Dual Radon-Kipriyanov transformation. Basic properties

Full Text

1. Введение Различные задачи естествознания, порожденные сферической симметрией аргумента соответствующих функций, приводят к преобразованию Радона специального вида, которое может использоваться не только для работы с функциями, определенными в евклидовых пространствах. Более необычным оказывается возможность работы во фрактальных структурах Б. Мандельброта [8]. Изучаемое преобразование называется преобразованием Радона-Киприянова, введено в работах [4, 5]. В этой работе продолжены исследования, начатые в [7]. Перейдем к основным определениям. Пусть положительное число γ фиксировано, и пусть R+n - часть евклидова пространства точек x = (x1,...,xn), определенная неравенством x1 > 0. Через P будем обозначать оператор Пуассона [9], действие которого на локально интегрируемую функцию f определено следующим © Л.Н. Ляхов, В.А. Калитвин, М.Г. Лапшина, 2024 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 643 выражением: π P где для удобства введено обозначение. Через Sev(R+n ) обозначим класс пробных функций Л. Шварца {ϕ}, состоящий из функций, четных по переменной x1. Соответствующий класс регулярных весовых распределений определяется весовой билинейной формой [3] На основе оператора Пуассона введем в пространстве распределений весовую обобщенную δ-функцию, сосредоточенную на поверхности (как правило, размерности n-1), следующим определением: , (1.1) где и введены обозначения При этом . Будем называть δ-функционал (1.1) распределением Дирака-Пуассона, сосредоточенном на поверхности. Отметим, что если бы первоначально поверхность P(x) = 0 была бы сферой |x| - R = 0, то отображенная поверхность интегрирования в (1.1) - тоже сфера |z| = R, но уже в евклидовом пространстве большей размерности: R+n+1 = {z : z2 > 0}. Далее рассматривается ситуация, когда поверхностью интегрирования является гиперплоскость в Rn. Мы следуем классическому определению преобразования Радона (см. например, [1, с. 16], [10, с. 20, формула (1.3)]). Преобразование Радона-Киприянова на основе введенного выше распределения (1.1) (введено в работах [4, 5]; см. также книги [6, с. 211-225] и [2, с. 483-495]) определено следующей конструкцией: где. Согласно определению (1.1) имеем , (1.2) z z : . Функция( . Как видим, здесь гиперплоскость ; при этом выражение z1θ1 +x2θ2 +...+xnθn представляет собой скалярное произведение n -мерных векторов Если θ - единичный вектор нормали к плоскости, то |p| - расстояние от начала координат до плоскости То же самое справедливо для уравнения z ∈ R+n+1. В принятых выше обозначениях Kγ-преобразование (1.2) сводится к специальному весовому преобразованию Радона в R+n+1 (см. [4, 5]) , (1.3) представленному в виде интеграла по части плоскости, которая записана в евклидовом полупространстве ( в виде . Это уравнение определяет плоскость, параллельную весовой оси координат z2 с единичным вектором нормали . Здесь и далее C(γ) - константа, нормирующая интегральный оператор Пуассона. Полуплоскость интегрирования в выражении (1.2) обозначим символом Θ+, т. е. ⊥ . При фиксированном векторе Θ примем обозначение Kγ[f](Θ;p) = Kγ,Θ[f](p). Следуя [10, с. 17], запишем преобразование Радона-Киприянова в виде интеграла по полуплоскости Θ+⊥ в евклидовом пространстве точек ∈ R+n+1: . (1.4) Отметим, что если выделить в (1.4) интегрирование по переменной z2, то получим смешанное преобразование Радона с преобразованием Меллина. 