Interpolation by Earl’s method in the space of functions of semiformal order

Abstract

We consider the problem of simple free interpolation in the space of functions of finite order and normal type in a half-plane. We propose its solution by the method of shifting interpolation nodes. This solution is based on Earl’s method, who solved the problem of free interpolation in the space of analytic bounded functions in a unit circle.

Full Text

1. Введение Будем использовать следующие определения и терминологию. Обозначим через N := {1,2,... } множество натуральных чисел, C - комплексная плоскость с вещественной осью R и положительной полуосью - верхняя полуплоскость. Одноточечные множества записываем без фигурных скобок, если это не вызывает разночтений. Так, R := R∪ ±∞ и R+ := R∪ +∞- расширенные, соответственно, вещественная ось и положительная полуось с обычным модулем | · | как и для C, и | ± ∞| := +∞, ∞ - это бесконечность в комплексной полуплоскости C+, т. е. последовательность точек {zn} ⊂ C+ сходится к ∞ при n → ∞, если lim |zn| = +∞. По определению считаем, что - множество целых чисел n→∞ . Открытый круг радиуса r с центром в точке a будем обозначать через C(a,r), G+ означает пересечение множества G с полуплоскостью C+, т. е. G+ := G ∩ C+, G- замыкание множества G. Через a+ обозначаем (|a| + a)/2, в частности, ln+ 0 := 0. Через [·] мы обозначаем целую часть числа, ∅ - пустое множество, A = {an}n∈N ⊂ C+ - последовательность точек без повторений, все предельные точки которой на вещественной оси и ∞. Всюду далее, если не оговорено противное, считаем rn = |an|, θn = argan, r = |z|, θ = argz, где 0 argz π для z ∈ C+, nA+(G) := n+(G) = © М.В. Кабанко, К.Г. Малютин, 2024 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 597 , в частности, n+A(R) := n+(C(0,R)). Для точек a,b ∈ C+ через - обозначим неевклидово расстояние. Через C,K,M обозначаем положительные константы, которые могут принимать различные значения в процессе доказательства одного утверждения. Цель нашей работы - представить решение задачи простой свободной интерполяции в пространстве функций конечного порядка и нормального типа в полуплоскости методом сдвига узлов интерполяции, основанное на идеях Эрла [12]. 2. Основные понятия, определения и вспомогательные сведения Пусть ρ(r), r ∈ R+, - уточненный порядок в смысле Валирона [5], rρ(r). Для функций, аналитических в полуплоскости, следуя работе [4] (см. также [9]), введем понятия формального и полуформального порядка. Пусть функция f(z), аналитическая в полуплоскости C+, такова, что для всех z ∈ C+ неравенство |f выполняется с некоторой константой. В этом случае уточненный порядок ρ(r) называется формальным порядком функции f(z). Если понятие формального порядка вводится для описания роста функции в окрестности бесконечной точки (как в случае целых, так и в случае аналитических в полуплоскости функций), то более тонким является понятие полуформального порядка, характеризующее не только рост, но и убывание функции, аналитической в полуплоскости. Пусть уточненный порядок ρ(r), r ∈ R+, является формальным порядком аналитической в полуплоскости C+ функции f(z), причем выполняется условие Левина [5, гл. 2]: существуют числа C, 0 < C < 1, и θ0, 0 < θ0 < π/2, зависящие только от функции f(z), такие, что в каждой области найдется точка z¯ такая, что - . Тогда ρ(r) называется полуформальным порядком функции f(z). Заметим, если, то понятия формального и полуформального порядков эквивалентны. Отличие между этими определениями имеет место только при. Пространство аналитических функций в C+, для которых ρ(r) является полуформальным порядком, обозначим через [ρ,∞)+. принадлежатОпределение 2.1. Последовательность A = {an}n∈N ⊂ C+, все предельные точки которой∞ +, если для любой после- R, называется интерполяционной в пространстве [ρ, ) довательности комплексных чисел {bn}n∈N, удовлетворяющей условию , (2.1) существует функция