On one method for solving Riccati equations

Abstract

In this paper, we investigate the construction of particular solutions to scalar and matrix Riccati equations. We find a condition that ensures a relationship between particular solutions to the Riccati and Bernoulli equations, as well as to nonhomogeneous linear differential equations. We develop an algorithm for constructing a particular solution to scalar and matrix Riccati differential equations with variable coefficients, as well as scalar and matrix algebraic Riccati equations.

Full Text

Введение Уравнение Риккати, начиная с момента его появления (1724 г.), уже более 300 лет привлекает внимание математиков и ученых, занимающихся исследованиями в различных областях естествознания, науки и техники. В работах [4, 5, 7, 10] более или менее полно изложены основные свойства скалярного дифференциального уравнения Риккати, а в работах [1-3, 8, 9, 11, 12] приведены примеры прикладных задач, где уравнение Риккати встречается в виде скалярного или матричного дифференциального уравнения, а также в виде матричного алгебраического уравнения. Оно становится более привлекательным при решении прикладных задач -теории оптимального управления технологическими процессами, где управление следует находить как функцию (функционал) от состояния управляемого процесса [1-3, 8, 9]. Интерес к уравнениям Риккати и в настоящее время не ослабевает [13, 14]. Однако, несмотря на большой поток исследований, до сих пор не разработан алгоритм построения частного решения уравнения Риккати, который остается одной из актуальных проблем теории дифференциальных уравнений. В данной работе изложены результаты исследований дополнительных свойств дифференциальных и алгебраических уравнений Риккати. В частности, установлено, что существуют отдельные уравнения Риккати, для которых частное решение определяются известными аналитическими методами. Эти уравнения обладают специфическими свойствами, и мы их называем коэффициентно-сопряженными уравнениями Риккати. Доказано, что знание частных решений коэффициентно-сопряженных уравнений позволяет найти частное решение уравнения Риккати с произвольно заданными непрерывными коэффициентами. Показано, что разработанный алгоритм построения частных решений скалярных уравнений Риккати может быть обобщен и для © А.К. Керимбеков, 2026 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 63 матричных уравнений Риккати, т. е. в отдельных случаях может быть полезным и при построения частных решений матричных дифференциальных и алгебраических уравнений Риккати. Поскольку уравнение Риккати тесно связано с линейными дифференциальными уравнениями второго порядка [4, 5, 7, 10] и линейными интегро-дифференциальными уравнениями [6] с переменными коэффициентами, то для таких уравнений и их систем проблему построения частных решений также можно считать решенной. Таким образом, разработанный метод построения частного решения уравнений Риккати обладает свойством универсальности. 1. Скалярные дифференциальные уравнения Риккати 1.1. Коэффициентно-сопряженные дифференциальные уравнения Риккати. Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение Риккати , (1.1) где y(t) - неизвестная функция, коэффициенты k0(t), k1(t), k2(t) являются непрерывными скалярными функциями, определенными на заданном интервале (a,b). Теорема 1.1. Пусть коэффициенты уравнения (1.1) удовлетворяют интегральному тождеству (1.2) и u(t) является частным решением нелинейного дифференциального уравнения Бернулли , (1.3) а x(t) является частным решением линейного неоднородного дифференциального уравнения , (1.4) выделенные из общего решения при нулевом значении произвольной постоянной. Тогда каждая из функций y1(t) = -u(t) и y2(t) = -x(t) (1.5) является частным решением уравнения Риккати (1.1). Доказательство. Доказательство проведем, используя решение уравнения Бернулли (1.3). Из семейства решений выделяем частное решение , (1.6) полученное при нулевом значении произвольной постоянной. Образуем функцию (1.7) и покажем, что она является решением уравнения Риккати (1.1). Дифференцируя (1.7), имеем равенство . (1.8) Дифференцируя тождество (1.2), после несложных преобразований имеем равенство . Учитывая эти соотношения, находим, что . (1.9) Сравнивая (1.8) и (1.9), убеждаемся в том, что функция (1.7) является решением уравнения