2. Двойственное преобразование в R1 Пусть функции f и g принадлежат подпространству основных функций Л. Шварца, состоящему из функций, четных по Киприянову[1] по переменной x1. Функция (1.4) является функцией одного переменного p, поэтому позволяет ввести линейную форму в R1 следующего вида: (2.1) Введем новую переменную . Согласно нашему построению векторы Θ и z в выражении (2.1) ортогональны:. Тогда (т. к. по построению Следовательно, Преобразование Kγ, будем называть двойственным преобразованием Радона-Киприянова в R+n+1. Воспользуемся цилиндрическими координатами . Учитывая равенство , 2 Согласно определению оператора Пуассона получим следующее представление линейной формы (1.4): . Таким образом, получено следующее утверждение. Теорема 2.1. Для функций справедливы равенства , (2.3) первое из которых выполняется в евклидовом пространстве R+n+1 (в результате вращения (1.1)) с двойственным оператором Kγ,, (2.4) а второе справедливо в исходном евклидовом полупространстве R+n с двойственным оператором . (2.5) Замечание 2.1. В частности, если в (2.3) положить, то для преобразования Радона-Киприянова, записанного вращением (1.1), имеет место равенство Kγ,#Θ. Кроме того, (2.6) где В теореме 2.1 определены виды одномерных двойственных операторов Радона-Киприянова. Оператор, двойственный к преобразованию Радона-Киприянова в Rn, определим интегрированием по взвешенной сфере в следующей теореме. Теорема 2.2. Пусть. Тогда , где . (2.7) Доказательство. Согласно равенству (2.2) имеем . Теперь воспользуемся определением оператора Kγ,θ# формулой (2.4). Тогда . Изменение порядка интегрирования здесь законно, т. к. рассматриваемые функции f и g принадлежат пространству Л. Шварца. Поменяв порядок интегрирования, получим утверждение доказываемой теоремы. Отметим, что теорема 2.2 в теории интегральных преобразований называется проекционной теоремой. Также отметим, что двойственный оператор Kγ# получен дополнительным интегрированием функции Kγ,θ# g(x) по полусфере, поэтому Kγ# не зависит от вектора нормали к плоскости. 3. О преобразованиях Фурье-Бесселя и Фурье Напомним, что через Sev = Sev+ (R+n ) обозначено подпространство пространства Л. Шварца основных функций, четных по Киприянову по переменной x1. Смешанное преобразование Фурье-Бесселя (введено в [9] в виде преобразования Ганкеля; общее определение и свойства этого преобразования см. в [2]) определено формулой , где- функция Бесселя первого рода,. Пространство основных функций Sev инвариантно относительно преобразование FB и обратимо [2]. Обратное преобразование определено равенством . Известно представление функции Бесселя интегралом Пуассона [4] Отсюда, воспользовавшись определением (1.1), получим . (3.1) Разумеется, здесь вектор ξ˜ произвольный, т. е. не обязательно единичный. 3.1. Преобразование Фурье в направлении вектора нормали. Пусть - пространство основных функций Л. Шварца, заданных на единичном цилиндре Rn+1. Очевидно, что функция Kγ[f](ξ,p), определенная на Z+n , является четной в следующем смысле: Kγ[f](-ξ,-p) = Kγ[f](ξ,p). Теорема 3.1. Пусть |θ| = 1. Если f ∈ Z+n , то для любой точки выполнены равенства F(p→s) [Kγ,θ[f](p)](s) = FB[f](sθ) = FB[f](ξ), (3.2) Kγ,θ[f](p) = F(-s1 p) [FB[f](sθ)](p) = F(-s1 p) [FB[f](ξ)](p), (3.3) → → где sθ = ξ, |θ| = 1. Доказательство. Имеем Воспользуемся представлением Kγ-преобразования в терминах определения (1.1), тогда где . Введем новую переменную интегрирования y = pΘ + z (при |Θ| = |θ| = 1), тогда , dy = dzdp, следовательно Здесь вектор sΘ произвольной длины, поэтому обозначим его так же, как в формуле (2.7), символом sθ˜= ξ. Тогда, обозначая через, запишем Вводя, как и раньше, цилиндрические координаты, и воспользовавшись интегралом Пуассона представления j-функций Бесселя, вернемся к классическому преобразованию Фурье-Бесселя (с j-функцией Бесселя). Имеем , где ξ = sθ - вектор нормали (не единичный) к плоскости. Утверждение (3.3) теоремы 3.1 вытекает из (3.2) применением к нему обратного преобразования Фурье. Равенства (3.2) и (3.3) другими средствами получены в [4, 5]. 