On the stability conditions for a linear difference equation with variable delay

Full Text

1. Введение Будем называть (дискретной) полуосью и обозначать символом Nn, где n - целое неотрицательное число, множество целых чисел, не меньших n. Положим Nnm = {m,m + 1,...,n - 1} и Δx(n) = x(n+1)-x(n). Символом ∞ будем обозначать +∞. Сумму пустого множества слагаемых везде будем считать равной 0. Основным объектом исследования в настоящей статье является разностное уравнение Δx(n) + a(n)x(h(n)) = 0, n ∈ N0, (1.1) где. Уравнение (1.1) естественно рассматривать как дискретный аналог дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом x˙(t) + α(t)x(τ(t)) = 0, t ∈ [0,∞), (1.2) где τ(t) t и α(t) 0. © К.М. Чудинов, 2026 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 138 В конце 40-х гг. XX в. А.Д. Мышкис установил, что при условии τ t t все решения уравнения (1.2) устойчивы по Ляпунову, а при выполнении строгого неравенства и дополнительном условии асимптотически устойчивы. Мышкис также показал, что константа 3/2 неулучшаема: строгое неравенство нельзя заменить нестрогим, а в нестрогом нельзя заменить верхние грани верхними пределами. Теоремы Мышкиса «о 3/2» послужили отправной точкой исследований уравнений с последействием на предмет условий устойчивости, явно выраженных через параметры уравнения. Наиболее сильные известные результаты, обобщающие теоремы Мышкиса «о 3/2» для уравнения (1.2), систематизированы в работе [5]. Теория разностных уравнений приобрела статус самостоятельного раздела математики только в последней четверти XX века, когда разностные уравнения стали рассматриваться как дискретные аналоги не только дифференциальных уравнений традиционных видов, но и функционально-дифференциальных уравнений, в том числе уравнений с отклоняющимся аргументом. Первые аналоги теорем «о 3/2» для неавтономного уравнения (1.1) были установлены в 1990-х гг. Наиболее законченный вид такие условия приобрели в работе [6]: если, то все решения уравнения (1.1) ограничены, а если заменить в неравенстве строгий знак нестрогим, то при дополнительном условии все решения уравнения (1.1) будут стремиться к 0. Недавно в работе [8] был обнаружен подход, позволяющий сделать ряд принципиальных уточнений основных результатов работы [5] для уравнения (1.2). В настоящей работе исследуются возможности получения дискретных аналогов этих уточнений. 2. Функция Коши и устойчивость Для фиксированного m ∈ N0 назовем решением уравнения (1.1) на полуоси Nm функцию x: Nm → R, удовлетворяющую равенству (1.1), в котором для ξ < m полагается x(ξ) = ϕ(ξ), где ϕ - заданная начальная функция. Нетрудно видеть, что для любой начальной функции, заданной для всех решение уравнения (1.1) на полуоси Nm существует и единственно. Обозначим. Определение 2.1. Функцией Коши уравнения (1.1) называется функция K: D → R, такая что ; K(m,m) = 1; K(ξ,m) = 0, ξ < m. Данное определение соответствует определению фундаментального решения из работ [6, 9]. Мы предпочитаем термин функция Коши, поскольку он был введен раньше и соответствует терминологии дифференциальных уравнений с последействием, где понятия фундаментальная функция и функция Коши (в векторном случае вместо слова функция используется матрица) имеют разный смысл и при этом тесно связаны [1]. Заметим, что при фиксированном втором аргументе m функция c(·) = K(·,m), где K - функция Коши уравнения (1.1), является решением уравнения (1.1) на полуоси Nm. Существуют разные подходы к определению видов устойчивости разностного уравнения с последействием; их сопоставление проводится, например, в [3]. Здесь ограничимся замечанием: удобство использования функции Коши определяется наследуемой из классической теории линейных разностных уравнений формулой представления решения на полуоси Nm соответствующего уравнению (1.1) неоднородного уравнения с правой частью f : Nm → R (см. [6, 9]) , где ϕ - начальная функция и χNm - характеристическая функция множества Nm. Таким образом, начальная функция переносится в правую часть уравнения и оказывается составляющей внешнего