Monodromy representations of Jordan-Pochhammer systems

Abstract

In this paper, we consider Burau representations of braid groups and Gassner representations of pure braid groups, and their realization as monodromy representations of Jordan-Pochhammer systems with suitable parameters. Jordan-Pochhammer systems are Fuchs-type systems, which demonstrates the solvability of the Riemann-Hilbert problem for Burau and Gassner representations. We consider an extension of this statement to generalized braid groups and their representations.

Full Text

1. Системы Жордана-Похгаммера Линейная пфаффова система Жордана-Похгаммера [9], определяемая набором параметров β = (β1, ..., βn) имеет вид: n d(1.1) =1 = В работах [9, 12] показано, что система Жордана-Похгаммера является вполне интегрируемой пфаффовой системой в смысле Фробениуса. Это, в частности, означает, что система имеет линейное пространство решений размерности, равной порядку системы, т. е. размерности n. 2. Решения и фундаментальная матрица решений системы Жордана-Похгаммера Теперь мы дадим описание фундаментальной матрицы решений системы Жордана-Похгаммера. Пусть y(z1, ..., zn) = (y1(z1, ..., zn),..., yn(z1, ..., zn)) - решение системы (1.1) с параметрами β = (β1, ..., βn). Как показано в работах [9, 12], компоненты решения системы yi(z1, ..., zn), i = 1, ..., n задаются интегралами гипергеометрического типа © В.П. Лексин, 2026 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 94 где . Подробнее опишем подынтегральное выражение. Рассмотрим проколотую комплексную плоскость точках и многозначную аналитическую функцию на ней Ветвление этой функции определяет представление фундаментальной группы ρΦ : π1(M, t0) → C∗ в группу по умножению ненулевых комплексных чисел. Как хорошо известно, фундаментальная группа π1(M, t0) = Fn изоморфна свободной группе Fn с n свободными образующими γj, i = 1,...,n. Представителями свободных образующих γj, j = 1,...,n в свободной группе π1(M, t0) можно выбрать так называемые «малые петли», каждая из которых выходит из одной и той же точки t0 ∈ M, подходит в M к точке zj, обходит ее против часовой стрелки по достаточно малой окружности и затем по начальному пути возвращается в точку t0. Все пути подхода к выколотым точкам можно выбрать непересекающимися друг с другом, кроме точки t0. Обозначим соответствующие малые петли и их классы в фундаментальной группе через γj. Представление ρΦ принимает на этих петлях значения Рассмотрим многозначные аналитические 1-формы (дифференциалы) - Выберем такой элемент γ фундаментальной группы π1(M, t0) = Fn, представленный отображением окружности γ : S1 → M, чтобы дифференциальные 1-формы были однозначными дифференциальными 1-формами на окружности. Отметим, что для этого достаточно, чтобы отображение γ представляло либо единичный элемент группы, либо элемент, представленный некоторым коммутатором малых петель γiγjγi-1γj-1 (петли Похгаммера или двойные петли [2]). Точнее, элемент берется из подгруппы фундаментальной группы π1(M, t0), порожденной коммутаторами малых петель. Теперь мы можем интегрировать эти однозначные 1-формы по окружности. Получим интегралы, зависящие как от параметров, так и от точек z1, ..., zn на комплексной плоскости . По определению, положим. Такой подход к интегрированию многозначных дифференциалов (вместо использования гомологий и когомологий с коэффициентами в локальных системах и их спаривания) использовался в лекциях А. Варченко [15]. Из коммутаторов малых петель можно набрать базис ([γ1],..., [γn] в группе гомологий свободной группы H1(Fn = π1(M, t0), Z). Теперь сформулируем теорему, в утверждении которой дано описание интегрального представления компонент решений системы Жордана-Похгаммера и ее фундаментальной матрицы решений. Теорема 2.1. Вектор-функция yγ(z) = (y1(z), ..., yn(z)), в которой компоненты yi(z) задаются интегралами гипергеометрического типа где γ - это некоторая петля Похгаммера, является решением системы Жордана-Похгаммера n d j=1,j= Матрица является фундаментальной матрицей решений системы (1.1). Доказательство теоремы 2.1 можно найти в работах [6, 9, 12]. 