Effectless cut in the Laplace operator eigenvalue problem

Full Text

1. Введение и формулировка результатов ∂2 Рассмотрим классическую задачу на собственные значения для оператора Лапласа Δ = ∂x21 + + ··· + ∂x∂22d в открытой ограниченной связной области Ω ⊂ Rd, d ∈ N: -Δu(x) = λu(x), x ∈ Ω, с граничным условием Дирихле, Неймана или Робина на кусочно-гладкой границе ∂Ω: u(x) = 0, x ∈ ∂Ω (Дирихле), © А.В. Базлова, О.В. Починка, 2026 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 430 (Нейман), (Робин), ∂ где - производная в направлении нормали, направленной наружу области, а h -положитель- ∂n ная константа. Приложения задачи на собственные значения оператора Лапласа охватывают такие области, как акустика и механика, квантовая механика, теплопроводность, электродинамика, анализ данных и распознавание образов, сжатие и обработка изображений, биология и медицина, нейронауки и др. Из общей теории компактных самосопряженных операторов следует, что спектр задачи дискретен и уходит в бесконечность. В настоящей работе нас интересуют оценки первого собственного значения для ограниченной области Ω ⊂ R2 вида Ω = Ωout \ Ωin, где Ωin и Ωout - открытые множества такие, что Ωin ⊂ Ωout и ∂Ω - гладкая. Именно, для hin,hout ∈ ∈ R∪{+∞} рассматривается следующая задача на собственные значения лапласиана с условиями Робина в области Ω: в Ω, на ∂Ωin, (1.1) на ∂Ωout. Случай hin = 0 или hout = 0 соответствует граничным условием Неймана, а случай hin = {+∞} или hout = {+∞}- граничным условием Дирихле. Нас интересуют оценки первого собственного значения задачи (1.1) при различных соотношениях между параметрами Робина hin и hout. Для удобства изложения мы записываем первое собственное значение двусвязной области Ω двумя надстрочными буквами «R», «N», «D» (Робин, Нейман, Дирихле, соответственно), где первая буква относится к граничным условия, налагаемым на внутренней границе ∂Ωin, а вторая - на внешней ∂Ωout. Если hin = hout, используется одна надстрочная буква. Наиболее законченные результаты исследований в данном направлении относятся к случаю Ω = Ωout \Ωin, где Ωin и Ωout -односвязные области. Для описания оценок в этом случае обозначим через Br открытый диск радиуса r > 0 с центром в начале координат, а обозначение Ar,R используем для концентрического кольца . Также через | · | и | · |1 обозначим соответственно площадь открытого подмножества R2 и длину кривой. В случае hin = 0 и hout ∈ (0,+∞) Пейн и Вайнбергер [8] получили верхнюю границу где R > r таковы, что В случае hin = +∞ и hout = 0 Херш [6] доказал, что , где |Ω|, |∂Ωin|1, |∂Ωout|1 удовлетворяют равенству |∂Ωout|21 - |∂Ωin|21 = 4π|Ω| и R > r таковы, что кольцо Ar,R также удовлетворяет этому равенству. В работе [3] получен следующий результат, охватывающий все возможные значения параметров hin,hout: пусть out 0 и R > r > 0 таковы, что , тогда Рис. 1. Безэффективный разрез, не являющийся окружностью Fig. 1. Effectless cut that is not a circle В случае граничных условий Дирихле доказательство неравенства основано на идее Херша [7] и Вайнбергера [11] о построении безэффективного разреза (effectless cut) - топологического разреза, не меняющего первое собственное значение спектра оператора. Именно, для первой собственной функции u Вайнбергер ввел в рассмотрение такое множество Gin ⊂ Ω, что каждая траектория градиентного потока функции u, начинающаяся в Gin, завершается на Ωin за конечное время. Показано, что множество Gin открыто, а часть его границы γ = ∂Gin ∩ Ω является безэффективным разрезом. В общем случае безэффективный