Упорядоченные биллиардные игры и топологические свойства биллиардных книжек

Полный текст

1. Введение Топологический подход к интегрируемым гамильтоновым системам, предложенный А.Т. Фоменко, его учениками и соавторами [1, 18, 19, 24], подробнее см. [3], позволил описывать качественные свойства таких систем с двумя степенями свободы в их неособых зонах энергии при помощи классифицирующих комбинаторных инвариантов. Фазовое пространство (M4,ω) системы разбивается на совместные уровни энергии H и независимого с ней первого интеграла F, т. е. возникает структура слоения Лиувилля. Почти все его слои являются лагранжевыми регулярными торами и замыканиями фазовых траекторий системы. Послойный гомеоморфизм двух систем в их неособых зонах энергии (т. е. на трехмерных изоэнергетических поверхностях Q3h : H = h, в точках которых d) означает возможность перевести друг в друга замыкания почти всех траекторий двух систем. Классифицирующим инвариантом такой эквивалентности является инвариант Фоменко- Цишанга (меченая молекула). Ребра этого графа отвечают семействам регулярных торов, а вершины - бифуркациям такого слоения. Если слои слоения компактны, а критические точки отображения (H,F) невырождены, то классификация таких особенностей (называемых 3-атомами) © В.А. Кибкало, Д.А. Туниянц, 2024 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 610 была получена А.Т. Фоменко. Атом A является произведением расслоенного 2-диска (окрестности точки минимума или максимума функции) на окружность. Седловые 3-атомы получаются как произведение двумерной расслоенной базы с морсовскими седлами (окрестности графа с вершинами степени 4, вложенного в ориентируемую 2-поверхность) на окружность, возможно, с факторизацией по группе Z2. Граф-молекулу с атомами-бифуркациями в вершинах требуется дополнительно оснастить числовыми метками r,ε,n, отвечающими за склейку Q3 из 3-атомов по диффеоморфизмам их граничных торов. Топологическое описание, включая бифуркационный анализ и вычисление инвариантов Фоменко-Цишанга, было выполнено для многих известных задач геометрии, механики и математической физики, см., например, [2, 3, 11-13, 25, 30]: для геодезических потоков с линейными и квадратичными по импульсам интегралами, волчков Эйлера и Лагранжа, системы Жуковского, волчка Ковалевской и его аналогов на алгебрах Ли. Важную роль в данном направлении сыграли работы М.П. Харламова, П.Е. Рябова и их коллег. Были обнаружены нетривиальные эквивалентности систем разной природы, например, лиувиллево эквивалентными (и даже непрерывно траекторно эквивалентными при соответствующих значениях параметров систем) оказались геодезический поток на трехосном эллипсоиде и знаменитый волчок Эйлера, т. е. движение тяжелого твердого тела, закрепленного на шарнире в своем центре масс, см. [3]. Эквивалентность двух систем означает, помимо прочего, возможность промоделировать поведение сложной системы при помощи другой, более простой и наглядной. Как оказалось, предложенное В.В. Ведюшкиной [9, 22] обобщение класса интегрируемых биллиардов в плоских областях, ограниченных софокусными квадриками семейства (b - λ)x2 + (a - λ)y2 = (a - λ)(b - λ) (1.1) или концентрическими окружностями, позволяет промоделировать широкий класс слоений интегрируемых систем и их особенностей, т. е. верен ряд положений гипотезы А.Т. Фоменко о биллиардах [20]. Для плоской области Ω ⊂ Oxy, ограниченной гладкой или кусочно-гладкой кривой γ = ∂Ω, системой биллиарда в этой области называют гамильтонову систему с энергией H = |v|2/2 = (vx2 + vy2)/2. Фазовое пространство M4 получается из T∗Ω (отождествим его с множеством пар точка-вектор TΩ, поскольку метрика единичная) после введения эквивалентности пар точка- вектор (x,v) для граничных x ∈ ∂Ω, отвечающей отражению биллиардного шара от границы: . Движение частицы в области является прямолинейным и равномерным. Отражение от граничной кривой γ сохраняет и задается равенством углов падения и отражения. В нашей работе рассматриваются биллиарды в областях, ограниченных одной или двумя гладкими кривыми. Классом биллиардных книжек, введенных В.