возмущения, а определение устойчивости показывает, что устойчивость является свойством только заданного левой частью уравнения оператора. Определение 2.2. Будем называть уравнение (1.1): • равномерно устойчивым, если найдется N > 0, что для всех (n,m) ∈ D имеем; • асимптотически устойчивым, если для любого m ∈ N0 имеем K(n,m) → 0 при n → ∞; • равномерно асимптотически устойчивым, если для любого ε > 0 найдется такое l ∈ N0, что для любых m ∈ N0 и n ∈ Nm+l имеем |K(n,m)| < ε; • экспоненциально устойчивым, если при некоторых N,γ > 0 для всех (n,m) ∈ D имеем . Дальнейшее изложение посвящено поиску достаточных условий устойчивости уравнения (1.1) (в смыслах определения 2.2), выраженных в явном виде через параметры уравнения. 3. Условия равномерной устойчивости 3.1. Известные положения. Известные условия равномерной устойчивости наиболее полно описывает следующий результат. Предложение 3.1 (см. [6]). Если для некоторого n0 ∈ N0 справедливо неравенство , (3.1) то функция Коши уравнения (1.1) ограничена. Предложение 3.2 (см. [3]). Если для уравнения (1.1) выполнено условие , то его равномерная устойчивость равносильна ограниченности его функции Коши. Предложение 3.1 является дискретным аналогом следующего факта. Предложение 3.3 (см. [4]). Если для некоторого справедливо неравенство , (3.2) то функция Коши уравнения (1.2) ограничена. ⎧0, ξ < 0, Положим μ(ξ) = ⎪⎨ξ, ξ ∈ [0, 1], ⎪⎩1, ξ > 1. Недавно было установлено следующее обобщение предложения 3.3. Предложение 3.4 (см. [8]). Если для некоторого справедливо неравенство , (3.3) то функция Коши уравнения (1.2) ограничена. В работе [8] показано, что предложение 3.3 является следствием предложения 3.4, и приведены примеры уравнений, устойчивость которых устанавливается предложением 3.4, но не устанавливается предложением 3.3. Таким образом, предложение 3.4 примыкает к классу теорем Мышкиса «о 3/2», усиливая известные результаты. 3.2. Уточнение известных условий ограниченности функции Коши. В работе [8] приведено наглядное рассуждение, позволяющее относительно просто доказать предложение 3.3 и получить новое более тонкое условие устойчивости уравнения (1.2) - предложение 3.4. Рассуждение основано на изучении возможного поведения решения исследуемого уравнения на промежутке, начинающемся в точке смены знака, - именно такие точки дают максимум функционалам, стоящим в левых частях неравенств (3.2) и (3.3). Для разностных уравнений смена знака решения не подразумевает наличие нуля решения. В доказательстве приведенной ниже теоремы параметр δ играет роль значения решения уравнения (1.1) в последней до смены знака точке. Это значение может быть разным, что отражается на формулировке результата. Для каждого n ∈ N0 определим множество и функцию , Теорема 3.1. Если для некоторого n0 ∈ N0 справедливо неравенство , (3.4) то функция Коши уравнения (1.1) ограничена. Доказательство. Если для некоторого фиксированного m ∈ N0 значения K(n,m) не меняют знак при n ∈ Nm, то очевидно, что они не возрастают с ростом n, следовательно,. Зафиксируем произвольное m ∈ N0 такое, что значения K(n,m) меняют знак при n ∈ Nm. Обозначим c(n) = K(n,m). Функция c есть решение уравнения (1.1) на полуоси Nm. Покажем, что при выполнении условий теоремы для любого числа M > 0 и любой такой точки n1 ∈ Nm, что c(n1) < 0, имеем: если для всех В силу линейности уравнения без ограничения общности полагаем M = 1. Обозначим. Для всех имеем: . В силу определения функции μ и условия для всех n ∈ Nnm1 справедливо неравенство . Отсюда получаем . Следовательно, если выполнено условие теоремы, то. Аналогично получаем, что, если c(n) меняет знак при. Таким образом, в условиях теоремы функция Коши уравнения (1.1) ограничена. 