Ricci solitons for solvable Lie groups

Abstract

In this work, the existence of nontrivial (i.e., not Einstein) Ricci solitons on Riemannian three-dimensional and five-dimensional solvable Lie groups is considered and studied. Moreover, it is shown that they are not gradient Ricci solitons.

Full Text

1. Введение Солитон Риччи - это естественное обобщение метрики Эйнштейна, и он определяется на псевдоримановом многообразии (M,g) следующим образом: (1.1) где X - гладкое векторное поле на M, LX обозначает производную Ли в направлении X, -тензор Риччи, а λ - действительное число. Солитон Риччи называется сжимающимся, устойчивым или расширяющимся, если λ > 0, λ = 0 или λ < 0, соответственно. Кроме того, будем говорить, что солитон Риччи (M,g) является градиентным солитоном Риччи, если он допускает векторное поле X, удовлетворяющее условию X = grad h для некоторой потенциальной функции h. Изучение солитонов Риччи в различных геометрических пространствах является одной из интересных тем в геометрии и математической физике. В частности, эта тема приобрела большее значение после того, как Григорий Перельман применил солитоны Риччи для решения давней гипотезы Пуанкаре. Солитоны Риччи соответствуют автомодельным решениям гамильтонова потока Риччи [15], играют фундаментальную роль в формировании сингулярностей потока, и изучались несколькими авторами (см. [11, 12]). Их можно рассматривать в качестве неподвижных точек потока Риччи как динамической системы на пространстве римановых метрик по модулю диффеоморфизмов и масштабирований. Солитоны Риччи представляют интерес и для физиков, и в физической литературе называются квазиэйнштейновскими метриками. Фактически, физики-теоретики изучают уравнение солитонов Риччи в связи с теорией струн. Важный вклад в этом направлении принадлежит Фридану [14]. © Л. Беларби, 2026 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 13 Лоренцевы солитоны Риччи интенсивно изучались и обнаружили множество существенных различий по сравнению с римановым случаем (см. [7, 21]). В самом деле, хотя существуют трехмерные римановы однородные солитоны Риччи [1, 18], на трехмерных группах Ли [13] не существует левоинвариантных римановых солитонов Риччи [13] (см. также [16]). В работе [8] Кальварузо и Фино (см. также [9]) было доказано, в отличие от риманового случая, существование некомпактных четырехмерных однородных псевдоримановых солитонов Риччи, которые не изометричны солвмногообразиям. Эти результаты стимулируют дальнейшее исследование солитонов Риччи на лоренцевских многообразиях. 2. Солитоны Риччи трехмерной разрешимой группы Ли В этом разделе мы анализируем существование солитонов Риччи на трехмерной римановой разрешимой группе Ли (Sol3,g). Пусть X = f1e1 + f2e2 + f3e3 - произвольное векторное поле на (Sol3,g), где f1,..,f3 - гладкие функции переменных x,y,z. Мы будем обозначать координатный базис через {∂x,∂y,∂z}. Риманова группа Ли Sol3 -это группа Ли в R3, снабженная левоинвариантной римановой метрикой g = e2zdx2 + e-2zdy2 + dz2, (2.1) где (x,y,z) - стандартные координаты в R3. Левоинвариантный ортонормированный репер {E1,E2,E3} в римановой группе Ли Sol3 задается следующим образом: . Связность Леви-Чивиты ∇ римановой группы Ли Sol3 относительно этого репера