 2) отдельно для. Пусть h = 0. Без ограничения общности будем считать, что . Положим ζ1 = 2l - 1. Если m = 2k - 1, k ∈ N, то в силу пунктов 3-4 предложения 2.3 и пункта 2 предложения 2.1 получим ζ2 = 2(2k - 1) - (2l - 1). С учётом пункта 3 предложения 2.1 при k ∈ N, l ∈ {1,... ,k} и НОД{2l - 1,2k - 1} = 1 имеем попарно неэквивалентные характеристики вида [0,2(2k - 1);∅;∅;{2l - 1,2(2k - 1) - (2l - 1)}] (3.2) гомеоморфизма поверхности рода g = 1. Если m = 2k, k ∈ N, то в силу пунктов 3-4 предложения 2.3 и пункта 2 предложения 2.1 получим, что возможны 2 варианта ζ2 = 2k - (2l - 1) и ζ2 = 4k - (2l - 1). В первом варианте для и НОД{2l - 1,k} = 1 получим характеристику [0,4k;∅;∅;{2l - 1,2k - (2l - 1)}], (3.3) на поверхности рода g = 1. Во втором варианте для и НОД{2l-1,2k} = 1 получим характеристику [0,4k;∅;∅;{2l - 1,4k - (2l - 1)}] (3.4) на поверхности рода g = 1. Заметим, что характеристики (3.2) и (3.4) на поверхности рода g = 1 k дляи НОД{2l - 1,k} = 1 можно записать в виде [0,2k;∅;∅;{2l - 1,2k - (2l - 1)}]. (3.5) Пусть. Тогда d = 1 в отношении R4. Согласно пункту 3 предложения 2.3, ζ1,ζ2 - нечетные. Тогда R4 [h,2m;∅;∅;{ζ1,ζ2}] ∼ [h,2m;∅;∅;{ζ1 + ζ2 - 1,1}]. Положим ζ˜1 = ζ1 +ζ2 -1. Тогда согласно пункту 4 предложения 2.3, [h,m;∅;{ζ˜1,1}] - характеристика сохраняющего ориентацию периодического гомеоморфизма. Из пункта 2 предложения 2.1 следует, что ζ˜1 + 1 = 0 (mod m). Так как значение ζ˜1 нечётно (пункт 3 предложения 2.3), то возможны 2 варианта: a) m = 2k, где k ∈ N, и ζ˜1 = 2k - 1, b) ζ˜1 = 2m - 1, m ∈ N. Тогда характеристика f эквивалентна либо характеристике [h,4k;∅;∅;{2k - 1,1}], (3.6) где k ∈ N и g = 4kh + 1, либо [h,2k;∅;∅;{2k - 1,1}], (3.7) где k ∈ N и g = 2kh + 1. Непосредственно проверяется, что полученные характеристики попарно не эквивалентны. 4. Реализация периодических гомеоморфизмов замкнутых ориентируемых поверхностей без точек меньшего периода В настоящем разделе описано построение представителя в каждом классе топологической сопряженности периодических гомеоморфизмов без точек меньшего периода замкнутых ориентируемых двумерных поверхностей, вложенных в R3. Отображения заданы как в стандартной прямоугольной системе координат (x,y,z), так и в цилиндрической системе координат (ρ,ϕ,z), где x = ρcosϕ, y = ρsinϕ. 4.1. Сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы. В этом пункте описано построение модельного представителя в каждом классе топологической сопряженности сохраняющих ориентацию периодических гомеоморфизмов без точек меньшего периода замкнутых ориентируемых двумерных поверхностей. Построим периодический гомеоморфизм без точек меньшего периода поверхности Σg с характеристикой [h,n;∅;∅]. Согласно пункту 5 предложения 2.1, g = n(h - 1) + 1. Пусть g = 0. Тогда n = 1. Таким образом, на сфере существует только тождественный гомеоморфизм, являющийся сохраняющим ориентацию периодическим гомеоморфизмом без точек меньшего периода. Пусть g = 1. Представим Σ1 параметрически как подмножество R3 следующим образом: ⎧x(ψ1,ψ2) = (3 + cosψ1)cosψ2, Σ1 : ⎪⎨y(ψ1,ψ2) = (3 + cosψ1)sinψ2, ψ1,ψ2 ∈ R. ⎪⎩z(ψ1,ψ2) = sinψ1, Определим гомеоморфизм . Тогда гомеоморфизм имеет характеристику [1,n;∅;∅]. Пусть g > 1. Тогда h > 1. Положим . К Σ1 приклеим h - 1 ручку так, что . Положим . Тогда топологическое пространство (см. рис. 4 для случая n = 6) является замкнутой поверхностью рода g = n(h - 1) + 1, инвариантной относительно гомеоморфизма φn. По построению гомеоморфизм fh,n+ = φn|Σg является периодическим гомеоморфизмом периода n и не имеет точек меньшего периода на Σg. 4.2. Меняющие ориентацию гомеоморфизмы. В этом пункте описано построение модельного представителя в каждом классе топологической сопряженности меняющих ориентацию периодических гомеоморфизмов