Интегральные неравенства для тригонометрических многочленов в периодических пространствах Морри

Аннотация

В статье представлен подробное изложение неравенства Бернштейна, неравенств разных метрик и разных размерностей для тригонометрических полиномов в периодических пространствах Морри.

Полный текст

1. Введение Определение 1.1. Пусть n ∈ N, μ ∈ N0. Обозначим через M множество всех тригонометрических многочленов порядка, не превышающего μ по каждой переменной: , (1.1) где x1∈,...,xR для любогоn ∈ R, ckx1,...,k∈ Rn ).∈ C - постоянные коэффициенты, такие что c-k = ¯ck (при этом Tμ(x) n Пусть далее . Снабдим линейное пространство M нормой , (1.2) где Q(x,r) = {y ∈ Rn : |xj - yj| < r,j = 1,...,n}. Обозначим получившееся нормированное пространство через M∗μ,p(Rn). В книге [3] доказаны следующие неравенства для тригонометрических многочленов Tμ ∈ M. 1. (неравенство Бернштейна) Пусть , тогда для любых тригонометрических многочленов Tμ ∈ M∗μ,p(Rn) выполняется неравенство (1.3) © Д.Дж. Джосеф, 2024 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 561 2. (неравенство разных метрик) Пусть , тогда для любых тригонометрических многочленов Tμ ∈ M∗μ,p(Rn) выполняется неравенство . (1.4) 3. (неравенство разных измерений) Пусть Rm, v = (xm+1,...,xn) ∈ Rn-m, тогда для любых тригонометрических многочленов Tμ ∈ M∗μ,p(Rn) выполняется неравенство , (1.5) в частности, . (1.6) Неравенства (1.4)-(1.6) были доказаны в книге [3] с помощью эквивалентной нормы ((Tμ))∗Lp, определяемой следующим образом: пусть . (1.7) Неравенства (1.4)-(1.6) можно также доказать, используя представления тригонометрических многочленов в виде свертки его с некоторым ядром, см., например, книгу [7], где используется представление в виде свертки с ядром Валле-Пуссена Vμ: Tμ = Vμ ∗ Tμ. (1.8) Целью настоящей работы является доказательство аналогичных неравенств в случае, когда пространство (Lp)∗ заменено на периодическое пространство Морри . Для их доказательства будут использованы оба подхода. Основные результате этой работы были сформулированы без доказательства в заметке [5]. Отметим также, что неравенство Бернштейна, неравенства разных метрик и разных измерений для целых функций экспоненциального типа для пространств Lp(Rn) доказаны С.М. Никольским [3], а для пространств Морри Mpλ - в работах [1, 4]. 2. Периодические пространства Морри (Mpλ)∗ Пространства , называемые теперь пространствами Морри, были впервые рассмотрены Чарльзом Морри [6] в связи с исследованием регулярности решений дифференциальных уравнений с частными производными. Их периодический аналог был рассмотрен в [2]. Определение 2.1 (см. [2]). Пусть , тогда функция f ∈ (Mpλ)∗(Rn), если она имеет период 2π, измерима по Лебегу на Rn и . (2.1) Отметим некоторые свойства этих пространств. 1. Из определения сразу видно, что при λ = 0 . 2. При . n 3. Если λ < 0 или λ > , то пространства состоят только из функций, эквивалентp ных 0 на Rn. 4. Отметим, что пространство обладает свойством монотонности по параметру λ: . (2.2) Действительно, , следовательно, . (2.3) 5. В [2] доказано, что для любых . (2.4) 6. Инвариантность относительно сдвига: для любых f ∈ (Mpλ)∗ . (2.5) Действительно, 7. , причем для любых . (2.6) Действительно, . 