Regularizing operator for solving a nonlinear integral equation of the first kind the space of square-summable functions

Full Text

Введение Теория некорректно поставленных задач является одним из ведущих математических направлений. Ее развитие в значительной степени стимулируется богатейшими практическими приложениями. В свою очередь, необходимость решения прикладных задач ставит перед исследователями широкий комплекс сложнейших математических задач и требует развития теоретического аппарата, существенно обогащающего математику в целом. Не зря это направление всегда привлекало © И.А. Усенов, Р.К. Усенова, 2026 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 126 к себе величайшие математические умы XX века, которые, с уверенностью можно сказать, стояли у истоков развития данного направления - А.Н. Тихонов, М.М. Лаврентьев, В.К. Иванов, В.Н. Страхов, Р. Латтес, Ж.-Л. Лионс и др. В данной работе исследуется класс нелинейного интегрального уравнения первого рода в пространстве квадратично-суммируемых функций с приближенно заданными данными. Конструкция метода регуляризации связана с регуляризированным уравнением, полученным на основе идеи метода Лаврентьева. Устанавливаются оценки скорости сходимости регуляризированного решения к точному решению исходного уравнения первого рода. Данная работа имеет теоретическую направленность. Результат может быть использован для решения прикладных задач геофизики, теплофизики, фильтрующей оптики, медицинской визуализации и т. д. Многие прикладные задачи физики и геофизики сводятся к операторным уравнениям первого рода. К таким уравнениям сводятся также обратные задачи математической физики в тех случаях, когда выражение для функции Грина неизвестно. Обратная задача электрокаротажа скважин, определяющая месторождения и подсчет запасов полезных ископаемых, является примером таких задач. Вышеперечисленные прикладные задачи являются актуальными задачами современной науки, решение этих задач может открыть новые грани современного состояния развития человечества. В связи с этим подчеркивается важность исследования некорректно поставленных задач. В [1, 2, 6, 7, 10-12] систематически изучались линейные уравнения первого рода и некоторые классы нелинейных операторных уравнений первого рода. Методы регуляризации для решения нелинейных уравнений первого рода рассматриваются в [1-18, 20-22]. В работе [9] исследовано нелинейное интегральное уравнение первого рода в пространстве непрерывных функций. В работе [15] построен регуляризирующий оператор для решения интегрального уравнения первого рода, когда приближенно задана правая часть уравнения. Данная работа является продолжением работы [15], т. е. исследуется нелинейное интегральное уравнение первого рода c приближенными данными. 1. Постановка задач В L2[0, 1] введем интегральные операторы: Линейный оператор отображает L2([0, 1] × [0, 1]) в себя, т. е. A:L2([0, 1] × [0, 1]) → L2([0, 1] × [0, 1]), нелинейный оператор K определен в пространстве L2([0, 1] × [0, 1]). Используем стандартные обозначения и условия: A) ; B) H(t,s) ∈ L2([0, 1] × [0, 1]) удовлетворяет равенству ; C) M(s, z(s)) ∈ C([0, 1] × R) истокопредставимо в виде где 0 < σ < 1, M1(v, z(v)) ∈ C([0, 1] × R) и удовлетворяет условию Липшица по z, т. е. . Введем интегральное уравнение , (1.1) где. Предположим, что D) при u(t) = u0(t) ∈ L2[0, 1] уравнение (1.1) имеет единственное решение z0(t) ∈ L2[0, 1]; E) вместо u0(t) ∈ L2[0, 1] нам известно uδ(t) ∈ L2[0, 1] такое, что где δ - параметр погрешности; F) вместо ядра K(t,s) ∈ L2([0, 1] × [0, 1]) нам известно Kh(t,s) ∈ L2[0, 1] такое, что выполнено - параметр погрешности. Тогда уравнение (1.1) с приближенными данными запишется в виде . Наряду с уравнением (1.1) введем регуляризированное уравнение (1.2) и регуляризированное уравнение с приближенными данными . (1.3) Изучим вопрос о связи решений уравнений (1.1), (1.2), (1.3). В данной работе с помощью α-регуляризации Лаврентьева [12] построен регуляризирующий оператор для решения одного класса нелинейного интегрального уравнения первого рода в случае, когда ядро и правая часть заданы приближенно. 