On the recovery of the solution of the initial-boundary value problem for the singular heat conduction equation

Abstract

We present the results concerning the research of the problem of the best recovery of the solution of the initial-boundary value problem for the heat equation with the Bessel operator in the spatial variable from two approximately known temperature profiles.

Full Text

1. Введение Среди публикаций двух последних десятилетий можно выделить серию работ, связанных с восстановлением функций, их производных, решений начальных, краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных), по неполным и, возможно, неточным данным. Работа [8] посвящена восстановлению функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью. В работе [11] рассматривалась проблема восстановления функции по неточно заданному спектру. Следует отметить, что задача суммирования тригонометрического ряда Фурье с приближенно заданными коэффициентами Фурье рассматривалась в учебнике В.А. Ильина и Э.Г. Позняка [2] (издание 1967 г). В работе [1] рассматривалось восстановление решения волнового уравнения по неточным начальным данным. Работы [13, 18] посвящены восстановлению функций и степеней оператора Лапласа от них по значениям их преобразования Фурье, заданным на компакте с погрешностью. Восстановление температурных профилей по данным измерений рассматривалось в [10, 12, 22]. Систематизированное изложение теории и методов оптимального восстановления можно найти в монографии [14]. Некоторые из установленных в этих работах результатов перенесены в работах [16, 17, 23-25] на ситуации с участием сингулярного оператора Бесселя и Лапласа-Бесселя [3, 4, 7, 19, 21]. Особенности такого типа, которыми обладают операторы типа Бесселя и Лапласа-Бесселя, возникают в моделях математической физики в таких случаях, когда характеристики сред (например, характеристики диффузии или характеристики теплопроводности) имеют вырожденные степенные неоднородности. Кроме того, к таким уравнениям приводят ситуации, когда исследуются изотропные диффузионные процессы с осевой или сферической симметрией. В настоящей работе мы переносим методы и результаты работы [22] на случай сингулярного уравнения теплопроводности с оператором Бесселя. 2. Необходимые сведения о весовых пространствах и j-функциях Бесселя Символом C∞ev([0, 1]) обозначим пространство всех функций из пространства C∞([0, 1]), удовлетворяющих условию гладкости четного продолжения (четности по И.А. Киприянову) Пусть означает замыкание пространства C∞ev([0, 1]) по норме Здесь и далее γ > 0. Пусть Bx,γ - оператор Бесселя, определенный формулой . (2.1) Нормированная j-функция Бесселя порядка ν определяется формулой , где Γ(·) -гамма-функция Эйлера, - функция Бесселя первого рода порядка ν. Потребность в j-функциях Бесселя возникает при решении задачи Штурма-Лиувилля следующего вида (см. [5, 6]) Bx,2ν+1 Φ = -λΦ, x ∈ [0, 1], (2.2) dΦ/dx(0+) = 0, Φ(1-) = 0, (2.3) которая имеет собственные функции, соответствующие собственным значениям , где - последовательность всех положительных нулей функции Бесселя jν(·), а значит, и функции Jν(·), пронумерованных в порядке возрастания. Функции образуют ортогональный базис в. Этот факт находит применение во многих прикладных задачах. Объектом нашего исследования в настоящей статье является начально-краевая задача для сингулярного уравнения теплопроводности , (2.4) где B = Bx,γ - оператор Бесселя, определяемый формулой (2.1), с начальным условием u(x,0) = u0(x), x ∈ (0,1], (2.5) и краевыми условиями , (2.6) (1- ) = 0 0. (2.7) Мы предполагаем, что u0(·) ∈ Lγ2(0,1). С помощью стандартной процедуры метода Фурье разделения переменных мы приходим к задаче Штурма-Лиувилля (2.2)-(2.3), после чего легко получить представление решения задачи (2.4)-(2.7) в виде , (2.8) где (2.9) суть коэффициенты разложения (2.10) в ряд Фурье-Бесселя (см. [5, 6]) функции