On nondegenerate orbits of 7-dimensional Lie algebras containing a 3-dimensional Abelian ideal

Full Text

1. Введение Статья связана с задачей описания однородных вещественных гиперповерхностей многомерных комплексных пространств. Отметим, что случаи пространств C2 (см. [17]) и C3 (см. [8, 19]) изучены. При этом полное описание однородных вещественных гиперповерхностей в пространстве C3 оказалось достаточно объемным, а его построение заняло фактически более 20 лет. Важным фрагментом полной классификации в задаче об однородности в C3 стала работа [20], содержащая описание Леви-вырожденных однородных гиперповерхностей. В то же время это семейство поверхностей оказалось достаточно небольшим по сравнению с семейством невырожденных по Леви однородных гиперповерхностей в C3. С ростом размерности объемлющих комплексных пространств количество Леви-вырожденных однородных многообразий увеличивается, например, за счет (являющихся голоморфно вырожденными) прямых произведений маломерных однородных многообразий на пространства Ck. © А.В. Атанов, А.В. Лобода, 2024 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 517 Как показывает опыт авторов данной работы, ситуация с вырожденностью количественно меняется, начиная уже с пространства C4, в котором вырожденных однородных гиперповерхностей гораздо больше, чем невырожденных. Например, имеет место следующее утверждение (см. [11, 13]): в пространстве C4 Леви-невырожденными орбитами семейства (из 149 типов) нильпотентных 7-мерных неразложимых алгебр Ли являются лишь Imz4 = |z1|2 + |z2|2 ± |z3|2 и Imz4 = z1z¯2 + z2z¯1 + |z3|2 ± |z1|4. Отметим, что 7 -это минимально возможная размерность алгебры голоморфных векторных полей на однородных гиперповерхностях пространства C4. В серии работ [5, 10, 11, 13, 14] авторами изучаются имеющиеся большие списки абстрактных 7-мерных алгебр Ли (см. [21, 22, 24, 26]) с точки зрения их голоморфной реализации. Показано (см., например, [5, 14]), что наличие в 7-мерной алгебре абелевых подалгебр или идеалов «больших» размерностей является препятствием для существования невырожденных орбит. С другой стороны, именно «малая» размерность максимальной абелевой подалгебры у 5-мерной неразрешимой алгебры Ли позволила получить за счет реализации этой алгебры в пространстве C3 интересный пример просто однородной невырожденной гиперповерхности. В имеющихся списках 7-мерных алгебр Ли минимальной размерностью максимальных абелевых подалгебр (и одновременно абелевых идеалов) оказывается именно 3. Тем самым, изучение орбит алгебр именно с такими свойствами является естественным и оправданным. Отметим еще, что в последние годы вырос интерес к изучению Леви-вырожденных, но обладающих свойствами k-невырожденности однородных гиперповерхностей многомерных комплексных пространств (см. [23, 25]). Многие из них оказываются сводимыми к так называемым трубчатым многообразиям, представляющим большой класс однородных поверхностей. Свойство трубчатости важно и в наших исследованиях, но вопрос о связи его с однородностью пока не изучен в полном объеме. 2. Основные понятия Определение 2.1. Многообразие M однородно относительно некоторой группы (преобразований) G, если эта группа транзитивно действует на M, т. е. любую точку из M можно перевести в любую другую точку этого многообразия некоторым преобразованием из группы G. Свойство однородности M7 ⊂ C4 везде ниже обсуждается в локальном смысле. Оно понимается как наличие на такой поверхности алгебры Ли g(M) голоморфных (касательных к M) векторных полей, имеющей вблизи обсуждаемой точки Q поверхности ранг, равный 7. Без ограничения общности точку Q можно считать началом координат пространства C4, но при обсуждении уравнений конкретных поверхностей приходится иногда отказываться от такого соглашения. Голоморфные векторные поля вида в этом пространстве будем записывать в форме Z = (a(z),b(z),c(z),d(z)). Здесь z = (z1,z2,z3,z4) - вектор комплексных координат в C4, а компоненты поля Z - голоморфные функции вблизи точки Q. Касание полем Z вещественной гиперповерхности M 4-мерного комплексного пространства означает, что Re(Z(Φ))|M ≡ 0. (2.1) В этом тождестве Φ(z,z¯) - определяющая