The Third Mixed Boundary-Value Problem for Strongly Elliptic Differential-Difference Equations in a Bounded Domain

Full Text

Введение Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения рассматривались в работах многих математиков: Ф. Хартмана и Г. Стампакья [10], А. Б. Антоновича [1], В. С. Рабиновича [4] и др. Интерес к этим уравнениям связан с их важными приложениями: к теории многослойных пластин и оболочек [13-15], к нелинейной оптике [7], к теории многомерных диффузионных про- цессов [15], к теории нелокальных эллиптических задач [2, 7-9, 15], возникающих в теории плазмы, к проблеме Като о квадратном корне из оператора [7, 11, 16] и др. Общая теория эллиптических функционально-дифференциальных уравнений построена в ра- ботах А. Л. Скубачевского и его учеников [5, 7, 15], см. также имеющуюся там библиографию. В работе [12] исследуется смешанная краевая задача для сильно эллиптического диффе- ренциально-разностного уравнения в случае, когда на части границы заданы однородные усло- вия Дирихле, а на другой части границы - краевые условия второго рода. В настоящей работе исследуется третья смешанная краевая задача для сильно эллиптического дифференциально- разностного уравнения, когда на части границы заданы однородные условия Дирихле, а на другой части границы - краевые условия третьего рода. Установлена взаимосвязь такой задачи с нело- кальной смешанной задачей для сильно эллиптического дифференциального уравнения. Доказа- ны теоремы об однозначной разрешимости и гладкости обобщенных решений таких задач. Свойства разностных операторов Рассмотрим вспомогательные результаты о свойствах разностных операторов. Доказательства см. в [15, гл. II]. Пусть Q ⊂ Rn - ограниченная область с границей ∂Q ∈ C∞ или Q = (0, d) × G, где G ⊂ Rn-1 - ограниченная область с границей ∂G ∈ C∞, если n ); 3, и G = (a, b), если n = 2. Пусть M ⊂ Rn - конечное множество векторов с целочисленными координатами. Через M обозначим аддитивную группу, порожденную множеством M , а через Qr - открытые связные компоненты множества Q \ ( J (∂Q + h)). h∈M Определение 2.1. Множество Qr будем называть подобластью. Множество R всех подобла- стей Qr (r = 1, 2,... ) - разбиением области Q. Для множества подобластей Qr справедливы следующие результаты: 1) J ∂Qr = ( J (∂Q + h)) ∩ Q. r h∈M J Qr = Q. r n Для любых Qr1 и h ∈ M либо существует Qr2 такое, что Qr2 = Qr1 + h, либо Qr1 + h ⊂ R \ Q. Разбиение R естественным образом распадается на непересекающиеся классы: подобласти Qr1 , Qr2 ∈ R принадлежат одному и тому же классу, если существует вектор h ∈ M, для ко- торого Qr2 = Qr1 + h. Обозначим подобласти Qr через Qsl, где s - номер класса (s = 1, 2,... ), а l - порядковый номер данной подобласти в s-м классе. Очевидно, что каждый класс состоит из конечного числа N = N (s) подобластей Qsl. Будем предполагать, что множество различных классов конечно. Обозначим число различных классов через s1. Введем множество K = 1 h1,h2∈M {Q ∩ (∂Q + h1) ∩ [(∂Q + h2) \ (∂Q + h1)]}. (2.1) Будем предполагать, что множество K ∩∂Q имеет нулевую (n-1)-мерную меру Лебега μn-1(·). Однако в общем случае может оказаться, что μn-1(K ∩ ∂Q) I= 0, см. [15, пример 7.6]. Граница ∂Q разбивается множеством K на открытые связные в топологии ∂Q компоненты множества ∂Q \ K , которые мы будем обозначать Γp. Можно показать, что