Linear inverse problems for integro-differential equations in Banach spaces with a bounded operator

Full Text

Введение Дробное интегро-дифференциальное исчисление играет заметную роль в современном анализе в силу своей содержательности для теоретических исследований и важности для задач математического моделирования [2, 4, 5, 15]. В последние десятилетия появились работы, в которых рассматриваются не классические дробные производные, а близкие к ним по форме интегродифференциальные операторы [16, 21-23], представляющие собой композицию оператора свертки и оператора дифференцирования целочисленного порядка (сначала свертка, а потом дифференцирование - операторы типа Римана-Лиувилля, в обратном порядке - операторы типа Герасимова). Часто при этом такие интегро-дифференциальные операторы также называют дробными дифференциальными операторами, несмотря на отсутствие у них многих свойств дробных производных [8, 9]. В связи с этим естественным шагом представляется переход к исследованию уравнений с интегро-дифференциальными операторами с абстрактным ядром оператора свертки, поскольку полученные для них результаты будут включать в себя в качестве частных случаев результаты для конкретных интегро-дифференциальных операторов, упомянутых выше. Авторами данной работы ранее исследованы вопросы разрешимости задачи Коши для линейного неоднородного уравнения с абстрактным интегро-дифференциальным оператором типа Герасимова и с ограниченным оператором при искомой функции [10], задачи типа Коши для линейного неоднородного уравнения с интегро-дифференциальным оператором типа Римана-Лиувилля в случаях ограниченного [10] и секториального [6] операторов при искомой функции. В данной работе исследуется корректность линейных обратных задач для уравнений с абстрактным интегродифференциальным оператором типа Римана-Лиувилля в случаях ограниченного оператора при искомой функции. Наиболее близкими к таким исследованиям можно считать работы, посвященные линейным обратным задачам для уравнений с различными дробными производными [7, 11-14, 17-20]. В первом разделе настоящей работы приведены и доказаны некоторые предварительные сведения о задаче типа Коши для линейного интегро-дифференциального уравнения в банаховом пространстве. Во втором разделе исследована линейная обратная задача с постоянным неизвестным параметром в уравнении. Третий раздел посвящен исследованию корректности линейной обратной задачи с переменным неизвестным параметром в рассматриваемом интегродифференциальном уравнении в банаховом пространстве. Наконец, в последнем разделе абстрактные результаты проиллюстрированы на примере одной обратной задачи для уравнения в частных производных. 