Construction of a solution to a boundary-value problem a third-order nonhomogeneous equation using Green's function

Full Text

1. Введение Дифференциальные уравнения в частных производных третьего порядка рассматриваются при решении задач теории нелинейной акустики и в гидродинамической теории космической плазмы, а также фильтрации жидкости в пористых средах [11]. В работе [7], учитывая свойства вязкости и теплопроводности газа, из системы Навье-Стокса было получено уравнение третьего порядка с кратными характеристиками, содержащее вторую производную по времени: Это уравнение при ν = 1 описывает осесимметричный поток, а при ν = 0 описывает плоскопараллельный поток [5]. Первые результаты по уравнению третьего порядка с кратными характеристиками были получены в работах H. Block [12], E. Del Vecchio [14]. В работе [13] L. Catabriga для уравнения © Ю.П. Апаков, А.А. Хамитов, 2026 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 1 было построено фундаментальное решение в виде двойного несобственного интеграла и изучены свойства потенциала, решены краевые задачи. В работах [3, 4] построены фундаментальные решения уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, содержащие вторые производные по времени, выраженные через конфлюэнтные гипергеометрические функции, изучены их свойства, найдены оценки при |t| → ∞. В работах [8-10] исследованы краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, а также в [2, 6] рассмотрены особенности малых знаменателей, которые появляются при решении дифференциальных уравнений. 2. Постановка задачи В области D = {(x,y,z) : 0 < x < p, 0 < y < q, 0 < z < r} рассмотрим уравнение третьего порядка вида L[u] ≡ uxxx - uyy - uzz = f (x,y,z), (2.1) где p,q,r ∈ R, и для него исследуем следующую задачу. Задача A. Найти решение уравнения (2.1) в области D из класса u(x,y,z) ∈ Cx,y,z3,2,2 (D) ∩ , удовлетворяющее краевым условиям: ⎧ αu(x,y,0) + βuz (x,y,0) = 0, ⎨ γu(x,y,r) + δuz (x,y,r) = 0, (2.2) ⎩ u(x,0,z) = u(x,q,z) = 0, , (2.3) где a, b, c, d, α, β, γ, δ - заданные постоянные, причем - заданные достаточно гладкие функции, для которых выполняется условия ⎧ ψi (0,z) = ψi (q,z) = 0, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ αγ∂∂33ψψ∂yii((y,3y,0)0) ++δβ∂∂44ψ∂yψii3(3(∂zy,∂zy,0)0)= 0= 0,, ⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ fγ∂(x,2f∂y0∂y(,zx,y,r32) = )f +(x,q,zδ∂∂y3f∂y) = 0(x,y,r2∂z, ) = 0, ∂2ψi (0,z) ∂2ψi (q,z) ∂y2 = ∂y2 = 0, ∂5ψi (y,r) ∂6ψi (y,r) α ∂y 2 + β 3∂z3 = 0, 3∂z ∂y ∂5ψi (y,r) ∂6ψ γ 3∂z2 + δ ∂yi3(∂zy,r3 ) = 0, ∂y ∂2f (x,y,0) ∂3f (x,y,0) α ∂y2 + β ∂y2∂z = 0, i = 1,2,3. (2.4) 3. Единственность решения Теорема 3.1. Если задача A имеет решение, то при выполнении условий , оно единственно. Доказательство. Предположим обратное: пусть задача A имеет два различных решения u1 (x,y,z) и u2 (x,y,z). Тогда функция u(x,y,z) = u1 (x,y,z) - u2 (x,y,z) удовлетворяет однородную уравнению (2.1) с однородными краевыми условиями. Докажем, что u(x,y,z) ≡ 0 в D. В области D справедливо тождество или . (3.1) Интегрируя тождество (3.1) по области D и учитывая однородные краевые условия, получим Из условий теоремы 3.1, т. е. , и из интегрального равенства следует ux (0,y,z) ≡ uxx (0,y,z) ≡ 0, uy (x,y,z) ≡ uz (x,y,z) ≡ 0, т. е.. Из уравнения вытекает + C2x + C3, далее следует C1 = C2 = 0, значит, h(x) = C3 = const. Из первого условия (2.3) au(0,y,z) + buxx (0,y,z) = 0 вытекает, что C3 = 0, т. к. ab > 0. Отсюда получим h(x) = 0. Следовательно, u(x,y,z) ≡ 0, (x,y,z) ∈ D. В силу последнего получим u1 (x,y,z) = u2 (x,y,z). Теорема 3.1 доказана. Замечание 3.1. Отметим, что при нарушении условий теоремы 3.1, т. е. когда a = -bθn,m2 , , однородная задача A для однородного уравнения (2.1) может иметь нетривиальное решение. Например, однородная уравнение (2.1) с однородными условиями (2.2) и (2.3) имеет нетривиальное решение где Zm (z) - решения задачи , (3.2) а θn,m являются решениями уравнения . 