если (Γp + h) ∩ Q I= ∅ при некотором h ∈ M, то либо Γp + h ⊂ Q, либо существует Γr ⊂ ∂Q\K такое, что Γp+h = Γr . Отсюда следует, что множество {Γp+h : Γp+h ⊂ Q, p = 1, 2,... ; h ∈ M} можно разбить на классы следующим образом: множества Γp1 + h1 и Γp2 + h2 принадлежат одному и тому же классу, если: существует h ∈ M такое, что Γp1 + h1 = Γp2 + h2 + h, и в случае Γp1 + h1, Γp2 + h2 ⊂ ∂Q направления внешних нормалей к ∂Q в точках x ∈ Γp1 + h1 и x - h ∈ Γp2 + h2 совпадают. Будем предполагать, что число различных классов конечно и равно r1. Очевидно, что множество Γp ⊂ ∂Q может принадлежать лишь одному классу, а множество Γp + h ⊂ Q - не более, чем двум классам. Будем обозначать множества Γp + h через Γrj , где r = 1, 2,... , r1 - номер класса, j - номер элемента в данном классе (1 ::: j ::: J = J (r)). Не ограничивая общности, будем считать, что Γr1,... , ΓrJ0 ⊂ Q, Γr,J0+1,... , ΓrJ ⊂ ∂Q (0 ::: J0 = J0(r) < J (r)). Из определения множества K вытекают следующие утверждения. Лемма 2.1. Для любого Γrj ⊂ ∂Q существует подобласть Qsl такая, что Γrj ⊂ ∂Qsl; при этом Γrj ∩ ∂Qs1l1 = ∅, если (s1, l1) I= (s, l). Лемма 2.2. Для любого r = 1, 2,... , r1 существует единственное s = s(r) такое, что N (s) = J (r), и после некоторой перенумерации Γrl ⊂ ∂Qsl (l = 1,... ,N (s)). Лемма 2.3. Для любого Γrj ⊂ Q существуют Qs1 l1 и Qs2l2 такие, что Qs1l1 I= Qs2l2 , Γrj ⊂ ∂Qs1 l1 ∩ ∂Qs2l2 и Γrj ∩ ∂Qs3 l3 = ∅, если (s3, l3) I= (s1, l1), (s2, l2). Рассмотрим разностный оператор R : L2(Rn) → L2(Rn), определенный по формуле Ru(x) = '\" ahu(x + h), (2.2) h∈M где ah ∈ C, x = (x1,... , xn) ∈ Rn. Введем оператор RQ : L2(Q) → L2(Q), действующий по формуле RQ = PQRIQ, (2.3) где IQ : L2(Q) → L2(Rn) - оператор продолжения функций из L2(Q) нулем в Rn \ Q, а PQ : L2(Rn) → L2(Q) - оператор сужения функций из L2(Rn) на Q. Q Легко показать, что операторы RQ, R∗ : L2(Q) → L2(Q) ограничены и Q = PQR IQ, R u(x) = '\" ahu(x - h). R∗ ∗ ∗ h∈M Для каждого класса s определим объединение всех его подобластей как Ωs := N (s) J l=1 Qsl. Обо- значим через L2(Ωs) подпространство функций в L2(Q), равных нулю вне Ωs. Обозначим через Ps : L2(Q) → L2(Ωs) оператор ортогонального проектирования на L2(Ωs). Можно показать, что L2(Q) = L2 (Ωs) . (2.4) s Более того, справедливо следующее утверждение. Лемма 2.4. L2(Ωs) - инвариантное подпространство оператора RQ. 2 Введем изоморфизм гильбертовых пространств Us : L2(Ωs) → LN (Qs1) по формуле 2 (Usu)l(x) = u(x + hsl) (x ∈ Qs1), (2.5) где l = 1,... ,N = N (s), hsl такое, что Qs1 + hsl = Qsl (hs1 = 0), и LN (Qs1) = n L2(Qs1). l Справедлива следующая лемма, см. [15, лемма 8.6]. Лемма 2.5. Оператор RQs : LN (Qs1) → LN (Qs1), определяемый формулой 2 2 s RQs = UsRQU -1, (2.6) является оператором умножения на матрицу Rs порядка N (s) × N (s) с элементами вида rs (ah (h = hsj - hsi ∈ M ), ij = 0 (hsj - hsi I∈ (2.7) M ). Определение 2.2. Будем называть разностный оператор RQ : L2(Q) → L2(Q) невырожден- ным, если 0 ∈/ σ(RQ). В противном случае будем называть его вырожденным. Q Замечание 2.1. Из леммы 2.5 следует, что оператор RQ является невырожденным в том слу- чае, когда все матрицы Rs (s = 1,... , s1) имеют отличные от нуля определители. Для невырож- денного оператора RQ : L2(Q) → L2(Q) существует обратный оператор R-1 : L2(Q) → L2(Q), имеющий вид Q = '\" Us Rs UsPs. (2.8) R-1 -1 -1 s Пример 2.1. Пусть Q = ( \ 1 , 2 × (0, 1), разностный оператор R : L (R2) → L (R2) имеет вид 0 3 2 2 (Ru)(x) = a-2u(x1 - 2, x2)+ a-1u(x1 - 1, x2)+ a0u(x1, x2)+ a1u(x1 + 1, x2)+ a2u(x1 + 2, x2). Тогда M = {(-2, 0); (-1, 0); (0, 0); (1, 0); (2, 0)}, M = {(j, 0)} (j ∈ Z). Множество K состоит из \ двенадцати точек: (j, 0); (j + 1 , 0 3 ; (j, 1); ( 1 \ j + , 1 3 (j = 0, 1, 2). Сдвиги, порожденные разностным оператором, разбивают область Q на два класса подобластей (см. рис. 1): 1) Q11 = ( 1 \ ( 1 , × (0, 1), Q12 = 1, 1 \ ( × (0, 1), Q13 = 1 \ , 2 × (0, 1); 0 2 3 3 3 1 \ ( 1 \ 2) Q21 = ( , 1 3 × (0, 1), Q22 = 1 , 2 3 × (0, 1). Рис. 1 Разностному оператору R соответствуют матрицы ⎛ a0 a1 a2⎞ a0 a1 R1 = ⎝a-1 a0 a1⎠ , R2 = a-2 a-1 a0 . a-1 a0 Разностные операторы в пространствах Соболева 2 Пусть W k(Q), k ∈ N, - пространство Соболева комплекснозначных функций из L2(Q), име- ющих все обобщенные производные вплоть до k-го порядка из L2(Q) со скалярным произведением r 2 (Q) (u, v)W k = '\" |α|:::k Q Dαu · Dαvdx, где Dα = Dα1 ·· · Dαn , Dj = -i∂/∂xj , α = (α1,... , αn), |α| = α1 + ··· + αn. 1 n Обозначим через W˚ k(Q) замыкание в пространстве W k (Q) множества C∞(Q) финитных, бес- 2 2 0 конечно дифференцируемых в Q функций с компактными носителями. k- 1 Пусть S ⊂ Q - (n - 1)-мерная поверхность класса Ck . Через W2 2 пространство следов функций из W k(Q) с нормой 2 (S), k ∈ N, обозначим ∓φ∓ k- 1 2 S = inf ∓u∓W k (Q) (u ∈ W k(Q) : u| = φ). W2 2 (S) 2 Следующая лемма доказывается аналогично результату [15, лемма 8.15]. Лемма 3.1. Пусть для некоторых s = 1,... , s1,l = 1,... ,N (s), функция u ∈ L2(Q) принадле- жит пространству W k(Qsl). Тогда функция RQu также принадлежит пространству W k(Qsl) 2 и выполняется оценка нормы ∓RQu∓W k N ::: c1 '\" ∓u∓ k 2 . (3.1) 2 (Qsl) j=1 W2 (Qsj ) Если, кроме того, det Rs I= 0 для всех s = 1, 2,... , s1, то существует ограниченный обратный оператор R-1 : L2(Q) → L2(Q), функция R-1u также принадлежит пространству W k(Qsl), Q и выполняется оценка нормы ∓R-1 Q u∓W k Q ::: c2 N '\" ∓u∓ k 2 . (3.2) 2 (Qsl) j=1 W2 (Qsj ) Здесь c1, c2 > 0 - константы, не зависящие от u. 2,Γ Обозначим через W˚ 1 щих краевым условиям 2 (Q) подпространство функций из пространства W 1(Q), удовлетворяю- u|Γrl = 0 (r ∈ B, l = J0 + 1,... ,J ), (3.3) где J0 = J0(r), J = J (r), B = {r : J0(r) > 0}; Γ = {Γrl }, r ∈ B, l = J0 + 1,... , J. Справедлива следующая лемма, см. [12, лемма 3.2]. 2,Γ Лемма 3.2. Разностный оператор RQ непрерывно отображает W˚ 1 2 (Q) в W 1(Q), при этом 2,Γ для любой функции u ∈ W˚ 1 (Q) справедливо равенство (RQu)xj = RQuxj (j = 1,... , n). (3.4) Ниже мы приведем результат об осуществляемом регулярным разностным оператором изо- 2,Γ морфизме пространства W˚ 1 2 (Q) и подпространства функций в W 1(Q), удовлетворяющих нело- кальным краевым условиям. Этот результат используется, чтобы установить связь между сме- шанной краевой задачей для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения и эллиптическим дифференциальным уравнением со смешанными нелокальными краевыми усло- виями. В силу леммы 2.2 для любого r = 1, 2,... , r1 существует единственный класс s = s(r) такой, что N (s) = J (r), и можно перенумеровать подобласти s-го класса так, чтобы Γrl ⊂ ∂Qsl (l = 1, .., N (s)). s Введем матрицы R1, получаемые из матриц Rs путем