1. Задача типа Коши для интегро-дифференциального уравнения Пусть Z - банахово пространство, L(Z) - банахова алгебра всех линейных ограниченных операторов на Z, ρ(A) - резольвентное множество оператора A, σ(A) = C \ ρ(A) - его спектр, R+ = {a ∈ R : a > 0}, K ∈ L1,loc(R+;L(Z)). Определим оператор свертки и интегро-дифференциальный оператор типа Римана-Лиувилля где Dm - производная целого порядка m ∈ N. tm-α-1 Замечание 1.1. При K(t) = I интегро-дифференциальный оператор типа Римана- Γ(m - α) Лиувилля является производной Римана-Лиувилля Dα порядка α ∈ (m - 1,m], m ∈ N. При A ∈ L(Z), f ∈ C((0,T];Z) рассмотрим задачу типа Коши (Dk,Kz)(0) = zk ∈ Z, k = 0,1,... ,m - 1, (1.1) для уравнения (Dm,Kz)(t) = Az(t) + f(t), t ∈ (0,T]. (1.2) Решением задачи (1.1), (1.2) называется такая функция z ∈ L1(0,T;Z) ∩ C((0,T];Z), что JKz ∈ Cm-1([0,T];Z) ∩ Cm((0,T];Z), выполняются условия (1.1) и равенство (1.2). Для функции h : R+ → Z обозначим преобразование Лапласа через h. Сформулируем следующее условие. K R > существует однозначная аналитическая функция K : ΩR0 := - преобразование Лапласа для. и выполняется условие ∃χ ∈ (- |χ. Замечание 1.2. Из того факта, что χ > -1 в условии (K), следует наличие особенности в нуле типа t-χ-1 у функции K ∈ L1,loc(R+;L(Z)); случайневозможен, так как при этом особенность в нуле была бы неинтегрируемой. Интегро-дифференциальные операторы, называемые производной Капуто-Фабрицио [9], Атанганы-Балеану [8], содержат непрерывное в нуле ядро свертки K (экспонента и функция Миттаг-Леффлера, соответственно), не удовлетворяющее условию , и уравнения с такими операторами в рассматриваемый в данной работе класс не входят. Теорема 1.1. Пусть m ∈ N, K удовлетворяет условию 1. Тогда существует единственное решение зада- (1.3) где , ϕγ ∈=(γ-Rπ,π∪ γ)R,}, γ+ R,∪±γR,:=- {-положительно ориентированный контур, состоящий изre±iπ : r ∈ [R,∞)}, R > R0 достаточно большое. γR := {Reiϕ : Доказательство. Основная часть доказательства может быть найдена в [10]. Здесь докажем лишь единственность решения. Пусть существует решение y задачи для уравнения (Dm,Ky)(t) = Ay(t)., поэтому JKy = JmAy + z0 или z0 = K ∗ y - gm ∗ Ay, где В частности, решением такой задачи является функция Z0(t)z0, следовательно, z0 = (K ∗ Z0 - gm ∗ AZ0)z0 или K ∗ Z0 - gm ∗ AZ0 = I - тождественный оператор. Имеем 1∗y = 1∗(K ∗Z0 -gm ∗AZ0)y = (K ∗Z0 -gm ∗AZ0)∗y = Z0 ∗(K -gmA)∗y = Z0 ∗z0 = 1∗Z0z0. Дифференцированием получаем равенство. Пусть теперь y -произвольное решение задачи (Dk,Ky)(0) = zk, k = 0,1,... ,m - 1, для уравнения (Dm,Ky)(t) = Ay(t), тогда является решением задачи (D0,Ky)(0) = z0, (Dk,Ky)(0) = 0, k = 1,2,... ,m - 1, для этого уравнения. По доказанному Z0(t)z0, что означает единственность решения задачи (Dk,Ky)(0) = zk, k = 0,1,... ,m-1, для однородного уравнения (Dm,Ky)(t) = Ay(t). Отсюда следует единственность решения задачи (1.1) для неоднородного уравнения (1.2). Замечание 1.3. В [10] при доказательстве теоремы 1.1 предполагалась непрерывность на R+ оператор-функции K, однако нетрудно заметить, что доказательство справедливо и для K ∈ L1,loc(R+;L(Z)). Замечание 1.4. В работе [10] при доказательстве теоремы 1.1 были показано, что существует такое C > 0, что при всех. При β ∈ R определим пространство Cβ((0,T];Z) := {z ∈ C((0,T];Z) : tβz(t) ограничена на (0,T]} с нормой . Понятно, что при β < 1 