функция поверхности M, заданная и имеющая ненулевой дифференциал вблизи точки Q. Важной для нас является теорема Фробениуса (см., например, [3]) о размерности орбит (или интегральных поверхностей) алгебр векторных полей. В соответствии с этой теоремой, орбита 7-мерной алгебры g голоморфных векторных полей является вещественной гиперповерхностью в C4, если в точке Q (как и во всех близких к ней точках) значения полей из g образуют вещественную гиперплоскость в этом пространстве (или, упрощенно говоря, алгебра имеет в данной точке ранг, равный 7). Для каждой из получаемых ниже 7-мерных алгебр мы обсуждаем их орбиты после проверки условия на ранг, не комментируя эту проверку отдельными пояснениями. Определение 2.2. Пусть вещественно-аналитическая гиперповерхность M пространства Cn+1 задается вблизи точки Q (перенесенной в начало координат) уравнением Imzn+1 = F(z1,...,zn,z¯1,...,z¯n,Rezn+1) с условиями F(0) = 0, dF(0) = 0. (2.2) Если при этом матрица Гессе поверхности (2.2), т. е. эрмитова матрица , (2.3) является вырожденной (невырожденной), то поверхность M называется вырожденной (невырожденной) по Леви в обсуждаемой точке Q. Определение 2.3. Если Γ - многообразие в называется трубкой, или трубчатым многообразием над Γ. 3. Алгебры Ли размерности 7 и их абелевы подалгебры Количество вещественных 7-мерных алгебр Ли, представляющих интерес в обсуждаемой задаче об однородности в качестве алгебр с минимально возможной размерностью, является очень большим. Приведем здесь два утверждения, относящиеся к 7-мерным алгебрам. Теорема 3.1 (основной результат работы [26], Theorem 5.1). Класс вещественных 7-мерных разрешимых (неразложимых) алгебр Ли состоит из 939 семейств алгебр. Разложение этого класса на подклассы алгебр, имеющих нильрадикалы размерностей 4, 5, 6, 7, соответственно, описывается разложением 939 = (8 + 188 + 594 + 149). Замечание 3.1. Учитывая еще разложимые (разрешимые и неразрешимые) алгебры Ли и список из 7 типов неразложимых неразрешимых алгебр, можно говорить о 1325 типах 7-мерных вещественных алгебр Ли. Для самого большого подсемейства алгебр из теоремы 3.1 изучение задачи о невырожденных не сводимых к трубкам орбитах фактически завершается в данной статье. В упоминавшейся серии работ [5, 10, 11, 13, 14] такие орбиты изучены в связи с максимальной размерностью и количеством абелевых подалгебр такой размерности, содержащихся в изучаемых алгебрах. Наиболее общим фактом, доказанным в последнее время, является следующее утверждение. Теорема 3.2 (см. [14]). Пусть в пространстве задана (2n + 1)-мерная вещественная алгебра Ли g голоморфных векторных полей. Если эта алгебра имеет полный ранг вблизи некоторой точки Q и содержит (2n - 1)-мерную абелеву подалгебру, то голоморфно однородная вещественная гиперповерхность, содержащая Q и являющаяся орбитой алгебры g, вырождена по Леви. Следствие 3.1. Пусть g-произвольная 7-мерная алгебра голоморфных векторных полей в C4, содержащая 5-мерную абелеву подалгебру. Тогда все 7-мерные орбиты g вырождены по Леви. Обозначим через A7,4 множество алгебр из списка [24], у которых максимальная размерность абелевых подалгебр равна 4. С помощью компьютерных алгоритмов (см. [5]) установлено, что из 594 типов алгебр работы [24] большинство имеет либо 5-мерные абелевы подалгебры, либо три различных 4-мерных абелевых подалгебры. В работах [11, 14] для алгебр Ли, обладающих одним из этих двух свойств, доказана вырожденность или трубчатость всех орбит в C4. В связи с этим основной содержательный интерес в обсуждаемой задаче представляют лишь 104 типа алгебр из [24]: - 66 типов из них содержат две 4-мерных абелевых подалгебры; - 33 типа содержат единственную 4-мерную абелеву подалгебру; - 5 типов содержат лишь 3-мерные абелевы подалгебры. При этом в работе [10] изучен случай двух 4-мерных абелевых подалгебр; исследования орбит 7-мерных алгебр Ли из [24] с единственной 4-мерной абелевой подалгеброй в настоящее время завершаются. Предварительный вывод из этих исследований заключается в том, что алгебрам Ли из семейства A7,4 соответствуют не более 42 семейств (типов) Леви-невырожденных голоморфно однородных гиперповерхностей в C4, не сводимых к трубкам. В настоящей статье мы обсуждаем пять типов 7-мерных алгебр Ли из [24], содержащих лишь 3-мерные абелевы подалгебры. Замечание 3.2. Среди 188 типов алгебр Ли с 5-мерными нильрадикалами также имеются алгебры, содержащие лишь 3-мерные абелевы подалгебры. 