вычеркивания последних N -J0 столбцов, R0 1 и матрицы строк. s порядка J0 ×J0, получаемые из матрицы Rs путем вычеркивания последних N -J0 Пусть er (i = 1,... ,N )- i-я строка матрицы R1. i s s Определение 3.1. Будем называть разностный оператор RQ : L2(Q) → L2(Q) регулярным, если матрицы Rs (s = 1,... , s1) и R0 (s = s(r), r ∈ B) невырождены. s Замечание 3.1. Заметим, что если оператор RQ регулярный, то матрицы R0 невырожде- ij ны. Следовательно, существует такие коэффициенты γr (r ∈ B; i = J0(r) + 1,... ,J (r); j = 1,... , J0(r)), что выполняются следующие соотношения: J0 er '\" lj j l = j=1 γr er (l = J0 + 1,... ,J (r)). (3.5) 2,Γ,γ Введем W 1 евым условиям 2 (Q) - подпространство функций в W 1(Q), удовлетворяющих нелокальным кра- J0 '\" r ij где γr w(x + hsl)|Γr1 = ij ∈ C, γ = {γr }. j=1 γlj w(x + hsj ) Γr1 (r ∈ B, l = J0 + 1,... ,J ), (3.6) Справедлива следующая теорема, см. [12, теорема 3.1]. Теорема 3.1. Регулярный разностный оператор RQ : L2(Q) → L2(Q) непрерывно и взаимно 2,Γ однозначно отображает W˚ 1 2,Γ,γ (Q) на W 1 ij (Q) для некоторых γ = {γr }. Рассмотрим некоторое r ∈ B и соответствующие J = J (r) и J0 = J0(r). По лемме 2.2 существует единственный класс s = s(r) такой, что N (s) = J (r) и элементы Γrl лежат в ∂Qsl для всех l = 1,... ,N (s) после некоторой перенумерации подобластей s-го класса. В силу леммы 2.3 существуют такие p = p(r) и m = m(r), что Γr1 ⊂ ∂Qpm, Qpm I= Qs1. Перенумеруем подобласти p-го класса таким образом, чтобы Γrl ⊂ ∂Qpl (l = 1,... , J0), J0 ::: N (p). s Введем матрицу Rt , полученную из матрицы Rs вычеркиванием последних N (s) - J0 строк p и первых J0 столбцов. Если N (p) > J0, введем также матрицу Rt , полученную из матрицы Rp вычеркиванием последних N (p) - J0 строк и первых J0 столбцов. Если N (p) > J0, обозначим через Tr = (Rt |Rt ) матрицу размера J0 ×(N (s)+ N (p)- 2J0), полученную объединением столбцов s матриц Rt s p p и Rt . Замечание 3.2. Пусть N (p) > J0. Рассмотрим множество Γr1 + hpk для некоторого J0 +1 ::: k ::: N (p), где hpk таково, что Qpk = Qp1 + hpk, hp1 = 0. Из условия J0 +1 ::: k ::: N (p) следует, что Γr1 + hpk I= Γri для 1 ::: i ::: J0. Из соотношений ∂Qpk = ∂Qp1 + hpk , Γr1 + hpk ⊂ ∂Qpk ⊂ Q и свойств множеств Γrl следует существование v-го класса {Γvl },v I= r, такого, что Γr1 + hpk = Γvt ⊂ ∂Q для некоторого t, где 1 ::: t ::: J (v). Легко показать, что для такого класса значение J (v) совпадает с N (p) и можно перенумеровать множества Γvl и подобласти Qpl, что Γrl = Γvl ⊂ Q (l = 1,... , J0), Γvl ⊂ ∂Q (l = J0 + 1,... ,N (p)) и Γrl ⊂ ∂Qpl (l = 1,... ,N (p)). Таким образом, матрица Tv , построенная для v-го класса, будет совпадать с матрицей Tr с точностью до перенумерации некоторых строк и столбцов. Отметим, что класс подобластей {Qpk}, k = 1,... ,N (p), может совпадать с перенумерованным классом {Qsl}, l = 1,... ,N (s) = N (p). Справедлива следующая теорема, см. [12, теорема 3.2]. Теорема 3.2. Пусть оператор RQ : L2(Q) → L2(Q) регулярный, и пусть ⎧ ⎪⎨для всех r ∈ B таких, что N (p) > J0, столбцы матрицы Tr линейно независимы, и для всех r ∈ B таких, что N (p) = J0, (3.7) s ⎪⎩столбцы матрицы Rt линейно независимы. Предположим также, что R-1(H1) ⊂ W 1(Q), где H1 - линейное подпространство в W 1(Q). Тогда R-1(H1) ⊂ W˚ 1 Q (Q) и H1 ⊂ W 1 2 2 (Q). Q 2,Γ 2,Γ,γ Пример 3.1. Рассмотрим разностный оператор R : L2(R2) → L2(R2), заданный формулой (Ru)(x) = 2u(x1 - 1, x2)+ u(x1, x2)+ u(x1 + 1, x2). × Пусть область Q = (0, 21 \ (0, 1) (см. рис. 1). 