f(z) ∈ [ρ,∞)+, которая решает интерполяционную задачу f(an) = bn, n ∈ N. Первичный множитель Неванлинны Ep(u,v) при p ∈ N определяется как , а при p = 0 Определение 2.2. Последовательность A = {an}n∈N, имеет конечную верхнюю плотность при уточненном порядке ρ(r), если n+(r) = O(V (r)). (2.2) В этом случае при нецелом каноническое произведение последовательности A принадлежит пространству Случай целого сложнее. В этом случае для того, чтобы каноническое произведение последовательности A принадлежало пространству [ρ,∞)+, необходимо и достаточно, чтобы она имела аргументно-граничную симметрию (см. [4]). В работе [10] для последовательности A, удовлетворяющей условию (2.2), при целом строится присоединенная последовательность At, точки которой распределены на двух лучах, обеспечивающая аргументную симметрию последовательности A ∪ At. Точки последовательности At расположены достаточно «далеко» от точек последовательности A так, что объединенная последовательность A∪At удовлетворяет условиям интерполяционности в пространстве [ρ,∞)+ (конечно, если этим условиям изначально удовлетворяет последовательность A). В работе [8] рассматривается общий случай целого. В отличие от работы [10] показано, что существует вещественная измеримая функция u(x) такая, что функция Ea(z) = E(z)Eu(z), где , принадлежит классу называется присоединенной функцией последовательности A. Кроме того, подчеркнем, что присоединенная функция при целом и выполнении условия (2.2) определяется неоднозначно, причем ее сингулярная граничная мера равна нулю почти всюду на вещественной оси, ln|Ea(x)| = u(x) и , (2.3) с некоторой константой M > 0. Заметим, что функция u(z) не имеет нулей. Это упрощает некоторые рассуждения, избавляя от необходимости оценивать дополнительные нули At. Этот факт и неравенство (2.3), в частности, обеспечивают сохранение условий интерполяционности. Другими словами, функция Eu(z) не влияет на эти условия. Далее мы будем фиксировать функцию Eu(z), а под присоединенной функцией последовательности A понимать при нецелом функцию E(z), а при целом -функцию Ea(z), обозначая ее также E(z). В дальнейшем нам понадобятся следующие утверждения. Лемма 2.1. Пусть a,b,c,d ∈ C+, 0 < δ < 1. Положим Если то Доказательство. Доказательство леммы легко получить, применяя конформное отображение полуплоскости C+ на единичный круг C(0,1) и аналогичную лемму для круга (см. [1, лемма 8]). Лемма 2.2. Пусть a,b ∈ C+,|a| > 1. Тогда для любого ε ∈ (0;1) при будут выполняться следующие неравенства: 1. ; 2. sinarg. Доказательство. По условию леммы имеем . Отсюда получаем . Из последнего неравенства следует, что . Отсюда получаем неравенство 1 леммы. Неравенство 2 следует из неравенства 1. Действительно, из теоремы синусов для треугольника с вершинами в точках O, a, b и неравенстввыполняется соотношение |sin(arg Пусть последовательность A = {an}n∈N имеет конечную верхнюю плотность при уточненном порядке ρ(r). Определим монотонную последовательность положительных чисел {ln}n∈N, ln ↑ +∞ (n → ∞). Обозначим через {An}n∈N исчерпывающую последовательность конечных подмножеств из A таких, что, . (2.4) Без ограничения общности будем считать, что An состоит из n точек. Обозначим через Ω(a,K,ρ(|a|)) круг. Множество E называется K-сдвинутым множеством относительно множества E (E ⊂ C+) при уточненном порядке ρ, при некотором K > 0, если существует отображение ω множества E на множество E такое, что ω(ξ) ∈ Ω(ξ,K,ρ(|ξ|)) при любом ξ ∈ E. В этом случае будем говорить, что отображение ω есть K-сдвиг множества E при уточненном порядке ρ. Пусть-сдвиг при уточненном порядке ρ(r) множества A. Определение 2.3. Обобщенной присоединенной функцией множеств при целом будем называть функцию , где величины Ep(z,u,v) при p 1 определяются как . При нецелом сомножитель Eu(z) в определении опускаем. Аналогично определим семейство функций . Справедлива следующая лемма (см. [7]), в которой сформулировано