Риккати (1.1). Аналогичным образом доказывается, что функция где x(t) является частным решением линейного неоднородного дифференциального уравнения , также удовлетворяет уравнению Риккати (1.1) В самом деле, при подстановке функции y2(t) в уравнение (1.1) получим следующие соотношения: (1.10) Далее, дифференцируя интегральное тождество (1.2), получим равенство , которое перепишем в виде . С учетом этого равенства соотношение (1.11) приводим к виду и сравнивая с (1.10) убеждаемся, что функция y2(t) является решением уравнения Риккати (1.1). Наряду с уравнением (1.1) будем рассматривать уравнение Риккати вида , (1.12) которое отличается от уравнения (1.1) расположением коэффициентов. Нетрудно заметить, что (1.1) и (1.12) - разные уравнения, однако коэффициенты удовлетворяют интегральному тождеству (1.2). Уравнение (1.12) обладает теми же свойствами, что и уравнение Риккати (1.1). Уравнения (1.1) и (1.12) назовем коэффициентно-сопряженными уравнениями Риккати. Совокупность таких уравнений образуют множество, которое является подмножеством множества общих уравнений Риккати. 1.2. О преобразовании произвольного уравнения Риккати к коэффициентно-сопряженному уравнению. Рассмотрим уравнение Риккати (1.13) с произвольными непрерывными коэффициентами p(t), q(t) и r(t), определенными на заданном интервале (a,b). Если уравнение (1.13) не принадлежит к классу коэффициентно-сопряженных уравнений, то вышеизложенный метод построения частного решения становится непригодным. В этой связи рассмотрим вопросы о преобразовании уравнения (1.13) к уравнению класса коэффициентно-сопряженных уравнений. Согласно свойствам уравнения Риккати [4, 5, 7, 10], используя дробно-линейное преобразование , (1.14) где a(t),b(t),c(t),h(t) - непрерывные функции, определенные на заданном интервале (a,b), уравнение (1.13) можно преобразовать к коэффициентно-сопряженному уравнению Риккати вида . (1.15) Если из коэффициентов уравнения (1.13) образовать вектор-функцию P(t) = (p(t),q(t),r(t)), а из коэффициентов уравнения (1.15) образовать вектор-функцию K(t) = (k0(t),k1(t),k2(t)), то из функции, связывающей y(t) и z(t) по формуле (1.14), образуем вектор-функцию A(t) = = (a(t),b(t),c(t),h(t)). Тогда нетрудно проверить, что эти вектор-функции будут связаны соотношением (1.16) где . - Легко проверить, что определитель матрицы D(t) при любом наборе функций a(t),b(t),c(t),h(t), удовлетворяющих условию, отличен от нуля, т. е. |D(t)| = 1, ∀t ∈ (a,b). (1.17) Это обстоятельство позволяет определить коэффициенты k0(t),k1(t),k2(t) так, чтобы они удовлетворяли интегральному тождеству . (1.18) Эта задача, где количество неизвестных превышает количество условий, имеет бесконечно много решений. Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 1.2. Пусть уравнения Риккати (1.13) и (1.15) связаны дробно-линейными преобразованиями (1.14). При преобразовании среди наборов функций (a(t),b(t),c(t),h(t)) существует хотя бы один набор такой, чтобы (1.15) было коэффициентно-сопряженным уравнением Риккати. Отметим, что, в силу условия (1.17) уравнение (1.16) можно переписать в виде (1.19) и использовать для перехода от уравнения Риккати (1.15) к исходному уравнению Риккати (1.13). При этом переход от уравнения (1.13) к уравнению (1.15) или от уравнения (1.15) к уравнению (1.13) при каждом наборе функций a(t),b(t),c(t) и h(t) осуществляется однозначно. Пример. Рассмотрим уравнение Риккати (1.20) где , Подстановкой (1.21) уравнение (1.20) преобразуем к виду , (1.22) где коэффициенты k0(t),k1(t) и k2(t) определяются по формуле . Это равенство при a(t) = 2, h(t) = 1, b(t) = 1, c(t) = 1 имеет вид Поскольку , то легко видеть, что найденные коэффициенты k0(t),k1(t) и k2(t) удовлетворяют интегральному тождеству (1.18). Далее находим частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения . Оно имеет вид Частное решение исходного уравнения Риккати (1.22) имеет вид z(t) = -z0(t) = -e2t sint. Далее согласно (1.21) частное решение уравнения (1.20) находим в виде (1.23) . Известно, что существует связь дифференциального уравнения Риккати (1.24) с линейными дифференциальными уравнениями второго порядка, системой дифференциальных уравнений и интегро-дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. Все свойства уравнения Риккати и его связи с другими уравнениями сохраняются и для коэффициентно-сопряженных