The problem of existence of feedback control for one nonlinear viscous fractional Voigt model

Full Text

1. Введение В настоящее время гидродинамическими задачами описывается огромное число процессов, протекающих на различных предприятиях. В данной статье рассматривается модель, описывающая движение нелинейно-вязкой жидкости. Первые работы, посвященные данной тематике, появились в 50-х годах прошлого века, их появление связано с развитием таких отраслей как биомеханика, биогидродинамика, пищевая промышленность и т. д. Использование полимерных насадок и нанопорошковых присадок на предприятиях повысило интерес к такому типу гидродинамических задач (см. [1, 2]). В настоящей работе изучается задача оптимального управления с обратной связью для одной такой модели, описывающей движение вязкоупругой среды с памятью. Вначале опишем изучаемую модель. В ограниченной области с границей ∂Ω класса C2 рассматривается задача, описывающая движение нелинейно-вязкой жидкости: © А.В. Звягин, Е.И. Костенко, 2024 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 586 Div [2ν(I2(v))E(v)] - ; (1.1) div v(t,x) = 0, (t,x) ∈ Q; (1.2) τ Ω; (1.3) . (1.4) Здесь v(t,x) = (v1(t,x),...,vn(t,x)) и p(t,x) неизвестные скорость и давление рассматриваемой среды, - тензор скоростей деформации с компонентами- плотность внешних сил,- константы, и z(τ;t,x) - траектория движения частицы жидкости, - гамма-функция Эйлера, определяемая через абсолютно сходящийся интеграл (см. [10]). Знак Div обозначает дивергенцию матрицы, т. е. вектор, координатами которого являются дивергенции векторов-столбцов матрицы. Функция I2 определяется равенством: . Функция ν удовлетворяет следующим ограничениям: ; (, при0; (. Наличие интегрального слагаемого в (1.1) отражает учет памяти сплошной среды. Различные модели с памятью возникали и изучались в большом числе работ (см., например, [1]). Но, как правило, математические постановки рассматривали вклад памяти при постоянном значении пространственной переменной x (см. [6]). На практике такие модели «не физичны». Память среды необходимо учитывать вдоль траектории движения частицы. Таким образом, в (1.1) появляется z(s;t,x) - траектория частицы среды, указывающая в момент времени s расположение частицы среды, находящейся в момент времени t в точке x. Данная траектория определяется полем скоростей v. Заметим, что для корректной постановки задачи необходимо, чтобы траектории z однозначно определялись полем скоростей v, другими словами, чтобы уравнение (1.3) имело единственное решение для поля скоростей v. Для этого в случае, когда скорость v принадлежит пространству Соболева, в работах [12-14] была исследована разрешимость интегральной задачи Коши (1.3) и установлены существование, единственность и устойчивость регулярных лагранжевых потоков (РЛП) - обобщения понятия классического решения. Эти результаты дают возможность корректно рассмотреть поставленную задачу. Краевая задача (1.1)-(1.4) описывает математическую модель, изучающую движение нелинейно-вязкоупругой жидкости с бесконечной памятью вдоль траектории движения частицы среды. В работах [5, 17], изучалась математическая модель (1.1)-(1.4) с постоянной вязкостью и памятью на временном интервале [0,T]. В работе [18] доказана слабая разрешимость изучаемой модели с постоянной вязкостью, а в работе [15] - с нелинейной вязкостью. В данной статье для изучаемой математической модели рассматривается задача управления с обратной связью. Заметим, что задачам оптимального управления в механике жидкости посвящено большое число работ (см., например, [11] и имеющуюся там литературу). Однако в большинстве из них изучаются различные задачи оптимального управления для системы Навье-Стокса. Но в природе существует огромное число жидкостей, которые описываются более сложными системами уравнений (такие жидкости называются «неньютоновские жидкости»). Список работ, изучающих задачи оптимального управления, в том числе и задачи с обратной связью, для подобных моделей движения жидкости намного беднее (см. [4, 7, 19]). В настоящей работе доказывается существование оптимального управления с обратной связью для одной такой модели, описывающей движение вязкоупругой среды с памятью. 