В. Ведюшкиной [9, 22], называют кусочно-плоские двумерные столы-комплексы X2 с проекцией π : X2 → Oxy. Проекция задает гомеоморфизм каждого листа книжки (двумерной клетки e2i ) на плоскость, что позволяет поднять плоскую метрику с Oxy на объединение листов книжки. При ударе о корешок книжки e1 (гладкую дугу границы листа книжки) частица может перейти с одного листа на другой, если по этому корешку склеено несколько 2-клеток, или стандартно отразиться, если такой лист один. В проекции на плоскость звенья траектории до и после удара либо лежат на одной прямой, либо получаются отражением от кривой γ = π(e1). Если по корешку склеено листов, то правило перехода с листа i на лист σ(i) задается циклической перестановкой σ длины k, приписанной этому корешку и действующей транзитивно на всех инцидентных ему листах. Отметим, что если границы листов кусочно-гладкие, например, дуги софокусных эллипсов и гипербол, то на отвечающие им перестановки требуется наложить условие коммутирования (для непрерывности фазового потока). Пусть все корешки книжки проецируются на эллипсы семейства (1.1) или концентрические окружности. Тогда для любых перестановок на 1-ребрах движение шара по столу (книжке) интегрируемо с тем же интегралом, что и плоский биллиард. В проекции на плоскость фазовая траектория имеет каустику - кривую, которой касаются прямые, содержащие звенья траектории. Для софокусных биллиардов она является квадрикой с параметром λ, равным значению квадратичного по импульсам интеграла Λ с условиями 0 < b < a на паре точка-вектор (x,y,vx,vy) . Для биллиарда в круге или кольце, ограниченном концентрическими окружностями, интеграл равен φ˙ = xy˙ - yx,˙ т. е. является линейным по импульсам. Каждая каустика является окружностью с тем же центром, что и окружности границы. Поверхность Q3h уровня H = h > 0 в M4 биллиардной книжки, согласно результату И.С. Харчевой [26], гомеоморфна замкнутому трехмерному многообразию. Для плоских столов это ранее было показано В.В. Ведюшкиной в [17]. Вычисление топологических инвариантов плоских софокусных биллиардов было выполнено В. Драговичем и М. Раднович в [28] и В.В. Ведюшкиной в [15]. Расширение класса рассматриваемых столов до топологических биллиардов [16] (их столы являются кусочно-плоскими двумерными многообразиями) и биллиардных книжек (клеточных комплексов с перестановками) позволило реализовать широкий класс инвариантов интегрируемых систем и их особенностей. В частности, произвольные боттовские особенности-атомы [9], базы слоения Лиувилля [10] и числовые метки, которыми оснащаются ребра и подграфы-семьи в инвариантах Фоменко-Цишанга [5, 7]. Последние результаты отвечают локальной версии гипотезы А.Т. Фоменко [21] о реализации «элементарных» подграфов графа-инварианта. Также были обнаружены неочевидные эквивалентности биллиардов и систем из геометрии и динамики твердого тела [4, 8, 23]. 1.1. Упорядоченные биллиардные игры. В работе [27] В. Драговичем и М. Раднович были введены упорядоченные биллиардные игры, т. е. системы движения частицы «с памятью», которые задаются двумя упорядоченными наборами: набор из n софокусных эллипсов E1,...,En и сигнатура игры, т. е. набор из n знаков δ1,...,δn : δj ∈ {±1}. Рассмотрев все эллипсы Es как представителей семейства (1.1) при λ = λs для опишем траекторию системы в терминах чисел λs. Траектория биллиардной игры является ломаной ...,Ak-1,Ak,Ak+1,..., вершины которой Ak принадлежат эллипсу Es для s ≡ k (modn),k ∈ Z. Если знак δs = 1, то отражение от эллипса Es в вершине Ak является внутренним, а если δs = -1, то внешним. На рис. 1 приведен пример такой упорядоченной биллиардной игры. Отметим, что для корректности упорядоченной биллиардной игры необходимо и достаточно, чтобы для сигнатуры (δ1,...,δn) было верно: • отсутствует два последовательных элемента δs = δs+1 = -1 (здесь δn+1 = δ1), поскольку два последовательных внешних отражения от эллипса в R2 невозможны; , то эллипс Es лежит внутри эллипсов Es-1 и Es+1 (т. е. λs-1 < λs < b и s+1 s Поскольку при отражении от эллипсов семейства (1.1) и движении вдоль прямой сохраняется значение λ интеграла Λ, то вдоль траекторий упорядоченной биллиардной игры сохраняются энергия и интеграл Λ плоских биллиардов и книжек. Отметим, что при замене софокусных эллипсов, вложенных друг в друга на плоскости, на набор концентрических окружностей, данное свойство сохранится (для линейного интеграла). В работе [29] для произвольной биллиардной игры строится биллиардная книжка, система на которой реализует игру в следующем смысле. Определение 1.1. Интегрируемый биллиард на столе Ω реализует упорядоченную биллиардную игру E1,...,En с сигнатурой δ1,...,δn, если для каждого значения