Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)3990810.22363/2413-3639-2024-70-2-215-236YHQGYLArticlesСтатьиResearch ArticleFunctional properties of limits of Sobolev homeomorphisms with integrable distortionФункциональные свойства пределов соболевских гомеоморфизмов с интегрируемым искажениемVodopyanovS. K.ВодопьяновС. К.vodopis@mail.ruPavlovS. V.ПавловС. В.s.pavlov4254@gmail.comNovosibirsk State UniversityНовосибирский государственный университет30062024702Functional spaces. Differential operators. Problems of mathematics educationФункциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования21523608072024Copyright ©; 2024, Vodopyanov S.K., Pavlov S.V.Copyright ©; 2024, Водопьянов С.К., Павлов С.В.2024Vodopyanov S.K., Pavlov S.V.Водопьянов С.К., Павлов С.В.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/39908

The functional and geometric properties of limits of homeomorphisms with integrable distortion of domains in Carnot groups are studied. The homeomorphisms belong to Sobolev classes. Conditions are obtained under which the limits of sequences of such homeomorphisms also belong to the Sobolev class, have a finite distortion, and have the N-1-Luzin property. In the case of Carnot groups of H-type, sufficient conditions are obtained that are imposed on domains and a sequence of homeomorphisms under which the limit mapping is injective almost everywhere. These results play a key role in finding extremal solutions to problems in the mathematical theory of elasticity on H-type Carnot groups, which are the subject of subsequent works by the authors.

Исследуются функциональные и геометрические свойства пределов гомеоморфизмов с интегрируемым искажением областей в группах Карно. Гомеоморфизмы принадлежат классам Соболева. Получены условия, при выполнении которых пределы последовательностей таких гомеоморфизмов также принадлежат классу Соболева, имеют конечное искажение и обладают N-1-свойством Лузина. В случае групп Карно H-типа получены достаточные условия, налагаемые на области и последовательность гомеоморфизмов, при выполнении которых предельное отображение является инъективным почти всюду. Эти результаты играют ключевую роль при нахождении экстремальных решений задач математической теории упругости на группах Карно H-типа, которым посвящены последующие работы авторов.