4-мерные нильрадикалы восьми типов алгебр Ли из [26] автоматически оказываются абелевыми идеалами. 4. Коммутационные соотношения в обсуждаемых алгебрах Ли К пяти типам изучаемых в этой статье алгебр Ли относятся алгебры [7,[6, 12],1,1] (один тип) и [7,[6, 16],1,k] (k = 1,2,3,4) (четыре типа). Таблицы коммутационных соотношений (в некоторых канонических базисах) для этих алгебр приведены ниже. Уточним на примере алгебры [7,[6, 12],1,1], что, по сложившейся традиции, нетривиальными значениями [ej,ek] заполняется только правая верхняя часть таблицы, соответствующая неравенствам j < k; элементы ее левой нижней части (j > k) определяются условием антикоммутативности [ej,ek] = -[ek,ej], но в таблицу не заносятся; диагональные коммутаторы [ek,ek] равны нулю в силу того же условия антикоммутативности. Эти нулевые значения также не вносятся в таблицу. Таб. 1. Коммутационные соотношения в алгебре Ли [7,[6, 12],1,1] Tab. 1. Commutation relations in the Lie algebra [7,[6, 12],1,1] e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e1 7e1 e2 e1 5e2 e3 -e1 e2 4e3 e4 e2 e3 3e4 e5 e4 2e5 e6 e6 e7 Вторая таблица, описывающая общим образом коммутационные соотношения в алгебрах [7,[6, 16],1,k] (k = 1,2,3,4), состоит из двух частей. В ее левой части содержится описание нильпотентной 6-мерной алгебры Ли [6, 16], являющейся идеалом в любой из алгебр четырех обсуждаемых типов. В четырех столбцах правой части по отдельности выписаны значения коммутаторов [ej,e7], j = 1,...,6 для этих четырех типов алгебр. Таб. 2. Коммутационные соотношения в алгебрах Ли [7,[6, 16],1,k], k = 1,2,3,4 Tab. 2. Commutation relations in the Lie algebras [7,[6, 16],1,k], k = 1,2,3,4 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e1 (2m + 3)e1 2e1 e1 2e1 e2 e1 (m + 3)e2 e2 2e2 e2 e3 -e1 e2 (m + 2)e3 e3 e3 e3 e4 e3 (m + 1)e4 e4 e4 e5 e4 me5 e5 -e5 e2 + e5 e6 e6 εe1 + e6 Отметим, что тип [7,[6, 16],1,1] содержит однопараметрическое семейство алгебр Ли с параметром m ∈ R (в оригинальной работе [24] этот параметр обозначен символом «a»); в тип [7,[6, 16],1,3] входят две алгебры Ли, отвечающие значениям параметра ε = ±1; каждый из трех остальных типов [7,[6, 12],1,1], [7,[6, 16],1,2] и [7,[6, 16],1,4] представлен единственной алгеброй Ли. Замечание 4.1. У каждой алгебры Ли из пяти представленных типов помимо абелева идеала имеется еще три абелевы подалгебры 5. Схема изучения невырожденных орбит Схема изучения невырожденных орбит 7-мерных алгебр Ли с 3-мерными абелевыми идеалами повторяет, в целом, аналогичный двухшаговый подход, описанный, например, в [10] для случая 4-мерных абелевых подалгебр: - на 1-м шаге схемы строится «каноническая» реализация абстрактных алгебр Ли в видеалгебр векторных полей в C4; - на 2-м шаге эти реализации интегрируются. Одним из главных отличий случая, изучаемого в данной статье, от уже использованных утверждений является сведение обсуждений не к трем, а к двум основным случаям. Предложение 5.1 (аналог леммы 7.1 из [9]). Пусть невырожденная по Леви гиперповерхность M является орбитой 7-мерной алгебры g7 голоморфных векторных полей в C4, а сама эта алгебра содержит 3-мерную абелеву подалгебрy h3. Тогда произвольный (упорядоченный) базис e1,e2,e3 подалгебры h3 можно привести голоморфной заменой координат к одному из двух видов: 1. e1 = (0,0,0,1), e2 = (0,0,1,0), e3 = (0,1,0,0); 2. e1 = (0,0,0,1), e2 = (0,0,1,0), e3 = (0,0,c3(z1,z2),d3(z1,z2)). Доказательство. Одно ненулевое векторное поле в пространстве Cn любой размерности n можно превратить, например, в дифференцирование по переменной zn (выпрямить) в силу известных утверждений из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В случае невырожденной гиперповерхности M многомерного комплексного пространства второе ненулевое векторное поле, касательное к M и коммутирующее с первым полем, можно превратить в дифференцирование по еще одной комплексной переменной, в