Современная математика. Фундаментальные направления

Настоящая работа посвящена исследованию начальной задачи для гиперболического уравнения с неограниченным запаздыванием \( \begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{d^{2}v(t)}{dt^{2}}+A^{2}v(t)=a\left( \dfrac{dv(t-\omega )}{dt} +Av(t-\omega )\right) +f(t), &  t>0, \\ v(t)=\varphi (t), & -\omega \leq t\leq 0 \end{cases} \end{equation*} \) в гильбертовом пространстве H с самосопряжённым положительно определённым оператором A. Представлена разностная схема второго порядка точности для численного решения дифференциальной задачи. Установлена теорема об оценках устойчивости решений этой разностной схемы. На практике доказаны оценки
устойчивости решений четырех задач для гиперболических разностных уравнений с запаздыванием.

Математическое моделирование активно используется для исследования механизмов развития инфекции вирусами иммунодефицита человека первого типа (ВИЧ-1). Современная терапия ВИЧ-1 инфекции состоит в регулярном использовании на протяжении всей жизни нескольких противовирусных препаратов, однако её применение сопряжено с побочными эффектами разной степени выраженности вследствие токсичности, взаимодействия препаратов, формирования резистентности, а также высокой стоимости. Математические модели ВИЧ-1 инфекции и методы оптимального управления могут быть использованы для построения эффективных режимов применения нескольких антиретровирусных препаратов с учетом иммунного статуса пациентов, инфицированных ВИЧ-1. В данной работе выполнена идентификация параметров фармакодинамики препаратов на основе построенной нами ранее стохастической модели процессов, определяющих размножение вирусов в зараженной клетке, и изучена с помощью модели системной динамики ВИЧ-1 инфекции эффективность стандартной терапии для различных режимов течения ВИЧ-1 инфекции. Результаты исследования указывают на необходимость учета различий в отклике организма на терапию по критерию эффективности, что актуализирует задачу подбора индивидуальных схем терапии с помощью методов оптимального управления на основе физиологически обоснованных моделей ВИЧ-1 инфекции.

В данной работе обсуждаются некоторые особенности краевой задачи для системы уравнений в частных производных, описывающей рост насыпи песка в контейнере под действием вертикального источника. В частности, характеризуется долговременное поведение профилей поверхности и приводится достаточное условие на вертикальный источник, гарантирующее сходимость к равновесию за конечное время. На контрпримерах показано, что устойчивая конфигурация может не достигаться за конечное время, вообще говоря, даже если источник не зависит от времени. Наконец, дается полная характеристика равновесных профилей поверхности.

Для гамильтоновых систем на симплектических многообразиях со связями в модели обобщенной гамильтоновой динамики Дирака В.В. Козлов рассмотрел операцию симплектического проектирования гамильтонова векторного поля для случая обобщенных неинтегрируемых дифференциальных связей. В данной работе рассматривается метод регуляризации связей, позволяющий обойти вырождение операции симплектического проектирования в случае нечетного количества связей. Он основан на вложении исходной системы в расширенную систему большей размерности с увеличенным количеством связей.

В настоящей работе получены и проинтегрированы уравнения, описывающие эволюцию инвариантов тензора конформации для модели FENE вязкоупругого полимерного раствора. Найдены явные выражения инвариантов в зависимости от времени вдоль траекторий частиц жидкости. Указанные инварианты представлены в виде функций от функции Ламберта. Проведён анализ качественного поведения инвариантов в различных режимах деформирования.