интеграла Λ = λ : биллиард имеет траекторию, лежащую на уровне λ и отвечающую данной игре. Прямая, содержащая произвольное звено траектории, лежащей на уровне , будет пересекать каждый эллипс биллиардной игры. Для круговых биллиардов то же верно для траекторий, каустика которых имеет меньший радиус, чем остальные корешки-окружности игры. Биллиард в эллипсе E1 = {x2/a + y2/b = 1} c параметром λ1 = 0 реализует игру (E1) с сигнатурой δ1 = 1, т. к. для всех на уровне Λ = λ имеется траектория, отражающаяся Рис. 1. Упорядоченная биллиардная игра, заданная наборами (E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7) и (δ1,δ2,δ3,δ4,δ5,δ6,δ7) = (1,-1,1,1,1,-1,1) с совпадающими эллипсами E1 = E5 = E7, E2 = E4 и E3 = E6. В силу δ4 = +1 частица завершает движение по звену A3A4 отражением от эллипса E4 не в первой точке пересечения прямой с эллипсом E4, а во второй: отражение должно быть внутренним, а точка A3 лежит вне него. Fig. 1. An ordered billiard game defined by the sets (E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7) and (δ1,δ1,1) with coinciding ellipses E1 = E5 = E7, E2 = E4 and 3 6 the particle completes its motion along the edge A3A4 with reflection from the ellipse E4 not at the first point of intersection of the line with the ellipse E4, but at the second one: the reflection must be internal, and the point A3 lies outside of it. Рис. 2. Биллиардная книжка, реализующая игру (E1,E2) с сигнатурой (1,1) и инвариант Фоменко-Цишанга биллиарда на ней. Fig. 2. A billiard book implementing the game (E1,E2) with the signature (1,1) and the Fomenko-Zieschang invariant of the billiard on it. от E1 внутренне. Биллиард в кольце между эллипсами E1,E2 c параметрами λ1 < λ2 < b реализует игру (E1,E2) с сигнатурой (1,-1). На уровне интеграла Λ есть траектория, удовлетворяющая игре. Для реализации произвольной биллиардной игры В. Драговичем и М. Раднович были применены [29] динамические системы на кусочно-плоских биллиардных книжках. Нетрудно видеть, что биллиардами из более простого класса (на плоских столах) нельзя реализовать, например, игру (E1,E2) с сигнатурой (1,1), изображенную на рис. 2. В пределах каждого листа L траектория частицы является поднятием траектории биллиарда в плоской области π(L). При трансверсальном ударе о гладкую границу листа L (корешок книжки) частица продолжит движение по листу σk(L), причем если проекции π(L) и π(σk(L)) лежат 1. по одну сторону от проекции граничной кривой π(γ), то для проекции траектории выполнен закон отражения от π(γ); 2. по разные стороны от проекции граничной кривой π(γ), то проекции двух звеньев (до и после отражения) попадают на одну прямую, пересекающую π(γ), т. е. отражение отсутствует. Для реализации произвольной корректной упорядоченной биллиардной игры с эллипсами E1,...,En и сигнатурой δ1,...,δn В. Драгович и М. Раднович алгоритмически построили книжки, склеенные из эллиптических колец и дисков. Далее ограничимся случаем, когда соседние эллипсы в наборе не совпадают:. Тогда построенная книжка имеет n корешков с перестановками σ1,...,σn - гладких кривых, проецирующихся на эти эллипсы E1,...,En. Теорема 1.1 (В. Драгович, М. Раднович). Корректная упорядоченная биллиардная игра c софокусными эллипсами (E1,...,En) и сигнатурой (δ1,...,δn), где (считаем, что E0 = En,En+1 = E1) реализуется книжкой, склеенной из следующих листов для ∀s ∈ {1,...,n}: (A) кольцо As, ограниченное эллипсами Es и Es+1; (D1) диск Ds с границей Es, если знак δs = 1 и эллипс Es лежит между двумя соседними эллипсами Es-1 и Es+1; (D2) пара дисков с границей Es, если знак δs = 1 и эллипс Es лежит внутри обоих соседних эллипсов Es-1 и Es+1. Перестановка σs, соответствующая корешку s = 1,...,n на эллипсе склейки Es, равна 1. (As-1DsAs) в случае (D1); 2. в случае (D2); 3. (As-1As) иначе. В той же работе доказана более общая теорема для класса игр, содержащих среди соседних эллипсов Ei = Ei+1 = ··· = Ei+k-1 равные. Набору соседних равных эллипсов соответствует вклейка некоторого количества дисков, причем во всех возникающих случаях перестановки на корешках имеют тот же вид: кольцо с меньшим номером, набор дисков, кольцо с большим номером. При этом количество вклеиваемых дисков должно быть на k больше, чем в теореме для игр без таких повторов, сформулированной выше. Отметим следующий общий факт: книжка может реализовывать некоторый набор биллиардных игр, не обязательно одну или две. Построенные по алгоритму из работы [29] биллиардные книжки реализуют ровно две игры: после удаления листов-дисков стол оказывается гомеоморфен двумерному тору, склеенному из плоских колец. Переход от траектории, реализующей одну биллиардную игру, к траектории, реализующей другую, происходит при изменении направления движения на противоположное в точке одного из колец Ak. Пусть одна игра отвечает заданным наперед наборам (...Ek ...) и (...