Asymptotics of the solution of the Cauchy problem for a singularly perturbed system of hyperbolic equations in the critical case

Full Text

1. Введение Строится формальное асимптотическое разложение (ФАР, АР) решения начальной задачи для системы гиперболических уравнений , (1.1) Здесь {u(x,t,ε),v(x,t,ε)} - решение, малый параметр, k1 > 0, k2 > 0, a > 0, b > 0, p > 0, q = const > 0, гладкая функция f(u,v) ∈ C∞ ∀|u| < ∞, |v| < ∞, такая, что f(0,0) = 0, удовлетворяет определенным требованиям, сформулированным ниже. Отметим, что система (1.1) относятся к т. н. критическому случаю [2], когда вырожденная задача (ε = 0) имеет семейство решений. Предыстория задачи такова. В работе А.Б. Васильевой [1] исследовалась начально-краевая задача для сингулярно возмущенной системы двух уравнений в частных производных первого порядка в критическом случае ε(Ut + DUx) = AU, t > 0, x > 0, U(x,0) = U0(x), U(0,t) = Φ0(t), (1.2) © А.В. Нестеров, 2026 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 114 здесь - решение, матрица D = diag(Λ1 > 0, Λ2 > 0) диагональна, матрица A вырожденная, имеющая одно нулевое собственное значение и второе отрицательное (обозначения не совпадают с оригиналом). Было обнаружено явление внутреннего слоя в окрестности «псевдохарактеристики» системы (1.2), выходящей из угловой точки границы. Ранее автором в ряде работ [4-6] исследовались различные обобщения этой задачи - сингулярно возмущенные системы уравнений переноса вида , Здесь U(x,t) ∈ RN - решение - малый параметр, D - диагональная матрица, в слагаемое, может входить малая нелинейность, слагаемые с производными второго порядка по пространственной переменной и т. д. Рассматривались случаи, когда матрица A имеет однократное нулевое собственное значение (остальные полагались имеющими отрицательные вещественные части). В этом случае системы относятся к т. н. критическому случаю [2]: у вырожденной (ε = 0) задачи AU = 0 имеется однопараметрическое семейство решений вида U(x,t) = ϕ(x,t,ε)h0, здесь ϕ(x,t,ε) - произвольная гладкая функция, h0 - собственный вектор, отвечающий нулевому собственному значению матрицы A. Наличие однократного собственного значения у матрицы A приводит к интересному поведению асимптотики решения в областях больших градиентов. Оказывается, что в случае быстро убывающих начальных условий вида U(x,0) = ω(x/ε)H, функция ϕ(x,t,ε) описывается параболическим уравнением ϕt + Mϕζζ = 0, где - растянутая переменная (k = const). В некоторых случаях (что зависит от слагаемого εαF) функция ϕ(x,t) описывается обобщенными уравнениями Бюргерса или Кортевега- де Фриза [7]. Интересным представляется обобщение систем уравнений переноса как на случай вырождения матрицы A до двукратного нулевого собственного значения, так и на системы уравнений более высокого порядка. Таким обобщением можно считать систему (1.1). Система (1.1) также относится к критическому случаю [2], т. к. вырожденная система уравнений (ε =0) , имеет семейство решений v = a/bu. Однако степень вырождения системы (1.1) выше, чем системы (1.2) и систем, рассмотренных в [1, 6]. Более детальный анализ показывает, что матрица A системы (1.1) (после приведения к системе уравнений первого порядка) имеет двукратное нулевое собственное значение. Это существенно сказывается на асимптотике решения системы (1.1). Пусть функции u0,v0(x),ϕ(x),ψ(x)0 гладкие и стремятся к нулю: u0(x),v0(x),ϕ(x),ψ(x) → 0 при |x| → ±∞ (имеют вид «шапочки»). Для выявления некоторых особенностей поведения решения в областях с большими градиентами поставим специальные начальные условия в виде асимптотически «узких шапочек»: , (1.3) Для построения ФАР решения задачи (1.1)-(1.3) этих требований достаточно. Более детальные требования будут наложены ниже, в разделе 6, где рассматриваются вопросы существования, единственности и оценок некоторых