2. Регуляризация Основным объектом исследования является уравнение (1.3). Для регуляризации решения уравнения (1.3) используем результаты [15] регуляризации уравнения (1.2). Для этого уравнение (1.3) запишем в виде , где Rh(t,s) = Kh(t,s) - K(t,s), Th(t,s) = Hh(t,s) - H(t,s). Тогда ядро Th(t,s) в силу условия В) запишется в виде: Для явного представления решения используем фундаментальные функции Э. Шмидта. Пусть - ортонормированные собственные функции ядра K(t,s), соответствующие собственным значениям . В силу теоремы Гильберта-Шмидта имеем (2.1) Функцию u(t) ∈ L2[0, 1] разлагаем в ряд Фурье по системе функций: (2.2) Используя (1.2), (1.3), (2.1) и (2.2), из (1.1) получим, учитывая ортонормированность собственных функций Меняя порядок интегрирования в (2.3), получаем Наряду с уравнением (2.4) рассмотрим уравнение второго рода вида Введем обозначение (2.6) Тогда уравнение (2.5) формально запишется в виде . (2.7) Обе части (2.7) умножим на функцию φk(t) и проинтегрируем от 0 до 1. Учитывая ортонормированность собственных функций φk(t), получаем . Отсюда (2.8) С учетом обозначения (2.6) вычислим значение Подставляя (2.9) в (2.8), имеем (2.10) Подставляем (2.10) в (2.5), имеем Введем новую неизвестную функцию h(t): . В работе [15] доказано, что оператор имеет обратный оператор. Тогда zα(t) = Bαhα(t), где . (2.12) Оператор Bα удовлетворяет условию Липшица . Уравнение (2.11) запишется в виде Уравнение (2.13) решаем методом последовательных приближений: (2.14) где - нулевое приближение. Покажем, что последовательность приближений сходится в пространстве L2[0, 1]. Для этого из элементов последовательности составим функциональный ряд h0(t) + [h1(t) - h0(t)] + [h2(t) - h1(t)] + ... + [hk(t) - hk-1(t)] + ... (2.15) Оценивая каждый член ряда, составляем мажорантный ряд. Оценим первый член ряда (2.15): . Оценим второй член ряда (2.15): Рассмотрим первое слагаемое справа в неравенстве (2.16): . (2.17) Аналогично, Учитывая неравенства (2.17), (2.18), из неравенства (2.16) получаем Оценим третий член ряда (2.15): . По методу полной математической индукции можно доказать справедливость неравенства для любого натурального: . Таким образом, функциональный ряд (2.15) мажорируется следующим числовым рядом: . (2.19) Допустим, что параметр α выбран так, чтобы выполнялось условие h lim = 0. (2.20) h→0 α(h) Тогда существует число h00 такое, что . При выполнении этого условия числовой ряд (2.19) сходится, и его сумма равна . Через hhα(t) обозначим сумму ряда (2.15), причем по построению lim hk(t) = hhα(t). k→∞ Переходя к пределу при k → ∞ в (2.14), получаем, что функция hhα(t) удовлетворяет уравнению (2.13) при любом u(t) ∈ L2[0, 1]. В силу формулы (2.12) функции hhα(t) соответствует функция zαh(t) = Bαhhα(t). (2.21) Легко видеть, что функция zαh(t) удовлетворяет уравнению (2.11). Теорема 2.1. Пусть: 1) выполнены условия A), B), C), F); 2) параметр α удовлетворяет условию (2.20). Тогда уравнение (2.11) при любом u(t) ∈ L2[0, 1] имеет единственное решение, представимое в виде (2.21). Доказательство. Покажем, что решение уравнения (2.11) при u(t) = u0(t) сходится к точному решению уравнения (1.1) при α,h → 0. Функция hhα(t) как решение уравнения (2.13) представима в виде Подставляя это в (2.22), получаем . (2.23) Оценим разность zαh(t) - zα0(t): . Оценим разность zα,h 0(t) - z0(t). Рассмотрим функцию . Найдем минимум этой функции: . (2.25) Подставляя это в правую часть (2.24), получаем . (2.26) Теорема 2.2. Пусть: 1) выполнены условия теоремы 2.1, 2) параметр α удовлетворяет условию (2.25). Тогда решение уравнения (2.11) с u = u0(t) при h → 0 сходится к точному решению уравнения (1.1). Скорость сходимости удовлетворяет неравенству (2.26). Доказательство. Рассмотрим случай Е). Через zα,δh (t) обозначим решение уравнения (2.11) при u = uδ(t). В силу формулы (2.23) zα,δh (t) представим в виде . Оценим разность zα,δh (t) - zα,h 0(t): . Оценим разность zα,δh (t) - z0(t): Рассмотрим функцию . Минимизируя функцию, получаем . (2.28) Подставляя это в правую часть (2.27), получаем . (2.29) Теорема 2.3. Пусть: 1) выполняются все условия теоремы 2.2; 2) функция uδ(t) удовлетворяет условию Е); 3) параметр α выбран по закону (2.28). Тогда решение zα,δh (t) уравнения (2.11) при u(t) = uδ(t) и при δ,h → 0 сходится к точному решению уравнения (1.1). Скорость сходимости удовлетворяет неравенству (2.29). Заключение Обоснование метода регуляризации, предлагаемого в данной работе, заключается в следующих результатах исследования: 1) построен регуляризирующий оператор в L2[0, 1]; 2) доказана сходимость регуляризированного решения к точному решению исходного уравнения; 3) получен выбор параметра регуляризации в зависимости от погрешностей правой части и ядра; 4) получена оценка скорости сходимости регуляризированного решения к точному решению.

About the authors

I. A. Usenov

Kyrgyz National University named after J. Balasagyn

Author for correspondence.
Email: iausen72@mail.ru
Bishkek, Kyrgyzstan

R. K. Usenova

Kyrgyz National University named after J. Balasagyn

Email: usenrk@mail.ru
Bishkek, Kyrgyzstan

References

Supplementary files