необходимое условие интерполяционности последовательности в пространстве [ρ,∞)+. Лемма 2.3. Пусть последовательность A = {an}n∈N является интерполяционной в пространстве [ρ,∞)+. Тогда для любой присоединенной функции E(z) последовательности A справедливо соотношение . (2.5) На самом деле, как доказано в работах [7, 8], условие (2.5) является и достаточным. В настоящей работе мы дадим другое доказательство, основанное на идеях работы Эрла [12]. Лемма 2.4. Пусть последовательность A = {an}n∈N имеет конечную верхнюю плотность при уточненном порядке ρ(r). Тогда существует такое число K > 0, что при любом K-сдвиге при уточненном порядке ρ(r) последовательности A для сдвинутой последовательности , верно соотношение: , где константа C > 0 не зависит от сдвига. Доказательство. Для имеем Поскольку последовательность A имеет конечную верхнюю плотность при уточнённом порядке ρ(r), то существует такая константа C1 > 0, что . (2.7) rkr Из пункта 2 леммы 2.2 получаем . с некоторой постоянной Из неравенства (2.7) следует, что ряд сходится. Учитывая выражения (2.6) и (2.7), получаем утверждение леммы. Далее, положим . - Лемма 2.5. Пусть последовательность A имеет конечную верхнюю плотность при уточненном порядке ρ(r), и для любой присоединенной функции E(z) выполняется соотношение (2.5). Тогда существует такое число K > 0, что справедливы утверждения: 1. При любом K-сдвиге при уточненном порядке ρ(r) последовательности верны соотношения: для любого 2. Ω(ak,K,ρ(rk)) ∩ Ω(aj,K,ρ(rj)) = ∅, если 3. Любой K-сдвиг при уточненном порядке ρ(r) множества , взаимно однозначен. 4. При любом K-сдвиге при уточненном порядке ρ(r) множества An последовательность функцийравномерно ограничена на любом компактном множестве в C+. Доказательство. Из условия теоремы следует, что существует K1 > 0, для которого справедливо неравенство . (2.8) Представим Lk(ak,A,A) в виде произведения Lk(ak,A,A) = L(1)k (ak,A,A) · L(2)k (ak,A,A), где . Для L(2)k (ak,A,A), используя неравенство (2.3), можно получить следующую оценку при некотором K2 > 0 (см., например, [3]): . (2.9) Из неравенств (2.8) и (2.9) получаем, что . (2.10) Представляя аналогичным образом функцию Lk(ak,An,An) = L(1)k (ak,An,An) · L(2)k (ak,An,An), из (2.10) получаем . Из последнего неравенства следует, что Выберем K3 > K1 + K2 выполнялись соотношения . Применяя лемму 2.1, получим, что если t ∈ Ω(ak,K,ρ(rk)), λj ∈ Ω(aj,K3,ρ(rj)), то выполняется неравенство для , где . (2.11) Оценим теперь функцию, представив ее предварительно в виде произведения , где . Имеем Оценим функцию используя лемму 2.4: Оценим сумму , где. Воспользовавшись асимптотическим равенством из [5], rjr получаем: . (2.13) Оценим теперь второе слагаемое в (2.12). Имеем ∞ =1 Из соотношений (2.3), (2.13) и (2.14) следует, что существует такая константа K6 > 0, что выполняется . Аналогично можно показать, что | | | . (2.15) Из неравенств (2.3), (2.11) и (2.15) получаем утверждение 1 леммы. Из утверждения следует, что для любых t ∈ Ω(ak,K3,ρ(rk)) и λj ∈ Ω(aj,K3,ρ(rj)) выполняется неравенство, а значит, Ω(ak,K,ρ(rk)) ∩ Ω(aj,K,ρ(rj)) = ∅. Таким образом, - j пункты 2 и 3 доказаны. При доказательстве пункта 1 мы получили неравенство , из которого следует утверждение пункта 4 леммы. 3. Основные результаты Заметим, что функции отличаются от канонических произведений Неванлинны. Модифицированные таким образом канонические произведения лучше приспособлены к дальнейшим рассуждениям. Дело в том, что если равенство (3.1) выполняется для n попарно различных точек z1,z2,...,zn верхней полуплоскости C+, то равенство (3.1) автоматически выполняется еще в n + 1 попарно различных точках z¯1,z¯2,...,z¯n,0. В то же время степень многочлена, стоящего в числителе дроби, получающейся после сокращения разности на общий множитель, не имеющий корней, не превышает Поэтому модифицированное каноническое произведение вполне определяется своими значениями в точках n-элементного