задается как , Ненулевые компоненты тензора кривизны R вычисляются следующим образом: , Компоненты кривизны Риччи вычисляются следующим образом: . (2.2) Скалярная кривизна τ римановой группы Ли Sol3 постоянна, и мы имеем . Рассмотрим трехмерную разрешимую группу Ли (Sol3,g), снабженную левоинвариантной римановой метрикой (2.1), и пусть X - векторное поле на Sol3. Производная Ли метрики (2.1) по X задается формулой , (2.3) Таким образом, с учетом равенств (2.1), (2.2) и (2.3) в (1.1), простые вычисления показывают, что риманова трехмерная разрешимая группа Ли (Sol3,g) является солитоном Риччи тогда и только тогда, когда справедлива следующая система: , (2.4) Шестое уравнение в (2.4) дает (2.5) Из первого уравнения в (2.4) имеем (2.6) и, выписывая (2.6) относительно z, получим . (2.7) Далее выпишем третье уравнение в (2.4) относительно x и, используя (2.6) и (2.7), докажем, что ∂x2F = 0. С другой стороны, из четвертого уравнения в (2.4) получим (2.8) λ = -2 и (2.9) и, выписывая уравнение (2.9) относительно z, получим . (2.10) ∂y2F = 0. Из уравнений (2.5), (2.11) и (2.8) следует, что (2.11) f3 = F(x,y) = β1x + β2y + β3xy + β4, где βi ∈ R. Из первого уравнения в (2.4) и из (2.12) получим (2.12) Далее выпишем пятое уравнение в (2.4) относительно y и, используя (2.9) и (2.10), убедимся, что λ = -2, и получим, что , где T - гладкая функция. Из четвертого уравнения в (2.4) и равенства (2.12) получим , где I - гладкая функция. Далее, заменив f1 и f2 во втором уравнении в (2.4), получим . (2.13) Поскольку приведенное выше уравнение (2.13) выполняется для всех значений z, в частности, это означает, что . откуда, интегрируя, получим , где T и I - гладкие функции. Таким образом, , Подставляя f1 и f3 в третье уравнение в (2.4), получим . (2.14) Поскольку приведенное выше уравнение (2.14) выполняется для всех значений z, в частности, это означает, что β1 = β3 = 0 и T = t1ez, где t1 ∈ R∗,+. Подставив f2 и f3 в пятое уравнение в (2.4), получим . (2.15) Поскольку приведенное выше уравнение (2.15) выполняется для всех значений z, в частности, это означает, что β2 = β3 = 0 и I = t2e-z, где t2 ∈ R∗,+. Наконец, решение системы (2.4) выражается следующим образом: , (2.16) где β4 ∈ R, и t1,t2 ∈ R∗,+. Таким образом, легко следует, что векторное поле X = f1E1 + f2E2 + +f3E3, где f1,..,f3 задаются формулой (2.16), удовлетворяет системе (2.4). Заметим, что λ = -2. Подводя итог, мы доказали, что риманова трехмерная разрешимая группа Ли Sol3 допускает векторные поля, для которых выполняется уравнение (1.1). Справедлива следующая теорема. Теорема 2.1. Пусть (Sol3,g) - трехмерная разрешимая группа Ли, снабженная левоинвариантной римановой метрикой g, заданной уравнением (2.1). Тогда (Sol3,g) является расширяющимся солитоном Риччи. Пусть X = grad f - произвольное градиентное векторное поле на (Sol3,g) с потенциальной функцией f, а X задается следующим образом: grad f = e-2z∂xf∂x + e2z∂yf∂y + ∂zf∂z. Из (2.16) следует, что (Sol3,g) является градиентным солитоном тогда и только тогда, когда потенциальная функция h удовлетворяет системе , z, ⎩ ∂zf = β4. Следовательно, взяв производные по z первого уравнения и по x последнего уравнения в приведенной выше системе, мы заключаем, что ∂x∂zf = 2(t1 - (β4 + 1)x)e2z = 0 