членов ФАР. Асимптотическое разложение решения задачи (1.1), (1.3) до порядка N строится в виде (1.4) Здесь SIu,SIIu,SIv,SIIv - слагаемые, описывающие АР решения вдоль определенных линий - «псевдохарактеристик» системы (1.1), Πu,Πv - погранслойные слагаемые, R - остаточный член, вид растянутых переменных ζ1,ζ2,ξ,τ описан ниже. Предельное число членов разложения N определяется гладкостью функций, входящих в задачу (1.1), (1.3). В настоящей работе ограничимся построением только главных членов АР (1.4). Для построения АР преобразуем нелинейные слагаемые, следуя [2]: f(u,v) = f(SIu + SIIu + Πu + Ru,SIv + SIIv + Πv + Rv) = = f(SIu,SIv) + f(SIIu,SIIv) + (f(SIu + SIIu + Πu,SIv + SIIv + Πv) - - f(SIu,SIv)) - f(SIIu,SIIv)) + (1.5) + (f(SIu + SIIu + Πu + Ru,SIv + SIIv + Πv + Rv) - - (f(SIu + SIIu + Πu,SIv + SIIv + Πv))) = = SIf + SIIf + Πf + Rf. 2. Построение регулярной части АР Хотя регулярная часть АР решения при начальных данных (1.3) отсутствует, для построения членов АР (1.4) необходимо определить уравнение, которому подчиняется старший член регулярной части. Регулярная часть U¯должна удовлетворять системе уравнений , (2.1) Стандартной процедурой (см. [2]), подставляя (2.2) и разложение нелинейности f(¯u,v¯) = f(¯u0 + εu¯1 + ...,v¯0 + εv¯1 + ...) = f(¯u0,v¯0) + ε(f¯u(¯u0,v¯0)¯u1 + f¯v(¯u0,v¯0)¯v1) + ... в систему (2.1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра ε, получаем системы уравнений для определения членов разложения (2.2). При ε0 получаем систему уравнений откуда . Здесь χ0(x,t) - произвольная гладкая функция. Опуская объемные выкладки, запишем систему уравнений при ε6: (2.3) - - - - - . Здесь F4 известным образом выражается через u¯i,v¯i,i < 6. Условие разрешимости этой системы уравнений имеет вид - - , что дает уравнение для определения u¯0,v¯0. a Так как v¯0 = u¯0 и u¯0(x,t) = χ0(x,t), то функция χ0 подчиняется уравнению b χ0,tt - bk12 + ak22 χ0,xx = 0, a + b или χ0,tt - k2χ0,xx = 0, где (2.4) Можно отметить, что min(k12,k22) < k2 < max(k12,k22). Величина k2 существенна для дальнейших построений. Легко проверить, что . (2.5) Это соотношение потребуется в дальнейшем. 3. Построение АР при начальных условиях типа «всплеск» Пусть начальные условия для системы (1.1) имеют вид (1.3) , где функции u0(x),v0(x),ϕ(x),ψ(x) удовлетворяют условию стремления к нулю на бесконечности. В этом случае (1.3) задают начальные данные в виде асимптотически узких «шапочек», «всплесков». Будем искать АР решения системы (1.1) с начальными условиями (1.3) в виде (3.1) В разложении (3.1) функции Su,Sv имеют характер бегущих волн, Πu,Πv - характер погранфункций (см. ниже), растянутые переменные ζ1,2 определены ниже,. Число N членов разложения при гладких начальных условиях и функции f произвольно. В этой работе ограничимся определением старших членов разложения (3.1), взяв N = 4. При определении старших членов разложения (i = 0) часть слагаемых в (3.1) играют вспомогательные роли (см. ниже). Построим функции Su,Sv. Определим растянутые переменныеопределено выражением (2.4). Соответственно, функции Su,Sv должны удовлетворять системе (1.1) с соответствующими нелинейностями Sf и начальным условиям (1.3) или части этих условий, а так же удовлетворять требованию S → 0 при ζ → ±∞. Строим функцию SI в виде (3.2) где Подставим (3.2) в слагаемое SIf в (1.5) и разложим правую часть в ряд по степеням параметра : SIf = f(SIu,SIv) = f(S0Iu + εS1Iu + ...,S0Iv + εS1Iv + ...) = = f(S0Iu,S0Iv) + ε(fu(S0Iu,S0Iv)S1Iu + fv(S0Iu,S0Iv)S1Iv) + ... = (3.3) = f(S0u,S0v) + εSF1 + ε2SF2 + ε3SF3 + ... Ниже индексы I у функций SIu,SIv,SIfи индекс 1 у переменной ζ опущены. Подставим (3.2), (3.3) в систему (1.1) с модифицированной нелинейностью, перейдем в системе (1.1) от переменных (x,t) к переменным (ζ,t) и проведем стандартную процедуру определения систем уравнений