3 Оператору R соответствуют матрицы R1 = ⎝2 1 1⎠ , R2 = 0 2 1 ⎛1 1 0⎞ 1 1 2 1 . Определители det R1 = -3, det R2 = -1 ненулевые, а значит оператор RQ является регуляр- ным. 2,Γ Подпространство W˚ 1 2 (Q) - подпространство функций в W 1(Q), удовлетворяющих условиям 1 1 3 u|x1=0 = u|x1=2 1 = 0, а W2,Γ,γ (Q) - подпространство функций в W2 (Q), удовлетворяющих нело- кальным краевым условиям 2 2 w|x1=0 = γ31 w|x1 =1 + γ32 w|x1=2 , 1 1 w|x1=2 1 = γ32 w|x1=1 1 + γ31 w|x1 = 1 , 3 3 3 ij где коэффициенты γ± определяются из системы алгебраических уравнений 2 1 2 γ2 1 , 1 γ31 + 1 32 = 0 1 2 1 γ1 0 , 1 γ32 + 1 31 = 2 31 т. е. γ2 32 = -1, γ2 32 = 1, γ1 31 = -2, γ1 = 4. J 1 Здесь Γ = {(x1, x2) : x1 = 0, x2 ∈ (0, 1)}∪ i = 3; j = 1, 2). 3 (x1, x2) : x1 = 2 , x2 ∈ (0, 1) ij , γ = {γr } (r = 1, 2; Векторы c1 = (0 2)T и c2 = (1 0)T ненулевые, т. е. условие (3.7) выполняется. Пусть H1 - некоторое линейное подпространство в W 1(Q). Тогда, в силу теоремы 3.2, если R-1(H1) ⊂ W 1(Q), Q то R-1(H1) ⊂ W˚ 1 2,Γ (Q) и H1 ⊂ W 1 2,Γ,γ 2 Q 2 (Q). Q Замечание 3.3. Теорема 3.2 показывает, что для регулярного разностного оператора RQ при дополнительном условии (3.7) на коэффициенты наличие «минимальной гладкости» функций из некоторого подпространства H1 и его прообраза R-1(H1) означает, что функции из прообраза R-1 Q (H1) имеют нулевые следы на многообразиях Γrl (r ∈ B, l = J0 + 1,... ,J ), а функции из самого пространства H1 удовлетворяют нелокальным краевым условиям. Поэтому при рассмот- рении смешанных краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных урав- нений вида (4.1) естественно задавать однородные условия Дирихле на многообразиях Γrl (r ∈ B, l = J0 + 1,... ,J ) и краевые условия третьего рода на многообразиях Γrl (r ∈/ B, l = 1,... ,J ). Такие задачи эквивалентны смешанным нелокальным краевым задачам для сильно эллиптиче- ских дифференциальных уравнений (см. раздел 4). Рассмотрение эллиптических дифференци- альных уравнений с нелокальными краевыми условиями третьего рода на сдвигах многообразий Γrl (r ∈/ B, l = 1,... ,J ) приводит к переопределенным задачам. Смешанная краевая задача для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения Рассмотрим дифференциальный оператор n A = - '\" ∂ a ∂ . (4.1) i,j=1 ∂xi ij ∂xj Будем говорить, что оператор A сильно эллиптический, если выполняется условие n '\" aij ξiξj > 0 (0 I= ξ ∈ Rn). (4.2) i,j=1 Здесь aij = aji ∈ R. Рассмотрим дифференциально-разностное уравнение ARQu(x) = f0(x) (x ∈ Q) (4.3) со смешанными краевыми условиями u|Γrl = 0 (r ∈ B, l = J0(r)+ 1,... ,J (r)), (4.4) ( '\" aij RQux i Q \ i,j j cos(ν, x )+ σ(x)R u Γrl = 0 (r I∈ B, l = 1,... ,J (r)), (4.5) где f0 ∈ L2(Q), σ ∈ C1(Rn), σ(x) = σ(x + h), x ∈ Rn, h ∈ M, - вещественная неотрицательная функция, ν - единичный вектор внешней нормали к поверхности Γrl, RQ = PQRIQ : L2(Q) → L2(Q) - ограниченный разностный оператор, оператор R задается формулой (2.2). Будем предполагать, что матрицы Rs, соответствующие разностному оператору RQ, удовле- творяют условию s Rs + R∗ > 0 (s = 1,... , s1). (4.6) Далее в этом разделе будем предполагать, что условия (4.2), (4.6) выполнены. В таком случае уравнение (4.3) будем называть