Inversion of a polynomial operator with the Maslov-Chebyshev symbol

Full Text

1. Полиномиальная задача Пусть E - банахово пространство и A - линейный, вообще говоря, неограниченный оператор с областью определения D(A) ⊂ E. Для f ∈ E исследуется корректная разрешимость задачи нахождения элемента u ∈ D(AN), N = 1,2,... , удовлетворяющего равенству . (1.1) В соответствии с Ж. Адамаром это означает, что уравнение (1.1) должно быть однозначно разрешимо при любых f ∈ E, оператор A-1 определен на всех f ∈ E и непрерывен, т. е. справедливо неравенство, где константа M не зависит от f. В соответствии с [5] для оператора A определены многочлены , где C- комплексная плоскость. © А.В. Костин, 2024 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 626 Следуя подходу В.П. Маслова, примененного в [9, c. 12] к операции, обозначим множество операторов вида (1.1) через K[A], а через K[x] обозначим множество полиномов над полем комплексных чисел . Пусть. Так же, как и в [9, с. 12], полином Pn(x), отвечающий оператору Pn(A), будем называть символом оператора Pn(A). Рассматривается применение результатов работы [9] к случаю, когда операторный символ Pn(x) является ортогональным многочленом Чебышева 1-го рода, т. е. Pn(x) = Tn(x) = cos(narccosx), x ∈ R, (1.2) а оператор A является генератором полугруппы U(t,A) класса C0 в E. Это значит, что область определения D(A) плотна в E, а область его значений R(A) = E. Резольвентное множество ρ(A) содержит комплексную полуплоскость Reλ > ω. Семейство U(t,A) удовлетворяет соотношениям: 1. U(0,A) = I - тождественный оператор в E, 2., 3. 4. (1.3) . Покажем, что справедлива следующая теорема. Теорема 1.1. Если операторному полиному PN(A) соответствует символ Маслова-Чебышева, то оператор A является генератором полугруппы U(t,A) с оценкой (1.3). При этом оператор AN имеет ограниченный в E оператор A-1 и справедлива оценка . (1.4) При этом решение имеет вид (1.5) αk -корни многочлена Доказательство. Доказательство следует из теоремы корректности [8], согласно которой если корни многочлена PN(x) принадлежат резольвентному множеству оператора A, то задача (1.1) равномерно корректна и для ее решения справедливо представление (1.6) где функция q(x) является решением скалярной задачи (1.7) . (1.8) Здесь δ(x) - дельта-функция Дирака, а q(x) = TN(x). Рассматривая случай с символами Маслова-Чебышева, имеем P0(x) = T0(x) = 1 и P1(x) = T1(x) = x, которые соответствуют операциям A0u = P0(A)u = A0u = u, (1.9) и соответственно A1u = P1(A)u = Au. (1.10) В случае N = 0 и уравнение (1.7) имеет вид Следовательно, Это соответствует обратимости тождественного оператора I = A0. В случае (1.10) N = 1, q(x) является решением задачи dq -dx q(0) = 0. (1.12) = δx, (1.11) То есть, q(x) является функцией Хевисайда, в соответствии с [3, с. 194] и [6, с. 197]. И, таким образом, если f ∈ D(A) и U(x,A) удовлетворяют оценке (1.3) при ω < 0, то так как 2. Полигармоническое уравнение Соболева в пространствах Степанова Применим теорему 1.1 к уравнению , (2.1) где - лапласиан в Rn. Уравнение (2.1) относится к классу полигармонических уравнений Соболева, и исследованию связанных с ними задач посвящена монография [12]. Для формулировки нашего результата воспользуемся следующими фактами. Известно (см., например, [4, §16]), что дифференциальный оператор, заданный дифференциальным выражением и областью определения D(Δ) = Wp2(Rn), (2.2) где Wp2(Rn) - пространство Соболева с нормой , (2.3) при каждом p ∈ (1,∞) задает эллиптический оператор Δp, являющийся генератором полугруппы класса C0 в пространствах Lp(Rn). Также известно (см. [11, с. 316]), что оператор, действующий в C(Rn) (пространстве непрерывных и ограниченных функций u(x) с нормой), c областью определения C2(Rn) с нормой , таким свойством не обладает. В связи с этим теорема об операторе Лапласа в пространствах Lp(Rn) переносится на случай пространств В.В. Степанова Sp(Rn), которые содержат пространства C2(Rn). Показывается, что оператор Δ, определенный во введенных здесь пространствах Соболева- Степанова, является генератором C0-полугруппы Гаусса-Вейерштрасса. 