Problems of solving nonlinear integral equations of the first kind belong to the class of ill-posed problems, since their solution may not exist, be ambiguous, or be unstable with respect to small perturbations of the initial data. This significantly complicates their practical application in mathematical modeling and related fields, where such equations arise when describing inverse problems. In this paper, we construct a regularization operator for solving a class of nonlinear integral equations of the first kind in the space of square-summable functions in the case where the kernel and right-hand side are given approximately. The construction of the proposed regularization method is based on the regularized equation obtained by analogy with Lavrentiev's method. We choose the regularization parameter depending on the errors of the right-hand side and the kernel. A priori estimates are obtained. We obtain also estimates for the rate of convergence of the regularized solution to the exact solution of the original nonlinear integral equation of the first kind. To explicitly represent the solution, we use Schmidt fundamental functions.
Задачи решения нелинейных интегральных уравнений первого рода относятся к классу некорректно поставленных задач, так как их решение может не существовать, быть неоднозначным либо неустойчивым относительно малых возмущений исходных данных. Это существенно осложняет их практическое применение в математическом моделировании и смежных областях, где такие уравнения возникают при описании обратных задач. В данной работе построен оператор регуляризации для решения одного класса нелинейных интегральных уравнений первого рода в пространстве квадратично-суммируемых функций в случае, когда ядро и правая часть заданы приближенно. Конструкция предлагаемого метода регуляризации основана на регуляризованном уравнении, полученном по аналогии с методом Лаврентьева. В работе получен выбор параметра регуляризации в зависимости от погрешностей правой части и ядра. Получены априорные оценки. Установлены оценки скорости сходимости регуляризованного решения к точному решению исходного нелинейного интегрального уравнения первого рода. Для явного представления решения использованы фундаментальные функции Э. Шмидта.