δk ...). Введем понятие обратной игры - запишем в обратном порядке последовательность эллипсов, задававших данную упорядоченную биллиардную игру, и запишем в обратном порядке сигнатуру. В общем случае, построенная в [29] биллиардная книжка не является обратимой системой в следующем смысле: проекция на плоскость траектории шара, запущенного в обратном направлении с некоторого листа, не будет задаваться (как биллиадная игра) ни данной, ни обратной игрой. Покажем, что следующая модификация алгоритма путем вклейки дисков позволяет сделать вторую игру, реализуемую книжкой, обратной к первой. Иначе говоря, можно дать более сильное определение реализации упорядоченной биллиардной игры биллиардными книжками: Определение 1.2. Биллиардная книжка, склеенная из эллиптических колец и дисков с корешками, проецирующимися на эллипсы с параметрами λk, реализует упорядоченную биллиардную игру, если произвольная траектория на уровнях интеграла реализуют либо данную игру, либо ей обратную. Теорема 1.2 (Кибкало, Туниянц). Произвольная упорядоченная биллиардная игра реализуется в смысле определения 1.2 алгоритмически задаваемой биллиардной книжкой Ω. Последняя получается из книжки Ω, построенной по алгоритму [29] В. Драговича и М. Раднович для данной игры, путем добавления второго экземпляра диска D˜ki для каждого листа-диска Dki , входящего в Ω и соответствующего изменениям перестановки на корешке, инцидентном листу Dki . Если включающая лист Dki перестановка книжки Ω имеет вид , то перестановка новой книжки Ω будет иметь вид . Рис. 3. Биллиардная игра (E3,E2,E1) c сигнатурой (1,1,1), реализующая ее по алгоритму из [29] книжка и ее модификация путем вклейки дисков D˜ki для каждого диска Dki исходной книжки. Fig. 3. Billiard game (E3,E2,E1) with the signature (1,1,1), the book implementing it according to the algorithm from [29], and its modification by gluing disks D˜ki for each disk Dki of the original book. Доказательство. 1. Рассмотрим на биллиардной книжке из исходного алгоритма В. Драговича и М. Радновичтраекторию, реализующую требуемую игру. Она последовательно проходит по кольцам Ai, а перед переходом с листа Ai на лист Ai+1 по перестановке σi = (Ai,...,Ai+1) проходит по листам Di в имеющемся количестве (в записи перестановки σi они стоят на месте многоточия). В частности, добавление дисков в перестановку σi после кольца Ai+1 не влияет на то, какую игру реализует рассмотренная траектория. 2. Изменим направление на звене траектории, лежащем на кольце Ai+1. В этом случае она перейдет на кольцо Ai, и в конце пути вернется на данный лист Ai+1 с кольца Ai+2. При ударе об общий корешок листов Ai+1 и Ai отражение будет иметь тот же тип (внешнее или внутреннее), а количество дисков позволяет реализовать нужное число последовательных внутренних отражений от повторяемого k раз эллипса. При этом эллипсы игры проходятся в обратном порядке. Теорема доказана. На рис. 3 приведен пример игры и реализующей ее книжки, которая после вклейки дополнительных листов (обозначены штриховыми линиями на рис. 3 справа) согласно теореме 1.2 начинает реализовывать одновременно игру (E3,E2,E1) c сигнатурой (1,1,1) и обратную ей игру вместо реализации исходной игры вместе с игрой (E3,E1) c сигнатурой (-1,1). Теперь укажем, какие корректные биллиардные игры невозможно реализовать (книжкой, склеенной из эллиптических или круговых колец и дисков) при дополнительном условии: траектория проходит хотя бы по одному диску. Иными словами, реализующая такую игру траектория биллиарда (на книжке) может проходить только по ее кольцам. Отметим, что реализуемость без данного условия следует из теоремы 1.1. Утверждение 1.1 (Туниянц). Корректная упорядоченная биллиардная игра не может быть реализована компактной биллиардной книжкой (склеенной из колец и дисков) с условием, что реализующие игру траектории проходят хотя бы по одному диску, тогда и только тогда, когда игра содержит четное