3. Представление монодромии системы Жордана-Похгаммера Система Жордана-Похгаммера не имеет особых точек в дополнении к объединению диагональных гиперплоскостей. Возьмем неособую точку и петлю γ с началом и концом в z0. Аналитическое продолжение Yγ(z) вдоль петли γ фундаментальной матрицы решений Y (z), рассматриваемой в малой окрестности точки z0, в силу интегрируемости системы Жордана-Похгаммера приводит к равенству Yγ(z) = Y (z)G(γ), где G(γ) - невырожденная постоянная матрица, зависящая лишь от гомотопического класса петли γ. Сопоставление каждому гомотопическому классу петли γ матрицы G-1(γ) = G(γ-1) определяет представление фундаментальной группы , которое называется представлением монодромии системы Жордана-Похгаммера (1.1). Пусть ρ - произвольное алгебраически определенное (например, значениями на образующих) представление фундаментальной группы дополнения Cn \ D, где D - комплексное многообразие коразмерности один, и это представление реализуется как представление монодромии интегрируемой мероморфной пфаффовой системы, форма которой представлена логарифмическими формами, т. е. формами, являющимися линейными комбинациями форм вида - голоморфная функция, равная нулю на D. В этом случае говорят, что для представления ρ разрешима многомерная проблема Римана-Гильберта [1, 5] (многомерная при , а для n = 1 слово «многомерная» надо опустить). 4. Топология дополнения комплексного линейного пространства к объединению диагональных гиперплоскостей Указанное в заглавии раздела дополнение (обозначенное ранее как) имеет нетривиальную фундаментальную группу, изоморфную группе крашеных кос Pn с образующими Aij, представленными обходами по малым петлям диагональных гиперплоскостей и явно указанным ниже наборам соотношений. Все гомотопические группы более высокого порядка равны нулю, т. е. пространство является пространством Эйлеберга-Маклейна типа K(π, 1), где группа π = Pn изоморфна группе крашеных кос Pn с названными выше образующими и соотношениями если s < i или i < r < s < j, ArsAijA-rs1 = ⎨ArjAij ArjA, -1A-1 еслиесли is==r < s < j,i, , если r < i < s < j. Алгебра когомологий пространства над полем комплексных чисел вычислена В.И. Арнольдом, и она изоморфна алгебре дифференциальных форм, порожденной логарифмическими формами с соотношениями Арнольда для каждой тройки индексов i, j, k ωij ∧ ωik + ωik ∧ ωjk + ωkj ∧ ωij = 0. Профакторизуем комплексное линейное пространство Cn = {(z1,..., zn) | zi ∈ C, i = 1, ..., n} по группе перестановок Sn, действующей перестановками координат. Результатом факторизации всего пространства Cn будет, в силу теоремы Шевалле, также Cn. Обозначим через D результат факторизации объединения диагональных гиперплоскостей. Тогда фундаментальная группа фактор-пространства Cn∗/Sn по указанному действию группы перестановок= 1, ..., n - 1 и соотношениями Sn изоморфна группе кос Bn с образующими σk, k , (4.1) Описанная факторизация определяет длинную точную последовательность гомотопических групп, нетривиальная часть которой есть последовательность с участием группы крашеных кос Pn, группы кос Bn, группы подстановок Sn и тривиальной единичной группы 1 1 → Pn → Bn → Sn → 1. Группа крашеных кос Pn является подгруппой группы кос Bn, и образующие Aij, i < j, группы крашеных кос выражаются через образующие группы кос Bn следующим образом: . 5. Представление Бурау группы кос Представление Бурау группы кос Bn определяется чисто алгебраически - сопоставлением стандартным образующим σk, k = 1, ..., n - 1 группы кос Bn следующих обратимых матриц над кольцом многочленов Лорана от одной переменной: . Легко проверить, что указанные матрицы удовлетворяют соотношениям группы кос (4.1): MkMk+1Mk = Mk+1MkMk+1; MkMl = MlMk. Таким образом, ρB определяет представление группы кос ρB : Bn → GLn(Z[T, T-1]) в группу обратимых матриц порядка n над кольцом многочленов Лорана от одной переменной. Ограничение представления Бурау на подгруппу крашеных кос задает представление последней, которое мы обозначим ρP . 6. Представление Гасснер группы крашеных кос Представление Гасснер [7] ρG является представлением группы крашеных кос Pn в группу обратимых матриц над кольцом полиномов Лорана от n переменных . Это представление есть обобщение ограничения представления Бурау ρP на группу крашеных кос, и они строятся по одной алгебраической схеме. Но если представление Бурау продолжается до представления ρB всей группы кос Bn, то для представления Гасснер продолжение в общем случае отсутствует. Выше указано, как образующие Aij группы крашеных кос выражаются через стандартные образующие σk группы кос, и потому представление Гасснер также можно задать как мультипликативное отображение в обратимые матрицы на косах σi, и затем проверяется, что соотношения группы крашенных кос для полученных матриц ρG(Aij) выполняются. Итак, мы определим значения на образующих σk следующим равенствами: . Однако часть соотношений группы кос Bn, а именно MkMk+1Mk = Mk+1MkMk+1, k = = 1,...,n - 2, выполняются только тогда, когда все переменные T1 = T2 = ··· = Tn-1 равны между собой, и мы получаем представление Бурау. Но если вычислить матрицы, соответствующие образующим Aij, используя точное представление группы кос Bn в группу автоморфизмов свободной группы с n образующими, то, как показала Бетти Джейн Гасснер [7], соотношения группы крашеных кос выполняются, и возникает матричное представление группы крашеных кос, названное именем Гасснер. В книге З. Морана [13] и в работе К. Кнудсена [10] указаны матрицы, соответствующие образующим Aij в представлении Гасснер , где векторы-столбцы u, v имеют вид u = ((1 - Tr+1)(1 - Ts),...,(1 - Ts-1)(1 - Ts))t, v= ((1 - Tr + 1)(Tr - 1),... ,(1 - Ts-1)(Tr - 1))t, где t обозначает транспонирование, а Ik обозначают единичные матрицы порядка k = 1,2,... ,n. 7. Монодромия системы Жордана-Похгаммера с равными параметрами Теорема 7.1. Для представления Бурау разрешима проблема Римана-Гильберта. Системы Жордана-Похгаммера и некоторые фактор-системы, полученные из них, являются системами Пфаффа типа Фукса, которые участвуют в формулировке проблемы Римана- Гильберта [1, 5]. Поэтому доказательство разрешимости проблемы Римана-Гильберта можно осуществить вычислив представление монодромии некоторой системы Жордана-Похгаммера и показав, что оно совпадает или эквивалентно представлению Бурау. Это сделал Т. Коно в 1988 году для системы Жордана-Похгаммера (1.1), когда все параметры системы равны между собой: β1 = β2 = ··· = βn = λ. Коно использовал инвариантность такой системы Жордана-Похгаммера относительно перестановок координат и компонент решения и показал, что система Жордана-Похгаммера опускается на фактор-пространство по указанному диагональному действию группы перестановок, и представление монодромии фактор-системы совпадает с представлением Бурау, когда в матрицах монодромии Бурау вместо формального параметра T используется комплексное число e2πiλ. В рассматриваемом случае это является решением многомерной проблемы Римана-Гильберта, когда алгебраически заданное представление Бурау реализовано как представление монодромии интегрируемой системы с простыми полярными особенностями, а именно, фактор-система имеет полюса первого порядка на дивизоре особенностей. 8. Монодромия системы Жордана-Похгаммера с произвольными параметрами Теорема 8.1. Для представления Гасснер разрешима проблема Римана-Гильберта. В случае представления Гасснер уже не требуется рассматривать фактор-системы, как для представления Бурау. Капович и Милсон, используя свободное дифференциальное исчисление Фокса и алгоритм специализации формальных параметров в кольце многочленов от многих переменных, в работе 2001 года [9, теорема С] показали, что представление монодромии системы Жордана-Похгаммера с произвольными параметрами (1.1) эквивалентно представлению Гасснер, когда формальным переменным присвоены комплексные значения Tk = e2πβk, k = 1, ..., n. Это также решение многомерной проблемы Римана-Гильберта для представления Гасснер. Таким образом, доказана разрешимость проблемы Римана-Гильберта для представления Гасснер. 9. Аналоги систем Жордана-Похгаммера, связанные с другими системами корней отличными от An Системы Жордана-Похгаммера теснейшим образом связаны с коксетеровской системой корней типа An. Полными аналогами этих систем являются системы Книжника-Замолодчикова в форме Чередника , где sα - отражения, отвечающие положительным корням системы корней R. Эта система переписывается в следующем виде: , где α∗ - двойственный вектор относительно стандартной билинейной формы , а hα - W(R)-инвариантная система констант hwα = hα, w ∈ W(R). Для систем корней типа An, , уравнения Книжника-Замолодчикова в форме Чередника (будем говорить - уравнения Чередника) являются системами Жордана-Похгаммера с равными параметрами. Уравнения Чередника входят в класс ∨-систем Веселова где R - конечная система линейных функционалов в некотором, а вектор α∨ является дуальным ковектору α относительно билинейной формы. Если набор ковекторов является системой положительных корней некоторой коксетеровской системы корней, то система Веселова вполне интегрируема. Веселов и Чалых нашли деформации систем корней (уже не в классе систем корней), для которых система Веселова сохраняет интегрируемость. Уравнения Чередника и ∨-системы Веселова являются аналогами систем Жордана-Похгаммера, связанными с другими системами корней или просто наборами векторов. Для систем корней определены группы кос Bn(R) и группы крашеных кос Pn(R), для которых имеет место точная последовательность 1 → Pn(R) → Bn(R) → Wn(R) → 1, Wn(R) - группа Коксетера, порожденная отражениями относительно корней из R. Основными результатами в начале двухтысячных годов были доказательства того. что эти обобщенные системы Жордана-Похгаммера определяют представления обобщенных групп кос [3, 4, 8, 12]. Однако явная матричная форма полученных представлений была найдена лишь частично. Результаты, полученные для обобщенных представлений Бурау, были затем расширены Сквайром [8, 14].