разрез может быть не гладким и не гомеоморфным окружности, что приводит к некорректности постановки задачи на собственные значения в соответствующих подобластях. Так, на рис. 1 изображен фазовый портрет антиградиентного потока некоторой функции u, заданной на кольце Ω. В этом случае безэффективный разрез γ (выделен оранжевым цветом) совпадает с замыканием объединения неустойчивых многообразий седловых точек σ1,σ2 и гомеоморфен объединению окружности и отрезка, пересекающихся по концевой точке отрезка. Однако существует подход [2] получения оценок на первое собственное значение, использующий процедуру, в которой первая собственная функция u аппроксимируется первыми собственными функциями Морса-Смейла задачи с потенциалом -Δun(x) + Vn(x)un(x) = λun(x), x ∈ Ω. В этом случае понятие безэффективного разреза, как и сама постановка задачи, могут быть уточнены и обобщены следующим образом. Пусть • Ω ⊂ R2 - C2-гладкая компактная область, диффеоморфная 2-диску D0 с k-дырами D1,...,Dk ⊂ intD и ∂Di = Si, i ∈ {0,1,... ,k}; • u : Ω → R - функция Морса-Смейла с обратным градиентным векторным полем -∇u, трансверсальным ∂Ω, ориентированным в Ω и не имеющим точек максимума; - поток, порожденный векторным полем -∇u; . Разделяющими разрезами для пары (Ω,u) назовем множества . (1.2) Основным результатом работы является доказательство следующих теорем. Теорема 1.1. В случае k = 1 разделяющий разрез E = E0 = E1 для пары (Ω,u) обладает следующими свойствами: Рис. 2. Разделяющий разрез, гомеоморфный окружности Fig. 2. Separating cut homeomorphic to a circle 1) E - объединение замыканий конечного числа неустойчивых многообразий седловых точек; 2) E гомеоморфно окружности; 3) Ω \ E состоит из двух компонент связности Ω0,Ω1 таких, что . Так, разделяющий разрез E (выделен оранжевым цветом) для потока, изображенного на рис. 1, имеет вид, изображенный на рис. 2. Заметим, что результат теоремы 1.1 не верен в случае k > 1. Так, на рис. 3 (1) изображен поток φt на 2-диске с двумя дырами, для которого разделяющий разрез E1 связен, но не гомеоморфен окружности. При этом множество Ω \ E1 состоит из трех компонент связности и внутренность компоненты связности Ω1 множества Ω \ E1, содержащей окружность S1, гомеоморфна кольцу. Кроме того, разделяющий разрез может быть вовсе несвязным. Так, на рис. 3 (2) изображен поток φt на 2-диске с двумя дырами, для которого разделяющий разрез E1 (выделен оранжевым цветом) гомеоморфен паре окружностей. При этом множество Ω\ E1 состоит из трех компонент связности и внутренность компоненты связности Ω1 множества Ω \ E1, содержащей окружность S1, гомеоморфна диску с двумя дырами. Ниже мы описываем свойства разделяющего разреза в случае k > 1. Теорема 1.2. В случае k > 1 разделяющий разрез Ei, i ∈ {1,... ,k} для пары (Ω,u) обладает следующими свойствами: 1) Ei - объединение замыканий конечного числа неустойчивых многообразий седловых точек; 2) Ei отделяет окружность Si от окружностей S0,...,Si-1,Si+1,...,Sk; 3) внутренность компоненты связности Ωi множества Ω\Ei, содержащей окружность Si, гомеоморфна 2-диску с m дырами, где m ∈ {1,... ,k}. Также теорема 1.1 не допускает обобщение на размерности n > 2. Так, на рис. 4 изображен поток φt на 3-кольце. Двумерные многообразия его седловых точек σ1,σ2 пересекаются вдоль четырех некомпактных гетероклинических кривых (выделены на рисунке фиолетовым цветом). В этом случае разделяющий разрез E, определенный формулой, аналогичной формуле (1.2), является объединением замыканий неустойчивых многообразий седловых точек и гомеоморфен 2-сфере, пережатой вдоль отрезка и, следовательно, не гомеоморфен 2-сфере. 