количество эллипсов E1,...E2n, а сигнатура знакопеременна: δs = -δs+1 для s = 1,...,2n. Доказательство. Поскольку книжка корректна, а сигнатура знакопеременна, то соседние эллипсы Ei,Ei+1 не могут совпадать. Выберем некоторое звено траектории. Пусть оно проходит по листу-диску Lk книжки. Тогда после удара о границу траектория покидает этот лист (иначе игра имеет вид E1 = E,δ1 = 1). Рис. 4. Возможные варианты движения частицы (в проекции на плоскость)при переходе с листа Lk-1 на гомеоморфный диску и ограниченный эллипсом E лист Lk (а, б) и при переходе с такого листа Lk на лист Lk+1 (в, г). Fig. 4. Possible variants of particle motion (in projection onto a plane) when moving from the sheet Lk-1 to the sheet Lk, which is homeomorphic to a disk and bounded by an ellipse E (а, б) and when moving from such sheet Lk to sheet Lk+1 (в, д). Обозначим листы, по которым проходят предыдущее и следующее звенья траектории, через Lk-1 и Lk+1. Вместе с Lk они имеют общий корешок. На рис. 4 приведены варианты расположения проекции листов Lk-1 и Lk+1 и эллипса E = π(∂Lk). Сплошная стрелка отвечает звену траектории на листе Lk и Lk+1 на рис. 4 (а, б) и на рис. 4 (в, г), соответственно. Для каждого из четырех случаев такое невозможно: или два отражения подряд будут внутренними, или после прохождения по диску отражение должно было бы быть внешним. Покажем, что если книжка склеена только из колец, то сигнатура каждой из реализуемых ею игр знакопеременная. Для удобства рассмотрим уровень Λ = a для софокусного биллиарда и r = 0 для кругового биллиарда: при этом проекция всей траектории лежит на одной прямой. После внешнего отражения должно быть внутреннее: иначе траектория (и книжка) будет неограниченной. После внутреннего отражения имеем внешнее: иначе частица проходила бы через центр семейства каустик, что для колец невозможно. Утверждение доказано. 2. Топология изоэнергетических поверхностей биллиардных книжек и упорядоченных биллиардных игр В данном разделе приведем несколько утверждений о топологии изоэнергетических поверхностей Q3 биллиардных книжек, склеенных из колец и дисков. Согласно результату И.С. Харчевой, для корректной книжки уровень Q3 будет замкнутым топологическим 3-многообразием. Отметим, что в недавней работе В.В. Ведюшкиной [6] были алгоритмически реализованы биллиардными книжками связные суммы произвольного набора линзовых пространств L(pi,qi) и прямых произведений S1 × S2. Корешки склейки и свободные границы таких столов проецируются как на софокусные эллипсы λ < b, так и на гиперболы b < λ < a. Будем говорить о кольцевой биллиардной книжке, если она склеена из плоских областей, гомеоморфных кольцам, причем корешки книжки являются регулярными замкнутыми кривыми без самопересечений, а их проекции π : Ω → R2(x,y) либо совпадают, либо не пересекаются. Тогда на множестве корешков задается порядок: проекция одного из двух корешков находится внутри замкнутого диска, ограниченного проекцией другой. Скажем, что две кольцевые книжки Ω1 и Ω2 эквивалентны, если существует гомеоморфизм f : Ω1 → Ω2 этих книжек, переводящий лист в лист, корешок в корешок с сохранением перестановки на корешке, а также сохраняющий порядок на корешках, описанный выше. Это понятие корректно. Набор корешков произвольной кольцевой книжки (точнее, их проекций на плоскость) можно путем регулярной гомотопии привести к набору концентрических окружностей. Поднятие гомотопии с плоскости на биллиардную книжку (с учетом перестановок) порождает для каждого значения параметра гомотопии биллиардные книжки, эквивалентные исходной. В итоге получается некоторая круговая книжка, эквивалентная исходной. Добавление к кольцевой книжке листов, гомеоморфных дискам и ограниченных корешками кольцевой книжки, не препятствует ее приведению к каноническому виду, т. е. к эквивалентной ей книжке, склеенной из круговых колец и листов-дисков. Последняя имеет S1-симметрию, π-1 ◦α, где α - поворот в плоскости. Определение 2.1. Профилем P(Ω) биллиардной книжки Ω, склеенной из колец и дисков, назовем факторпространство канонического вида Ω по S1-симметрии π-1 ◦α c проекцией на ось Or. Если книжка Ω кольцевая, то она гомеоморфна P(Ω)×S1. Профиль имеет структуру графа: его ребру отвечает лист книжки Ω, а вершине - центр листа-диска или корешок склейки книжки Ω. Пример профиля круговой книжки, склеенной из двух колец и диска, приведен на рис. 5. Рис. 5. Профиль биллиардной книжки, склеенной из двух колец и диска Fig. 5. Profile of a billiard book glued from two rings and a disc Сформулируем условие эквивалентности двух круговых книжек в терминах их профилей. Для каждой точки A профиля определен радиус r окружности с центром в точке O, на которой лежит π-1(A). Две круговые книжки эквивалентны, если имеется гомеоморфизм f между ними, сохраняющий отношение порядка: из r(A) < r(B) следует, что r(f(A)) < r(f(B)). 