Cβ((0,T];Z) ⊂ C((0,T];Z) ∩ L1(0,T;Z). Лемма 1.1. Cβ((0,T];Z) -банахово пространство. Доказательство. Пусть последовательность {zn} фундаментальна в Cβ((0,T];Z), тогда для любого ε ∈ (0,T) последовательность {tβzn(t)} фундаментальна в C([ε,T];Z), а значит, имеет предел x ∈ C([ε,T];Z). Поэтому x ∈ C((0,T];Z), при этом функция x ограничена на (0,T] как предел в sup-норме последовательности ограниченных функций. Следовательно, z(t) := t-βx(t) ∈ Cβ((0,T];Z), . Следствие 1.1. Пусть m ∈ N, K удовлетворяет условию, . Тогда для решения z задачи (1.1), (1.2) выполняется включение , где C не зависит от Доказательство. В силу замечания 1.4 для любого t ∈ (0,T] . Отсюда получаем требуемое. 2. Линейная обратная задача c постоянным неизвестным параметром Рассмотрим задачу , (2.1) (2.2) (2.3) гдеBV ([0Z,T- банахово пространство,];C), т. е. μ- функция ограниченной вариации на отрезкеA ∈ L(Z), g ∈ C-χ((0,T];Z), B[0,T∈ ]C. Множитель-χ((0,T];L(Ut-;χZисполь-)), μ ∈ зуется в условии переопределения (2.3) для сходимости соответствующего интеграла Римана- Стилтьеса с учетом следствия 1.1. Неизвестными в задаче являются функция z и параметр u ∈ U, где U - банахово пространство. Такая задача является обратной задачей или задачей идентификации. Решением задачи (2.1)-(2.3) называется такая пара (z,u), что z ∈ L1(0,T;Z) ∩ C((0,T];Z), JKz ∈ Cm-1([0,T];Z) ∩ Cm((0,T];Z), выполняются условия (2.2), (2.3) и равенство (2.1) при соответствующем u ∈ U. Задачу (2.1)-(2.3) будем называть корректной, если для любых z0,z1,...,zm-1,zT ∈ Z, g ∈ C-χ((0,T];Z) она имеет единственное решение (z,u) и при этом , (2.4) где константа C не зависит от z0,z1,...,zm-1,zT ,g. Замечание 2.1. Понятно, что из неравенства (2.4) и следствия 1.1 вытекает, что . Обозначим оператор . Здесь сходимость интегралов понимается по операторной норме. B ∈Теорема 2.1.C-χ((0,T];L(ПустьU;Z)), zmk ∈ Z∈ N, k, K= 0удовлетворяет условию,1,... ,m-1, zT ∈ Z, μ ∈ BV ([0,T];C). Тогда задача (2.1)-, (2.3) корректна в том и только в том случае, когда оператор Θ непрерывно обратим. В случае корректности решение имеет вид , Доказательство. Подставим решение (1.3) задачи (2.1), (2.2) в соотношение (2.3) и получим равенство , из которого следует, что корректность задачи эквивалентна непрерывной обратимости оператора Θ ∈ L(U;Z). Отсюда же следует вид решения, а из него в силу замечания 1.4 - неравенство (2.4). В частности, , где - вариация функции μ на отрезке [0,T]. Для b ∈ C((0,T];C) ∩ L1(0,T;C) определим функцию . Теорема 2.2. Пусть m ∈ N, K удовлетворяет условию , при этом K(t) = κ(t)I для почти всех t ∈ R+, где κ ∈ L1,loc(R+;C); A ∈ L(Z), g ∈ C-χ((0,T];Z), U = Z, B = b ∈ C-χ((0,T];C), zk ∈ Z, k = 0,1,... ,m -1, zT ∈ Z, μ ∈ BV ([0,T];C). Тогда задача (2.1)-(2.3) корректна в том и только в том случае, когда для всех ν ∈ σ(A). В случае корректности решение имеет вид , Доказательство. Обозначим Bρ := {λ ∈ C : |λ| < ρ}. Без ограничения общности можно считать, что в условии , тогда. В силу условия при 0 λ ∈ γ, где γ - контур из теоремы 