u0(x). От представлений (2.8), (2.9), (2.10) для дальнейшего удобства перейдем к представлениям 3. Постановка задачи Поставим следующую задачу. Пусть известны функции y1(·),y2(·) ∈ Lγ2(0,1), являющиеся приближенными значениями решения u(·,t) начально-краевой задачи (2.4)-(2.7) в моменты t1, t2, соответственно (), причем , (3.1) где δj > 0, j = 1,2. Требуется каждой такой паре функций поставить в соответствие функцию из , которая в некотором смысле наилучшим образом аппроксимировала бы истинное распределение температуры в промежутке (0,1) в фиксированный момент времени τ ∈ (t1,t2). Следуя [10, 22], любое отображение мы называем методом восстановления (температуры в (0,1) в момент τ согласно этой информации). Значение , где , называется ошибкой этого метода. Значение называется ошибкой оптимального восстановления. Метод m, для которого , называется оптимальным методом восстановления. 4. Вспомогательная экстремальная задача и нижняя оценка ошибки оптимального восстановления Рассмотрим вспомогательную экстремальную задачу (4.1) , (4.2) где u - решение задачи (2.4)-(2.7). Функция, удовлетворяющая условиям (4.2), называется допустимой функцией задачи (4.1)-(4.2). Лемма 4.1. Пусть S означает верхнюю границу с условиями (4.2). Тогда Доказательство. Пусть u(·,τ) - допустимая функция задачи (4.1)-(4.2). Тогда -u(·,τ) - также допустимая функция задачи (4.1)-(4.2). Для всякого метода имеем: . В левой части полученного неравенства мы переходим к верхней границе допустимых функций, а в правой - к нижней границе всех методов. Этот шаг завершает доказательство леммы. Лемма 4.2. Пусть . Зафиксируем ι = ι(δ1,δ2) ∈ N ∪ {0} таким образом, чтобы выполнялось условие δ22/δ12 ∈ Δι. Пусть , (4.3) (4.4) Пусть S означает верхнюю границу с условиями (4.2). Тогда . (4.5) Доказательство. Для доказательства леммы достаточно показать, что существует допустимая функция, норма которой в пространстве равна (или больше) правой части неравенства (4.5). Построим такую функцию. Введем величины b1,ι и b2,ι с помощью формул b1,ι = βδιt121 · βδι22t2/δ-t121 --ββιtιt+12+12--tt11 , δ2 b2,ι = βt11 · ββtιt22--tt11 --βδ2ι2t+12/δ-t121 . ι+1 ι Непосредственной проверкой можно убедиться в справедливости равенств . Рассмотрим в условии (2.5) задачи (2.4)-(2.7) начальную функцию u0(x), определенную условиями (4.6) Функция (4.6) допустима (это следует отметить, поскольку по условию основной задачи Решение задачи (2.4)-(2.7) с начальной функцией (4.6) имеет вид (4.7) Для функции (4.7) имеем: , , а значит, это допустимая функция. При непосредственным вычислением получим: , что и требовалось. 5. Верхняя оценка ошибки оптимального восстановления и основной результат Теперь построим метод оптимального восстановления. Для этого применим схему, предложенную в [12, 14, 15], подправляя ее для наших потребностей. Пусть Будем искать оптимальный метод восстановления в виде . (5.1) Пусть . (5.2) Из условия (3.1) вытекает, что . Отсюда, согласно равенству Парсеваля [4, 6, 7], с учетом (5.2) получим К общему члену полученной суммы применим неравенство Коши-Буняковского: . Отсюда получаем: , где (5.3) Положим , (5.4) Тогда Введем в рассмотрение функцию . Очевидно, что, так что g(ζ) - выпуклая вниз функция. Из равенств следует, что значения являются нулями функции g(ζ), а в силу ее выпуклости при. Из неравенства следует, что при выборе последовательности {cκ} в соответствии с формулами (5.4), с учетом (5.5), из (5.3) мы получим: 1. Отсюда следует, что Таким образом, для метода m мы получили верхнюю оценку его ошибки, которая совпадает с нижней оценкой ошибки оптимального восстановления. Это означает, что m - оптимальный метод. Сформулируем полученный результат в виде теоремы, которая является аналогом [22, теорема 1] и основным результатом настоящей статьи. Теорема 5.1. Для любой пары δ1 > 0, δ2 > 0 выполняется равенство . При этом метод является оптимальным.