On studying the spread model of the HIV/AIDS epidemic

Full Text

1. Введение. Описание результата Пусть Ω ⊂ R2 - ограниченная область с кусочно-гладкой границей. Рассмотрим начальнокраевую задачу где Δ = ∂2/∂x21 + ∂2/∂x22 - оператор Лапласа в R2, -→ν - единичный внешний вектор нормали к границе ∂Ω области Ω, в краевом условии (1.4) предполагается . Мы пользуемся моделью (1.1)-(1.3) в работе [33], в которую мы добавили условие территориального распространения (диффузии). В связи с этим мы используем обозначения, термины и описания, представленные в [33]. Модель (1.1)-(1.3) является результатом нескольких этапов модификации классической модели распространения эпидемии Кермака-Маккендрика [23] (см. [16, 33, 36, 38]). Функции и параметры, включенные в систему (1.1)-(1.5), имеют следующий смысл: S = S(x1,x2,t) - количество восприимчивых лиц в данной популяции; I = I(x1,x2,t) - количество бессимптомных носителей инфекции; J = J(x1,x2,t) - численность симптоматической группы; k - общая численность населения; μ - уровень смертности населения; c - частота контактов; β - вероятность передачи заболевания при контакте с инфекционным заболеванием в бессимптомной стадии; b - вероятность передачи заболевания при контакте с инфекционным заболеванием в симптоматической стадии; k1 - скорость перехода от бессимптомной стадии к симптоматической; k2 - скорость перехода от симптоматического состояния к СПИДу; δ - скорость лечения от симптоматической стадии до бессимптомной; d - уровень смертности от СПИДа; m > 0 - константа полунасыщенности, отражающая влияние освещения в средствах массовой информации на контактную передачу; β1 - частота контактов до оповещения СМИ с. Член β2I/(m + I) оценивает эффект снижения частоты контактов при информировании инфицированных лиц через средства массовой информации. Функция I/(m + I) учитывает насыщенность заболевания или психологические эффекты [17, 33]. Автор работы [33] говорит, что основная причина, по которой мы включаем влияние СМИ на этапе I, заключается в том, что оно распространяется на инфицированных лиц без симптомов. Следовательно, СМИ должны предупреждать этих людей о возможности заражения и повышать их осведомленность. Вирус иммунодефицита человека (ВИЧ) - это инфекционное хроническое заболевание, передающееся контактным путем, медленно прогрессирующее и характеризующееся поражением иммунной системы с развитием синдрома приобретенного иммунодефицита (СПИД). Число инфицированных людей в большинстве стран растет с каждым годом. Оценки распространенности ВИЧ во всем мире были даны Всемирной организацией здравоохранения (ВОЗ) и Программой Организации Объединенных Наций по ВИЧ/СПИДу (UNAIDS) с конца 1980-х годов [39, 40]. Первые больные СПИДом были зарегистрированы в 1981 году, и с тех пор это стало одной из самых разрушительных болезней, с которыми когда-либо сталкивалось человечество. По данным UNAIDS, число людей, умерших от заболеваний, связанных со СПИДом, равно 36 миллионам. Хотя факторы, ответственные за распространение ВИЧ, признаны, нехватка медицинских услуг и нежелание населения принимать профилактические меры очень затрудняют борьбу с этим заболеванием. Еще одна серьезная проблема заключается в том, что во многих странах люди даже не подозревают, что у них ВИЧ [28]. Уже долгое время математическое моделирование применяется для изучения распространения многих серьезных заболеваний: ВИЧ/СПИД, туберкулез, малярия и многие другие заболевания. Математические модели могут дать глубокое понимание реакции пациентов на возбудителей инфекционных заболеваний, а также могут предвидеть динамику распространенности инфекции среди населения. Таким образом, изучение динамических характеристик, представленных этими моделями, может сыграть существенную роль в понимании инфекционных заболеваний. В связи с этим было сформулировано