соответствии с обсуждениями работ [11, 16]. В этих же работах объясняется и упрощение третьего поля из тройки коммутирующих полей. Использование коммутационных соотношений позволяет далее упростить (в каждом из двух случаев предложения 5.1) весь базис обсуждаемой алгебры Ли и привести его к некоторому «каноническому виду». Отметим, что первый шаг описанной схемы естественно разбить еще на два этапа. - На первом этапе реализуются в виде векторных полей в C4 базисные элементы 6-мерной нильпотентной подалгебры, имеющейся у всех алгебр работы [24]. - В случае успешной реализации первого этапа на втором этапе для каждого из пяти типовалгебр обсуждается возможность реализации базисного элемента e7 в виде векторного поля в C4, удовлетворяющего коммутационным соотношениям в рассматриваемой алгебре. Отметим, что для конкретной алгебры первый шаг схемы может оказаться противоречивым как на первом ее этапе, так и на втором. Замечание 5.1. В [1] описанная схема голоморфной реализации эффективно использована при описании орбит разложимых 7-мерных алгебр Ли, не являющихся предметом данной статьи. 6. Реализация алгебры [7,[6, 12],1,1] векторными полями Для алгебры [7,[6, 12],1,1] реализация первого шага описанной выше схемы приводит к следующим утверждениям. Предложение 6.1. Пусть 7-мерная алгебра Ли g голоморфных векторных полей в C4 имеет структуру абстрактной алгебры Ли [7,[6, 12],1,1] и тройка полей e1,e2,e3 имеет выпрямленный вид случая 1 из предложения 5.1. Тогда все 7-мерные орбиты этой алгебры могут быть только вырожденными по Леви. Доказательство. Доказательство повторяет технические приемы, использованные в серии работ [5, 10, 11, 13, 14]. Уточним, что первыми их реализовали авторы статьи [16]. Покажем, что случай e1 = (0,0,0,1) , e2 = (0,0,0,1) , e3 = (0,0,0,1) (6.1) невозможен при допущении существования невырожденной орбиты у обсуждаемой 7-мерной алгебры g. Из четырех коммутационных соотношений таблицы 1 [e1,e4] = 0, [e2,e4] = 0, [e1,e6] = 0, [e2,e6] = 0 следует, что компоненты полей e4, e6 могут зависеть только от переменных z1, z2. Еще из двух соотношений [e3,e4] = -e1, [e3,e6] = e2 получаем тогда упрощенный вид полей , (6.2) Для поля e5 получаем из соотношений [e1,e5] = 0, [e2,e5] = e1, [e3,e5] = 0 аналогичное упрощение до вида e5 = (a5(z1),b5(z1),c5(z1),z3 + d5(z1)). (6.3) Теперь в рамках первого случая обсудим два подслучая, связанные с возможным обращением в нуль компоненты a4(z1) поля e4. В подслучае 1.1 при вблизи обсуждаемой точки можно (пользуясь леммой о линеаризации из [12]) привести поле e4 к виду e4 = (1,0,0,-z2) (6.4) с сохранением вида (6.1), (6.2), (6.3) упрощенных формул для остальных рассмотренных выше полей e1, e2, e3, e5, e6. Но с учетом формулы (6.4) из соотношений [e4,e5] = e2, [e4,e6] = e3 следует, что первые компоненты полей e5 и e6 могут быть только константами. Этот вывод противоречит еще одному коммутационному соотношению [e5,e6] = e4 из таблицы 1, так как первая компонента поля e4 из формулы (6.4) равна единице, а у коммутатора [e5,e6] она тождественно нулевая. Это означает, что в подслучае 1.1 реализации алгебры [7,[6, 12],1,1], допускающие хотя бы одну невырожденную орбиту в пространстве C4, невозможны. Переходим к подслучаю 1.2, в котором a4(z1) ≡ 0. Здесь можно воспользоваться еще одним стандартным соображением о вырожденности по Леви (и даже о голоморфной вырожденности) орбиты 7-мерной алгебры голоморфных векторных полей в C4, у которой шесть базисных полей имеют тождественно нулевую первую компоненту (см., например, [11]). В силу этого соображения одна из двух компонент a5(z1) либо a6(z1) полей из формул (6.2) и (6.3) обязательно отлична от нуля (при допущении существования невырожденной орбиты у обсуждаемой 7-мерной алгебры). В каждом из этих двух случаев рассуждения, аналогичные описанным выше, также приводят к противоречиям. С учетом предложения 6.1 все реализации алгебры [7,[6, 12],1,1] в виде алгебр векторных полей в C4, допускающие невырожденные по Леви орбиты, возможны только в рамках случая 2 из предложения 5.1. Поэтому результат обсуждений случая 2 является итоговым для всех возможных интересующих нас реализаций