3.3. Вывод предложения 3.1 из теоремы 3.1. Для произвольного n ∈ Nn0 определим на полуоси Nn функцию. Таким образом, Δs(m) = a(m + 1). Предположим, что выполнены условия предложения 3.1. Тогда для любого m ∈ En имеем: . Функция s не убывает. Если s(m) < 1/2 + δ для всех m ∈ Nn, то В противном случае существует такая точка Заметим, что для любой точки n2 ∈ Nn1 значение суммы не превосходит половины площади квадрата со стороной (3/2+δ)-(1/2+δ) = 1, т. е. не превосходит 1/2. Следовательно, Таким образом, если выполнено условие (3.1) предложения 3.1, то выполнено и условие (3.4) теоремы 3.1. Примеры уравнений вида (1.1), показывающие преимущества теоремы 3.1 перед предложением 3.1, приведены ниже в разделе 3.5. 3.4. Другие условия ограниченности функции Коши. В этом разделе статьи получим достаточные условия ограниченности решений уравнения (1.1), в которые не входит параметр δ, и которые, тем самым, могут быть удобнее для проверки. Доказательства этих условий основаны на той же идее, что и доказательство теоремы 3.1. Теорема 3.2. Если для некоторого n0 ∈ N0 справедливо неравенство , (3.5) то функция Коши уравнения (1.1) ограничена. Доказательство. Если для некоторого фиксированного m ∈ N0 значения K(n,m) не меняют знак при n ∈ Nm, то очевидно, что они не возрастают с ростом n, следовательно,. Зафиксируем произвольное m ∈ N0 такое, что значения K(n,m) меняют знак при n ∈ Nm. Обозначим c(n) = K(n,m). Функция c есть решение уравнения (1.1) на полуоси Nm. Покажем, что при выполнении условий теоремы для любого числа M > 0 и любой такой точки n1 ∈ Nm, что c(n1) < 0, имеем: если для всех В силу линейности уравнения без ограничения общности полагаем M = 1. Обозначим. Для всех имеем: , следовательно, для всех справедливо неравенство . (3.6) Отсюда получаем . Аналогично получаем, что, если c(n) меняет знак при. Таким образом, в условиях теоремы функция Коши уравнения (1.1) ограничена. Теорема 3.2 позволяет устанавливать устойчивость некоторых уравнений вида (1.1), к которым неприменимо предложение 3.1, однако теорема 3.2 не является обобщением предложения 3.1 (см. раздел 3.5). Усилим неравенство (3.5): . (3.7) Из показанного выше следует, что если выполнено условие (3.1) предложения 3.1, то выполнено и условие (3.7). Однако равномерную устойчивость уравнения (1.1) неравенство (3.7) не гарантирует, что видно на примере автономного уравнения Δx(n) = ax(n). Лемма 3.1. Если для некоторого n0 ∈ N0 имеем , то функция Коши уравнения (1.1) ограничена. Доказательство. Предположим, что выполнено условие леммы, для некоторых для Тогда Очевидно, это означает, что для всех n ∈ Nm. Теорема 3.3. Если для некоторого n0 ∈ N0 для всех n ∈ Nn0 справедливо неравенство , (3.8) то функция Коши уравнения (1.1) ограничена. Доказательство. Если для некоторого фиксированного m ∈ N0 значения K(n,m) не меняют знак при n ∈ Nm, то очевидно, что они не возрастают с ростом n, следовательно,. Зафиксируем произвольное m ∈ N0 такое, что значения K(n,m) меняют знак при n ∈ Nm. Обозначим c(n) = K(n,m). Функция c есть решение уравнения (1.1) на полуоси Nm. Покажем, что при выполнении условий теоремы для любого числа M > 0 и любой такой точки n1 ∈ Nm, что c(n1) < 0, имеем: если для всех В силу линейности уравнения без ограничения общности полагаем M = 1. Обозначим. Обозначим c(m0) = δ. Для всех имеем: . Для всех справедливо неравенство . (3.9) Отсюда получаем , что равносильно неравенству . Если для любого m0, то c(n) ограничена в силу леммы 3.1. Если же сумма больше 1, то правая часть последнего неравенства минимальна при δ = 1, поэтому при выполнении неравенства (3.8) получаем: . Аналогично получаем, что, если c(n) меняет знак при. Таким образом, в условиях теоремы функция Коши уравнения (1.1) ограничена. 3.5. Сравнения и примеры. Из полученных выше достаточных условий ограниченности функции Коши уравнения (1.1) теорема 3.1 имеет, по-видимому, наиболее широкую область применимости, поскольку предложение 3.1 является ее следствием, а теоремы 3.2 и 3.3 получены упрощением условий теоремы 3.1. Сравним области применимости предложения 3.1 и теорем 3.2 и 3.3: приведем примеры, показывающие, что любое из трех этих утверждений может быть применимо к уравнению, к которому остальные два утверждения неприменимы. Теорему 3.1 также применим во всех трех примерах. Пример 3.1. Рассмотрим уравнение (1.1) с параметрами 0. Его функция Коши ограничена: для четных m ⎧1, n - m = 4k, k ∈ N0; K(n,m) = ⎪⎨0, n - m = 2k + 1, k ∈ N0; ⎪⎩-1, n - m = 4k + 2, k ∈ N0; для нечетных m выражение для K(n,m) имеет сдвиг на 1, поскольку K(m + 1,m) = K(m,m). Предложение 3.1 не устанавливает ограниченность функции Коши: . Теорема 3.2 не устанавливает ограниченность функции Коши: . Теорема 3.3 устанавливает ограниченность функции Коши, поскольку 1; . Теорема 3.1 устанавливает ограниченность функции Коши, поскольку Пример 3.2. Рассмотрим уравнение (1.1) с параметрами ;; 9/10, n = 5k, k ∈ N1; n - 4, n = 5k, k ∈ N1. Его функция Коши ограничена: нетрудно видеть, что для любых (n,m) ∈ D имеем: K(n + 5,m) = K(n,m) · ((3/10)4 - 9/10). Предложение 3.1 не устанавливает ограниченность функции Коши: . Теорема 3.2 устанавливает ограниченность функции Коши: . Теорема 3.3 не устанавливает ограниченность функции Коши: . Теорема 3.1 устанавливает ограниченность функции Коши: . Ниже рассмотрим некоторые автономные уравнения вида . Необходимым и достаточным условием ограниченности решений этих уравнений (а значит, и ограниченности их функций Коши) является Пример 3.3. Рассмотрим уравнение Δx(n) + ax(n - 1) = 0, где a 0. Необходимым и достаточным условием ограниченности его функции Коши является . Предложение 3.1 дает условие , т. е.. Теорема 3.2 дает условие , что равносильно оценке. Теорема 3.3 дает условие 2a, что равносильно оценке. Таким образом для a ∈ (√3 - 1,3/4] предложение 3.1 устанавливает ограниченность функции Коши, а теоремы 3.2 и 3.3 нет. Теорема 3.1 дает условие: для всех δ ∈ [0, 1]. Нетрудно установить, что это равносильно точной оценке. Уравнение Δx(n) + ax(n - 1) = 0 - не единственное автономное уравнение вида (1.1), для которое достаточное условие ограниченности функции Коши, получаемое с помощью теоремы 3.1, оказывается необходимым. Пример 3.4. Рассмотрим автономное уравнение без запаздывания . Необходимым и достаточным условием ограниченности его функции Коши является неравенство a 2. Нетрудно видеть, что предложение 3.1 дает условие, теоремы 3.1 и 3.3 дают точное условие a 2, а теорема 3.2 -условие a 1. Интересным был бы анализ близости условий ограниченности функции Коши автономного уравнения Δx(n) + ax(n - r) = 0, которые дают предложение 3.1 и теоремы 3.1-3.3, к точным. Заметим, что в этом вопросе теоремы 3.1-3.3 существенно уступают предложению 3.1 в удобстве использования, поэтому такой анализ нетривиален. В этой работе он не проводится. 4. Условия асимптотической устойчивости В этом разделе коснемся вопроса о том, какие требуются дополнительные условия к полученным выше условиям ограниченности функции Коши уравнения (1.1), чтобы получать достаточные условия асимптотических видов устойчивости. Предложение 4.1 (см. [6]). Если , то для любого ε > 0 найдется такое l > 0, что при для функции Коши уравнения (1.1) справедлива оценка Предложение 4.2 (см. [6]). Если справедливо неравенство , (4.1) то для некоторых N,γ > 0 функция Коши уравнения (1.1) подчинена оценке . (4.2) Следствие 4.1. Если и для некоторого n0 ∈ N0 справедливо неравенство (4.1), то уравнение (1.1) асимптотически устойчиво. Предложение 4.3 (см. [3]). Если для уравнения (1.1) выполнено , то его равномерная асимптотическая устойчивость равносильна справедливости оценки (4.2). Предложение 4.4 (см. [3]). Если уравнение (1.1) равномерно асимптотически устойчиво и , то оно экспоненциально устойчиво. В предыдущем разделе, излагая новые результаты, мы привели несколько их видов. В этом разделе мы будем вводить дополнительные условия к условиям теоремы 3.1, а теоремы 3.2 и 3.3 развивать далее не будем. Такой подход объясняется тем, что мы считаем, что основное внимание следует уделить различию условий, накладываемых для разных видов асимптотической устойчивости; реализация этих дополнений к условиям равномерной устойчивости для теорем 3.1-3.3 идейно не отличается. Предложение 4.1 показывает, что условие является необходимым условием асимптотической устойчивости уравнения (1.1). Поэтому везде ниже оно будет входить в любой список достаточных условий асимптотической устойчивости