для нахождения членов АР (3.2). При нулевой степени параметра получаем , отсюда (3.4) где S0u(ζ,t) - пока не определенная функция. При первой степени параметра получаем , Эта система разрешима, отсюда (3.5) где S1u(ζ,t) - пока не определенная функция. При второй степени параметра получаем . Условие разрешимости этой системы выполняется в силу равенств (2.5) и (3.4). Отсюда , (3.6) где S2u(ζ,t) - пока не определенная функция. Опуская объемные выкладки, отметим, что система уравнений при третьей степени малого параметра разрешима. Систему уравнений при четвертой степени малого параметра удобно записать, введя обозначение q((aSu1 - bSv1)t - k(aSu3 - bSv3)ζ) + F2S = D. С учетом этого обозначения получим систему уравнений при четвертой степени малого параметра: (3.7) Условие разрешимости этой системы имеет вид - - - - . (3.8) Используя (3.4), (3.5), исключим из (3.8) S0v и S2u,S2v. Опуская несложные, но объемные выкладки, отметим лишь, что функция S2u в окончательное выражение не входит благодаря тому, что коэффициент перед ней обращается в нуль (равенство (2.5)). Введем обозначения . (3.9) В этих обозначениях условие разрешимости (3.8) - уравнение для определения S0u - имеет вид (-S0ut + KS0uζζζ + (feff(S0u))ζ)ζ = 0, или -S0ut + KS0uζζζ + (feff(S0u))ζ = Ψ(t), где Ψ(t) - произвольная функция. Исходя из требования S0uζ→±∞ → 0, естественно положить Ψ(t) ≡ 0. Это дает окончательный вид уравнения для функции S0u -S0ut + KS0uζζζ + (feff(S0u))ζ = 0. (3.10) Аналогично строится функция (3.11) где (ниже индексы II у функции SII и 2 у переменной ζ2 могут быть опущены). Совершенно аналогично получаем, что функция удовлетворяет уравнению , (3.12) и Начальные условия для функций поставим ниже. Отметим, что уравнения (3.10) и (3.12) являются обобщенными уравнениями Кортевега- де Фриза [7]. Последующие функции с номерами i > 0 удовлетворяют линейным неоднородным уравнениям (3.13) , где siu,siv выражаются через Sju,Sjv с номерами j < i. Окончательно S-функции построены в виде Для всех членов разложения (3.14) получены уравнения. 4. Построение функций Π Начальные условия (1.3) , не могут быть удовлетворены S-функциями, поскольку условий четыре, а число степеней свободы у функций S равно двум (SI и SII). Для выполнения начальных условий строим пограничные функции , (4.1) где τ = t/ε3, ξ = x/ε2. Функции Πu и Πv должны формально удовлетворять с необходимой точностью системе (1.1) с соответствующей нелинейностью, совместно с функциями SI иSII удовлетворять начальным условиям (4.2) . Кроме того, все Πiu и Πiv должны быть функциями погранслоя lim Πui = 0, lim Πvi = 0 i = 0,1,2,... (4.3) τ→+∞ τ→+∞ ∀ Переходя в системе (1.1) к переменным (τ,ξ), оставляя от нелинейности (1.5) соответствующие слагаемые Πf, запишем ее в виде Πuττ = -p(aΠu - bΠv) - q(aΠu - bΠv)τ + ε2k12Πuξξ - ε2Πf(Πu,Πv), Πvττ = p(aΠu - bΠv) + q(aΠu - bΠv)τ + ε2k22Πvξξ + ε2Πf(Πu,Πv). Подставим разложение (4.1) в нелинейность (1.5), в функциях S перейдем к переменным ξ = = x/ε2, τ = t/ε3 (см. [2]). Опуская стандартные объемные выкладки, запишем системы уравнений для определения членов разложения (4.1). Ограничимся лишь системой для определения Π0u и Π0v , (4.4) Остальные Πiu и Πiv определяются из аналогичных неоднородных систем, в которых неоднородность зависит от найденных ранее членов разложения Πju,Πjv, j < i. Дополнительное условие - все должны быть функциями погранслоя (4.3). 5. Начальные условия Перепишем начальные условия (4.2) в новых переменных. Учтем, что x/ε2 = ξ: Su(ζ,t)t = Su(ζ(x,t),t)t = Su(ζ,t)t + Su(ζ,t)ζζt = Su(ζ,t)t + ε-2(∓)kSu(ζ,t)ζ. (5.1) В новых переменных начальные условия имеют вид (5.2) , Соотношения (5.2) с учетом требований (4.3) дают начальные условия для функций SiIu, SiIIu, Πiu, Πiv, i = 0,1,2,... Подставляя в (5.2) разложения (3.14) и (4.1), учитывая равенства (5.1), разделяя степени параметра , получаем начальные условия для SiIu,SiIIu,Πiu,Πiv,i = 0,1,2,... Опуская объемные выкладки, приведем начальные условия для нулевого приближения ζ1(x,0) = ζ2(x,0) = ξ: , (5.3) au0(ξ) - bv0(ξ) Π0u(ξ,0) = -Π0v(ξ,0) = , a + b Π0u(ξ,τ)τ|t=0 = 0, (5.4) 1 b Π0v(ξ,τ))τ |t=0 = 0. Начальные условия для остальных получаются аналогично. 