сильно эллиптическим. Рассмотрим вопрос о разрешимости задачи (4.3)-(4.5). Определение 4.1. Будем называть функцию u ∈ чи (4.3)-(4.5), если интегральное тождество n W ˚ 1 2,Γ (Q) обобщенным решением зада- '\" (aij RQux , vx ) + (σR u, v) = (f , v) (4.7) i,j=1 j i L2 (Q) Q L2 (Γσ ) 0 L2 (Q) 2,Γ выполняется для любого v ∈ W˚ 1 (Q). Здесь (σRQu, v)L2 (Γσ ) = ((σRQu)|Γσ , v|Γσ )L2 (Γσ ), Γσ = ∪Γrl, r ∈/ B, l = 1,... ,J (r). Всюду далее через (f, g)L2 (Γσ ) будем обозначать скалярное произведение следов функций f, g, т. е. (f, g)L2 (Γσ ) = ( f |Γσ , g|Γσ )L2 (Γσ ). W˚ 1 Введем в пространстве L2(Q) полуторалинейную форму a(u, v) с областью определения D (a) = 2,Γ(Q) следующим образом: n a(u, v) = '\" (aij RQux , vx ) + (σR u, v) . (4.8) i,j=1 j i L2 (Q) Q L2 (Γσ ) 2,Γ Лемма 4.1. Пусть выполняются условия (4.2), (4.6). Тогда в пространстве W˚ 1 (Q) можно ввести эквивалентное скалярное произведение по формуле W˚ 1 (u, v)t 2,Γ(Q) 2,Γ = Re a(u, v) (u, v ∈ W˚ 1 (Q)). (4.9) Q Доказательство. В силу ограниченности операторов RQ и R∗ в L2(Q) и неравенства Коши- 2,Γ Буняковского для любых функций u, v из W˚ 1 (Q) справедливо неравенство | Re a(u, v)| ::: k1∓u∓W 1 ∓v∓ 1 , (4.10) где k1 > 0 - постоянная, не зависящая от u и v. 2 (Q) W2 (Q) С другой стороны, в силу (2.5)-(2.7) и (4.6) имеем n Re ( '\" (aij RQux , ux ) \ = Re '\" '\"(a R (U P u) , (U P u) ) N = i,j=1 j i L2 (Q) s i,j ij s s s xj s s xi L2 (Qs1 ) I \ (I \ = '\" '\"(aij ( RH UsPsu , RH UsPsu ) N ); s i,j I s xj \ (I s xi \ \ L2 (Qs1 ) 2 ); k2 '\" '\" (( RH UsPsu , RH UsPsu ); k3 '\" ∓ux ∓ , (4.11) s xi s s i 2 xi LN (Qs1) i L2 (Q) i где k2, k3 > 0 - постоянные, не зависящие от u, RH = (Rs + R∗)/2. s s Очевидно, в пространстве формуле W ˚ 1 2,Γ (Q) можно ввести эквивалентное скалярное произведение по (u, v)t = '\"(u , vx ) + Re(σR u, v) . (4.12) 2,Γ(Q) W˚ 1 xi i i L2 (Q) Q L2 (Γσ ) 2,Γ Из (4.11), (4.12), для всех u ∈ W˚ 1 (Q) имеем 2 2 (Q) Re a(u, u) ); k4∓u∓W 1 , где k4 > 0 - постоянная, не зависящая от u. 2,Γ Таким образом, формулой (4.9) действительно можно задать в W˚ 1 (Q) эквивалентное скаляр- ное произведение. Теорема 4.1. Пусть выполняются условия (4.2), (4.6). Тогда для любой правой части f0 ∈ 2,Γ L2(Q) у задачи (4.3)-(4.5) существует единственное обобщенное решение u ∈ W˚ 1 (Q), при этом 2 (Q) ∓u∓W 1 где c0 > 0 - постоянная, не зависящая от f0. ::: c0∓f0∓L2 (Q) , (4.13) Доказательство. Представим полуторалинейную форму a(u, v) в виде: a(u, v) = p(u, v)+ i q(u, v), (4.14) где aij p(u, v) = '\" ( i,j ∗ RQ + RQ 2 uxj , vxi \ L2 (Q) , (4.15) aij q(u, v) = '\" ( i,j ∗ RQ - RQ uxj , vxi 2i \ L2 (Q) . (4.16) Q Из ограниченности операторов RQ и R∗ и лемму 3.1, получим для любых u, v ∈ W˚ 1 в L2(Q), используя неравенства Коши-Буняковского (Q) 2,Γ W˚ (Q) |q(u, v)| ::: k1∓u∓t 1 2,Γ W˚ 1 ∓v∓t 2,Γ (Q) , (4.17) где k1 > 0 постоянная, не зависящая от u, v. Отсюда в силу теоремы Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве и сим- 2,Γ метричности формы q(u, v) в W˚ 1 (Q) следует, что существует такой самосопряженный ограни- 2,Γ ченный оператор S : W˚ 1 2,Γ (Q) → W˚ 1 (Q), что W˚ 1 q(u, v) = (Su, v)t 2,Γ(Q) 2,Γ (u, v ∈ W˚ 1 (Q)). (4.18) По теореме Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве существует ли- 2,Γ нейный ограниченный оператор B : L2(Q) → W˚ 1 (Q) такой, что (f0, v)L2 (Q) = (Bf0, v)t 