On the construction of the square root for some differential operators

Full Text

Полугруппы с особенностью и дробные степени их производящих операторов С.Г. Крейном в [2, с. 305] при рассмотрении уравнения , (1.1) где A - линейный замкнутый оператор с областью определения D(A) в банаховом пространстве E, используется понятие квадратного корня при нахождении решения уравнения (1.1) в соответствии с определением: решением уравнения (1.1) называется функция со значениями в D(A), дважды непрерывно дифференцируемая и удовлетворяющая уравнению (1.1) на отрезке [0,T]. Для построения решения используется сильно непрерывная полугруппа-условием, и всякое решение уравнения (1.1) представимо в виде . (1.2) Если Z0,ZT ∈ D(A1/2), то u(t) является ослабленным решением уравнения (1.1), а если Z0,ZT ∈ E, то решение называется обобщённым. © В.А. Костин, Д.В. Костин, М.Н. Силаева, 2024 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 636 О ПОСТРОЕНИИ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ Таким образом, при решении граничных задач для уравнения (1.1) ключевую роль играют сильно непрерывные полугруппы, построенные по операторам . Важным классом таких полугрупп являются классы, построенные по операторам с плотной областью определения D(A) - классы C0, удовлетворяющие условиям: 1. V (0)ϕ = ϕ, ϕ ∈ E; 2.; 3. В этом случае справедлива оценка , (1.3) где M и ω не зависят от ϕ, и для ϕ ∈ D(A) выполняется равенство (1.4) Таким образом, если в уравнении (1.1) оператор A такой, что -A является производящим оператором C0-полугруппы V (t,-A), то для него определен оператор в рамках общей теории дробных степеней Aα, α ∈ (0,1), развитой в работах [1-3], где показывается, что если в оценке (1.3), то , (1.5) при этом (1.6) Здесь (1.7) - функция Иосиды [1, с. 358]. Из (1.6) и (1.7) следует оценка . (1.8) Если, то (1.9) Такое представление, в частности, для уравнения (1.1) при t ∈ [0,∞) с условием u(0) = u0 даёт представление обобщённого ограниченного решения в форме u(t) = V (t,-Aα)u0. (1.10) 2. Постановка задачи и формулировка результата Однако существуют операторы, которые могут иметь неплотную область определения, вследствие чего соответствующие полугруппы будут иметь особенность в нуле. Исследованию таких полугрупп посвящены работы многих авторов, в числе которых: С.Г. Крейн, П.Е. Соболевский, Ю.Т. Сильченко, А.Л. Скубачевский, А.А. Шкаликов. Согласно С.Г. Крейну [2], такие полугруппы порождаются при исследовании корректной разрешимости ослабленной задачи Коши для уравнения первого порядка с неплотно определенными операторами, решения которой имеют вид u(t) = V (t)u0, (2.1) В.А. КОСТИН, Д.В. КОСТИН, М.Н. СИЛАЕВА где V (t) - сильно непрерывная полугруппа ограниченных при t > 0 операторов. В этом случае, если задача Коши не является равномерно корректной, а ослабленная задача Коши корректна на D(A), для V (t) справедливо соотношение , (2.2) однако оператор V (t) не ограничен при t = 0, и при соответствующих условиях на резольвенту оператора A выполняется оценка [2, с. 85] . (2.3) Оказывается, что если оператор A такой, что оператор -A является производящим оператором полугруппы с оценкой (2.3), где, то определено семейство ограниченных операторов Vα(t) при t > 0 вида (2.4) Здесь ht,α(ξ) - функция Иосиды. Для доказательства, используя [1], оценим Здесь мы воспользовались формулой из [5, c. 445] преобразования Лапласа для обобщённой функции Миттаг-Леффлера (2.6) при ρ = 1 - γ, β = α(1 - γ). Ставится задача о доказательстве того, что семейство Vα(t) является сильно непрерывной при t > 0 полугруппой, и нахождении её производящего оператора. Оказывается, что справедлива следующая теорема. Теорема 2.1. Если полугруппа V (t,-A) удовлетворяет оценке (2.3) и выполняется неравенство α + γ < 1, (2.7) то семейство Vα(t) является сильно непрерывной полугруппой с оценкой (2.6) при t > 0 и производящим оператором . (2.8) 3. Доказательство теоремы Так как оценка (2.6) показывает ограниченность семейства Vα(t) при t > 0, то для доказательства свойства Vα(t + s)ϕ = Vα(t)Vα(s)ϕ, (3.1) О ПОСТРОЕНИИ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ пользуясь соотношением [1, с. 361] (3.2) имеем Далее, следуя [1, с. 363], для ϕ ∈ D(A) воспользуемся равенством (20’) там же [1, с. 363], которое в нашем случае имеет вид (3.4) Так как в силу (2.2) , и при t → ∞ в силу (2.3) для ϕ ∈ D(A) имеем оценку . (3.5) Отсюда и из (3.5) так же, как и в [1], но для ϕ ∈ D(A), следует оценка , (3.6) и, переходя в равенстве (3.4) к пределу при t → 0, учитывая равенство Иосиды [1, с. 361] , получаем (3.7) Для доказательства равенства (2.8) воспользуемся неравенством которое с учётом оценки (1.3) обеспечивает сходимость интеграла в (2.8) и установление равенства (2.8) согласно схеме [1, с. 364], что и доказывает справедливость представления оператора Aα равенством (2.8) и завершает доказательство теоремы. Замечание 3.1. Оценка (2.5) - точная, так как, если ϕλ - собственный элемент оператора A такой, чтои неравенство (2.5) переходит в равенство . (3.9) В.А. КОСТИН, Д.В. КОСТИН, М.Н. СИЛАЕВА Также отметим, что для таких ϕλ справедливо представление . (3.10) 4. Примеры В качестве примера возьмём полугруппы с особенностью, приведённые в [3] и в докторской диссертации Ю.Т. Сильченко. d2 Пусть A = -dx2 - оператор дифференцирования с областью определения D(A) = {y(x) ∈ Wp3, y(0) = y(1)} в пространстве E = Wp1, y(0) = y(1) = 0. В этом случае соответствующая полугруппа V (t,-A) не является сильно непрерывной в нуле, и для неё справедлива оценка , (4.1) где . (4.2) Таким образом, в силу теоремы 2.1 оператор A имеет дробную степень при условии , т. е. 0 < p < 3, и производит полугруппу с особенностью и оценкой (2.5) при , и имеющую вид (4.3) В частности, при p = 2 справедлива оценка . (4.4) Таким образом, представление полугруппы (4.3) с учётом оценки (4.4) позволяет судить о корректной разрешимости ослабленной задачи для уравнения (1.1) и позволяет строить алгоритмы её численной реализации.

About the authors

V. A. Kostin

Voronezh State University

Author for correspondence.
Email: vlkostin@mail.ru
Voronezh, Russia

D. V. Kostin

Voronezh State University

Email: dvk605@mail.ru
Voronezh, Russia

M. N. Silaeva

Voronezh State University

Email: marinanebolsina@yandex.ru
Voronezh, Russia

References

Supplementary files