2. Вспомогательные сведения и основной результат Обозначим через множество измеримых вектор-функций v : Ω → Rn, суммируемых с p-ой степенью, а через- пространства Соболева. Рассмотрим пространство бесконечно-дифференцируемых вектор-функций из Ω в Rn с компактным носителем в Ω. Обозначим через V множество. Через V 0 мы обозначим замыкание V по норме L2(Ω), через V 1 - по норме W21(Ω) и через V 2 пространство W22(Ω) ∩ V 1. Введем шкалу пространств V β, β ∈ R. Для этого рассмотрим проектор Лере P : L2(Ω) → V 0 и оператор A = -PΔ, определенный на D(A) = V 2. Этот оператор может быть продолжен в V 0 до замкнутого оператора, который является самосопряженным положительным оператором с компактным обратным. Пусть ··· - собственные значения оператора A. В силу теоремы Гильберта о спектральном разложении компактных операторов, собственные функции {ej} оператора A образуют ортонормированный базис в V 0. Обозначим через , множество конечных линейных комбинаций, составленных из ej, и определим пространство V β, β ∈ R, как пополнение E∞ по норме , где. (2.1) На пространстве V β, β > -1/2, норма (2.1) эквивалентна обычной норме пространства (см. [11]). Кроме того, нормы в пространствах V 1, V 2 и V 3 могут быть заданы следующим образом: , Здесь символ «:» обозначает покомпонентное матричное произведение. Далее, через V -β = (V β)-1, β ∈ N, будем обозначать сопряженное пространство к V β. Введем пространство, в котором будет доказана разрешимость изучаемой задачи: с нормой Далее будем использовать понятие регулярного лагранжева потока (см. [12-14]). Определение 2.1. Регулярным лагранжевым потоком (РЛП), порожденным v, называется функция z(τ;t,x), (τ;t,x) ∈ [0,T] × [0,T] × Ω¯, удовлетворяющая следующим условиям: 1. при п.в. x и любом t ∈ [0,T] функция γ(t) = z(τ;t,x) абсолютно непрерывна и удовлетворяет уравнению ]; 2. для любых t,τ ∈ [0,T] и произвольного измеримого по Лебегу множества B ⊂ Ω¯ с лебеговой мерой m(B) справедливо соотношение m(z(τ;t,B)) = m(B); 3. при всех, и п.в. x ∈ Ω¯ z(t3;t1,x) = z(t3;t2,z(t2;t1,x)). Приведем также следующие результаты о РЛП. Теорема 2.1. Пусть. Тогда существует единственный РЛП z ∈ C(D;L), порожденный v, и , где C(D,L) -банахово пространство непрерывных функций на D = [0,T]×[0,T] со значениями в L -метрическом пространстве измеримых на Ω вектор-функций. Теорема 2.2. Пусть v,vm ∈ L1(0,T;W1p(Ω)), m = 1,2,... , при некотором p > 1. Пусть divv(t,x) = 0, divvm(t,x) = 0, v|[0,T]×∂Ω = vm|[0,T]×∂Ω = 0. Пусть выполняются неравенства . Пусть vm сходится к v в L1(QT ) при m → +∞. Пусть z(τ;t,x) и zm(τ;t,x) -РЛП, порожденные v и vm, соответственно. Тогда последовательность zm сходится к z по мере Лебега на множестве [0,T] × Ω при t ∈ [0,T]. Здесь vx - матрица Якоби вектор-функции v. Таким образом, в силу теоремы 2.2 для каждого v ∈ L2(-∞,T;V 1) и для почти всех x ∈ Ω уравнение (1.3) имеет единственное решение z(v). Перейдём к описанию задачи управления для изучаемой математической модели. Для этого рассмотрим многозначное отображение Ψ : W1 L2(-∞,T;V -1), которое будет использовано для определения обратной связи и задания ограничений на управление. Будем предполагать, что Ψ удовлетворяет следующим условиям: (Ψ1) отображение Ψ определено на пространстве W1 и имеет непустые, компактные, выпуклые значения; (Ψ2) отображение Ψ полунепрерывно сверху и компактно; (Ψ3) отображение Ψ глобально ограничено, т. е. существует константа M > 0 такая, что для всех v ∈ W1; (Ψ4) Ψ слабо замкнуто в следующем смысле: если , тогда u0 ∈ Ψ(v0). Мы будем рассматривать слабую постановку задачи управления с обратной связью для начально-краевой задачи (1.1)-(1.4). Под обратной связью мы понимаем следующее условие: f ∈ Ψ(v). (2.2) Таким образом, в работе рассматривается задача управления с обратной связью (1.1)-(1.4), (2.2). Сформулируем определение слабого решения задачи управления с обратной связью (1.1)- (1.4), (2.2). Определение 2.2. Слабым решением задачи управления с обратной связью (1.1)-(1.4), (2.2) называется пара функций (v,f) ∈ W1 × L2(-∞,T;V -1), удовлетворяющая a) условию обратной связи (2.2), b) при любой ϕ ∈ V 1 и п.