и исследовано множество математических моделей для понимания длительного динамического поведения ВИЧ, а также для прогнозирования заболеваемости ВИЧ/СПИДом [13-16, 21, 22, 24-27, 29, 30, 34, 35, 37]. Нашим вкладом в рассматриваемую модификацию модели является добавление «диффузионных» членов, полученных действием оператора ϑκΔ к функциям S,I,J, κ = 1,2,3, чтобы принять во внимание миграционные процессы, которые, как мы считаем, подчиняются закону Фурье. Аналогичные модификации моделей приведены в работах, посвященных математическим моделям, описывающим не только рост, но и распространение различных видов популяций. В частности, проблемы устойчивости экосистем рассматриваются в книге [11]. Модель роста и распространения опухолевых клеток описана в статье [1]. В этой статье мы исследуем диффузионную модель, а именно достаточные условия, при которых устойчивость по Ляпунову ее стационарного решения влечет за собой его асимптотическую устойчивость («устойчивость относительно малых отклонений» - на языке теории систем). В книге [11] показано, что добавление диффузионных членов может изменить стабильность стационарного решения как в лучшую, так и в худшую сторону. Пусть H - диаметр области Ω. Далее положим (1.6) (1.7) (1.8) , (1.9) (1.10) (1.11) Предложение. Пусть w(x) = (w1(x1,x2),w2(x1,x2),w3(x1,x2)) -регулярное стационарное решение системы уравнений (1.1)-(1.3), удовлетворяющее краевым условиям (1.4). Если при S = w1, I = w2, J = w3 квадратичная форма (1.12) отрицательно определена, то стационарное решение w асимптотически устойчиво при малых отклонениях (т. е. из устойчивости по Ляпунову вытекает асимптотическая устойчивость). 2. Материалы и методы Методы исследования, использованные для доказательства основного результата в настоящей работе, были использованы ранее в работах [6, 8-10, 18, 20, 31]. В [32] методика исследования скорректирована в связи с тем, что уравнение содержит оператор Бесселя (см. [2, 3, 5, 12] в связи с этим). Рассмотрим начально-краевую задачу (см. также [8, 9]) , (2.1) (2.2) (2.3) где Ω - область, ограниченная кусочно-гладкой границей Γ = ∂Ω, ν = →-ν - единичный внешний вектор нормали к - оператор Лапласа, заданный формулой . Безусловно, мы должны требовать выполнения условий согласования исходных и граничных данных. Однако в рамках настоящей статьи мы отходим от этого вопроса. Будем считать, что все условия существования классических (регулярных) решений рассматриваемой задачи выполнены, и, кроме того, все исходные функции обладают необходимыми свойствами, позволяющими нам выполнять все операции, которые мы выполняем ниже. Если ϑs = 0, s = 1,...,m, (2.4) мы получаем модель с сосредоточенными параметрами без диффузионных членов. В этом случае переменные x1,...,xn включены в уравнения (2.1) как параметры и производные по этим переменным в уравнениях (2.1) не содержатся. Если , (2.5) то мы получаем систему с распределенными параметрами. Пусть w = (w1(x),...,wm(x)) - стационарное решение задачи (2.1)-(2.3), т. е. решение задачи ϑsΔws + Fs(w) = 0, x ∈ Ω, (2.6) (2.7) Пусть функции Fs(u), s = 1,...,m, дифференцируемы в точке w. Тогда при достаточно малых отклоненияхмы имеем , (2.8) где Подставляя представление us = ws + zs в уравнение (2.1) и учитывая (2.8), мы получаем: (2.9) Учитывая, что w является стационарным решением, мы получаем из (2.9): (2.10) Умножим каждое s-е уравнение системы (2.1) на zs и проинтегрируем полученное равенство по области Ω. Принимая во внимание (2.8), мы получаем: Мы можем отбросить третье слагаемое в правой части равенства (2.11), поскольку оно не влияет на знак результирующей суммы, когда отклонения z невелики. Далее применим формулу Грина (см. [19]) к первому члену в правой части (2.11). В результате мы получаем: где dΓ является элементом границы ∂Ω, т. е. второй член в правой части (2.12) является криволинейным интегралом первого рода по ∂Ω (когда n = 2), или поверхностным интегралом первого рода по ∂Ω (когда ), или суммой значений на концах интервала Ω (когда n = 1). Когда μs = 0 или ηs = 0, подынтегральное выражение в интеграле по ∂Ω равно нулю из-за граничного условия (2.2). Из того же граничного условия, когда μsηs > 0, мы получаем: . Следовательно, равенство (2.12) может быть переписано как (2.13) где , когда μsηs > 0, или σs = 0, когда μsηs = 0. Суммируя (2.13) по s, мы получим: (2.14) где Θsk = (bsk + bks)/2. Знак левой части (2.14) рассматривается как показатель устойчивости тривиального решения. Следовательно, важно найти соотношение членов в правой части, приводящее к отрицательности этого выражения. В круглых скобках с правой стороны как первый член, так и второй член не больше нуля. Далее нам нужно принять во внимание знак последнего члена в правой части. Если квадратичная форма (2.15) отрицательно определена, то левая часть (2.14) будет отрицательна, и стационарное решение будет асимптотически устойчивым. В случае модели с сосредоточенными параметрами (система обыкновенных дифференциальных уравнений), т. е. при выполнении условий (2.4), отрицательность квадратичной формы (2.15) также является необходимым условием для того, чтобы тривиальное решение было устойчивым. Рассмотрим диффузионную модель с распределенными параметрами. В этом случае можно ослабить достаточное условие асимптотической устойчивости стационарного решения. Для этой цели мы используем неравенство Стеклова-Пуанкаре-Фридрихса (см. [4, 7]) где H - диаметр области Ω. Следовательно, (2.16) Окончательно мы можем сказать, что достаточным условием устойчивости стационарного решения является отрицательность квадратичной формы , (2.17) где Ask = Θsk - δksϑs/H2. (2.18) 3. Доказательство основного результата Теперь, чтобы доказать основной результат, мы положим m = 3, n = 2 в системе (2.1): u1 = S(x1,x2,t), u2 = I(x1,x2,t), u3 = J(x1,x2,t), (3.1) (3.2) (3.3) F3 = F3(S,I,J) = k1I - (μ + k2 + δ)J. (3.4) Частные производные функций Fs имеют вид , ; , ; . Подставляя частные производные в (2.18), мы получаем представления (1.6)-(1.11) для коэффициентов Asκ, что завершает доказательство. 4. Результаты и обсуждение Заметим, что если диаметр домена достаточно мал и , тогда квадратичная форма (1.12) определена отрицательно, поэтому постоянное стационарное решение, очевидно, устойчиво в небольшой области. Следует также отметить, что любое стационарное (постоянное) решение системы (1.1)-(1.3) без учета миграций (т. е. когда ϑ1 = ϑ2 = ϑ3 = 0, и мы имеем дело с системой ОДУ) является стационарным решением этой системы (УЧП) с учетом миграций, (т. е. когда ϑ21 +ϑ22 +ϑ23 > 0), конечно, при соответствующих граничных условиях. В то же время может оказаться, что это постоянное решение не является асимптотически устойчивым в модели без учета миграции, но асимптотически устойчиво в небольшой области, если учитывать процессы миграции. Это можно продемонстрировать на простом примере. Постоянная точка (стационарное состояние) (k,0,0) является решением системы (1.1)-(1.3) для любого набора коэффициентов диффузии. В случае ϑ1 = ϑ2 = ϑ3 = 0 это решение асимптотически устойчиво при и только при этом условии. Если ϑ21 + ϑ22 + ϑ23 > 0, то решение (k,0,0) с достаточно малым значением H будет асимптотически устойчивым без этого требования.

About the authors

A. I. Shashkin

Voronezh State University

Author for correspondence.
Email: shashkin@amm.vsu.ru
Voronezh, Russia

M. V. Polovinkina

Voronezh State University of Engineering Technologies

Email: polovinkina-marina@yandex.ru
Voronezh, Russia

I. P. Polovinkin

Voronezh State University; Belgorod State National Research University

Email: polovinkin@yandex.ru
Voronezh, Russia; Belgorod, Russia

References

Supplementary files