2. Сведение задачи к трехцветным графам Поскольку Ω - это 2-диск с k дырами, то мы полагаем, что Ω ⊂ S2. Поскольку векторное поле -∇u трансверсально ∂Ω, ориентировано в Ω и u не имеет точек максимума, то u может быть продолжена на S2 как функция Морса-Смейла ровно с k + 1 точками максимума α0,α1,...,αk Рис. 3. Разделяющий разрез E1 в случае k = 2: (1) не гомеоморфный окружности, (2) несвязный Fig. 3. Separating cut E1 in the case k = 2: (1) not homeomorphic to a circle, (2) disconnected Рис. 4. Разделяющий разрез, не гомеоморфный 2-сфере Fig. 4. Separating cut not homeomorphic to a 2-sphere такими, что αi принадлежит компоненте связности Bi множества S2 \Ω, ограниченной окружностью Si. Таким образом, везде далее u:S2 → R- такая функция Морса-Смейла, а φt :S2 → S2 - поток, порожденный векторным полем -∇u. Напомним некоторые общие факты о таких потоках (см., например, [4, 10]). Для q ∈ {0,1,2} обозначим через Cq множество критических точек u : S2 → R с индексом Морса q, то есть для потока φt каждая неподвижная точка p ∈ Cq имеет неустойчивое многообразие Wpu топологической размерности q. Пусть. Точки множества C0 называются стоками, множества C2 - источниками, остальные точки из C - седлами. Для седловой точки p ∈ C1 компоненты связности множества Wpu \ p (Wps \ p) называются неустойчивыми (устойчивыми) сепаратрисами. Каждое пересечение является либо пустым, либо трансверсальным. При этом: ; p p . В частности, тогда и только тогда, когда . Положим . (2.1) Тогда каждая компонента связности D множества M, называемая ячейкой, гомеоморфна двумерному диску, при этом ∂D содержит в точности одну стоковую, одну источниковую и одну или две седловые точки (см. рис. 5). Рис. 5. Виды ячеек множества M Fig. 5. Types of cells of the set M В каждой ячейке D выберем траекторию τ потока φt и обозначим через T объединение таких траекторий, взятых по одной в каждой ячейке. Замыкание δ компоненты связности множества M\T называется треугольной областью. В границу каждой треугольной области δ входят три неподвижные точки: источник α, сток ω и седло σ,а также устойчивая сепаратриса lσs с граничными точками α и σ, неустойчивая сепаратриса с граничными точками ω и σ и кривая τ с граничными точками α и ω, называемые s-, u-, t-кривыми, и раскрашенные в синий, красный, зеленый цвета, соответственно (см. рис. 6). Обозначим через Δφt множество треугольных областей потока φt. Fig. 6. Triangular domain δ Далее мы покажем, как по разбиению на треугольные области построить граф, предварительно напомнив необходимые определения. Графом Γ = (V,E) называется совокупность двух множеств - непустого множества V и множества E неупорядоченных пар элементов множества V. При этом множество V называется множеством вершин, множество E - множеством ребер. Если граф содержит ребро e = (v1,v2), v1,v2 ∈ ∈ V, то вершины v1,v2 называют инцидентными ребру e и друг другу. Путем в графе, соединяющим вершины v1,vk, называется последовательность вершин v1,v2,...,vk, в которой каждая пара (vi,vi+1),i ∈ {1,2,... ,k - 1} является ребром, причем все эти ребра различны. Число k - 1 называется длиной пути. Цикл - это путь, у которого v1 = vk. Цикл длины 1 называется петлей. Граф Γ = (V,E) без петель назовем трехцветным, если: 1) множество его ребер представляется в виде объединения трех подмножеств, каждое из которых состоит из ребер одного и того же определенного цвета (синего, красного, зеленого); 2) каждая его вершина инцидентна