подмножества верхней полуплоскости C+. Точнее говоря, нами доказана лемма. Лемма 3.1. Если равенство (3.1) выполняется в n попарно различных точках верхней полуплоскости C+, то. Положим далее . Лемма 3.2. Пусть положительное число K таково, что Ω(aj,K,ρ(rj))∩Ω(ak,K,ρ(rk)) = ∅, Предположим, что функция ψ, заданная на множестве An, удовлетворяет условию: |ψ(ak)| qk exp( , ψ(ak) = 0 (rk 1). (3.2) Тогда существует такое множество An, -сдвигом при порядке относительно множества An, что В основе доказательства лежит следующее топологическое соображение [2]: если J - взаимно однозначное и непрерывное отображение замкнутого круга Ω на плоскость C, и J-образ граничной окружности ∂Ω удален от начала не менее, чем на содержит весь замкнутый круг. Доказательство. Будем использовать индукцию по n. Обозначим через λ вектор, координатами которого являются точки множества. Кроме того, положим . Пусть сначала n = 1. По лемме 3.1 отображение непрерывно и взаимно однозначно в замкнутом круге . Его значение в точке a1 def равно нулю, а окружность Ω1 = ∂ Ω(a1,K,ρ(r1)) оно отображает в кривую, расстояние d1 которой до начала координат удовлетворяет неравенству: d1 . Значит, если удовлетворяет неравенству (3.2), то по замечанию, сделанному перед доказательством, найдется точка λ1 ∈ Ω(a1,K,ρ(r1)), удовлетворяющая условиям леммы. Пусть теперь. Предположим, что утверждение доказано для всех множеств Ak, содержащих не более n - 1 точек). Вектор (λ1,λ2,...,λn) обозначим символом λ. Система уравнений равносильна системе , (3.4) (заметим, что, если λn ∈ Ω(an,K,ρ(rn))). Предположим, что заданная на множестве An функция ψ удовлетворяет условию (3.2). Из индукционного предположения следует, что для любой точки t ∈ Ω(an,K,ρ(rn)) существует единственная точка λ(t), обладающая следующими свойствами: (3.5) . В самом деле, из (3.2) следует, что Единственность решения λ следует из леммы 3.1. Поставим теперь в соответствие точке t ∈ Ω(an,K,ρ(rn)) число def def ∈ n. h(t) = L(an,λ(t),An), λ(t) = (λ1(t),...λn-1(t),t) C Если мы установим, что функция h(t) непрерывна, то доказательство будет закончено. Ведь если t находится на границе круга Ω(an,K,ρ(rn)), то (мы воспользовались условием (3.5) и определением числа Взаимная однозначность функции h(t) следует из леммы 3.1 и равносильности систем (3.3) и (3.4). По замечанию, сделанному перед доказательством леммы, . Выбрав t ∈ Ω(an,K,ρ(rn)) так, чтобы h(t) = ψ(an), а затем решив систему (3.4), мы и найдем искомую точку λ ∈ Cn, удовлетворяющую системе (3.3). Проверим, что функция h(t) непрерывна. Для этого убедимся в том, что всякая последоваподпоследовательность, сходящуюся кследовательность номеров, что последовательность точектельность {h(ηm)}m∈N, где ηm ∈ Ω(an,K,ρh(η).(rПустьn)) при любом{m(j)}j∈Nm- такая строго возрастающая по-∈ N и сходится вmlim→∞ ηm =Cη,n-содержит1 к точке ν = (ν1,...νn-1). Полагая в (3.4) t = ηm(j) и переходя к пределу при j → ∞, получим , так как L(an,λ,An) непрерывно зависит от λ в Cn. Из леммы 3.2 и леммы 2.5 легко получить следующую лемму. Лемма 3.3. Пусть последовательность A = {an}n∈N имеет конечную верхнюю плотность при уточненном порядке ρ(r) и удовлетворяет условию (2.5), множества An определены соотношением (2.4), функция Ψ, заданная на множестве A, удовлетворяет неравенству ,если , число K > 0 удовлетворяет условиям леммы 2.5. Тогда существует последовательность отображений {ωn}n∈N и отображение ω∞, обладающие следующими свойствами: 1. ωn (n = 1,2,... ,∞) является K-сдвигом при уточненном порядке ρ(r) множества An, при n 2.взаимно однозначны. 3. Последовательность функций сходится равномерно на каждом компакте в верхней полуплоскости C+. 4. 