и, следовательно, t1 = 0 и β4 = 1. Далее, взяв производные по z второго уравнения и по y последнего уравнения в приведенной выше системе, мы заключаем, что ∂y∂zf = -2(t2 + (β4 - 1)y)e-2z = 0 и, следовательно, t2 = 0 и β4 = -1, что приводит к противоречию. Таким образом, мы доказали следующий результат. Следствие 2.1. Пусть (Sol3,g) - трехмерная разрешимая группа Ли, снабженная левоинвариантной римановой метрикой g, заданной уравнением (2.1). Тогда (Sol3,g) не является градиентным солитоном Риччи. 3. Солитоны Риччи пятимерной разрешимой группы Ли В этом разделе мы анализируем существование солитонов Риччи на пятимерной римановой разрешимой группе Ли (Sol5,g). Рассмотрим пятимерную разрешимую группу Ли (Sol5,g), снабженную левоинвариантной римановой метрикой. . (3.1) Пусть V = X∂x0 +Y ∂x1 +Z∂x2 +S∂u1 +T∂u2 - векторное поле на Sol5, где X,Y,Z,S,T - гладкие функции переменных x0,x1,x2,u1,u2. Ненулевые компоненты тензора Риччи: . (3.2) Производная Ли метрики (3.1) по V задается формулой ⎧ (LV g)(∂x0,∂x0) = 2e2(u1+u2) (S + T + ∂x0X), ⎪⎪⎪⎪⎪ (L ⎪⎪⎪ V g)(∂x0,∂x1) = e-2u1∂x0Y + e2(u1+u2)∂x1X,, , ⎪⎪ a , , , , (3.3) , , , , ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ (((LLLVVV ggg)()()(∂∂∂uuu121,∂,∂,∂uuu122) = 2) = 2) = a∂a∂a∂u1uuT12ST+++a∂a∂a∂u2uuS12T,S.+ a2∂u1S + a2∂u2T, Таким образом, подставляя равенства (3.1), (3.2) и (3.3) в уравнение (1.1), с помощью стандартных вычислений получаем, что риманова пятимерная разрешимая группа Ли (Sol5,g) является солитоном Риччи тогда и только тогда, когда справедлива следующая система уравнений: , , , , ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ∂x1Y - S = λ2, , (3.4) , , , , , , , Выпишем тринадцатое и последнее уравнения в (3.4) относительно u2 и u1 соответственно, получим ∂u1∂u2S = ∂u1∂u2T = 0. Производные четырнадцатого и последнего уравнения (3.4) по u2 дают ∂u22S = ∂u22T = 0. Снова выпишем тринадцатое и четырнадцатое уравнения в (3.4) относительно u1, получим ∂u21S = ∂u21T = 0. Следовательно, имеем где S, - вещественнозначные гладкие функции, зависящие от (x0,x1,x2). Затем, заменив S и T в трех последних уравнениях (3.4), получим ⎧ 2S + T = λ + 2, ⎪⎪⎪⎪⎨ 2S + 2T + S +aT = λ + 2, a ⎪⎪⎪⎪⎩ 2T + S = λ + a2, что дает ⎧ 2 ⎪⎪⎪⎪⎪⎨ T = λ +- S, a 2 T = λ + - 2S, a ⎪⎪⎪⎪⎪⎩ - - 2 S = λ+ 2S, a и, следовательно, S и T выражаются в виде (3.5) Далее выпишем восьмое уравнение в (3.4) относительно u1 и, используя (3.5), получим ∂u21Y - 2∂u1Y = 0. (3.6) Дважды продифференцировав шестое уравнение в (3.4) по u1 и взяв производную от (3.6) по x1, мы получим, что, поскольку ∂u21S = 0, ∂u1S = ∂x1∂u1Y = 0, система (3.5) сводится к (3.7) Теперь выпишем восьмое и девятое уравнения в (3.4) относительно u2 и u1, соответственно, и, используя (3.7), заключим, что ∂u2Y = 0. Следовательно, интегрируя (3.6) по u1 и учитывая, что ∂x1∂u1Y = 0, получим Y = Y e2u1 + Y (3.8) для произвольных гладких функций Y = Y (x0,x2) и Y = Y (x0,x1,x2). С другой стороны, производная шестого уравнения в (3.4) по u2 дает ∂u2S = 0, и поэтому мы имеем. Таким образом, (3.7) записывается как , Взяв производную одиннадцатого и двенадцатого уравнений в (3.4) по u2 и u1, соответственно, получим ∂u1Z = 0. Затем, выписывая десятое уравнение в (3.4) по u2, получим ∂x2∂u2Z = 0. Далее, выпишем двенадцатое уравнение в (3.4) относительно u2 и получим ∂u22Z - 2∂u2Z = 0, что дает Z = Ze2u2 + Z (3.9) для произвольных гладких функций . Из шестого и десятого уравнений в (3.4) с учетом (3.8) и (3.9) получим λ S = ∂x1Y - , 2 λ T = ∂x2Z - . 