в точности трем ребрам различных цветов. Таким образом, каждой паре цветов su,tu,ts соответствует однозначное разбиение множества вершин трехцветного графа на попарно не пересекающиеся двуцветные su-, tu-, ts-циклы четной длины. Конечный связный трехцветный граф Γ назовем допустимым (см. рис. 7), если длина любого его su-цикла равна 4. Рис. 7. (1) Допустимый граф Γ, (2) недопустимый граф Γ Fig. 7. (1) Admissible graph Γ, (2) inadmissible graph Γ По потоку φt : S2 → S2 трехцветный граф Γφt = (Vφt,Eφt) строится следующим образом (см. рис. 8): • существует биекция πφt : Δφt → Vφt; • вершины v1 = πφt(δ1),v2 = πφt(δ2) инцидентны s-, t- или u-ребру, если треугольные области δ1,δ2 имеют общую s-, t- или u-кривую, соответственно. Рис. 8. Трехцветный граф Γφt потока φt Fig. 8. The 3-colored graph Γφt of the flow φt Утверждение 2.1 (см. [1]). Для потока φt : S2 → S2 граф Γφt - допустимый трехцветный граф, вложимый в 2-сферу S2 следующими образом: • множество st-циклов взаимно-однозначно соответствует множеству C2, при этом каждому st-циклу a соответствует единственный источник αa такой, что a ограничивает 2-диск, содержащий αa в своей внутренности; • множество ut-циклов взаимно-однозначно соответствует множеству C0, при этом каждому ut-циклу w соответствует единственный сток ωb такой, что b ограничивает 2-диск , содержащий ωb в своей внутренности; • множество su-циклов взаимно-однозначно соответствует множеству C1, при этом каждому su-циклу q соответствует единственное седло σq такое, что q ограничивает 2-диск dq, содержащий σq в своей внутренности. 3. Разделяющий разрез в кольце В настоящем разделе мы докажем теорему 1.1. Доказательство теоремы 1.1. Покажем, что в случае k = 1 разделяющий разрез E = E0 = E1 для пары (Ω,u) обладает следующими свойствами: 1) E - объединение замыканий конечного числа неустойчивых многообразий седловых точек; 2) E гомеоморфно окружности; 3) Ω \ E состоит из двух компонент связности Ω0,Ω1 таких, что =∼ S1 × [0, 1]. Построим допустимый трехцветный граф Γφt для потока φt:S2 → S2. Поскольку поток φt имеет в точности два источника α0 и α1, то, в силу утверждения 2.1, им соответствуют два различных st-цикла, обозначим их a0,a1, соответственно. Так как граф Γφt вкладывается в S2, то циклы a0,a1 ограничивают двумерное кольцо A (см. рис. 9 (1)). Рис. 9. (1) граф Γφt, (2) контур Σ Fig. 9. (1) graph Γφt, (2) contour Σ Заметим, что все вершины графа содержатся в циклах a0,a1, и, поскольку граф связен, то существует как минимум одно u-ребро, соединяющее эти циклы, обозначим его u0. Согласно утверждению 2.1, ребро u0 содержится в единственном su-цикле q1. Поскольку все su-циклы имеют длину 4, то этот цикл содержит единственное u-ребро, отличное от u0, обозначим его u1. Перенумеруем все su-циклы подобного вида q1,...,qn в порядке появления их s-ребер на a0. Также циклически перенумеруем u-ребра u0,...,u2n так, что ребра u2j-2,u2j-1 принадлежат циклу qj. В силу утверждения 2.1 каждый цикл qj ограничивает в кольце A 2-диск dqj, содержащий седло σj и такой, что dqj ∩ Γφt = qj. В свою очередь, ребро u2j-1 входит в единственный ut-цикл bj. Так как все t-ребра принадлежат циклам a0,a1, то в цикл bj входит хотя бы одно u-ребро, соединяющее эти циклы и отличное от ребра u2j-1. Поскольку в одной и той же компоненте связности множества вместе с ребром u2j-1 лежит единственное ребро u2j, то цикл bj содержит в точности два u-ребра u2j-1, u2j, соединяющих циклы a0,a1. В силу утверждения 2.1 каждый цикл bj ограничивает в кольце A 2-диск, содержащий сток