Том 70, № 2 (2024): Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования

Рассматриваются сильно эллиптические дифференциально-разностные уравнения со смешанными краевыми условиями, когда на части границы заданы однородные условия Дирихле, а на другой части границы-краевые условия третьего рода. Показана взаимосвязь таких задач с нелокальными смешанными задачами для сильно эллиптических дифференциальных уравнений. Показана их однозначная разрешимость, гладкость обобщенных решений.

В статье представлен метод построения векторных полей, фазовые портреты которых имеют конечные множества заданных особых траекторий (предельных циклов, простых и сложных особых точек, сепаратрис) и заданные топологические структуры в ограниченных областях фазовой плоскости. Задача построения таких векторных полей является обобщением ряда известных обратных задач качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложенный метод её решения расширяет возможности математического моделирования динамических систем с заданными свойствами в различных областях науки и техники.

Рассматривается квазилинейное эллиптическое уравнение второго порядка с суммируемой правой частью в пространстве Rⁿ. Ограничения на структуру уравнения формулируются в терминах обобщенной N -функции. В нерефлексивных пространствах Музилака-Орлича- Соболева доказано существование ренормализованного решения в пространстве Rⁿ.

Цунами, произошедшее 11 марта 2011 года, а также другие недавние события показали, что разрушительные волны цунами, вызванные землетрясениями, продолжают представлять значительный риск для населения прибрежных районов, прилегающих к зонам субдукции, где расположено большинство источников цунами. В некоторых местах вдоль этих побережий высота подъема цунами может достигать 30 м и более, что приводит к разрушениям и человеческим жертвам. Однако максимумы высоты волн очень неравномерно распределены вдоль побережья с резкими локальными пиками амплитуды. Поскольку для прибрежных событий время прибытия волны цунами в ближайшую прибрежную точку после землетрясения составляет порядка 20 минут, быстрая (в течение 1-2 минут) правильная оценка распределения максимальной высоты волн вдоль побережья позволит службам оповещения принять меры по эвакуации именно там, где это необходимо. Современные инструменты моделирования позволяют быстро рассчитать параметры волны с достаточной точностью, если известны характеристики волны на начальный момент времени. Однако для этого требуются расчеты с шагом в несколько метров, что отнимает много времени даже при использовании суперкомпьютеров. Кроме того, в случае сильного землетрясения возможны перебои в подаче электроэнергии, что не гарантирует, что численное моделирование можно будет начать сразу после сейсмического события. Использование большой расчетной сетки с разрешением в сотни метров не позволяет корректно оценить высоту волн цунами вблизи берега. Мелкие сетки приводят к увеличению продолжительности вычислительного времени. Разрешение этого противоречия диктует необходимость выбора оптимального соотношения между шагом сетки (точность результатов) и временем расчета. В данной работе исследуется зависимость расчетных параметров волны цунами от шага сетки. Полученные результаты будут использованы для оптимального выбора зон применения сеток с различным шагом. Вычислительные эксперименты проводились на персональном компьютере (ПК) с использованием аппаратного ускорения-специализированной микросхемы на базе программируемых вентильных матриц (Field Programmable Gate Array - FPGA), используемой с компьютером в качестве сопроцессора. В результате достигается достаточно высокая производительность вычислений. Расчет параметров волн вблизи берега на расчетной сетке из 3000 × 2500 узлов занимает менее 1 минуты. Кроме того, предлагаемое решение не зависит от возможных сбоев в электроснабжении.