Современная математика. Фундаментальные направления

В ряде предшествующих работ было обнаружено, что для двучленных функциональных уравнений вида \[\hspace{-1.5cm} a(x)u(\alpha(x)) - \lambda u(x) = v(x),\quad x \in X,\] где \(\alpha:X \to X\) есть обратимое отображение множества \(X\) в себя, возможна ситуация, типичная для дифференциальных уравнений "— уравнение разрешимо при любой правой части и при этом нет единственности решения. Как и в случае дифференциальных уравнений, возникает вопрос о постановке корректных краевых задач, т. е. о задании дополнительных условий, при которых решение существует и единственно. В работе обсуждается вопрос о том, какого вида дополнительные условия приводят к корректным краевым задачам для рассматриваемых уравнений.

Цель работы - построение многомерных векторных полей, которые представляются автономными системами обыкновенных дифференциальных уравнений и имеют заданные топологические структуры в заданных ограниченных односвязных областях фазового пространства при условии, что эти структуры могут быть заданы топологическими структурами проекций искомых векторных полей на координатные плоскости. Эта задача является обратной задачей качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты работы могут быть использованы для построения математических моделей динамических систем в разных областях науки и техники. В частности, для механических систем с произвольным конечным числом степеней свободы такие векторные поля могут представлять собой кинематические уравнения программных движений и быть использованы для получения управляющих сил и моментов, реализующих эти движения.

Для класса краевых задач с параметром, эллиптических в смысле Аграновича-Вишика, установлено равенство η-инварианта, определяемого в терминах регуляризации Мельроуза, и спектрального η-инварианта типа Атьи-Патоди-Зингера, определяемого при помощи аналитического продолжения спектральной η-функции оператора.

Рассматривается задача построения системы дифференциальных уравнений по заданному набору уравнений связей и приведения к форме уравнений Лагранжа с диссипативными силами, обеспечивающими стабилизацию связей. Диссипативная функция определяется по уравнениям возмущений связей. Для представления дифференциальных уравнений в форме уравнений Лагранжа используются модифицированные условия Гельмгольца. Приводится решение задачи Бертрана об определении центральной силы, под действием которой материальная точка совершает устойчивое движение по коническому сечению.

Исследуется начально-граничная задача для неоднородного гиперболического уравнения второго порядка в полуполосе плоскости с постоянными коэффициентами, содержащего смешанную производную, с нулевым и ненулевым потенциалами. Данное уравнение является уравнением поперечных колебаний движущейся конечной струны. Рассматривается случай закрепленных концов (условия Дирихле). Предполагается, что корни характеристического уравнения простые и лежат на вещественной оси по разные стороны от начала координат. Формулируются доказанные ранее автором теоремы о конечных формулах для обобщённого решения в случае однородной и неоднородной задач. Затем на основе этих формул доказываются теоремы о конечных формулах для классического решения или, по-другому, решения почти всюду. Во второй части статьи формулируются доказанные ранее автором теоремы об обобщённом решении начально-граничной задачи с обычным потенциалом и потенциалом общего вида. В основе этих результатов лежит идея трактовать уравнение с потенциалом, как неоднородность в уравнении без потенциала. Эта идея ранее использовалась А.П. Хромовым и В.В. Корневым в случае уравнения без смешанной производной. И, далее, на основе формул для обобщённого решения задачи с потенциалами доказываются теоремы о соответствующих формулах для классических решений для этих двух видов потенциалов.

Изучается задача о малых движениях системы из несмешивающихся идеальных жидкостей со свободной поверхностью, состоящей из двух областей: участка упругого льда и участка крошеного льда. Упругий лед моделируется упругой пластиной. Под крошеным льдом подразумеваем плавающие на свободной поверхности весомые частицы некоторого вещества. Предполагается также, что граница раздела слоев жидкости является весомой поверхностью. Используя метод ортогонального проектирования граничных условий и введения вспомогательных задач, исходную начально-краевую задачу сводим к равносильной задаче Коши для дифференциального уравнения второго порядка в некотором гильбертовом пространстве. Получены условия, при которых существует сильное по времени решение начально-краевой задачи, описывающей эволюцию данной гидросистемы. Доказаны утверждения о структуре спектра задачи и о базисности системы собственных функций.