в. t ∈ (-∞,T) тождеству . (2.3) Здесь z - РЛП, порожденный v. Первым результатом настоящей работы является следующая теорема. Теорема 2.3. Пусть многозначное отображение Ψ удовлетворяет условиям (Ψ1)-(Ψ4). Тогда существует хотя бы одно слабое решение задачи управления с обратной связью (1.1)- (1.4), (2.2). Обозначим через Σ ⊂ W1 × L2(-∞,T;V -1) множество всех слабых решений задачи (1.1)- (1.4), (2.2). Рассмотрим произвольный функционал качества Φ : Σ → R, удовлетворяющий следующим условиям: (Φ1) существует число γ такое, что для всех (v,f) ∈ Σ; (Φ2) если. Основным результатом работы является следующая теорема. Теорема 2.4. Если отображение Ψ удовлетворяет условиям (Ψ1)-(Ψ4), а функционал Φ удовлетворяет условиям (Φ1)-(Φ2), тогда задача оптимального управления с обратной связью (1.1)-(1.4), (2.2) имеет хотя бы одно слабое решение (v∗,f∗) такое, что Φ(v∗,f∗) = inf Φ(v,f). (v,f)∈Σ Доказательство данных результатов состоит из нескольких частей. Сначала на основе аппроксимационно-топологического подхода к исследованию математических задач гидродинамики, разработанного В.Г. Звягиным (см. [8]), доказывается существование слабых решений исследуемой задачи управления с обратной связью. Для этого вводится семейство () вспомогательных включений, зависящих от малого параметра ε > 0, доказываются априорные оценки решений и на основе теории топологической степени для многозначных векторных полей доказывается существование слабых решений вспомогательной задачи управления с обратной связью при ξ = 1. Далее, для доказательства разрешимости исходной задачи управления с обратной связью на основе необходимых оценок устанавливается предельный переход. В заключение, показывается, что во множестве решений найдется хотя бы одно решение, дающее минимум заданному функционалу качества. 3. Аппроксимационная задача Рассмотрим следующее семейство вспомогательных задач () с малым параметром θ > 0: ; (3.1) div Ω; (3.2) Ω; (3.3) v(t,x (t,x)∈[ m,T]×∂Ω= 0, x ∈ Ω. (3.4) Здесь Разрешимость данного семейства вспомогательных задач будет доказана в следующем функциональном пространстве: с нормой . Дадим определение слабого решения задачи (3.1)-(3.4). Определение 3.1. Слабым решением задачи (3.1)-(3.4), (2.2) называется пара функций (v,f) ∈ W2 × L2(-m,T;V -1), удовлетворяющих a) условию обратной связи (2.2), b) при любой ϕ ∈ V 1 и п.в. t ∈ (-m,T) тождеству (3.5) и начальному условию v(-m,·) = 0. Здесь z - РЛП, порожденный v. Перейдём к операторной трактовке задачи (3.1)-(3.4). Введем операторы: ; ; ); ; . Поскольку в равенстве (3.5) функция ϕ ∈ V 1 произвольна, оно эквивалентно в L2(-m,T;V -1) следующему операторному уравнению: (3.6) Также определим операторы при помощи следующих равенств: ); C : W2 → L2(-m,T;V -1) × V 3, C(v) = (K(v),0); ; Тогда задача о нахождении решения интегрального уравнения (3.5) при фиксированном , удовлетворяющего начальному условию (3.4) и условию обратной связи (2.2), эквивалентна задаче о нахождении решения при фиксированном операторного уравнения L(v) = ξ(C(v) - G(v) - F(v) + (f,0)), удовлетворяющего условию обратной связи (2.2). Для введенных выше операторов справедливы следующие свойства. Лемма 3.1. Для любой функции v ∈ W2 функция K(v) ∈ L2(-m,T;V -1), отображение K : W2 → L2(-m,T;V -1) является компактным, и для него имеет место оценка . (3.7) Доказательство. Доказательство данной леммы проводится аналогично [18, лемма 5]. Лемма 3.2. Оператор L : W2 → L2(-m,T;V -1)×V 3 обратим, и обратный к нему оператор L-1 : L2(-m,T;V -1) × V 3 → W2 является непрерывным оператором. Доказательство. Доказательство данной леммы является достаточно стандартным и проводится аналогично лемме 4.4.3 монографии [8]. Лемма 3.3. Отображение D : L2(-m,T;V 1) → L2(-m,T;V -1) непрерывно, и для него справедлива оценка . (3.8) Доказательство. Доказательство данной леммы проводится аналогично лемме 4 статьи [15]. L2Лемма 3.4.