ωj. Таким образом, мы построили упорядоченную последовательность циклов q1,b1,...,qn,bn. Поскольку qj ∩bj = u2j-1 и bj ∩qj+1 = u2j (u2n = u0), то множество гомеоморфно окружности (см. рис. 9 (2)). По построению она разделяет края a0,a1 кольца A, а значит, Σ разделяет края S0,S1 кольца Ω. По теореме Жордана-Шенфлиса, множество Ω \ Σ состоит из двух компонент связности, замыкание каждой из которых гомеоморфно S1 ×[0, 1]. Из равенства следует, что . Покажем, что E = Σ, что и завершит доказательство. По определению . Из равенства следует, что E состоит из всех неустойчивых многообразий таких неподвижных точек p потока φt, что . Из определения трехцветного графа потока φt и утверждения 2.1 следует, что и тогда и только тогда, когда двуцветный цикл, соответствующий точке p, содержит u-ребро, соединяющее циклы a0 и a1. По построению двуцветный цикл содержит u-ребро, соединяющее циклы a0 и a1 тогда и только тогда, когда он принадлежит последовательности q1,b1,...,qn,bn. Таким образом, E = Σ. 4. Разделяющий разрез в диске с k > 1 дырами В настоящем разделе мы докажем теорему 1.2. Доказательство теоремы 1.2. Докажем, что разделяющий разрез Ei, i ∈ {1,...,k} для пары (Ω,u) обладает следующими свойствами: 1) Ei - объединение замыканий конечного числа неустойчивых многообразий седловых точек; 2) Ei отделяет окружность Si от окружностей S0,...,Si-1,Si+1,...,Sk; 3) внутренность компоненты связности Ωi множества Ω \ Ei, содержащей окружность Si, гомеоморфна 2-диску с m дырами, где m ∈ {1,... ,k}. Построим допустимый трехцветный граф Γφt для потока φt : S2 → S2. По условию поток φt имеет в точности k + 1 источник α0,α1 ...,αk. Согласно утверждению 2.1 каждому источнику соответствует st-цикл a0,a1 ...ak, соответственно, которые, в силу вложимости графа Γφt в 2сферу, ограничивают там диск с k дырами A. Зафиксируем цикл ai и не уменьшая общности будем считать, что i = 0 (в противном случае перенумеруем источники) и кольцо A выбрано так, что A ⊂ (S2 \B0). Положим. По построению любое u-ребро с обеими граничными точками на цикле a0 делит A на две компоненты связности. Будем называть такое ребро разделяющим, если S имеет непустое пересечение с обеими компонентами связности A \ u, и не разделяющим в противном случае (см. рис. 10). Далее рассмотрим отдельно два случая: 1) граф Γφt не содержит разделяющих ребер, 2) содержит. Рис. 10. u1,u2 - разделяющие, u3,u4 - не разделяющие ребра Fig. 10. u1,u2: separating edges, u3,u4: nonseparating edges В случае 1) в силу связности графа Γφt существует хотя бы одно u-ребро u0, соединяющее цикл a0 с некоторым циклом. Ребро u0 принадлежит некоторому su-циклу q1 длины 4, потому существует еще одно u-ребро u1, соединяющее те же циклы a0 и ai0. Если u0,u1 - единственная пара u-ребер, соединяющих цикл a0 с другими st-циклами, то ребра u0,u1 входят в единственный ut-цикл b1, и мы получили пару циклов q1, b1 с общими u-ребрами. В противном случае перенумеруем все u-ребра, соединяющие цикл a0 с другими st-циклами: u0,u1,...,u2n-2,u2n-1, так (см. рис. 11 (1)), что их точки пересечения x0,x1,...,x2n-2,x2n-1 разбивают цикл a0 на дуги xl,xl+1 (x2n = x0). Тогда каждое u-ребро в паре u2j-2,u2j-1, j ∈ {1,... ,n} соединяет цикл a0 с некоторым циклом aij и принадлежит su-циклу qj длины 4. В свою очередь, ребро u2j-1 входит в единственный ut-цикл bj, при этом bj1 может совпадать с bj2 для. Так как разделяющих ребер нет, то цикл bj содержит u-ребра u2j-1,u2j. Рис. 11. (1) граф Γφt, (2) контур Σ0 Fig. 11. (1) graph Γφt, (2) contour Σ0 Таким образом, мы построили