2.1. Кольцевые книжки. Класс гомеоморфности изоэнергетической поверхности Q3 кольцевой биллиардной книжки определяется цикломатическим числом (первым числом Бетти) ее графа-профиля. Оно равно минимальному количеству ребер, удаление которого превращает граф в дерево. Для связного графа с V вершинами и E ребрами оно равно E - V + 1. Теорема 2.1 (Туниянц). Изоэнергетическая поверхность Q3 кольцевой биллиардной книжки гомеоморфна прямому произведению окружности и сферы с g ручками:ручек , где g -цикломатическое число графа-профиля книжки. Комментарий. Класс гомеоморфности Q3 кольцевой книжки не зависит от выбора циклических перестановок на корешках, т. е. определяется только свойствами комплекса, а не его оснащением перестановками. Следствие. Пусть биллиардная книжка из алгоритма теоремы 1.1 склеена из колец. Тогда ее изоэнергетическое многообразие Q3 гомеоморфно трехмерному тору T3. Доказательство. Для канонического вида кольцевой книжки Ω имеем, что трехмерное ориентируемое многообразие Q3 есть произведение S1 на двумерный прообраз M2 ее профиля (как подмножества конфигурационного пространства) в фазовом Q3. Отсюда имеем, что M2 является двумерным ориентируемым многообразием. 1. Покажем, что прообраз в фазовом Q3 окрестности вершины Vi графа-профиля U(Vi) ⊂ M2 есть сфера S2 с ki вырезанными дисками D2, где ki = degVi. Напомним, что прообраз внутренней точки x ребра в Q3 есть окружность, состоящая из пар «точка x и вектор скорости». Два вектора скорости направлены по касательной к окружности-каустике в данной точке x (по и против часовой стрелки). Такие пары точка-вектор разбивают прообраз ребра в Q3 (т. е. цилиндр) на два прямоугольника. Прообраз вершины Vi графа-профиля степени ki = degVi есть пара точек A1 и A2 (вектор скорости касается корешка склейки) и ki соединяющих их дуг. К каждой дуге приклеено ровно два из 2ki прямоугольников, на которые разбиваются ki цилиндров, склеиваемых в прообразе вершины. Окрестности точек A1,A2 в многообразии Mi2 гомеоморфны дискам. Тем самым Mi2 разбито на 2 + 2ki вершин, 2ki граней, гомеоморфных дискам, и 5ki ребер. 2ki ребер лежат (вместе с 2ki вершинами) в прообразе ∂U(Vi), другие 2ki разбивают цилиндры (прообразы ребер, инцидентных Vi) на пары прямоугольников, а ki ребер отвечают дугам между точками A1,A2 в прообразе вершины Vi. Эйлерова характеристика χi = 2+2ki -5ki +2ki = 2-ki, т. е. из ориентируемости Mi2 это сфера S2 без ki дисков. 2. Цикломатическое число графа-профиля равно - число ребер в графепрофиле, V - число вершин в нем. Поскольку то эйлерова характеристика замкнутой χ(M2) как склейки V сфер с дырками равна Отсюда M2 =∼ S2 + (g ручек), т. е. Q3 =∼ (S2 + g ручек) × S1. Теорема доказана. Из доказанной теоремы следует, что при следующих преобразованиях круговой кольцевой книжки топологический тип ее изоэнергетической поверхности Q3 не меняется. Книжка остается круговой кольцевой книжкой, но граф-профиль, количество корешков и листов может меняться. Выберем корешок γ0 радиуса r0 книжки, по которому склеено n > 3 листов c перестановкой σ0 = (L1,...Ln). Для листа L1 и листа L2 = σ0(L1) изменим радиус колец L1,L2 с r0 на r1, вклеим кольцо A0 с радиусами r0,r1 и зададим перестановки σ = (A0,L3,...,Ln) и σ1 = (A0L1L2) на корешках радиусов r0 и r1. При этом траектория шара, пришедшая в окрестность замыкания нового листа A0 по листу Li, покидает ее по тому же листу Li+1 = σ0(Li), что до преобразования. Такими преобразованиями произвольную кольцевую книжку с цикломатическим числом g можно преобразовать к книжке, изображенной на рис. 6 (в). Она склеена из 2g колец так, что все кольца имеют общий корешок, а по оставшимся корешкам склеены по парам. Многообразие Q3 такой книжки гомеоморфно произведению сферы S2 с g ручками на окружность S1. Это можно проверить и явно: прообраз окрестности вершины есть сфера с 2g дырками, а прообраз пары колец отвечает ручке. 