2 Выполнив замены (3.8) и (3.9) в седьмом уравнении (3.4), получим , (3.10) ⎪⎩ ∂x1Z(x0,x1) + ∂x2Y (x0,x2) = 0. Используя одиннадцатое и двенадцатое уравнения в (3.4) и тот факт, что , мы заключаем, что , и, следовательно, Y = Y (x0). Таким образом, уравнение (3.9) принимает вид (3.11) для произвольных вещественных гладких функций. Теперь, выполнив замены (3.10) и (3.8) в восьмом и девятом уравнениях (3.4) и приняв во внимание (3.11), получим и Y = 0. Следовательно, равенство (3.8) принимает вид (3.12) где - гладкие функции. Таким образом, (3.10) сводится к , (3.13) Выписав пятое уравнение в (3.4) относительно x1 и используя (3.13), получим ∂x1∂u2X = 0. Затем возьмем производную второго уравнения в (3.4) по u2 и получим (поскольку ∂u2Y = 0) ∂x1X = 0, что вместе со вторым уравнением в (3.4) дает ∂x0Y = 0, и поэтому (3.12) сводится к Y = c1x1 + c2, c1,c2 ∈ R. (3.14) Далее выпишем четвертое уравнение в (3.4) относительно x2 и, используя (3.13), (3.12) и (3.11), получим ∂x2∂u1X = 0. Таким образом, производная третьего уравнения в (3.4) по u1 дает (поскольку ∂u1Z = 0) ∂x2X = 0, что вместе с третьим уравнением (3.4) влечет ∂x0Z = 0, и, следовательно, (3.11) принимает вид Z = c3x2 + c4, c3,c4 ∈ R. (3.15) Следовательно, из (3.13) получим λ S = c1 - , (3.16) 2 λ T = c3 - . 2 Наконец, используя первое, четвертое и пятое уравнения в (3.4), мы получим, что . (3.17) Таким образом, имеем векторное поле V = X∂x0 + Y ∂x1 +Z∂x2 +S∂u1 + T∂u2, где X,Y,Z,S,T задаются равенствами (3.17), (3.14), (3.15) и (3.16). Заметим, что . Подводя итог, мы доказали, что пятимерная риманова группа Ли Sol5 допускает векторные поля, для которых выполняется уравнение (1.1), получив следующий результат. Теорема 3.1. Пусть (Sol5,g) - пятимерная разрешимая группа Ли, снабженная левоинвариантной римановой метрикой g, заданной формулой (3.1). Тогда (Sol5,g) является расширяющимся солитоном Риччи. Пусть V = grad h - произвольное градиентное векторное поле на (Sol5,g) с потенциальной функцией h, тогда V задается следующим образом: grad h = e-2(u1+u2)∂x0h∂x0 + e2u1∂x1h∂x1 + e2u2∂x2h∂x2 + 2 2 + (2∂u1h - ∂u2h)∂u1 + (2∂u2h - ∂u1h)∂u2. 3a 3a Из (3.17), (3.14), (3.15) и (3.16) следует, что (Sol5,g) является градиентным солитоном тогда и только тогда, когда потенциальная функция h удовлетворяет системе , , , , , где. Следовательно, взяв производную по x0 от последних двух уравнений в приведенной выше системе, мы заключаем, что , Таким образом,. Снова, выписывая последние два уравнения в приведенной выше системе относительно x1, получим ∂x1∂u1h = -2e-2u1 (c1x1 + c2) = 0, откуда c1 = c2 = 0. Теперь, взяв производную по x2 от последних двух уравнений в приведенной выше системе, получим, что ∂x2∂u2h = -2e-2u2 (c3x2 + c4) = 0. Таким образом, мы получили c3 = c4 = 0, что противоречит. Мы доказали следующий результат. Следствие 3.1. Пусть (Sol5,g) - пятимерная разрешимая группа Ли, снабженная левоинвариантной римановой метрикой g, заданной формулой (3.1). Тогда (Sol5,g) не является градиентным солитоном Риччи.