уравнения (1.1). Теорема 4.1. Если и справедлива оценка , (4.3) то уравнение (1.1) асимптотически устойчиво. Доказательство. Поскольку , то решение уравнения, сохраняющее знак на полуоси, убывает к нулю, поэтому рассмотрим знакопеременное решение. В таком случае единственное существенное отличие от доказательства теоремы 3.1 состоит в том, что величину c(n1) следует оценивать снизу числом не (-1), а таким (-S) > (-1), что выражение под знаком верхнего предела меньше S для достаточно больших n. Теорему 4.1 естественно сопоставить со следствием 4.1. Однако аналогия не продолжается на предложение 4.2: неравенство (4.3) само по себе не гарантирует выполнения оценки (4.2). Пример 4.1. Положим a(n) = 1/2 для n ∈ N0. Зададим последовательность точек полуоси N0 рекуррентно: n0 = 0; ni+1 = ni + i + 1 для i ∈ N0. Определим запаздывание . Нетрудно видеть, что условие (4.3) выполнено: Пусть x(0) = 1. Тогда ; . Отсюда . Элементы последовательности {x(ni)} являются локальными экстремумами функции x. Поскольку x(ni+1)/x(ni) → -1/2, а ni - ni-1 → ∞ при i → ∞, то функция x убывает медленнее любой экспоненты. Таким образом, оценка (4.2) не выполняется. Более того, выполнение условий теоремы 4.1 не гарантирует равномерной асимптотической устойчивости уравнения (1.1). Для равномерности асимптотической устойчивости требуется наложить условие на последействие. Например, в свете доказательств предыдущих теорем очевидно следующее утверждение. Теорема 4.2. Если выполнены условия теоремы 4.1 и, более того, для некоторого b > 0 справедливо то уравнение (1.1) экспоненциально устойчиво. Заключительные замечания С конца XX века дифференциальные и разностные уравнения с последействием развиваются часто параллельными курсами. Интересно сопоставить достижения и трудности в этих исследованиях, не обращаясь без необходимости к объединениям или обобщениям этих двух классов уравнений (к гибридным уравнениям, уравнениям «на шкалах» и др.). Многие вопросы для уравнений на дискретной полуоси решаются проще вследствие более простой аналитической техники. С другой стороны, в исследовании разностных уравнений возникает немало трудностей, для дифференциальных уравнений отсутствующих. В отношении вопросов, исследуемых в настоящей статье, отметим следующее. Важный класс уравнений с последействием составляют уравнения, для которых последействие ограничено; в нашем случае это ограниченность величины n - h(n). Для дифференциальных уравнений ограничение последействия отменяет особенно сложные виды поведения решений, что, как правило, упрощает исследование. Однако для разностных уравнений запрет такого поведения существенно влияет на точность условий устойчивости: в частности, оказывается, что константа 3/2 перестает быть точной (в работе [12] для уравнения (1.1) с ограниченным последействием найдена новая граница устойчивости, затем в работе [6] доказана точность этой константы, а в работе [2] результаты обобщены на случай уравнения с несколькими запаздываниями). Об уравнениях с несколькими запаздываниями следует сказать отдельно. Более 30 лет назад было замечено [10], что содержательное обобщение условий устойчивости на такие уравнения - нетривиальная задача: формально «точное» обобщение теорем «о 3/2» плохо описывает асимптотику решений уравнений с сильно отличающимися функциями запаздываний. С тех пор вопрос о хорошем обобщении теорем «о 3/2» остается актуальным. Работа [8] была написана как попытка подступиться именно к этому вопросу, в таком свете можно рассматривать и настоящую работу: автор полагает, что полученные в ней новые условия устойчивости допускают существенно более точный перенос на уравнения с несколькими запаздываниями, чем теоремы в виде ограничений интеграла или суммы коэффициентов по длине запаздывания.

About the authors

K. M. Chudinov

Perm National Research Polytechnic University

Author for correspondence.
Email: cyril@list.ru
ORCID iD: 0000-0002-7574-793X
SPIN-code: 1944-6552
Scopus Author ID: 55759745800
ResearcherId: ABI-6384-2020
Perm, Russia

References

Supplementary files