5.. Докажем теперь теорему, которая является аналогом теоремы Эрла в пространстве [ρ,∞)+. Теорема 3.1. Пусть последовательность A = {an}n∈N ⊂ C+, все предельные точки которой лежат на вещественной оси, имеет конечную верхнюю плотность при уточненном порядке ρ(r) и удовлетворяет условию (2.5). Тогда существует такое число K > 0, что для любой функции Ψ, заданной на последовательности A, и удовлетворяющей условиям ,если rk 1, можно поставить в соответствие последовательность A, такую, что 1. ,A 2. последовательность -сдвинута при уточненном порядке ρ(r) относительно последовательности A. Доказательство. Докажем теорему, используя обозначения леммы 3.3. Положим. Теорема будет доказана, если мы проверим, что из последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся равномерно на каждом компакте в верхней полуплоскости C+ к функции. Итак, пусть . Обозначим через последовательность подмножеств последовательности A, исчерпывающих A: , где последовательность {ln}n∈N введена в определении множеств An. Для любого ε > 0 можно выбрать такое натуральное число nε, что при всех n > nε и z ∈ G будет выполняться неравенство (3.6) Обозначим через подмножество множества для n < m, имеющее столько же элементов, сколько и множество . Поскольку последовательность отображений-сдвигов {ωn}n∈N сходится поточечно, то по заданному ε > 0 можно подобрать такое число m(n,ε), что при всех m > m(n,ε) и z ∈ G будет выполняться неравенство (3.7) Оценим далее отношение: (3.8) , где. Последнее произведение в соотношении (3.8) стремится к единице, если n → ∞ и z ∈ G. Действительно, при достаточно больших n и m > n для точек ak ∈ Am \An выполняется неравенство , а значит, ak∈ m\ n так как и каждое слагаемое в правой части предыдущего неравенства можно оценить следующим образом: )); Произведение также стремится к единице при z ∈ G и n → ∞, так как бесконечное произведение E(z) сходится равномерно на каждом компакте в C+. Тогда, применяя (3.6) и (3.7), получаем, что для любого ε > 0 и любого достаточно большого натурального m Теорема доказана. Для доказательства основной теоремы нам понадобится следующая лемма, которая может быть получена из [5, теорема 5] и [6, теорема 1.3.2]. Лемма 3.4. Пусть последовательность {an}n∈N имеет все предельные точки на вещественной оси и удовлетворяет условию (2.5). Тогда можно построить функцию ϕ(z) вполне регулярного роста порядка ρ(r) и нормального типа с индикатором hϕ(θ) > C, где C -любое положительное число, нули которой образуют R-множество, и исключительные кружки, содержащие ее нули, не пересекаются с последовательностью {an}n∈N. Для этой функции ϕ(z) имеет место следующая оценка вне исключительных кружков: , где -положительная постоянная. Сформулируем основной результат нашей работы. Теорема 3.2. Пусть последовательность A = {an}n∈N имеет все предельные точки на вещественной оси. Для того, чтобы последовательность A была интерполяционной в пространстве [ρ,∞)+, необходимо и достаточно, чтобы любая ее присоединенная функция E(z) удовлетворяла условию (2.5). Доказательство. Необходимость доказана в работе [7] (см. лемму 2.3). Докажем достаточность. Прежде всего, используя результат Эрла, методом сдвига узлов an построим аналитическую ограниченную в C+ функцию f ∈ H∞, которая решает интерполяционную задачу . Действительно, для таких точек an значения bn ограничены в совокупности, а из (2.5) следует, что произведение Бляшке rn1 удовлетворяет условию интерполяционности Карлесона [11] в пространстве H∞: . Пусть теперь последовательность удовлетворяет условию (2.1). Определим последовательность равенством , если , если rn 1. Так как функция f(z) ограничена, тоудовлетворяют условию (2.1). Пусть из теоремы 3.1. Используя лемму 3.4, построим целую функцию ϕ вполне регулярного роста с индикатором такую, что исключительные кружки не покрывают узлы интерполяции и вне исключительных кружков выполняется неравенство. Число K1 выберем так, чтобыИспользуя теорему 3.1, построим множество A, такое, что функция решает интерполяционную задачу для всех ak таких, что rk > 1 и F1(ak) = 0 для всех ak таких, что. Общее решение можно получить теперь в виде F(z) = F1(z)ϕ(z) + f(z).