уравнений. Это обстоятельство позволяет, зная частное решение коэффициентно-сопряженного уравнения Риккати, находить частные решения некоторых дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений и их систем с переменными коэффициентами, которые также являются актуальными проблемами теории дифференциальных уравнении. Ниже приведены примеры таких связей. Связь с линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Пусть x(t) - известное решение коэффициентно-сопряженного уравнения Риккати (1.24). Тогда, используя формулу , (1.25) можно найти частное решение z(t) линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами вида . (1.26) Связь с линейной системой дифференциальных уравнений первого порядка. Пусть z(t) - частное решение уравнения (1.26), найденное по формуле (1.25). Тогда одно из частных решений {z(t),y(t)} системы с переменными коэффициентами вида (1.27) определяется достаточно просто. То есть, если z(t) известно, то y(t) находится по первому уравнению. Связь с линейным интегро-дифференциальным уравнением. Рассмотрим систему (1.27) и согласно методике работы [4] для второго уравнения рассмотрим задачу Коши: . (1.28) Решение задачи Коши имеет вид (1.29) Подставляя это решение в уравнение получаем интегро-дифференциальное уравнение , (1.30) которое эквивалентно системе (1.27). Таким образом, установлено, что коэффициентно-сопряженные уравнения Риккати позволяют решать ряд задач, связанных с построением частных решений дифференциальных и интегродифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. 2. Построение частных решений одного класса матричных дифференциальных уравнений Риккати Рассмотрим матричное дифференциальное уравнение Риккати , (2.1) где Y (t) - неизвестная матрица порядка n × n, K0(t), K1(t), K2(t) - непрерывные матричные коэффициенты того же порядка, независимая переменная t изменяется на заданном интервале (a,b). Теорема 2.1. Пусть коэффициенты K0(t), K1(t), K2(t) уравнения (2.1) удовлетворяют интегральному тождеству (2.2) где E - единичная матрица порядка n×n, Φ(t,τ) = Φ(t)Φ-[2](τ) - матрица Коши, а Φ(t) - фундаментальная матрица1 линейного однородного матричного дифференциального уравнения . (2.3) Если X(t) - частное решение линейного неоднородного матричного дифференциального уравнения , (2.4) а U(t) - частное решение матричного уравнения Бернулли , (2.5) полученные при нулевом значении произвольной постоянной, то каждая из матриц Y1(t) = -X(t) и Y2(t) = -U(t) (2.6) является частным решением матричного уравнения (2.1). Доказательство. Из семейства решений уравнения (2.4) выделяем решение (2.7) и образуем матрицу Y1(t) = -X(t). Покажем, что матрица Y1(t) является частным решением уравнения Риккати (1.1). Учитывая, что для любой матрицы имеет место соотношение , находим, что . (2.8) С другой стороны, имеем равенство (2.9) Теперь тождество (2.2) представим в виде и продифференцируем по t. Учитывая известное соотношение находим, что . Тогда (2.9) перепишем в виде и, сравнивая с (2.8), убедимся в том, что матрица Y1(t) удовлетворяет уравнению Риккати (2.1). Теперь рассмотрим матричное дифференциальное уравнение Бернулли (2.10) и из семейства его решений выделим частное решение , (2.11) приравнивая к нулевой матрице произвольную постоянную матрицу. Далее непосредственными вычислениями доказывается, что матрица является частным решением уравнения Риккати (2.1). Дифференцируя матрицу Y2(t) и учитывая тождество (2.3), находим что С другой стороны, подставляя матрицу Y2(t) в правую часть уравнения (2.1), имеем соотношение: Далее продифференцируем по t интегральное тождество (2.2) и с учетом (2.3) найдем, что . Учитывая это соотношение, сравним (2.12) с (2.13) и убедимся в том, что матрица Y2(t) является решением уравнения (2.1). 