class of Sobolev mappingsCarnot groupmapping with finite distortionexternal operator distortion functionlimit property of Sobolev mappingsN-Luzin propertyinjectivity almost everywhereкласс отображений Соболевагруппа Карноотображение с конечным искажениемвнешняя операторная функция искажениясвойство предела соболевских отображенийN-свойство Лузинаинъективность почти всюдуThe work was prepared within the framework of the grant from the Russian Science Foundation (project code No. 23-21-00359).Работа подготовлена в рамках выполнения гранта РНФ (код проекта № 23-21-00359).Басалаев С.Г., Водопьянов С.К. Непрерывность по Гёльдеру следов функций класса Соболева на гиперповерхностях групп Карно и P-дифференцируемость соболевских отображений//Сиб. мат. ж.- 2023.-64, № 4.- С. 700-719.Басалаев С.Г., Водопьянов С.К. Открытость и дискретность отображений с конечным искажением на группах Карно// Сиб. мат. ж. - 2023.- 64, № 6.-С. 1151-1159.Брудный Ю.А., Котляр Б.Д. Одна задача комбинаторной геометрии// Сиб. мат. ж. -1970.-11, № 5. -С. 1171-1173.Водопьянов С.К. О замкнутости классов отображений с ограниченным искажением на группах Карно// Мат. тр. -2002.-5, № 2.-С. 92-137.Водопьянов С.К. Операторы подстановки пространств Соболева// В сб.: «Современные проблемы теории функций и их приложений», Тез. докл. конференции, г. Саратов, 2002 г. - Саратов, 2002.- С. 42-43.Водопьянов С.К. О регулярности отображений, обратных к соболевским// Мат. сб.- 2012.- 203, № 10.-С. 3-32.Водопьянов С.К. Допустимые замены переменных для функций классов Соболева на (суб)римановых многообразиях// Мат. сб.- 2019.-210, № 1. -С. 63-112.Водопьянов С.К. О регулярности отображений, обратных к соболевским и теория Qq,p-гомеоморфизмов// Сиб. мат. ж. - 2020.- 61, № 6.- С. 1257-1299.Водопьянов С.К. Непрерывность отображений класса Cоболева Wν,1loc с конечным искажением на группах Карно// Сиб. мат. ж. -2023.-64, № 5. -С. 912-934.Водопьянов С.К., Евсеев Н.А. Функциональные и аналитические свойства одного класса отображений квазиконформного анализа на группах Карно// Сиб. мат. ж. - 2022.- 63, № 2. С. 283-315.Водопьянов С.К., Ухлов А.Д. Пространства Cоболева и (P,Q)-квазиконформные отображения групп Карно// Сиб. мат. ж. -1998.-39, № 4. -С. 776-795.Гусман М. Дифференцирование интегралов в Rn.- М.: Мир, 1978.Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах.-М.-Л.: Гостехиздат, 1950.Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева.-Л.: Ленингр. ун-т, 1985.Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением.-Новосибирск: Наука, 1982.Решетняк Ю.Г. Соболевские классы функций со значениями в метрическом пространстве// Сиб. мат. ж. -1997.- 38, № 3.-С. 657-675.Решетняк Ю.Г. Соболевские классы функций со значениями в метрическом пространстве. II// Сиб. мат. ж. -2004.- 45, № 4.-С. 855-870.Эванс Л.К., Гариепи Р.Ф. Теория меры и тонкие свойства функций. -Новосибирск: Научная книга, 2002.Ball J.M. Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity// Arch. Ration. Mech. Anal. -1977.-63.-С. 337-403.Ball J.M. Global invertibility of Sobolev functions and the interpretation of matter// Proc. R. Soc. Edinb. Sect. A. -1981.- 88.- С. 315-328.Christodoulou D. On the geometry and dynamics of crystalline continua// Ann. Inst. Henri Poincar´e.- 1998.-69, № 3.- С. 335-358.Ciarlet P.G. Mathematical Elasticity, Vol. I. Three-Dimensional Elasticity. -Amsterdam: North-Holland, 1988.Folland G.B., Stein E.M. Hardy spaces on homogeneous groups.-Princeton: Princeton Univ. Press, 1982.Gromov M. Carnot-Caratheodory spaces seen from within// В сб.: «Sub-Riemannian Geometry».-Basel: Birkh¨auser, 1996.- С. 79-323.Isangulova D.V., Vodopyanov S.K. Coercive estimates and integral representation formulas on Carnot groups// Eurasian Math. J.-2010.- 1, №3.- С. 58-96.Maione A. Variational convergences for functionals and differential operators depending on vector fields// Дисс. канд. наук.- University of Trento, 2020.- С. 1-145.Molchanova A., Vodopyanov S. Injectivity almost everywhere and mappings with finite distortion in nonlinear elasticity// Calc. Var. Part. Differ. Equ. -2019.- 59, № 17.- С. 2-25.Pansu P. M´etriques de Carnot-Carath´eodory et quasiisom´etries des espaces sym´etriques de rang un// Ann. Math. -1989.- 129, №1.- С. 1-60.Ukhlov A.D., Vodopyanov S.K. Set functions and their applications in the theory of Lebesgue and Sobolev spaces. I// Sib. Adv. Math. -2004.- 14, № 4.- С. 78-125.Ukhlov A.D., Vodopyanov S.K. Set functions and their applications in the theory of Lebesgue and Sobolev spaces. II// Sib. Adv. Math. -2005.- 15, № 1. -С. 1-35.Vodop’yanov S.K. P-Differentiability on Carnot groups in different topologies and related topics// В сб.: «Proceedings on Analysis and Geometry».- Novosibirsk: Sobolev Institute Press, 2000.- С. 603-670.Vodop’yanov S.K. Geometry of Carnot-Carath´eodoryspaces and differentiability of mappings// Contemp. Math. -2007.-424.- С. 247-302.