алгебры [7,[6, 12],1,1]. Сформулируем этот результат следующим образом. Теорема 6.1. Пусть алгебра Ли g голоморфных векторных полей в C4 имеет структуру абстрактной алгебры Ли [7,[6, 12],1,1]. Если g имеет полный ранг вблизи некоторой точки Q и хотя бы одну невырожденную орбиту в C4, содержащую точку Q, то голоморфной заменой координат базис этой алгебры можно привести к виду (q,r ∈ C) (6.5) , Доказательство. В случае 2 предложения 5.1 тройка полей e1, e2, e3 имеет вид e1 = (0,0,0,1) , e2 = (0,0,0,1) , e3 = (0,0,c3(z1,z2),d3(z1,z2)). (6.6) При этом в силу коммутационных соотношений [e1,e4] = [e2,e4] = 0 компоненты поля e4 могут зависеть только от переменных z1, z2. Предположим сначала, что две первые компоненты a4(z1,z2) и b4(z1,z2) этого поля тождественно равны нулю (в некоторой окрестности обсуждаемой точки Q ∈ C4). В совокупности с аналогичными тождествами для базисных полей e1, e2, e3 это означало бы в силу условия (2.1) независимость определяющей функции любой орбиты обсуждаемой 7-мерной алгебры от переменных z3, z4. Для Леви-невырожденной гиперповерхности такое невозможно, следовательно, . При выполнении этого условия мы можем голоморфной заменой переменных z1, z2 превратить поле e4 в e4 = (0,1,c4(z1,z2),d4(z1,z2)). (6.7) После еще одной замены переменных с функциями ϕ(z1,z2), ψ(z1,z2), удовлетворяющими условиям , поле e4 выпрямляется до состояния e4 = (0,1,0,0). Поля e1, e2, e3 при этом сохранят свой вид (6.6), но из соотношения [e3,e4] = -e1 с упрощенным полем e4 теперь легко получить условия . В силу этих условий можно считать, что компоненты c3(z1,z2) и d3(z1,z2) упрощаются до вида c3(z1) и z2 + d3(z1) соответственно. Обсудим теперь возможные упрощения полей e5 и e6 обсуждаемой алгебры, вытекающие из коммутационных соотношений таблицы 1. Из четверки соотношений [e1,e5] = 0, [e2,e5] = e1, [e1,e6] = 0, [e2,e6] = 0 следует, что компоненты поля e6 могут зависеть только от пары переменных z1, z2, а у поля e5 лишь в последней компоненте появляется отличная от этой пары переменная z3: e5 = (a5(z1,z2),b5(z1,z2),c5(z1,z2),z3 + d5(z1,z2)), e6 = (a6(z1,z2),b6(z1,z2),c6(z1,z2),d6(z1,z2)). Два соотношения [e4,e5] = e2 и [e4,e6] = e3 превращаются с учетом выпрямленного вида e4 в . Еще два соотношения [e3,e5] = 0, [e3,e6] = e2 означают справедливость следующих четырех условий: , (6.8) Из этих уравнений вытекают равенства a5(z1,z2) ≡ 0, b5(z1,z2) = c3(z1) и независимость функций от переменной z2. После таких упрощений поле e6 принимает вид e6 = (a6(z1),a6(z1),c6(z1,z2),d6(z1,z2)). Пользуясь неравенством, можно за счет голоморфной замены переменной z1 сделать этот ненулевой коэффициент единичной константой. Тогда в силу упрощения соотношений (6.8) получим . Используя еще сдвиг выпишем полученные промежуточные результаты упрощения базисных полей алгебры: . Заметим теперь, что в рамках 6-мерного нильрадикала [6, 12] изучаемой алгебры осталось не рассмотренным лишь одно коммутационное соотношение [e5,e6] = e4. Связанные с ним несложные выкладки (которые мы опускаем) приводят к следующему виду шести базисных полей этой нильпотентной алгебры: (6.9) , где Для завершения доказательства теоремы 6.1 остается рассмотреть коммутаторы всех полей из базиса (6.9) с полем e7, которое должно удовлетворять всем оставшимся соотношениям из таблицы 1. Голоморфные функции, являющиеся компонентами этого поля, определяются из пошагового рассмотрения этих соотношений. Например, коммутаторы поля e7 с тройкой выпрямленных полей e1, e2, e4 дают, в силу таблицы 1, следующую структуру этого поля: e7 = (a7(z1),3z2 + b7(z1),5z3 + c7(z1),7z4 + d7(z1)). Конкретный вид функций a7, b7, c7, d7 и итоговая уточненная информация о компонентах d3(z1), d5(z1), d6(z1) базиса (6.9) определяются из оставшихся коммутационных соотношений [e3,e7] = 4e3, [e5,e7] = 2e5, [e6,e7] = e6. Достаточно утомительные выкладки перехода к итоговым формулам (6.5) для алгебры [7,[6, 12],1,1] мы здесь не приводим. Отметим лишь, что их смысл заключается в выписывании и исследовании системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенной относительно производных нескольких неизвестных функций ak(z1), bk(z1), ck(z1), dk(z1). Замечание 6.1. В отличие от доказанной теоремы, для других алгебр из списка [24] даже доведение базисов их нильрадикалов до состояния, аналогичного (6.9), оказывается возможным далеко не всегда. Противоречия часто возникают и на этапе перехода от реализованного 6-мерного нильрадикала ко всей 7-мерной алгебре. 