6. Оценки функций S,Π 6.1. Оценки функций S. Для формального вывода уравнений (3.10), (3.12) и начальных условий (5.3) для определения функцийдостаточно наложенных выше условий гладкости функции f(u,v) и быстрого убывания начальных условий (1.3). Однако для решения вопроса существования и оценок решений уравнений (3.10), (3.12) с начальными условиями (5.3) этих условий недостаточно. Уравнения (3.10), (3.12) являются одним из обобщений хорошо известного уравнения Кортевега-де Фриза [7] (ниже - КдФ), а задача (3.10), (5.3) - начальная задача для обобщенного уравнения КдФ. Само уравнение КдФ и многие его обобщения исследовались в большом количестве работ, значительная часть которых посвящена образованию солитонов и поведению решения при больших временах. Для наших целей необходимы результаты о существовании и единственности решений задачи Коши для обобщенных уравнений КдФ на конечном промежутке по времени и оценки убывания по пространственной переменной на бесконечности, которые есть, например, в работах [3, 8, 9]. Обозначение 6.1. Введем обозначение пространства Шварца гладких быстро убывающих функций: S˜(R1) (знак S˜ добавлен, чтобы сделать различие в схожих обозначениях класса функций и членов АР). Пространство функций f(x,t), быстро убывающих по переменной x на промежутке [0,T], обозначим SC˜ 1(T). Наложим на данные задачи (1.1), (1.3) дополнительные условия 6.1 и 6.2 или 6.3. Условие 6.1. Гладкие функции u0(z),v0(z),ϕ(z),ψ(z) принадлежат пространству Шварца быстро убывающих функций: u0(z),v0(z),ϕ(z),ψ(z) ⊂ S˜(R1). Условие 6.2. Функция f(u,v) является многочленом с постоянными коэффициентами. Условие 6.3. Для производной функции выполняется оценка: существуют такие, что при z ∈ R1 . Для того, чтобы воспользоваться результатами этих работ, сформулируем следствия из наложенных выше условий 6.1, 6.2 и 6.3. Следствие 6.1 (из условия 6.1). При выполнении условия 6.1 правая часть начальных условий (5.3) для функций принадлежит классу быстро убывающих функций SC∞(R1). Следствие 6.2. Начальные условия для членов разложения SiIu,SiIIu, i > 0 также принадлежат классу быстро убывающих функций SC∞(R1). Следствие 6.3 (из условия 6.2). При выполнении условия 6.2 функция в уравнениях (3.10), (3.12) также является многочленом с постоянными коэффициентами. Следствие 6.4 (из условия 6.3). Для функции справедливы та- ∂2feff(z) кие же оценки на производную при выполнении условия 6.3. ∂z2 Сформулируем теоремы существования, единственности функций S0 и их оценки. Теорема 6.1 (существование и оценка S-функций). При выполнении условий 6.1, 6.2 существует T > 0 такое, что при всех решения уравнений (3.10), (3.12) с начальными условиями (5.3) существуют, единственны и принадлежат классу быстро убывающих функций SC˜ 1(T). Доказательство. В силу следствия 6.1 правая часть начального условия (5.3) является быстро убывающей функцией из класса SR1 (следствие 6.1). В силу следствия 6.2 нелинейность в уравнениях (3.10), (3.12) является многочленом. Поскольку выполнены все условия основной теоремы работы [9, §3, с. 559], то отсюда следует доказательство теоремы 6.1. Сформулируем еще одну теорему существования и единственности решения задач (3.10), (3.12) с начальными условиями (5.3) при несколько иных условиях. Теорема 6.2 (существование и оценка S функций). При выполнении условий 6.1, 6.3 существует T > 0 такое, что при всех решения уравнений (3.10), (3.12) с начальными условиями (5.3) существуют, единственны