упорядоченную последовательность циклов q1,b1,...,qn,bn, где циклы q1,...,qn попарно различны. В силу утверждения 2.1 каждый цикл qj (bj) ограничивает в кольце A 2-диск, содержащий седло σj (сток ωj). Поскольку qj ∩ bj ⊇ u2j-1 и bj ∩ qj+1 ⊇ u2j (u2n = u0), то множество является замкнутой дугой, с самопересечениями, если bj1 = bj2 для некоторых (см. рис. 11 (2)). Аналогично теореме 1.1 устанавливается, что E0 = Σ0. Покажем, что E0 отделяет окружность S0 от S и внутренность компоненты связности Ω0 множества Ω \ E0, содержащей окружность S0, гомеоморфна 2-диску с 1 дырой. Поскольку каждый цикл qj в последовательности циклов q1,...,qn имеет в точности одно s-ребро sj, принадлежащее циклу a0, то в точности одна устойчивая сепаратриса lj седла σj пересекает sj. Выберем точку yj ∈ (lj ∩ intA). Так как ребра u2j-1,u2j по построению принадлежат одному и тому же циклу bj, то существует дуга γj с граничными точками yj,yj+1, intγj ⊂ (Wωsj ∩ intA), являющаяся секущей к траекториям потока φt (см. рис. 12). Таким образом,- окружность, отделяющая S0 от S, и замыкание компоненты связности Ω˜0 множества Ω\E˜0, содержащей окружность S0, гомеоморфно S1 ×[0, 1]. Положим. Тогда U0 гомеоморфно S1 × [0,1) и по построению не пересекается с границей A. С другой стороны, граничные точки полутраектории -это x,ωj, если x ∈ intγj, и x,σj, если x = yj. Откуда следует, что. Тогда Ω0 = Ω˜0∪U0, что и завершает доказательство в случае 1). В случае 2) обозначим через U множество разделяющих u-ребер. Пусть A˜- компонента связности множества A\U, имеющая непустое пересечение с S. Поскольку ∂A˜ состоит из разделяющих ребер и частей цикла a0, то, в силу связности графа Γφt, существует хотя бы одно u-ребро u0, Рис. 12. Контур E˜0 Fig. 12. Contour E˜0 соединяющее цикл a0 с некоторым циклом. Аналогично пункту 1) в A˜ строится упорядоченная последовательность циклов q1,b1,...,qn,bn (см. рис. 13 (1)), по которой восстанавливаются компоненты связности контуров Σ0 и E˜0 (см. рис. 13 (2)) и доказывается, что подмножество A, ограниченное этими компонентами, гомеоморфно S1 × [0,1). Проведя подобное построение в каждой такой компоненте, мы получим контуры Σ0 и E˜0. Рис. 13. (1) граф Γφt, (2) контуры Σ0 и E˜0 Fig. 13. (1) graph Γφt, (2) contours Σ0 and E˜0 Покажем, что E0 = Σ0. По определению . Из равенства следует, что E0 состоит из всех неустойчивых многообразий таких неподвижных точек p потока φt, что для некоторого i ∈ {1,...,k}. Из определения трехцветного графа потока φt и утверждения 2.1 следует, что описанное условие выполняется тогда и только тогда, когда двуцветный цикл, соответствующий точке p, содержит u-ребро, соединяющее циклы a0 и ai. По построению двуцветный цикл содержит u-ребро, соединяющее циклы a0 и ai, тогда и только тогда, когда он принадлежит последовательностям q1,b1,...,qn,bn. Таким образом, E0 = Σ0. По построению кривые S0,E˜0 являются границей 2-диска с дырами Ω˜i, где число дыр равно числу компонент A.˜ Поскольку каждая такая компонента содержит хотя бы одну компоненту связности множества S, то число дыр m ∈ {1,... ,k}. Кроме того, из рассуждений выше следует, что Ωi =∼ Ω˜i, что и завершает доказательство в случае 2).

About the authors

A. V. Bazlova

HSE University

Email: avbazlova@edu.hse.ru
Nizhny Novgorod

O. V. Pochinka

HSE University

Author for correspondence.
Email: olga-pochinka@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-6587-5305
SPIN-code: 5603-6041
Scopus Author ID: 6507516545
ResearcherId: T-5366-2019
Nizhny Novgorod

References

Supplementary files