7. Реализации и запреты для алгебр с нильрадикалом [6, 16] Схема изучения голоморфных реализаций, описанная выше на примере алгебры [7,[6, 12],1,1], применяется и для семейства алгебр [7,[6, 16],1,k] (k = 1,2,3,4). Так, в случае 1 предложения 5.1 голоморфные реализации 6-мерной алгебры [6, 16] описываются следующим утверждением. Предложение 7.1. Пусть алгебра Ли g голоморфных векторных полей в C4 имеет структуру абстрактной алгебры Ли [7,[6, 16],1,k], k ∈ {1,2,3,4}. Если эта алгебра имеет полный ранг вблизи некоторой точки Q, а поля e1, e2, e3 выпрямлены, то заменой координат в пространстве C4 базис 6-мерного нильпотентного идеала этой алгебры можно привести к виду (Ck,Dk ∈ C) (7.1) , Доказательство этого факта является чисто техническим, его детали мы здесь не приводим. Дальнейшие попытки «присоединить» поле e7 к такому набору приводят при k = 2 и при k = 4 к противоречию. В самом деле, при таких k поле e7 = (a7(z),b7(z),c7(z),d7(z)) должно подчиняться шести коммутационным соотношениям, зафиксированным в последнем столбце таблицы 2 и связанным с коммутаторами [ek,e7] (k = 1,...,6). При этом из соотношений [e1,e7] = 2e1, [e2,e7] = e2, [e3,e7] = e3, [e6,e7] = 0 выводится упрощенный вид поля e7 = (A7,z2 + B7,z3 + B7z1 + C7,2z4 + D7) c некоторыми комплексными константами A7, B7, C7, D7. Тогда из [e4,e7] = e4 следует, что компонента A7 поля e7 - нулевая константа. Шесть нулевых компонент (в первом столбце) у семи базисных полей означают независимость определяющей функции орбиты от переменных z2, z3, z4. Форма Леви такой поверхности оказывается тождественно нулевой, что является крайней («сильной») степенью ее вырожденности. Предложение 7.2. Пусть алгебра Ли g голоморфных векторных полей в C4 имеет структуру абстрактной алгебры [7,[6, 16],1,k] при k = 1 или k = 3. Если эта алгебра имеет полный ранг вблизи некоторой точки Q, а поля e1, e2, e3 выпрямлены, то с точностью до голоморфных преобразований базис такой алгебры описывается следующим образом: 1. в формулах (7.1) константы C4, D4, C5, D5 необходимо положить равными нулю; 2. при k = 1 поле e7 имеет вид e7 = (z1,(m + 2)z2,(m + 3)z3,(2m + 3)z4 + D7), а при k = 3 e7 = (z1,z2,2z3,z4 + εz1). Аналогичными рассуждениями показывается, что и во втором случае предложения 5.1 алгебры [7,[6, 16],1,2] и [7,[6, 16],1,4] не допускают голоморфных реализаций с невырожденными орбитами в пространстве C4. Содержательный интерес здесь представляет следующее утверждение об алгебрах Ли с нильрадикалом [6, 16]. Предложение 7.3. В рамках случая 2 предложения 5.1 базисы алгебр Ли [7,[6, 16],1,1] и [7,[6, 16],1,3], допускающих реализации с Леви-невырожденными орбитами в C4, описываются с точностью до голоморфных замен координат следующими формулами: (7.2) , e7 = (z1,0,2z3,z4 + εz1); в случае [7,[6, 16],1,1] шесть первых полей описываются теми же формулами (7.2), а . 8. Интегрирование полученных реализаций Интегрирование полученных алгебр с базисами, полиномиально зависящими от переменных, представляет собой трудоемкую процедуру. Поэтому для реализованного в пространстве C4 семейства [7,[6, 16],1,k], (k = 1,3) ниже приводятся лишь результаты такого интегрирования. В то же время пример описания орбит реализации алгебры [7,[6, 12],1,1] при значениях параметров q = r = 0 мы рассмотрим более детально. Теорема 8.1. С точностью до голоморфных замен координат все невырожденные орбиты в пространстве C4 алгебр [7,[6, 16],1,k] (k = 1,3) описываются следующими формулами: , где , A, B, C, K, L -некоторые вещественные константы. Замечание 8.1. Приведенная формулировка подразумевает положительность координаты y1 = Imz1 для всех точек, лежащих на предъявленных в теореме орбитах. При обсуждении локальных свойств этих гиперповерхностей вблизи выделенной точки Q приходится считать эту точку отличной от начала координат пространства C4. Уточним еще, что