4. Существование решения Теорема 4.1. Если выполняются следующие условия: 1) 3; 2) , и (2.4), то решение задачи A существует. Доказательство. Решение задачи A ищем в виде u(x,y,z) = X(x)V (y,z). Поставляя в уравнение (2.1) и разделяя переменные, для V (y,z) имеем следующую задачу: ⎧ Vyy + Vzz + λV = 0, ⎪⎪⎨ αV (y,0) + βVz (y,0) = 0, (4.1) γV (y,r) + δVz (y,r) = 0, ⎪⎪⎩ V (0,z) = V (q,z) = 0, где λ - параметр разделения. Найдем собственные значения и собственные функции задачи (4.1). Решение задачи (4.1) будем искать в виде V (y,z) = Y (y)Z (z). (4.2) Подставляя (4.2) в уравнение (4.1), разделяя переменные, имеем задачи (3.2) и (4.3) , где ν и μ - положительные постоянные, связанные соотношением λ = ν + μ. Поступая так же, как в работе [1], для нахождения собственных значений μ в задаче (3.2), получим трансцендентное уравнение . (4.4) Из (4.4) следует, что, или. Соответствующие собственные функции имеют вид , где Am - произвольные постоянные, а для задачи (4.3) получим где An - произвольные постоянные, а Тогда в качестве решения спектральной задачи (3.2) и (4.3) возьмем функции (4.5) здесь . Докажем, что при всех действительных α, β и положительных μm, r, q. Так как q > 0, достаточно доказать положительность выражения в квадратных скобках: здесь Заметим, что E является квадратичной формой по α и β: E = A(r)α2 + B (r)β2 + C (r)αβ, где A(r) = - √ sin(2√μmr), r 1 2 4 μm B (r) = rμm + √μm sin(2√μmr), 2 4 . Используем неравенство при: A(r) > - √ 2√μmr = 0, r 1 2 4 μm rμm √μm √ B (r) > + 2 μmr = 0. 2 4 Следовательно, A(r) > 0, B (r) > 0. Для положительности квадратичной формы достаточно показать: Δ = (C (r))2 - 4A(r)B (r) < 0. Используем тождества: 1 - cos2x = 2sin2x, sin2x = 2sinxcosx. После подстановки и упрощения получаем: . Следовательно, Δ < 0. Квадратичная форма E (α,β) положительна при всех α,β ∈ R. Учитывая q > 0, получаем: . Теперь разложим f (x,y,z) в ряд Фурье по {Vn,m (y,z)}: , где Интегрируя функцию fn,m (x) по частям и учитывая условия (2.4), имеем оценку , (4.6) здесь В дальнейшем максимальное значение всех найденных положительных известных чисел в оценках будем обозначать через M. Решение задачи A ищем в виде . (4.7) Поставляя (4.7) в уравнение (2.1), учитывая граничные условия (2.3), получим следующую задачу: , (4.8) где. Применяя интегрирование по частям к ψin,m с учетом условия (2.4), получаем оценку , (4.9) здесь Решение задачи (4.8) находим методом построение функции Грина, для этого с помощью замены Un,m (x) = Xn,m (x) - ρn,m (x) (4.10) изменим граничные условия на однородные. Функция ρn,m (x) имеет вид Подставляя (4.10), (4.11) в (4.8), получим задачу , (4.12) здесь . Учитывая (4.6), (4.9) и, имеем оценки (4.13) . Решение задачи (4.12) ищем в виде: (4.14) здесь Gn,m (x,ξ) - функция Грина задачи (4.12), которая имеет следующий вид: (4.15) p, здесь , , . Покажем, что . Для этого докажем следующую лемму: Лемма 4.1. Краевая задача , (4.16) имеет только тривиальное решение. Доказательство. Предположим обратное, пусть . Рассмотрим тождество , или . Интегрируя по и учитывая краевые условия, получим . Так как ab > 0, cd < 0, λn,m > 0, то Xn,m ≡ 0. Лемма доказана. Пусть существует такой номер n∗,m∗, что , тогда существует постоянные , , одновременно не все равные нулю, удовлетворяющие системе Отсюда имеем, что функция является решением краевой задачи (4.16). Однако по доказанной лемме должно быть , но это невозможно в силу линейной независимости функций Отсюда функция вида является нетривиальным решением задачи A, а это противоречит теореме единственности. Легко можно убедиться, что функция, определенная формулой (4.15), обладают всеми свойствами функции Грина. В силу (4.7) и (4.10) решение задачи A имеет вид . (4.17) Если функция u(x,y,z), определяемая рядом (4.17), и ее производные uxxx, uyy и uzz сходятся абсолютно и равномерно в области D, то она дает решение задачи A. Докажем абсолютную и равномерную сходимость ряда (4.17). Из (4.17) имеем оценку . Теперь подставляя в (4.14) и интегрируя, имеем Учитывая (4.11), (4.13) и из функции Грина (4.15) получим оценки . Отсюда . Отсюда следует, что ряд (4.17) сходится абсолютно и равномерно в области D. Теперь докажем, что частные производные ряда (4.17), входящие в уравнение (2.1), также сходятся абсолютно и равномерно в области D. Для этого вычислим частные производные ряда (4.17) по переменными y и z до второго порядка, получим . Учитывая оценку u(x,y,z), получим . Используя неравенства Коши-Буняковского и Бесселя, получим , , так как . ∂2u ∂2u Следовательно, ряд, соответствующий функции , , сходится абсолютно и равномерно в ∂y2 ∂z2 области D. Абсолютная и равномерная сходимость третьей производной по x ряда (4.17) следует из неравенстваи доказанного выше. Теорема 4.1 доказана.

About the authors

Yu. P. Apakov

V. I. Romanovsky Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan; Namangan State Technical University

Author for correspondence.
Email: yusupjonapakov@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-9611-1466
Scopus Author ID: 36452842000
ResearcherId: ABG-4969-2020
Tashkent, Uzbekistan; Namangan, Uzbekistan

A. A. Khamitov

Namangan State Technical University

Email: azizbek.khamitov.93@mail.ru
Namangan, Uzbekistan

References

Supplementary files