3. Пространства Соболева-Степанова WlSp(Rn) Пусть Kn - единичный куб в Rn с гранями - куб Kn, сдвинутый на вектор a ∈ Rn, a = (a1,...,an), (Tau)(x) = u(x + a). Определение 3.1 (см. [7, c. 99]). Обозначим через Sp(Rn) множество локально интегрируемых на Rn функций u(x), для которых конечна норма . (3.1) Очевидно, что при n = 1 они совпадают с классическими пространствами Степанова Sp(R1) (см. [7], [13, c. 197]). Sp(Rn)-пространства - банаховы. n ⊂ n) как множество функций u ∈ Sp(Rn), Будем рассматривать подпространство Sp(R ) Sp(R для которых справедливо соотношение непрерывности нормы (см. [7, (5.2.1)]). Известно (см. [7, с. 110]), что эти пространства являются банаховыми. Они получаются замыn n функций. канием в классе C(R ) равномерно непрерывных и ограниченных на R Далее, используя нормы с пространствами Wpl(Ω), введем следующее определение. Определение 3.2. Множества локально суммируемых в Rn со степенью функций u(x) вместе со всеми производными до порядка l (l ∈ N) включительно, для которых конечна норма , (3.2) назовем функциональными пространствами Соболева-Степанова и обозначим WlSp(Rn). Таким образом, пространства WlSp(Rn) - линейные и нормированные с нормой (2.3). Лемма 3.1. Пространства WlSp(Rn) банаховы. Доказательство. Для доказательства воспользуемся утверждением, приведенным в [14, с. 103], о том, что если f(σ) - векторнозначная функция, заданная на некотором абстрактном множестве G со значениями в банаховом пространстве E, является сильно измеримой на G и ограничена всюду, за исключением некоторого множества меры нуль, то множество таких функций образует банахово пространство L∞(σ,E) с нормой = vrai supσ∈G . Если непрерывна, то переходит в C(σ,E). В нашем случае, полагаяσ∈G G = Rn, E = Wpl(Kn), получаем доказательство леммы. Теорема 3.1. Если то справедливо вложение WlSp(Rn) ⊂ WmSp(Rn) и выполняется неравенство p p , (3.3) где константа C3 зависит лишь от m,n,l,p. Доказательство. Для доказательства достаточно воспользоваться равенством (2.3) для каждого куба Kn,a , (3.4) а затем, учитывая, что диаметры кубов Kn,a от a не зависят, перейти в (3.4) к sup по a ∈ Rn. Отметим, что из (3.4) при m = 0 из (3.4) следует вложение WlSp(Rn) ⊂ Sp(Rn) и неравенство . (3.5) Однако этот результат можно усилить, так как справедлива Лемма 3.2. Если выполняется неравенство то имеет место вложение WlSp(Rn) ⊂ Sp(Rn). Доказательство. Для доказательства этого факта воспользуемся формулой конечных приращений (см. [2, c. 248]) , (3.6) где Отсюда, пользуясь инвариантностью нормы в Sp(Rn) относительно сдвига Ta функции u(x), из (3.6) получаем неравенство . (3.7) Далее, учитывая, что вложение WlSp(Rn) ⊂ W1Sp(Rn) дает оценку , применяя которую в (3.7), получаем выполнение условия (3.2). Это доказывает лемму. Следующий результат справедлив для класса, состоящего из всех функций, производные m-го порядка которых удовлетворяют условию Гельдера с показателем μ на каждом кубе Kn,t, и для которых конечна норма , (3.8) где . Так же, как и в случае пространств WlSp(Rn), доказывается, что пространства - банаховы с нормой (3.8). 4. Полугруппа Гаусса-Вейерштрасса в пространствах Sp(Rn) Интеграл вида t > 0, x = (x1,...,xn), ξ = (ξ1,...,ξn), s = (s1,...,sn), ds = ds1,...,dsn в теории уравнений с частными производными носит название поверхностного теплового потенциала (см. [1]). В [10] интеграл (4.1) называется потенциалом Гаусса-Вейерштрасса. В [2, c. 325] для n = 1 доказывается, что семейство операторов U(t) является сжимающей полугруппой класса C0 в пространствах - пространствах равномерно непрерывных и ограниченных на (-∞,∞) функций. В [7] этот интеграл называется полугруппой Вейерштрасса. Инвариантность нормы в Sp(Rn) относительно T(a)-переноса позволяет получить оценку . (4.2) В [7] показано, что оператор A, заданный дифференциальным выражением с областью определения является генератором полугруппы Гаусса-Вейерn штрасса в пространствах Sp(R ). 