первое уравнение из формулировки теоремы соответствует при различных значениях показателя α алгебрам из семейства [7,[6, 16],1,1] при , соответственно, в первом (j = 1) и втором (j = 2) случаях предложения 5.1. Значение m = -3/2 обращает в нуль коэффициент при переменной z4 поля e7 из предложений 7.2 и 7.3. Этому значению соответствует второе уравнение из формулировки теоремы (также в двух случаях j = 1,2). Третье уравнение описывает (в двух случаях) орбиты алгебр [7,[6, 16],1,3]. Пример. Обсудим орбиты алгебры (6.5) с параметрами q = r = 0. Пусть Φ(z,z¯) = 0- искомое уравнение какой-либо из таких орбит. Уравнения (2.1), отвечающие полям e1, e2, e4 из набора (6.5), означают, что искомая функция Φ не зависит от переменных x2, x3, x4. А система оставшихся четырех уравнений (после перехода к вещественным переменным xk = Rezk, yk = Imzk) имеет вид - ∂y∂Φ ∂y∂Φ - ∂y∂Φ2 2y1 - 1y13)∂y∂Φ3 + y3 ∂y∂Φ4 = 0, y1 + y2 = 0, y1+ (y2 + x1 3 3 4 ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂x1 - (x1y2 + x2y1)∂y3 + x2y2 ∂y4 = 0, x1 ∂x1 + y1 ∂y1 + 3y2 ∂y2 + 5y3 ∂y3 + 7y4 ∂y4 = 0. Заметим, что третье уравнение системы содержит фрагмент, представляющий собой левую часть первого уравнения системы, умноженную на x2. За счет такого наблюдения можно заменить это уравнение на более простое: . Далее можно воспользоваться пошаговым решением отдельных уравнений этой системы. Так, решение первого ее уравнения имеет вид Φ(x1,y1,y2,y3,y4) = F(x1,y1,y2,y1y4 + y2y3) с произвольной аналитической функцией F. Обозначая ее аргументы в последнем равенстве через t1, t2, t3, t4 соответственно, можно переписать три оставшихся уравнения системы в виде . Решая далее первое уравнение полученной системы, естественно перейти к очередному сокращенному набору переменных s1 = t1, s2 = t2, s3 = 2t33 + 3t21t2t23 - t32t23 + 6t2t4 и к функции F(t1,t2,t3,t4) = G(s1,s2,s3). ∂G Одно из двух остающихся уравнений превращается теперь в , а последнее уравнение исходной системы принимает вид ∂G ∂G s2 + 9s3 = 0. ∂s2 ∂s3 Возвращаясь к исходным переменным, получаем уравнения орбит в виде . (8.1) Вычисляя гессиан этой вещественной гиперповерхности 4-мерного комплексного пространства, несложно убедиться, что в точках общего положения это многообразие является невырожденным по Леви. Замечание 8.2. Мы рассмотрели здесь самый простой случай базиса (6.5), элементы которого содержат переменную z1 не более чем в третьей степени. В общих ситуациях базисные поля содержат слагаемые z14, z15, z16, что существенно усложняет процедуру «ручного» интегрирования соответствующих алгебр. В то же время использование пакета Maple и команды pdsolve (не гарантирующей, вообще говоря, получения всех решений системы уравнений в частных производных) также приводит к полиномиальным орбитам алгебр (6.5). Отметим, что девятая степень полиномов сохраняется и при компьютерном интегрировании этих алгебр. Замечание 8.3. При пошаговом решении систем, подобных (7.2), важна очередность рассмотрения их отдельных уравнений. Произвольный порядок интегрирования таких уравнений не гарантирует получение окончательного ответа. Замечание 8.4. Получение координатного представления однородного многообразия (по ассоциированной с ним алгебре Ли) может оказаться весьма затруднительным. В ряде работ о классификации таких многообразий (см., например, [15]) авторы ограничиваются только информацией о соответствующих этим многообразиям алгебрах. 9. О «простой» однородности орбит в пространстве C4 Важный класс однородных вещественных гиперповерхностей в пространствах Cn составляют «просто однородные» многообразия, размерность которых совпадает с размерностью их (полных) алгебр симметрий. В C3 имеется только одна (см. [8]) нетрубчатая просто однородная (Леви-невырожденная) гиперповерхность . Она является орбитой (единственной) неразложимой неразрешимой 5-мерной алгебры Ли. Сама эта алгебра содержит лишь 2-мерную абелеву подалгебру, в отличие от других 5-мерных алгебр Ли, у которых абелевы подалгебры имеют размерности не меньше 3. В связи с наличием в пространстве C3 «просто однородной» гиперповерхности, являющейся орбитой алгебры Ли с экстремально малой размерностью