Том 72, № 1 (2026): Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения

В данной работе рассматривается третья краевая задача для неоднородного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками в трехмерном пространстве. Единственность решения задачи доказана методом интегралов энергии, а существование --- методом разделения переменных. Решение представлено явно с помощью построенной функции Грина. Найдены условия на заданные функции, обеспечивающие регулярность решения задачи. При обосновании равномерной сходимости установлено отличие от нуля «малого знаменателя».

В данной работе мы рассматриваем проблему блокирования огня путем строительства стены \( \zeta, \) имеющей спиралевидную форму. Предполагается, что это наилучшая стратегия в случае, когда один пожарный строит стену с конечной скоростью строительства \( \sigma \): барьеры, удовлетворяющие этому ограничению скорости строительства, называются допустимыми. В этом случае мы доказываем точную версию гипотезы Брессана о пожаре [5], т. е. когда допустимые барьеры представляют собой спиралевидные кривые: а именно, спиралевидный барьер, ограничивающий огонь в ограниченной области \( R^2, \) существует тогда и только тогда, когда скорость построения барьера \( \sigma \) строго больше критической скорости \( \bar \sigma = 2,614\ldots \) Существование ограничивающих спиральных барьеров при \( \sigma > \bar \sigma \) уже известно [7,15]. В настоящей работе мы исследуем обратную ситуацию, т. е. если \( \sigma \leq \bar \sigma, \) то никакая допустимая спираль не блокирует огонь. Доказательство этих результатов основано на:

1. точном определении спирального барьера и его представлении;
2. анализе насыщенных спиральных барьеров как дифференциального уравнения с запаздыванием, следуя [15]; 
3. эквивалентной переформулировке гипотезы как задачи минимизации функционала для заданного функционала;
4. построении оптимальной замыкающей спирали;
5. анализе дифференцируемого пути допустимых спиралей, вдоль которого функционал дифференцируем и, в частности, возрастает при переходе от оптимальной спирали к любой другой. 

Ввиду сложности решения, оценка величин, необходимых для доказательства возрастания функционала, выполняется численно.

Дано аналитическое и топологическое описания многообразий собственных функций и потенциалов, порожденных семейством одномерных стационарных операторов Шредингера и многообразием самосопряженных неразделенных краевых условий. В частности, доказана гипотеза Арнольда о коразмерности многообразия тех потенциалов, которым отвечают двукратные собственные значения при выбранных самосопряженных неразделенных краевых условиях.

Обсуждаются два подхода к изучению поведения решений интегрируемых гамильтоновых систем в течение длительного времени и в течение бесконечного времени при малых стохастических возмущениях. Эти результаты сравниваются с результатами для детерминированных возмущений интегрируемых систем.

В работе рассматриваются представления Бурау групп кос и представления Гасснер групп крашеных кос и их реализация в виде представлений монодромии систем Жордана-Похгаммера с подходящими параметрами. Системы Жордана-Похгаммера являются системами типа Фукса, это показывает разрешимость проблемы Римана-Гильберта для представлений Бурау и Гасснер. Рассматривается распространение этого утверждения на обобщенные группы кос и их представления.

Строятся первые члены формального асимптотического разложения по малому параметру решения задачи Коши с начальными условиями типа <<узкая шапочка>> для сингулярно возмущенной системы уравнений колебаний в критическом случае. Асимптотическое разложение построено в виде суммы слагаемых типа бегущих волн и пограничных функций. Слагаемые типа бегущих волн описываются обобщенными уравнениями Кортевега---де Фриза. При определенных предположениях сделана оценка остаточного члена по невязке.

Константа $3/2,$ определяющая достаточные условия устойчивости линейных неавтономных дифференциальных уравнений с запаздыванием, была впервые указана А.Д. Мышкисом в середине XX века, и эти результаты положили начало направлению исследований уравнений с последействием, целью которого являются условия устойчивости, явно выраженные через параметры уравнения. В последнее десятилетие XX века были установлены первые дискретные аналоги результатов таких исследований --- эффективные достаточные условия устойчивости разностных уравнений с последействием. Недавно были получены условия устойчивости дифференциальных уравнений с последействием, являющиеся усилением известных теорем, выраженных через оценку значений функционалов от параметров уравнения константой $3/2.$ В настоящей статье получены дискретные аналоги этих результатов, т. е. достаточные условия устойчивости линейного неавтономного разностного уравнения с запаздыванием, выраженные через параметры уравнения (коэффициенты и запаздывания) и существенно усиливающие известные условия такого рода.

В этой обзорной статье мы собрали множество последних достижений в области аналитических функциональных пространств нескольких комплексных переменных, связанных с проблемой следа в трубчатых областях над симметричными конусами и ограниченными сильно псевдовыпуклыми областями с гладкой границей. Мы рассматриваем различные функциональные пространства аналитических функций нескольких переменных в различных областях в $\mathbb C^n$ и приводим либо полные описания следов, либо оценки следов различных аналитических функциональных пространств в различных областях, полученные в последние годы различными авторами. Проблема нахождения точных оценок следов аналитических функциональных пространств Харди в единичном полидиске впервые была поставлена У. Рудиным в 1969 году. С тех пор в литературе появилось множество работ по этой теме. В данной обзорной статье мы собрали не только уже известные результаты о следах различных аналитических функциональных пространств в различных областях, но и обсудили различные новые интересные результаты, связанные с этой проблемой. Ранее по теме следов были получены различные результаты, относящиеся к проблеме следов, Г. Хенкиным, Э. Амаром, Г. Александром и другими авторами. Наконец, отметим, что теоремы о следах тесно связаны с проекциями типа Бергмана, действующими между функциональными пространствами различной размерности. Эта обзорная статья содержит в основном новые результаты, касающиеся следов в трубчатых и ограниченных сильно псевдовыпуклых областях. Доказательства этих теорем основаны, в частности, также на различных свойствах проекций типа Бергмана. В этой обзорной статье мы также кратко обсудим некоторые новые результаты, полученные первым автором по проекциям типа Бергмана в этих сложных областях в $\mathbb C^n.$ Это вторая часть наших заметок, посвященных проблеме следов. В первой части, опубликованной в [43], мы представили обширный список последних точных результатов по следам в полидиске и полишаре. В заключительном разделе этой обзорной статьи мы собрали множество интересных замечаний и сформулировали различные открытые интересные вопросы для заинтересованных читателей, а также добавили несколько кратких комментариев, связанных с проблемой следов в различных простых и сложных областях в $\mathbb C^n$ в различных аналитических функциональных пространствах нескольких переменных. Также добавлены некоторые новые результаты, касающиеся следов в гармонических функциональных пространствах нескольких переменных.