5. Оператор усредненного сдвига в Rn Пусть u(x), x ∈ Rn - функция, определенная в Rn, и вектор h = (h1,...,hn) такой, что hi > 0, (i = 1,...,n). Введем операторы левого и правого сдвига по каждой координате xi: (Ti+(hi)u)(x) = u(x1,...,xi + hi,...,xn), (Ti-(hi)u)(x) = u(x1,...,xi - hi,...,xn), Наряду с ними введем усредняющий оператор по координате xi: . (5.1) Определение 5.1. Оператор Π(n)(h), заданный выражением , (5.2) будем называть оператором усредненного сдвига в Rn. Нетрудно видеть, что все приведенные операторы коммутируют. Далее, пусть (5.3) - оператор, осуществляющий по k координатам левые сдвиги и по (n-k) координатам - правые. Тогда нетрудно видеть, что справедливо представление . (5.4) Например, в случае R1 и R2 операторы усредненного сдвига имеют вид u(x + h) + u(x h) (Π1(h)u)(x) = - , 2 1 (Π2(h)u)(x) = [u(x1 + h1,x2 + h2) + u(x1 - h1,x2 - h2) + 4 + u(x1 - h1,x2 + h2) + u(x1 + h1,x2 - h2)]. Приведем некоторые необходимые нам в дальнейшем свойства оператора усредненного сдвига. Лемма 5.1. Пусть для функций g(x) и f(x) определена свертка (5.5) тогда, если g(ξ) = g(-ξ) -четная функция по каждой координате ξi (i = 1,...,n), то справедливо равенство (5.6) Доказательство. Доказательство следует из инвариантности представления (5.5) относительно смены знака у координаты ξi (i = 1,...,n) под знаком интеграла. Пользуясь этим, запишем соответствующих равенств (5.5), сложив которые, с учетом равенства (5.4) получаем (5.6). Следствие. Для полугруппы Гаусса-Вейерштрасса справедливо представление (5.7) так как в этом случае функция удовлетворяет условиям леммы 5.1. Легко доказывается, что для функции u ∈ W2Sp(Rn) справедливо представление , (5.8) где , функция α(h,x) такова, что α(h,x) ∈ Sp(Rn) при каждом h0 > h > 0 и . 6. Производящий оператор полугруппы Гаусса-Вейерштрасса Здесь мы применим полученные результаты для определения оператора Лапласа в пространn ствах Sp(R ) как производящего оператора Гаусса-Вейерштрасса в этом классе функций. Теорема 6.1. Оператор A, заданный дифференциальным выражением с областью определения D(A) = W2Sp(Rn), является генератором полугруппы Гаусса-Вейерштрасса в пространствах Sp(Rn). Доказательство. Используя равенство (4.1) для ϕ ∈ W2Sp(Rn), оценим Rn Отсюда, применяя обобщенное неравенство Минковского, имеем где Ka -единичный куб, сдвинутый на произвольный вектор a = (a1,...,an). Так как функция |α(ξ,x)| удовлетворяет условиям , то интеграл (6.2) абсолютно сходится и, следовательно, для любого ε > 0 найдется такое N > 0, что выполняется неравенство (6.3) где KN ⊂ Rn - шар радиуса N с центром в нуле. Разбивая интеграл в (6.2) на два: (6.4) и замечая, что свойства функции |α(ξ,x)| позволяют перейти к пределу при t → 0 под знаком интеграла и, следовательно, при достаточно малом t0 и всех x0 < t < t0 сделать его меньше ε, заключаем, с учетом (6.3), что . Отсюда с учетом леммы 5.1 следует равенство для любой функции Учитывая плотность вложения, заключаем, что определенный таким образом оператор Лапласа является производящим оператором в пространстве . 7. Обращение оператора Бесселя символом Маслова-Чебышева в Sp(Rn) Напомним, что так называемое бесселево дробное интегродифференцирование (см. [10, с. 335]) обязано оператору Δn - I = A в связи с удобством исследования операторов (I - A)-1 в пространствах Lp(R). В рамках таких исследований применим теорему 1.1 к обращению оператора PN(Δn - I) в пространствах Sp(Rn). Оператор Δn - I является генератором C0-полугруппы U(t,Δn - I) = e-tU(t,Δn), и для нее справедлива оценка . Отсюда по теореме 1.1 и неравенству (1.4) получаем оценку . В заключение заметим, что если вместо A = Δ-I рассматривать оператор A = Δn-aT, a ∈ R, то оператор A имеет ограниченный в Sp(Rn) обратный оператор A-n1 при любом символе , (7.1) так как в этом случае PN(x) является смещенным многочленом Чебышева [13, с. 81] с корнями αk ∈ (a,b) при любом a = 0. В частности, при a = 0 сюда относится семейство полиномов b при b > 0: , .

About the authors

A. V. Kostin

Voronezh State University; Concern “Sozvezdie”

Author for correspondence.
Email: leshakostin@mail.ru
Voronezh, Russia

References

Supplementary files