и принадлежат классу быстро убывающих функций SC˜ 1(T). Доказательство. Задачи (3.10)-(5.3), (3.12)-(5.3) при в силу следствий 6.1, 6.3 полностью удовлетворяют всем условиям теоремы 2.1 работы [8]. Отсюда следует доказательство теоремы 6.1. Оценки функций Si,i = 1,2,3,4. При выполнении условий 6.1, 6.2 или 6.3 справедлива также и теорема существования, единственности и оценки остальных функций S. Теорема 6.3 (существование и оценка Si, i = 1,2,3,4). При выполнении условий 6.1, 6.2 или 6.3 существует T > 0 такое, что при всех все SiIu,SiIIu,SiIv,SiIIv, i = 1,2,3,4 существуют, единственны и принадлежат классу быстро убывающих функций SC˜ 1(T). Доказательство. Доказательство почти дословно повторяет доказательство предыдущей теоремы 6.2. Из теорем 6.1, 6.2, 6.3 вытекает: Следствие 6.5. Существует быстро убывающая функция θ1(z) ⊂ SC˜ 1(T) такая, что для всех выполняются неравенства , (6.1) Эту функцию удобно использовать при оценках остаточного члена. 6.2. Оценки функций Π. Теорема 6.4. Все Πiu,Πiv,i = 0,1,2,3,4 существуют, единственны и удовлетворяют оценкам |Πiu(τ,ξ)| < Ce-κτθ2(ξ), C > 0, κ > 0, i = 0,1,2,... (6.2) вместе со своими производными (до третьего порядка включительно), где функция θ2(z) ⊂ S.˜ Доказательство. Доказательство стандартное [2]. Экспоненциальные оценки убывания по переменной τ делаются стандартно [2], оценка скорости убывания по переменной ξ следует из оценок функций S. 7. Оценка остаточного члена Окончательно построенное АР имеет вид (7.1) В соответствии с алгоритмом построения АР остаточные члены (Ru,Rv) удовлетворяют системе уравнений ε6(Rutt - k12Ruxx) = -p(aRu - bRv) - ε3q(aRu - bRv)t - ε2Rf (Ru,Rv) + ru, (7.2) ε6(Rvtt - k22Rvxx) = p(aRu - bRv) + ε3q(aRu - bRv)t + ε2Rf (Ru,Rv) + rv и начальным условиям (7.3) Здесь функция Rf имеет вид Rf(Ru,Rv) = (f(SIu + SIIu + Πu + Ru,SIv + SIIv + Πv + Rv) - - (f(SIu + SIIu + Πu,SIv + SIIv + Πv)), Rf(0,0) = 0. При выполнении условия 6.2 функция Rf является многочленом, при выполнении условия 6.3 функция Rf удовлетворяет таким же условиям на производные. Замечание 7.1. Очевидно, что в оценках (6.1), (6.2) быстро убывающие функции θ1(z),θ2(z) можно заменить на одну θ(z) ⊂ S,˜ что использовано ниже, при формулировке теоремы 7.1. Теорема 7.1. Существует такое T > 0, не зависящее от , что на отрезке остаточные члены (Ru,Rv) в АР (7.1) удовлетворяют системе уравнений (7.2) и начальным условиям (7.3). Слагаемые (ru,rv) в уравнениях (7.2) удовлетворяют оценкам ru = O(ε5(θ(ζ1) + θ(ζ2)) + ε4θ(ξ)e-κτ), (7.4) rv = O(ε5(θ(ζ1) + θ(ζ2)) + ε4θ(ξ)e-κτ). Здесь функция θ(z) взята в соответствие с замечанием 7.1. Доказательство. Доказательство следует из оценок (6.1), (6.2) и алгоритма построения АР (7.1). 8. Итоги 1. Построены главные члены асимптотического разложения решения задачи Коши с начальными условиями (1.3) типа «узкая шапочка» для сингулярно возмущенной системы гиперболических уравнений (1.1) в критическом случае. 2. Для любого - произвольное, не зависящее от , АР (7.1) может быть записано в виде . (8.1) Вид АР (8.1) следует из экспоненциального убывания (6.2) пограничных функций Π: (8.2) 3. Главные слагаемые в АР (7.1), оставленные в (8.1), суть решения начальных задач дляобобщенных уравнений Кортевега-де Фриза (3.10), (3.12). 4. Сформулированы условия 6.1, 6.2 или 6.3, при выполнении которых функции S существуют и являются быстро убывающими на некотором промежутке [0,T]. 5. При выполнении условий 6.1, 6.2 или 6.3 сделана оценка невязки остаточного члена в АР.

About the authors

A. V. Nesterov

Plekhanov Russian State University of Economics

Author for correspondence.
Email: andrenesterov@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-4702-4777
SPIN-code: 7754-2242
Scopus Author ID: 24360671800
ResearcherId: JNR-9882-2023
Moscow, Russia

References

Supplementary files