3. Неравенства для тригонометрических многочленов в пространствах (Mpλ)∗ 3.1. Неравенство Бернштейна. В одномерном случае интерполяционная формула для произвольного тригонометрического многочлена Tμ порядка μ ∈ N имеет вид (см. [3]): , (3.1) где xk - нули многочлена cos(nx). Если положить здесь Tμ(x) = sin(μx) и x = 0, то получим . (3.2) Теорема 3.1. Пусть Z∗ -нормированное пространство периодических функций периода 2π по каждой переменной, причем нормаинвариантна относительно сдвига, т. е. для любой функции f ∈ Z∗ . (3.3) Тогда для любых тригонометрических многочленов Tμ ∈ Z∗(Rn) порядка μ ∈ N по каждой переменной (3.4) Доказательство. Согласно формулам (3.1) и (3.2) . В многомерном случае функция T(x) = T(x1,...,xn) при фиксированных x1,...,xj-1,xj+1, ...,xn является тригонометрическим многочленом по переменной xj, поэтому в силу (3.1) имеем где. Следовательно, согласно (3.3) j . Следствие 3.1. Пусть , тогда согласно (2.5) ∀Tμ ∈ (Mpλ)∗ (3.5) 3.2. Неравенство разных метрик для пространств Морри. Определение 3.1. Пусть и Лемма 3.1. Пусть -N,...,N - 1. Тогда для любых функций f : Q(x,r) → Rn таких, что . (3.7) Доказательство. Применяя обратное неравенство треугольника и неравенство Гёльдера, получим, что Лемма 3.2. Пусть -измеримая, 2π-периодическая функция по каждой переменной такая, что (3.8) Тогда . (3.9) Доказательство. Действительно, при {в силу 2π-периодичности Многомерный случай следует n-кратным применением одномерного случая. Лемма 3.3. Пусть, тогда для любых имеет место неравенство Доказательство. Пусть таковы, что . (3.12) Согласно лемме 3.1, неравенству Бернштейна для пространств (Mpλ)∗ и равенству (3.12) . Доказательство левого неравенства (3.11) следует непосредственно из леммы 3.2. Теорема 3.2. Пусть , тогда имеет место неравенство (3.13) Доказательство. Согласно лемме 3.2 , этим доказано первое неравенство. Докажем второе неравенство (3.13) по индукции. При n = 1 оно было доказано в лемме 3.3. Пусть n > 1. Допустим теперь, что оно верно для n - 1. Зафиксируем x1, тогда функция T по-прежнему будет тригонометрической по x2 ...xn и верно неравенство (3.14) . (3.15) Интегрируя (3.14)-(3.15) по x1 и возводя в степень 1/p, получим что . Лемма 3.4. При (3.16) Доказательство. В силу неравенства Йенсена и определения 3.1: Теорема 3.3. Пусть. Тогда (3.17) Доказательство. Для любого N ∈ N . Полагая здесь N = μ, получим неравенство (3.17). Рассмотрим свёртку функций ϕ,g ∈ L1(Q(0,π)), 2π-периодических по каждой переменной: . (3.18) Напомним, что ck(ϕ ∗ g) = (2π) ck(ϕ)ck(g). (3.19) Если ck(ϕ) = (2π)-n для k ∈ Zn, для которых, то ck(g) = ck(ϕ ∗ g). (3.20) Лемма 3.5. Пусть n ∈ N, μ ∈ N, ϕ ∈ L1(Q(0,π)) - 2π-периодическая функция по каждой переменной. Для того, чтобы для любого тригонометрического многочлена Tμ порядка, не превышающего μ по каждой переменной, выполнялось равенство Tμ = ϕ ∗ Tμ, (3.21) необходимо и достаточно, чтобы (3.22) Доказательство. Необходимость. Пусть равенство (3.21) выполняется для любых тригонометрических многочленов Tμ порядка, не превышающего μ по каждой переменной. Согласно (3.19) (2π)ck(ϕ)ck(Tμ) = ck(Tμ) для любых k ∈ Zn таких, что Для каждого такого k существует тригонометрический многочлен Tμ порядка, не превышающего μ по каждой переменной, для которого , откуда следует, что выполняется равенство (3.22). Достаточность. Пусть выполняется равенство (3.22) для любых