без точек меньшего периода замкнутых ориентируемых двумерных поверхностей по характеристикам из теоремы 1.2. Рис. 4. Несущая поверхность гомеоморфизма fh,+6 Fig. 4. The supporting surface of the homeomorphism fh,+6 4.2.1. Характеристика [h,2(2k -1);∅;∅;{2k -1}], где h ∈ N∪{0}, k ∈ N. Сначала рассмотрим случай k = 1 отдельно для h = 0 и h > 0. Если h = 0, то несущая поверхность гомеоморфизма с характеристикой [0,2;∅;∅;{1}] является сферой. Представим сферу как подмножество R3 стандартным образом: Σ0 = {(x,y,z)|x2 + y2 + z2 = 1}. Положим Υ(x,y,z) = (-x,-y,-z). Тогда гомеоморфизм f1-,0,1 = Υ|Σ0 реализует характеристику [0,2;∅;∅;{1}] на Σ0. Пусть h > 1. Положим R3z>0 = {(x,y,z)|z > 0}. Приклеим h ручек к сфере Σ0 так, что . Положим . Тогда топологическое пространство Σg = Σh,1 ∪ Υ(Σh,1) (см. рис. 5) является замкнутой поверхностью рода g = 2h, инвариантной относительно гомеоморфизма Υ. По построению гомеоморфизм f1-,h,1 = Υ|Σg имеет характеристику [h,2;∅;∅;{1}]. Пусть k > 1 и n = 2k - 1. Рассмотрим несущую поверхность Σn(h-1)+1 гомеоморфизма fh,n+ , построенного в разделе 4.1. Без ограничения общности можно считать, что . Определим отображения и положим Рис. 5. Несущая поверхность гомеоморфизма f1-,h,1 Fig. 5. The supporting surface of the homeomorphism f1-,h,1 На цилиндре определим отображение ΦC(ρ,ϕ,z) = (ρ,ϕ + π(z + 1),-z). Для (x0,y0) ∈ R2 определим отображение Π(x0,y0)(x,y,z) = (x - x0,y - y0,z): R3 → R3. Пусть (xn,yn) ∈ R2 такие, что C˜ = Π(xn,yn)(C) ⊂ intAn. Положим На множестве определим гомеоморфизм . Соединим поверхности цилиндром C так, что . Тогда поверхность, полученную соединением поверхностей цилиндром , обозначим через Σ2(n(h-1)+1). Положим Σ2(h-1),4 = Σ2(n(h-1)+1) ∩ An. Тогда топологическое пространство является замкнутой поверхностью рода g = n(2h - 1) + 1 (см. рис. 6 для случая n = 3). Гомеоморфизм f1-,h,k : Σg → Σg, заданный формулой , где n = 2k - 1, имеет характеристику [h,2(2k - 1);∅;∅;{2k - 1}]. Рис. 6. Несущая поверхность гомеоморфизма f1-,h,2 Fig. 6. The supporting surface of the homeomorphism f1-,h,2 4.2.2. Характеристика , НОД{2l - - 1,k} = 1. Пусть поверхность Σ1 задана так же, как в разделе 4.1. Тогда для α = (2l - 1)-1 (mod 2k) определен гомеоморфизм f2-,l,k : Σ1 → Σ1, заданный формулой f2-,l,k = (ϑφα2k)|Σ1 и соответствующий характеристике [0,2k;∅;∅;{2l - 1,2k - (2l - 1)}]. 4.2.3. Характеристика , НОД{2l - - 1,k} = 1. Пусть поверхность Σ1 задана также как в разделе 4.1. Определим гомеоморфизм . Заметим, что он обладает следующими свойствами: и . Тогда для α = (2l -1)-1 (mod 4k) определен гомеоморфизм f3-,l,k : Σ1 → Σ1, заданный формулой , и соответствующий характеристике [0,4k;∅;∅;{2l - 1,2k - (2l - 1)}]. 4.2.4. Характеристика [h,4k;∅;∅;{2k-1,1}], где h,k ∈ N. Пусть поверхность Σ1 задана также как в разделе 4.1. Положим Σ0,2 = Σ1 ∩ A2k. К Σ0,2 приклеим h ручек так, что . Положим . Тогда топологическое пространство Σg = Σ2hk,2 ∪ ϑ(Σ2hk,2) является замкнутой поверхностью рода g = 4kh + 1 (см. рис. 7). Определим гомеоморфизм f4-,h,k : Σg → Σg с характеристикой [h,4k;∅;∅;{2k - 1,1}] формулой , 4.2.5. Характеристика [h,2k;∅;∅;{2k - 1,1}], где h,k ∈ N. Пусть поверхность Σ1 задана так же, как в разделе 4.1. К поверхности Σ1 приклеим h ручек так, что . Положим . Тогда топологическое пространство является замкнутой поверхностью рода g = 2kh + 1 и гомеоморфизм f5-,k = (ϑφ2k)|Σg имеет характеристику [h,2k;∅;∅;{2k - 1,1}], где g = 2kh + 1. Рис. 7. Несущая поверхность гомеоморфизма f4-,h,1 Fig. 7. The supporting surface of the homeomorphism f4-,h,1

About the authors

E. E. Chilina

HSE University

Author for correspondence.
Email: k.chilina@yandex.ru
Scopus Author ID: 57373009600
Nizhny Novgorod, Russia

References

Supplementary files