(-m,T;V -1) Для любогои отображениеv ∈ LB2(:-Lm,T2(-;m,TV 1), z;V 1∈) ×[-[-m,Tm,T] ×] ×[-[-m,Tm,T] ×] ×Ω¯Ω¯выполнено→ L2(-m,TB(v,z;V)-1∈) непрерывно и ограничено. Кроме того, для любого фиксированного z ∈ [-m,T] × [-m,T] × Ω¯, для любого u, v ∈ L2(-m,T;V 1) справедлива оценка . (3.9) Доказательство. Доказательство первой части леммы описано в [6, Lemma 2.2], вторая часть доказана в [18, Lemma 3]. Определим несколько понятий, касающихся меры некомпактности и L-уплотняющих операторов (см. [3, 9]). Определение 3.2. Неотрицательная вещественная функция ψ, определенная на подмножестве банахова пространства F, называется мерой некомпактности, если для любого подмножества M этого пространства выполнены следующие свойства: 21.. для любых двух множествψ(coM) = ψ(M); M1 и M2 из M1 ⊂ M2 следует, что. Здесь coM обозначает выпуклое замыкание множества M. В качестве примера меры некомпактности возьмём меру некомпактности Куратовского: точная нижняя граница d > 0, для коменьшеторого множество M допускает разбиение на конечное число подмножеств, диаметры которых d. Приведём некоторые важные свойства меры некомпактности Куратовского: 3. ψ(M) = 0K) =, еслиψ(MM),относительно компактное подмножество;если K относительно компактное множество. 4. ψ(M ∪ F - отображениеОпределение 3.3.X в банахово пространствоПусть X - ограниченное подмножество банахова пространства иF. Отображение g : X F называется L-уплотняL : X →ющим, если ψ(g(M)) < ψ(L(M)) для любого множества M ⊆ X такого, что→ . Пусть - мера некомпактности Куратовского в пространстве L2(-m,T;V -1) с нормой . Тогда имеет место следующая лемма. Лемма 3.5. Отображение B : W2 → L2(-m,T;V -1) является L-уплотняющим по мере некомпактности Куратовского γk. Доказательство. Данная лемма была доказана в [18, Lemma 4]. Используя полученные выше свойства операторов, получим следующие априорные оценки для семейства вспомогательных задач. Лемма 3.6. Для любого решения операторного включения (3.6) имеют место оценки: ; ; (3.10) ; ; (3.11) где константы C9, C10, C11, C12 не зависят от v, ξ и m. Доказательство. Доказательство данной леммы проводится достаточно стандартно. Подробные расчеты можно посмотреть, например, в [18, Lemmas 7-8]. Лемма 3.7. Если v ∈ W2 -решение уравнения (3.6) для некоторого ξ ∈ [0, 1], то для него имеет место оценка , где C13 зависит от θ. Теорема 3.1. Операторное включение (3.6) при ξ = 1 имеет хотя бы одно решение v ∈ W2. Доказательство. Для доказательства данной теоремы воспользуемся теорией топологической степени для многозначных векторных полей (см., например, [19]). Введем оператор следующим образом: Y(v) = (Ψ(v),v0). Тогда задача существования решения (v,f) ∈ W2 ×L2(-m,T;V -1) аппроксимационной задачи эквивалентна задаче существования решения v ∈ W2 для следующего операторного включения: v ∈ ξM, где M = L-1(Y + C(v) - G(v) - F(v)). (3.12) Из леммы 3.7 следует, что все решения уравнения (3.12) лежат в шаре BR ⊂ W2 с центром в нуле и радиусом R = C13+1. Согласно утверждению леммы 3.2 оператор L : W2 → L2(0,T;V -1)×V 3 является обратимым. Тогда ни одно решение v ∈ ξM не принадлежит границе шара BR. В силу леммы 3.2 оператор L-1 : L2(0,T;V -1) × V 3 → W2 является непрерывным. Согласно леммам 3.1, 3.3, 3.5 отображение является L-уплотняющим относительно меры некомпактности Куратовского γk. Следовательно, оператор M : W2 → W2 является уплотняющим относительно меры некомпактности Куратовского γk. Таким образом, векторное поле v - ξM невырождено на границе шара BR, а значит, для этого векторного поля определена топологическая степень deg(I -ξM,BR,0). По свойствам гомотопической инвариантности и нормировки степени получим, что deg(I - M,BR,0) = deg(I,BR,0) = 1. Отличие от нуля степени отображения обеспечивает существование хотя бы одного решения v ∈ W2 включения (3.6) при ξ = 1, а следовательно, и вспомогательной задачи (3.1)-(3.4), (2.2) при ξ = 1. 