1.1, и ν ∈ BcRχ0+m/2 имеем . Поэтому функция , а значит, и функция θ(ν), аналитична в круге, содержащем спектр σ(A) оператора A. В таком случае определена функция от оператора θ(A) и по теореме о спектральном отображении для ограниченных операторов [1, теорема 11, c. 609] имеем σ(θ(A)) = θ(σ(A)). Поэтому непрерывная обратимость оператора θ(A), т. е. соотношение 0 ∈/ σ(θ(A)) в точности означает, что для всех ν ∈ σ(A). Как и при доказательстве предыдущей теоремы, нетрудно показать, что задача (2.1)-(2.3) корректна в том и только в том случае, когда непрерывно обратим оператор θ(A) ∈ L(Z). 3. Линейная обратная задача c переменным неизвестным параметром Рассмотрим еще одну линейную обратную задачу (Dm,Kz)(t) = Az(t) + B(t)u(t) + g(t), t ∈ (0,T], (Dk,Kz)(0) = zk ∈ Z, k = 0,1,... ,m - 1, (3.1) (3.2) Φz(t) = Ψ(t). (3.3) Здесь Z,U - банаховы пространства, A ∈ L(Z), g ∈ C-χ((0,T];Z), B ∈ C([0,T];L(U;Z)), Φ ∈ . Неизвестными в задаче являются функции z ∈ C-χ((0,T];Z) и u ∈ Задача (3.1)-(3.3) может иметь, например, смысл поиска функции состояния системы z и такой функции управления u, чтобы z удовлетворяла дополнительному условию (3.3). Такие задачи иногда называют задачами прогноза-управления [3]. Решением задачи (3.1)-(3.3) называется такая пара (z,u), что z ∈ L1(0,T;Z) ∩ C((0,T];Z), JKz ∈ Cm-1([0,T];Z) ∩ Cm((0,T];Z), выполняются условия (3.2), (3.3) и равенство (3.1) при соответствующем. Определим множество ΔT := {(t,s) ∈ R2 : t ∈ [0,T], s ∈ [0,t]}. Лемма 3.1. Пусть. Тогда уравнение имеет единственное решение u ∈ Cβ((0,T];U), при этом , где константа C = C(M) не зависит от h. Доказательство. Рассмотрим оператор F : Cβ((0,T];U) → Cβ((0,T];U), действующий как . Заметим, что при всех t ∈ (0,T] , поэтому, действительно, Fu ∈ Cβ((0,T];U) для любого u ∈ Cβ((0,T];U). Пусть имеем , если взять . Здесь B(x,y) - бета-функция Эйлера. По теореме о сжимающем отображении существует единственная неподвижная точка u0 отображения F в полном метрическом пространстве Cβ((0,T1];U). Заметим, что существует такое c > 1, что cβ(c-1)1-β = (1-β)B(1-β,1-β) > 0. Действительно, функция f(c) := cβ(c - 1)1-β непрерывна по c при c > 1, при этом f(1) = 0, lim f(c) = +∞. c→+∞ Если T1 < T, возьмем T2 = cT1 ∈ (T1,T] при таком c > 1 и рассмотрим оператор F в полном метрическом пространстве Cβ,T1((0,T2];U) := {u ∈ Cβ((0,T2];U) : u(t) = u0(t), t ∈ [0,T1]} с метрикой, тогда в силу выбора T1 и c. Поэтому существует единственная неподвижная точка u0 отображения F в Cβ((0,T2];U). Если T2 < T, возьмем T3 = c2T1 и повторим рассуждения. Поскольку c > 1, то lim cnT1 = ∞, и за конечное число шагов мы исчерпаем отрезок [0,T]. n→∞ L(tТеорема 3.1.)