максимальных абелевых подалгебр, естественно предположить существование аналогичных многообразий в пространствах Cn больших размерностей. На примере 7-мерных алгебр Ли из списка [24] это предположение подтверждается. Теорема 9.1. При j = 1, ε = 1, A = B = 0 орбита алгебры [7,[6, 16]1,3] имеет дискретный голоморфный стабилизатор и не сводится голоморфными преобразованиями к трубчатым гиперповерхностям. Доказательство. Доказательство этого утверждения опирается на технику локальных нормальных форм Мозера (см. [18]) и вычисление (например, в пакете символьной математики Maple) младших многочленов нормального уравнения (9.1) обсуждаемой поверхности M (в какой-либо точке этой поверхности). Для дальнейших обсуждений удобно использовать замену переменных z∗ = -iz, переводящую yk = Imzk в x∗k = Rezk∗ (k = 1,2,3). Этой заменой уменьшается количество мнимых единиц в выкладках и, тем самым, несколько упрощаются вычисления. Для удобства таких вычислений сделаем еще одно растяжение и обозначим символом B число . После этих договоренностей разложение определяющей функции поверхности M в ряд Тейлора (вблизи начальной точки Q(i,0,0,0) ∈ M ⊂ C4), получаемое с помощью символьных вычислений, примет вид , (9.2) где каждый Fk - это однородный многочлен степени k от своих переменных. В частности, . Последующие стандартные шаги приведения обсуждаемого уравнения к нормальной форме описаны как в работе [18], так и во многих статьях, использующих эту форму (см., например, [2, 6, 7]). Отметим легко получающийся из приведенной формулы для F2 канонический вид (9.3) эрмитовой компоненты правой части уравнения (9.2), т. е. формы Леви поверхности M. Уточним еще, что здесь, в отличие от обсуждений начала статьи, через z обозначается вектор из трех комплексных координат (z1,z2,z3) и, соответственно, z¯ = (¯z1,z¯2,z¯3). Для наших целей достаточно рассмотрения многочленов N220(z,z¯) и N320(z,z¯) из получающегося нормального уравнения, имеющих суммарные 4-ю и 5-ю степени относительно переменных z и z.¯ Эти многочлены являются, соответственно, элементами 27-мерного вещественного и 60мерного комплексного пространств, что объясняет необходимость привлечения компьютерных вычислений при работе с ними. Для поверхности (9.1) получаемый многочлен N220 содержит в качестве слагаемых 20 мономов, т. е. имеет достаточно общий вид. В итоге группа всех линейных преобразований трех переменных z1, z2, z3, сохраняющих пару , сводится к однопараметрической группе поворотов zk → eitzk, t ∈ R,k = 1,2,3 (очевидно сохраняющих любой многочлен N220, имеющий вторую степень как по z, так и по z¯). С другой стороны, известны (см., например, [6, 18]) голоморфные преобразования с тождественной линейной частью, сохраняющие N220 и нормальный вид уравнения обсуждаемой поверхности. При любом таком преобразовании , а потому возмущения многочлена N320 в рамках нормальных уравнений ограничиваются видом многочлена N220. В частности, многочлен N320 для гиперповерхности (9.1) содержит моном z33z¯1z¯2 c ненулевым коэффициентом. «Неполный» вид многочлена N220(z,z¯), содержащего лишь 20 мономов, не позволяет аннулировать z33z¯1z¯2 при возможных различных нормализациях исходного уравнения. По теореме Ежова (см. [4]) голоморфный стабилизатор обсуждаемой поверхности с сигнатурой (+,+,-) формы Леви (9.3) линеаризуется в некоторых нормальных по Мозеру координатах. Сохранение еще и монома z33z¯1z¯2 линейным преобразованием приводит к дискретности стабилизатора. Невозможность сведения поверхности (9.1) голоморфными преобразованиями к трубкам следует теперь из того, что в алгебре симметрий любой трубчатой гиперповерхности пространства C4 имеется 4-мерная абелева подалгебра (сдвигов вдоль мнимых осей). Алгебра же [7,[6, 12],1,1], являющаяся полной алгеброй симметрий поверхности (9.1), имеет, как отмечалось выше, лишь 3-мерные абелевы подалгебры.

About the authors

A. V. Atanov

Voronezh State University

Author for correspondence.
Email: atanov.cs@gmail.com
Voronezh, Russia

A. V. Loboda

Voronezh State Technical University; Lomonosov Moscow State University

Email: lobvgasu@yandex.ru
Voronezh, Russia; Moscow, Russia

References

Supplementary files