2.2. Круговые биллиардные книжки, содержащие диски. Если книжка содержит диск, то класс гомеоморфности ее изоэнергетической поверхности Q3 устроен сложнее. Для его изучения оказывается полезным использовать слоение Лиувилля соответствующего кругового биллиарда. В качестве интеграла F, независимого с H, выберем не радиус окружности-каустики, а ориентированный угол, отсчитываемый от вектора скорости траектории к направляющему вектору каустики (направленной по часовой стрелке). Тогда интеграл F меняется от 0 до π, и его уровень π/2 отвечает случаю, когда траектория проходит через центр диска. В.А. Кибкало совместно с В.Н. Завьяловым недавно был получен следующий результат, который мы приведем с коротким обоснованием. Утверждение 2.1. Класс гомеоморфности Q3 связной биллиардной книжки, разные корешки которой не имеют общих точек, не зависит от того, к каким именно корешкам книжки приклеены листы-диски. Рис. 6. Граф-профиль книжки (а) и прообраз окрестности вершины (б) до преобразования (снизу) и после него (сверху). Вид, к которому таким преобразованием приводится произвольная круговая книжка. Fig. 6. The profile graph of a book (а) and the preimage of the neighborhood of a vertex (б) before the transformation (bottom) and after it (top). The form to which such a transformation reduces an arbitrary circular book. Доказательство. Вычислим инвариант Фоменко-Цишанга кругового биллиарда с выбранным графом-профилем. Этот биллиард интегрируем с интегралом F : f ∈ [,π]. Данный граф, напомним, является базой слоения Лиувилля на изоэнергетической Q3. Его вершины отвечают бифуркациям слоения, а ребра - семействам регулярных торов. Висячие вершины графа отвечают минимальным и максимальным атомам A, т. е. полноториям, расслоенным на торы и их общую ось (особую окружность системы). Остальные вершины отвечают седловым 3-атомам. Состоящий из них подграф связен, а в его прообразе имеем многообразие Зейферта со слоем-окружностью, не стягиваемой во всем Q3. Особые окружности седловых 3-атомов также отвечают корешкам склейки с учетом направления обхода. Инвариант Фоменко-Цишанга симметричен относительно уровня интеграла F = π/2, т. е. имеет вид W = W для некоторого подграфа W. Две компоненты (выше и ниже уровня F = π/2) соединяются некоторым количеством ребер, середина которых отвечает уровню F = π/2, траектории на котором проходят через центр стола. Уровни выше и ниже него отвечают движению шара, происходящему по или против часовой стрелки вокруг цента стола. Числовые метки равны r = ∞ на ребрах между седловыми атомами и равны r = 0 между атомом A и седловым атомом. При этом седловые атомы не имеют вершин-звездочек, т. е. многообразие Зейферта имеет вид прямого произведения расслоенной 2-базы M2 с морсовскими седловыми точками на окружность. Вклад в целочисленную метку n дают те ребра, которые соединяют два подграфа W и регулярные торы которых проецируются, в том числе, на диски. При этом вклад каждого ребра определяется количеством вклеенных дисков, т. е. числом раз, при которых цикл касается каустики при прохождении по этому диску при значении f, близком к π/2. Далее вклады каждого ребра складываются, т. е. имеет значение лишь количество дисков. Утверждение доказано. 3. Топология слоений Лиувилля конкретных биллиардных книжек В работе [29] были подсчитаны инварианты Фоменко (молекулы без меток) нескольких серий биллиардных книжек, реализующих определенные биллиардные игры. Вопрос вычисления для них более тонких топологических инвариантов Фоменко-Цишанга (молекул, к которым добавлены числовые метки) является открытой проблемой. При наличии на листах стола фокусов Рис. 7. Биллиардная книжка, склеенная из двух колец и m дисков, (а). Инвариант Фоменко-Цишанга биллиардной системы на ней при (б) m = 2k +1 и (в) m = 2k. Fig. 7. A billiard book glued together from two rings and m disks, (а). The Fomenko- Zieschang invariant of the billiard system on it for (б) m = 2k +1 and (в) m = 2k. квадрик семейства (1.1), т. е. при наличии у книжки листов-дисков, нахождение как типов атомов, так и числовых меток r,ε,n становится весьма нетривиальной задачей. Приведем далее ряд результатов о таких книжках, полученных недавно К.