4. Kγ-Преобразования обобщенной свертки Смешанной обобщенной сверткой (сверткой Пуассона) функций называется выражение , где обобщенный сдвиг Пуассона определен формулой [4] Теорема 4.1. Если u,v ∈ Sev, то справедлива формула (4.1) Доказательство. Из равенства (3.2) имеем . Известна формула преобразовании Фурье-Бесселя обобщенной свертки функций FB[(u ∗ v)γ](ξ) = FB[u](ξ)FB[v](ξ). Следовательно, Kγ[(u ∗ v)γ](ξ;p) = F(-s→1 p) [FB[u](ξs) FB[v](sξ)](pξ). Теперь воспользуемся свойством преобразования Фурье: обратное преобразование Фурье произведения функций есть свертка (обычная, не обобщенная) обратных преобразований Фурье исходных функций: Согласно (3.2), каждая из двух функций под знаком интеграла представляют собой преобразования Радона-Киприянова. Отсюда следует (4.1). Лемма 4.1. Для любой функции ω ∈ Sev(R+n ) справедлива формула . (4.2) Доказательство. Пространство основных функций Sev инвариантно относительно смешанного преобразования Фурье-Бесселя, поэтому. Учитывая четность преобразования Радона-Киприянова, имеем По формуле (3.1) получим Kγ[ω](θ;p) = (2π)-1FB [ω](-ξ) = (2π)n-2 22νΓ2(ν + 1)FB-1[ω](ξ) = (2π)n-2 22νΓ2(ν + 1)FB-1[ω(ξ)]. Но на функциях из основного пространства Sev преобразование Фурье-Бесселя обратимо: . Отсюда следует формула (4.2). Если g ∈ Z+n , то . Доказательство. Условимся в этом доказательстве использовать следующие обозначения прямого и обратного преобразований Фурье:, соответственно. Разумеется, эти преобразования определены в направлении вектора нормали к плоскости интегрирования. При этом, учитывая обратимость преобразования Фурье в классе основных функций Л. Шварца, имеем равенство Согласно теореме 2.2 . Отсюда, полагая 1 1 . По формуле Парсеваля для преобразования Фурье получим . Согласно (4.2) имеем где мы положили ξ = pθ отдельно для p > 0 и p < 0. Поскольку ω - произвольная функция основного пространства Sev, то имеет место равенство . Теорема 4.3. Если f ∈ Sev(R+n ), то , где |S1(n-1)| -площадь единичной сферы в евклидовом пространстве Rn-1, (u,v)γ -обобщенная свертка функций, порожденная смешанным обобщенным сдвигом Пуассона. Доказательство. Согласно равенству (2.5), имеем (напомним, что . Учитывая то, что -проекция начала координат на плоскость интегрирования Θ+, запишем ⊥ . (4.3) Применением меры Лебега на группе вращений SO(n) в [9, с. 217, формула (2.7)] получено равенство (4.4) из которого вытекает (4.5) Продолжая правую часть равенства (4.3) по формулам (2.6) и (4.5), получим В левую и правую части полученного равенства введем цилиндрические координаты y ∈ R+n+1 . Учитывая, что при этом , получим утверждение теоремы.

About the authors

L. N. Lyakhov

Voronezh State University; Lipetsk State Pedagogical University named after P. P. Semenov-Tyan-Shanskiy; Yelets State University named after I. A. Bunin

Author for correspondence.
Email: levnlya@mail.ru
Voronezh, Russia; Lipetsk, Russia; Yelets, Russia

V. A. Kalitvin

Lipetsk State Pedagogical University named after P. P. Semenov-Tyan-Shanskiy; Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration

Email: kalitvin@gmail.com
Lipetsk, Russia; Moscow, Russia

M. G. Lapshina

Lipetsk State Pedagogical University named after P. P. Semenov-Tyan-Shanskiy

Email: marina.lapsh@ya.ru
Lipetsk, Russia

References

Supplementary files