Φ для некоторогоПустьL m∈(t∈L))1-N(01, K,T∈;CLудовлетворяет условию-([0((3.3)U)),T,]имеет единственное решение;при всехL(U)), Ψt,D∈m,L[0,TΨ (]∈Kпри почти всехсуществует обратный оператор)C, A-χ((0∈ L,T((]Zz,u;U), g)), Dt∈∈∈Ck,L(0C-χ-Ψ(0) = Φ,T((0χ((0) Φ,T,TK];](Z;tZ) =)z×k),, (ΦB(t))-1, при этом (ΦB k = 0,1,... ,m-1. Тогда задача (3.1) C-χ((0,T];U), при этом , где C не зависит от zk, k = 0,1,... ,m - 1, g, Ψ. Доказательство. Подействуем оператором Φ на обе части уравнения (3.1) и получим . Отсюда следует уравнение (3.4) где . В силу замечания 1.4 имеем, в частности, Ctχ, поэтому Z0 ∈ C-χ((0,T];L(Z)) и h ∈ C-χ((0,T];Z). Отсюда же следует, что Mуравнения (3.4),∈ C(Δ;L(Z)). По лемме 3.1 получаем существование единственного решения -χ а значит, и обратной задачи (3.1)-(3.3), и выполнение неравенства . Отсюда следует, что . Замечание 3.1. Ясно, что утверждение теоремы 3.1 означает корректность задачи (3.1)-(3.3). 4. Приложение к одной начально-краевой задаче При β ∈ (0,1) возьмем Kβ(t) := tβ-1E1,β(t) и определим оператор свертки и интегро-дифференциальный оператор , где используется функция Миттаг-Леффлера Имеем, поэтому выполняется условие ( ) . Пусть заданы многочлены с коэффициентами , ограниченная область Ω ⊂ Rd с гладкой границей ∂Ω, ξ0 ∈ Ω. Рассмотрим начально-краевую задачу DtkJtm-αv(ξ,0) = vk(ξ), ξ ∈ Ω, k = 0,1,... ,m - 1, (4.1) Δlv(ξ,t) = 0, (ξ,t) ∈ ∂Ω × (0,T], l = 0,1,... ,n - 1, (4.2) P(Δ)DtmJtm-αv(ξ,t) = Q(Δ)v(ξ,t) + b(ξ,t)w(t), (ξ,t) ∈ Ω × (0,T], (4.3) v(ξ0,t) = ψ(t), t ∈ (0,T]. (4.4) Здесь нижний индекс t означает действие интегрального или дифференциального оператора по переменной t, ξ = (ξ1,ξ2,...,ξd), Δ -оператор Лапласа по переменным ξ1,ξ2,...,ξd, b : Ω × (0,T] → R, ψ : (0,T] → C - заданные функции. Определению подлежат z и w. Пусть {λk} - собственные значения оператора Лапласа с условием Дирихле на границе ∂Ω. Если для всех k ∈ N, то задача (4.1)-(4.4) редуцируется к задаче (3.1)-(3.3), если взять Z = {y ∈ H2n(Ω) : Δly(ξ) = 0, l = 0,1,... ,n - 1}, A := P(Δ)-1Q(Δ) ∈ L(Z), так как степень многочлена P не меньше степени многочлена Q, U = C, B(t) = P(Δ)-1b(·,t) - оператор умножения на функцию P(Δ)-1b(·,t), u(t) = w(t) ∈ C при t ∈ (0,T], zk = vk(·), k = 0,1,... ,m-1, Φy = y(ξ0), Ψ(t) = ψ(t). Если выполнено непрерывное вложение , обозначим оператор следа Jξ0 : Z → C, Jξ0y := y(ξ0) для y ∈ Z. Теорема 4.1. , = 1,2,... ,n, pn = 0 ([0]; 2(Ω)) 0 Ω ξ0 (Δ) ( ,t) = 0 [0], vk , k = 0,1... ,m 1. существует единственное решение задачи Доказательство. Тот факт, что K удовлетворяет условию (K) ∈ (-1,0), отмечен выше, то же касается включения A := P(Δ) P(Δ)-1b(·,t) ∈ L(C;Z), поскольку b(·,t) ∈ L2(Ω) при t ∈ [0,T], P(Δ)-1[L2(Ω)] ⊂ Z. Для любого в силу теоремы вложения Соболева, выполнение которой поэтому надо взять(Φследует из неравенстваB(t))- L(td <) =4n.K(Для любогоt) = Km-0α(yt)∈ ZI. При любом1bΦ(K·,t()t,)yнепрерывный на= tmu-∈α-C1E1Φ,mB-(αt)([0ut),Ty=(ξ]0Jв силу условий) =ξ0PK(Δ)m--α1(bt()Φ·,ty,), 1 - оператор умножения на 1/Jξ P(Δ)- , так как при t0,t ∈ [0,T] Поэтому выполняются все условия теоремы 3.1, которая и влечет требуемое утверждение.

About the authors

V. E. Fedorov

Chelyabinsk State University

Author for correspondence.
Email: kar@csu.ru
Chelyabinsk, Russia

A. D. Godova

Chelyabinsk State University

Email: sashka_1997_godova55@mail.ru
Chelyabinsk, Russia

References

Supplementary files