Е. Тюриной [14]. Пусть книжка склеена из кольца 1 с граничными эллипсами E1,E2 и двух равных эллиптических дисков 2 и 3 по общему граничному эллипсу E2. В этом случае инвариант Фоменко-Цишанга не будет отличаться от вычисленного в [16] инварианта топологического биллиарда, склеенного из двух эллиптических дисков. Он содержит один седловой 3-атом C2 с меткой n = 2 на нем. Метки на четырех ребрах имеют вид Если корешок E2 является меньшим граничным эллипсом кольца, то как отмечено в [29], такая книжка реализует игру (E1,E2) с сигнатурой (1,1). Рассмотрим игру (E1,E2,E2,...,E2) c m отражениями от меньшего эллипса E2 подряд и сигнатурой (1,...,1). Склеим книжку Ω2,m из двух колец 1,2 и m эллиптических дисков 3,... ,m+2 по меньшему эллипсу E2 с перестановкой σ2 = (1234... m + 2) и по большему эллипсу E1 с перестановкой σ1 = (12). Она изображена на рис. 6 (а). Параметры эллипсов обозначим λ1,λ2. Движение шара по такой книжке реализует описанную выше игру и игру (E1,E2) с сигнатурой (1,-1). Молекула без меток для частного случая m = 2 была найдена в [29, пример 3.1]. Она изображена на рис. 2. Отметим также, что топология слоения Лиувилля биллиардной книжки, склеенной из m эллипсов, была вычислена ранее В.В. Ведюшкиной. Утверждение 3.1 (Тюрина). Инвариант Фоменко-Цишанга книжки Ω2,m при m = 2k и m = 2k+1 имеет вид, изображенный на рис. 7 (б) и рис. 7 (в), соответственно. Метка r равна 1/2 на штрихованных ребрах и нулю на сплошных ребрах. Все метки ε равны 1. За исключением уровня λ = b (отвечающего «верхней» паре атомов B или C2 на рис. 7), количество регулярных торов или тип 3-атома нетрудно определить. На уровне λ = b одна пара торов Лиувилля, отвечающих игре (E1,E2) с сигнатурой (1,-1) и проецирующихся на кольцо между эллипсами E1,E2), перестраивается через две критические окружности через атом C2. Для изображенных инвариантов это «правый» из двух «верхних» седловых атомов. Два других тора в пределе λ → b-0 пересекутся либо по одной (при нечетном m) или по двум (при четном m) окружностям. Атом не имеет звездочек и имеет симметрии, т. е. это либо атом B, либо атом C2. Для вычисления меток на граничных торах 3-атомов строится пара циклов (λ,μ), которые образуют на торе базис в его группе π1. Цикл λ при этом гомологичен в седловом 3-атоме (как 3-многообразии с границей) особым окружностям этого 3-атома и имеет то же направление, а набор циклов μ на всех граничных торах 3-атома должен продолжаться внутрь атома до его сечения (слой которого есть λ цикл). Ребру молекулы отвечает матрица перехода между базисами, идущими с двух соединяемых им атомов. Ее определитель равен -1, что задает направления оставшихся циклов. Сформулируем ответ о циклах в терминах матриц склейки: на нижних ребрах имеем . Аналогично имеем для верхних ребер между атомами A и C2, а также между «нижними» 3-атомами B и «верхними» атомами C2, отвечающими торам, проекция которых принадлежит кольцу между эллипсами с параметрами λ1 и λ2. В случае нечетного m = 2k + 1 имеем на верхних ребрах между 3-атомом A и седловым 3-атомом B, отвечающим перестройке через фокусы, матрицу . На ребрах между двумя «верхним» и «нижним» атомами B матрица равна , где (λ+B,μ+B) - базис верхнего 3-атома B, лежащего на уровне λ = b. 4. Открытые вопросы В настоящем разделе сформулируем несколько открытых вопросов об интегрируемых биллиардных книжках. Ответы на них, как нам представляется, позволят получить более глубокую информацию о связи двух недавно открытых обобщений классических плоских биллиардов. 1. Можно ли для произвольной упорядоченной биллиардной игры построить биллиарднуюкнижку, реализующую данную игру и только ее? 2. Какой класс инвариантов Фоменко (Фоменко-Цишанга) интегрируемых систем реализуетсябиллиардными книжками, реализующими данную упорядоченную биллиардную игру? 3. Можно ли подходящей связной биллиардной книжкой реализовать наперед заданный наборупорядоченных биллиардных игр и только их? 4. Чему равна сложность реализации биллиардной игры в классе книжек, т. е. минимальноеколичество листов у книжки, реализующей эту игру? Как связана сложность с количеством листов книжки, реализующей игру по алгоритму В. Драговича и М. Раднович?

Об авторах

В. А. Кибкало

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова; Московский центр фундаментальной и прикладной математики

Автор, ответственный за переписку.
Email: slava.kibkalo@gmail.com
Москва, Россия

Д. А. Туниянц

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова; Московский центр фундаментальной и прикладной математики

Email: 2001dat@inbox.ru
Москва, Россия

Список литературы

Дополнительные файлы