4. Предельный переход Перейдём к доказательству разрешимости исходной краевой задачи. Лемма 4.1. Пусть fm ∈ L2(-∞,T;V -1). Тогда следующая оценка выполнена для vm: c константой C14, не зависящей от m. Здесь vm -последовательность, сходящаяся к искомой функции скорости. Существование данной последовательности вытекает из того факта, что пространство V 3 плотно в V 0. Доказательство. Данная лемма доказывается аналогично [20, Lemma 3.4]. Оценка (4.1) означает, что последовательность vm ограничена в L2(-∞,T;V 1). Это позволяет утверждать, что существует функция v∗ ∈ L2(-∞,T;V 1) такая, что vm (с точностью до подпоследовательности) слабо сходится к v∗ в L2(-∞,T;V 1). Кроме того, оценка (4.1) влечет за собой сходимость vm к v∗ (с точностью до подпоследовательности) п.в. на [-k,T]×Ω для любого k > 0. Лемма 4.2. Пусть k < m, f ∈ L2(-∞,T;V -1). Тогда для функций vm оценка выполняется с независимой от m, но зависящей от k константой C15(k). Доказательство. Данная лемма доказывается аналогично [20, Lemma 3.5]. dvm Лемма 4.2 подразумевает, что последовательность ограничена по норме пространства dt L1(-k,T;V -1) и сходится к dv в смысле распределения на [-k,T] для любого -∞ < k < T. dt Рассмотрим задачу Коши (1.3) для предельной функции v∗. Так как v∗ ∈ W1, следовательно, v∗ удовлетворяет условиям теоремы 2.2. Поэтому на любом конечном интервале [-k,T] для любого -∞ < k < T. Тогда из теоремы 2.1 следует существование РЛП z∗(τ;t,x),-∞ < τ,t T,x ∈ Ω¯, порожденного v∗. Обозначим через zm(τ;t,x) - РЛП, порожденные vm. Лемма 4.3. Последовательность zm(τ;t,x) сходится по мере Лебега на [-k,T] × Ω по (τ,x) к z∗(τ;t,x) для. Доказательство. Данная лемма следует из априорной оценки леммы 3.6 и теоремы 2.2. Из леммы 4.3 следует, что последовательность zm(τ;t,x) сходится (с точностью до подпоследовательности) к z∗(τ;t,x) п.в. на Q(k,T) = [-k,T]×Ω как функция переменных (τ,x) ∈ Q(k,T) для любого -k ∈ (-∞,T) для t ∈ [-k,T] (см. [16, лемма VI.5.1]). Легко видеть, что последовательность fm сходится к f в L2(-∞,T;V 0) сильно в L2(Q)n и п.в. на Q = (-∞,T] × Ω. Полученные сходимости позволяют перейти к пределу при θ → 0 в каждом слагаемом интегрального равенства вспомогательной задачи для ξ = 1. Это подразумевает, что предельная функция v∗ удовлетворяет тождеству (2.3). Таким образом, мы доказали существование хотя бы одного слабого решения задачи (1.1)-(1.4), (2.2), описывающего движение нелинейно-вязкой жидкости. 5. Существование оптимального управления с обратной связью Из теоремы 2.3 мы получаем, что множество решений Σ непусто. Следовательно, существует минимизирующая последовательность (vl,fl) ∈ Σ такая, что lim Φ(vl,fl) = inf Φ(v,f). l→∞ (v,f,)∈Σ Как и ранее, используя оценку (3.10)-(3.11), мы без ограничения общности, в случае необносительноходимости переходя к подпоследовательности, можем предположить, что(τ,x) ∈ [0,T] × Ω; fl → f∗ ∈ Ψ(-∞v∗) сильно в1); zl(τL;2t,x(-∞) →,T;zV∗(-τ1;)t,xпри) по норме Лебега от-mv→l →+∞v.∗ сильно в слабо в L2( ,T;V Аналогично предыдущему разделу, переходя к пределу во включении , мы получим следующее включение: . - Следовательно, (v∗,f∗) ∈ Σ. Поскольку функционал Φ полунепрерывен снизу относительно слабой топологии, мы имеем , что доказывает, что (v∗,f∗) - требуемое решение. Это и завершает доказательство теоремы 2.4.

About the authors

A. V. Zvyagin

Voronezh State University

Author for correspondence.
Email: zvyagin.a@mail.ru
Voronezh, Russia

E. I. Kostenko

Voronezh State University

Email: ekaterinalarshina@mail.ru
Voronezh, Russia

References

Supplementary files