3. Скалярные алгебраические уравнения Риккати 3.1. Коэфициентно-сопряженные алгебраические уравнения Риккати. Скалярное алгебраическое уравнение Риккати известно как квадратное уравнение 0 = p + qy + ry2, (3.1) где p, q, r - действительные числа. Известны алгоритмы построения корней (частных решений) этого уравнения. Мы будем рассматривать это уравнение с иных позиций, т. е. будем рассматривать вопросы определения его корней по схеме, изложенной в предыдущих пунктах. Сначала рассмотрим уравнения вида 0 = k0 + k1z + k2z2, (3.2) 0 = k2 - k1z + k0z2, (3.3) коэффициенты которых удовлетворяют условию . (3.4) Пару таких уравнений вида (3.2) и (3.3) назовем коэффициентно-сопряженными алгебраическими уравнениями Риккати. Теорема 3.1. Пусть (3.2) является коэффициентно-сопряженным алгебраическим уравнением. Если x является корнем линейного неоднородного алгебраического уравнения 0 = k0 + k1x, т. е. x = -k0k1-1, а u является нетривиальным корнем нелинейного алгебраического уравнения (3.5) 0 = k0 + k1u + k2u2, т. е. u = -k1k2-1, то каждое из чисел (3.6) z1 = -x = k0k1-1, z2 = -u = k1k2-1 является корнем алгебраического уравнения Риккати (3.2). Доказательство проводится непосредственной проверкой. 3.2. О преобразовании скалярного алгебраического уравнения Риккати общего вида. Теперь возвращаемся к уравнению (3.1) и рассмотрим вопрос о преобразовании его к коэффициентно-сопряженному уравнению. Используя дробно-линейное преобразование , (3.7) переходим к уравнению 0 = k0 + k1z + k2z2, (3.8) где коэффициенты k0,k1,k2 связаны с коэффициентами уравнения (3.1) по формулам k0 = h2p + bhq + b2r, k1 = 2chp + (ah + bc)q + 2abr, (3.9) k2 = c2p + acq + a2r, или в матричной форме K = DP, K = (k0,k1,k2), P = (p,q,r). Поскольку определитель матрицы D отличен от нуля, т. е. , (3.10) то соотношение (3.9) можно представить в виде P = D-1K, Следовательно, при любом наборе чисел a,b,c,h, удовлетворяющих условию (3.10), переход от уравнения (3.1) к уравнению (3.8) или обратно от уравнения (3.8) к уравнению (3.1) осуществляется однозначно. Это обстоятельство позволяет определить коэффициенты k0,k1,k2 так, чтобы они удовлетворяли условию . (3.11) Заметим, что эта задача имеет бесконечно много решений. Имеет место теорема. Теорема 3.2. Пусть (3.1) и (3.8) - алгебраические уравнения Риккати, связанные с дробнолинейным преобразованием (3.7). При преобразовании среди наборов чисел (a,b,c,h) существует хотя бы один набор такой, чтобы (3.8) было коэффициентно-сопряженным алгебраическим уравнением Риккати. 4. Построение частных решений одного класса матричных алгебраических уравнений Риккати Рассмотрим матричное алгебраическое уравнение Риккати вида Θ = K0 + K1Y + Y K2Y, (4.1) где Y - искомая матрица порядка n × n, коэффициенты K0,K1,K2 - постоянные матрицы порядка n × n, причем K1 и K2 считаем неособенными, Θ - нулевая матрица порядка n × n. Теорема 4.1. Пусть коэффициенты уравнения (4.1) K0,K1,K2 удовлетворяют условию K1-1K0K2K1-1 = -2E, (4.2) где K1-1 - обратная матрица, E - единичная матрица. Если матрица X является решением линейного неоднородного матричного алгебраического уравнения Θ = K0 + K1X, т. е. X = K1-1K0, (4.3) а матрица U является нетривиальным частным решением нелинейного матричного алгебраического уравнения Θ = K1U + UK2U, т. е. U = -K1K2-1, (4.4) где K2-1 - обратная матрица, то каждая из матриц а) Y1 = -X, б) Y2 = -U (4.5) является частным решением матричного алгебраического уравнения (4.1). Доказательство. Докажем это непосредственной проверкой. Случай а). Подставим матрицу Y1 = -X в уравнение (4.1) и получим равенство: Θ = K0+K1(-X)+(-X)K2(-X) = K0+K1(-K1-1K0)+K1-1K0K2K1-1K0 = 2K0-2K0 = Θ, (4.6) из которого следует первое утверждение теоремы. Случай б). Подставим матрицу Y2 = -U в уравнение (4.1). Имеем равенство: Θ = K0 + K1(-U) + (-U)K2(-U) = K0 + K1(K1K2-1) + (K1K2-1)K2(K1K2-1) = = K0 - K1K1K2-1 + K1K2-1K2K1K2-1 = K0 + 2K1K1K2-1. (4.7) Умножим это равенство слева на матрицу K1-1, а справа последовательно на K2 и K1-1. Тогда с учетом условия (4.2) получим равенство Θ = K1-1K0K2K1-1 + 2E = (-2E) + 2E = Θ, из которого следует второе утверждение теоремы. Заключение В заключение отметим, что разработан алгоритм построения частного решения скалярного уравнения Риккати с произвольными коэффициентами, согласно которому частное решение определяется по следующей схеме: 1. рассмотрим данное уравнение Риккати; 2. используя дробно-линейное преобразование, приводим его к коэффициентно-сопряженномууравнению; 3. находим частное решение коэффициентно-сопряженного уравнения; 4. согласно дробно-линейному преобразованию осуществляем обратный переход и находимчастное решение исходного уравнения Риккати. Разработанный метод построения частного решения уравнении Риккати может быть полезен для построения частных решений матричных уравнений Риккати, а также при решении прикладных задач естествознания и науки, связанных с уравнением Риккати.