тригонометрических многочленов Tμ порядка, не превышающего μ по каждой переменной: . тогда . Определение 3.2 (ядро Дирихле). Для μ ∈ N , (3.23) (3.24) Отметим, что (3.25) и (3.26) Из неравенств (3.25) и (3.26) следует, что для любых , (3.27) так как согласно интерполяционному неравенству для лебеговых пространств . Частным случаем равенства (3.21) является хорошо известное равенство . Замечание 3.1. Если ϕ - тригонометрический многочлен порядка μ по каждой переменной, то равенство (3.21) выполняется для любых тригонометрических многочленов Tμ порядка, не превышающего μ по каждой переменной, тогда и только тогда, когда . Замечание 3.2. Пусть для α,n ∈ N и Δα = Δα(1) × ··· × Δα(n). Если ϕ -тригонометрический многочлен порядка ν > μ по каждой переменной, то равенство (3.21) выполняется для любых тригонометрических многочленов Tμ порядка, не превышающего μ по каждой переменной, тогда и только тогда, когда В частности, при n = 1 имеем Определение 3.3. Для μ ∈ N обозначим через Jμ∗ множество всех 2π-периодических функций ϕ ∈ L1(Q(0,π)), удовлетворяющих условию (3.22) (следовательно, имеющих вид (3.28) для некоторого Согласно лемме 3.5 для таких функций ϕ справедливо равенство (3.21). Определение 3.4 (cм. [7]). Пусть μ, ν ∈ N и ν > μ. Ядро Валле-Пуссена определяется следующим образом: ν 1 V, (3.29) =μ в частности, V, V0(x) = 1. (3.30) Замечание 3.3. Для ν > μ представим ядро Дирихле в виде , где Тогда V Положим , (3.31) тогда . (3.32) Частным случаем равенства (3.21) является равенство , (3.33) в частности, T T (3.34) Теорема 3.4 (см., например [7]) , тогда . (3.35) Теорема 3.5. (Следствие из неравенства типа Юнга для периодических пространств Морри, см. [3]). Пусть , . Тогда . (3.36) Теорема 3.6. Пусть . Тогда (3.37) для любого, где . (3.38) Доказательство. Используя равенство (3.21) и теорему 3.5, получим, что для любой функции и для любого . (3.39) Переходя к инфимумам по ϕ ∈ Jμ∗, получим утверждение теоремы. Следствие 3.2. Пусть . Если, то из неравенства (3.35) следует, что . (3.40) Следствие 3.3. Пусть . Если Tμ ∈ (Mpλ)∗, то из неравенства (2.3) и следствия 3.2 вытекает, что . (3.41) Следствие 3.4. Если , то для любого Tμ ∈ (Mpλ)∗ , (3.42) в частности, для (3.43) и . (3.44) В последнем неравенстве постоянная точная, равенство достигается для. Доказательство. В рассматриваемом случае r 2, в качестве функции ϕ в теореме 3.6 берется функция и используются равенства (3.25) и (3.26). Замечание 3.4. Неравенство (3.40) - это периодический аналог неравенства разных метрик для целых функций экспоненциального типа из работ [1, 4]. 3.3. Неравенство разных измерений для пространств Морри. Определение 3.5. Пусть . Определим пространство (3.45) со смешанной квазинормой как множество всех измеримых по Лебегу на Rm1+m2 функций f, для которых Отметим некоторые свойства этих пространств. Лемма 3.6. Пусть . Тогда (3.47) причем для любых Доказательство. Пусть u1 ∈ Rm1, u2 ∈ Rm2, r < 0, тогда QRm1+m2((u1,u2),r) = QRm1(u1,r) × QRm2(u2,r). (3.48) Используя равенство (3.48), получим, что Теорема 3.7. Пусть , тогда . (3.49) Доказательство. Пусть x = (u,v). Так как для любого u ∈ QRm(0,π) имеет место Tμ(u,v) ∈ M, то согласно неравенству (3.37) с q = ∞ . Следовательно, Замечание 3.5. Если λ = 0, то очевидно, что , (3.50) однако, при согласно лемме 3.6 , (3.51)