1 (f ∈ L (Q),v ∈ W˚2,Γ(Q)). (4.19) W˚ 1 2,Γ(Q) 0 2 Из равенств (4.14)-(4.16), (4.18), (4.19) и леммы 3.1 получим, что равенство (4.7) эквивалентно интегральному тождеству W˚ 1 (u + iSu, v)t = (Bf , v)t (v ∈ W˚ 1 (Q)), (4.20) W 2,Γ(Q) 0 ˚ 1 2,Γ (Q) 2,Γ 2,Γ которое, в свою очередь, можно переписать в виде уравнения в W˚ 1 (Q): (I + iS)u = Bf0. (4.21) 2,Γ Очевидно, оператор S : W˚ 1 2,Γ (Q) → W˚ 1 (Q) является ограниченным и самосопряженным. От- 2,Γ сюда следует существование ограниченного обратного оператора для I + iS в W˚ 1 (Q). Таким образом, для любой f0 ∈ L2(Q) существует единственное обобщенное решение u = (I + iS)-1Bf0 задачи (4.3)-(4.5), при этом имеет место оценка (4.13). Перейдем к вопросу о гладкости обобщенных решений задачи (4.3)-(4.5). 2,Γ Теорема 4.2. Пусть выполнены условия (4.2), (4.6), u ∈ W˚ 1 (Q) - обобщенное решение зада- 2 чи (4.3)-(4.5). Тогда u ∈ W 2(Qsl \ K ε) для любого ε> 0 и всех s, l (s = 1,... , s1; l = 1,... ,N (s)), где K ε = {x ∈ Rn : dist(x, K ) < ε}. Доказательство. Из неравенства (4.11) следует, что дифференциально-разностный оператор ARQ удовлетворяет условиям теоремы 11.1 из гл. II в [15] о локальной гладкости обобщенных решений сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений в подобластях Qsl и условиям теоремы 11.2 в [15] о гладкости вблизи части границы, на которой задается краевое условие Дирихле. С другой стороны, можно показать гладкость обобщенного решения вблизи части границы, на которой задается краевое условие третьего рода, см. [3, теорема 2, §14]. 2 Из этих утверждений получим u ∈ W 2(Qsl \ K ε). Рассмотрим следствия из теоремы 4.2, объясняющие, в каком смысле обобщенное решение задачи (4.3)-(4.5) удовлетворяет уравнению (4.3) и краевому условию (4.5). Следствие 4.1. Пусть выполняются условия (4.2), (4.6). Тогда обобщенное решение зада- чи (4.3)-(4.5) u ∈ l = 1,... ,N (s)). W ˚ 1 2,Γ (Q) удовлетворяет уравнению (4.3) почти всюду в Qsl (s = 1,... , s1; j 2 Доказательство. В силу теоремы 4.2 и леммы 3.1 RQux ∈ W 1(Qsl \ K ε) для любых ε> 0 и s, l. Выберем произвольным образом s = s0, l = l0 и область Ω так, что Ω ⊂ Qs0l0 , ∂Ω ∈ C∞. Пусть 0 0 0 j 2 теперь ε > 0 удовлетворяет условию ε < dist(Ω, ∂Qs l ). Тогда RQux ∈ W 1(Ω), следовательно, для любой функции v ∈ C∞(Ω), интегрируя по частям в тождестве (4.7), получим n r '\" - r (aij RQuxj )xi vdx = f0vdx, (4.22) где s = s0, l = l0. Ω i,j=1 Ω В силу произвольности области Ω и функции v мы убеждаемся, что уравнение (4.3) удовле- творяется почти всюду в Qs0l0 . 2,Γ Следствие 4.2. Пусть выполняются условия (4.2), (4.6), и пусть u ∈ W˚ 1 (Q) - обобщенное решение задачи (4.3)-(4.5). Тогда след функции ), i,j aij RQuxj cos(ν, xi) + σ(x)RQ u определен на поверхности Mrlε := (Γrl \ K ε) для любого ε > 0 и всех r, l, r ∈/ B, l = 1,... ,J (r), при этом краевое условие второго рода (4.5) выполняется почти всюду на этой поверхности. Доказательство. Выберем произвольным образом r = r0 ∈/ B и l = l0, 1 ::: l ::: J (r0) и функцию u(x) = ), aij RQuxj cos(ν, xi)+ σRQu. По лемме 2.1 существует единственное s∗ = s∗(r) такое, что i,j N (s∗) = J (r∗), и после некоторой перенумерации подобластей Qs∗l будут справедливы вложения Γr∗l ⊂ ∂Qs∗l (l = 1,... ,N (s∗)). Возьмем произвольную функцию v ∈ W ˚ 1 2,Γ (Q) с носителем в o u принадлежит пространству W 1(Qs∗l∗ \ K ε), а ее след Qs∗l∗ \ K . В силу леммы 3.1, функция 2 определен на поверхности ∂Qs∗l∗ \ K ε. Выберем произвольным образом r = r0 ∈/ B и l = l0, 1 ::: l ::: J (r0). В силу леммы 2.2 существует единственное s0 = s0(r) такое, что N (s0) = J (r0) и после некоторой перенумерации подобластей Qs0 l будут справедливы вложения Γr0l ⊂ ∂Qs0 l (l = 1,... ,N (s0)). В силу теоремы 4.2 мы можем 2,Γ проинтегрировать по частям левую часть выражения (4.7) для любой функции v ∈ W˚ 1 1 такой, ε o u(x) ∈ W2 (Qs l \ K ) и след что supp v ⊂ Qs0l0 \ K . По теореме 4.2 и лемме 3.1 получим, что 0 0 функции u(x) определен на поверхности ∂Qs0l0 \ K ε. Следовательно, используя следствие 4.1 и равенства v|Γrl = 0 (r ∈ B, l = J0 + 1,... ,J ), получим r u(x)|∂Qs l v| dS = 0. (4.23) ∂Qs0l0 \K ε 0 0 \K ε ∂Qs0l0 \K ε В силу произвольности выбора функции v мы видим, что краевое условие (4.5) выполняется ε почти всюду на поверхности ∂Qs0 l0 \ K , в том числе на Mr0l0 ε. Приложения к теории нелокальных эллиптических краевых задач Рассмотрим приложения результатов предыдущего раздела о разрешимости смешанной кра- евой задачи для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения к исследова- нию нелокальной смешанной задачи для сильно эллиптического дифференциального уравнения. Рассмотрим дифференциальный оператор n A = - '\" ∂ a ∂ , где aij = aji ∈ R (i, j = 1,... , n). i,j=1 ∂xi ij ∂xj Будем предполагать, что оператор A сильно эллиптический, т. е. выполняется условие (4.2). Рассмотрим уравнение Aw(x) = f0(x) (x ∈ Q) (5.1) с нелокальными смешанными краевыми условиями J0 w(x + hsl)|Γr1 = '\" j=1 lj Γr1 γr w(x + hsj )| (r ∈ B, l = J0 + 1,... ,J ), (5.2) ( '\" aij wx i,j j cos(ν, xi)+ σ(x)w \ Γrl = 0 (r ∈/ B, l = 1,... ,J ). (5.3) Здесь f0 ∈ L2(Q), σ ∈ C1(Rn), σ(x) = σ(x + h), x ∈ Rn, h ∈ M - вещественная неотрицательная ij функция, ν - единичный вектор внешней нормали к поверхности Γrl, а γr - комплексные числа. Будем предполагать, что выполняется следующее условие: ⎧Для заданных чисел γr ∈ C (r ∈ B; i = J0 + 1,... ,J ; ij ⎪ ⎪⎨j = 1,... , J0) существуют числа ah (h ∈ M ) такие, что выполняются равенства (3.5), при этом матрицы ⎪ ⎪ ⎩Rs (s = 1,... , s1) вида (2.7) удовлетворяет условию (4.6). (5.4) 2,Γ,γ Напомним, что через W 1 2 (Q) мы обозначили подпространство функций в W 1(Q), удовлетво- ряющих нелокальным краевым условиям (3.6). 2,Γ,γ Определение 5.1. Будем называть функцию w ∈ W 1 (Q) обобщенным решением нелокаль- ной смешанной краевой задачи (5.1)-(5.3), если интегральное тождество '\"(aij wx , vx ) + (σw, v) = (f , v) (5.5) i,j j i L2 (Q) L2 (Γσ ) 0 L2 (Q) 2,Γ выполняется для любого v ∈ W˚ 1 (Q). Теорема 5.1. Пусть выполняются условия (4.2), (5.4). Тогда для любой f0 ∈ L2(Q) суще- ствует единственное обобщенное решение задачи (5.1)-(5.3), при этом 2 (Q) ∓w∓W 1 где c1 > 0 - постоянная, не зависящая от f0. ::: c1∓f0∓L2 (Q) , (5.6) Доказательство. В силу условий (5.4), оператор RQ : L2(Q) → L2(Q) регулярный. Следова- тельно, в силу теоремы 3.1 RQ : тождество (5.5) примет вид W ˚ 1 2,Γ (Q) → W 1 2,Γ,γ (Q) - изоморфизм. Поэтому интегральное '\"(aij (RQu)x , vx ) + (σ(R u), v) = (f , v) , (5.7) где u = R-1w ∈ W˚ 1 i,j (Q). j i L2 (Q) Q L2 (Γσ ) 0 L2 (Q) Q 2,Γ В силу леммы 3.2 интегральное тождество (5.7) можно записать в виде '\"(aij RQux , vx ) + (σR u, v) = (f , v) , (5.8) i,j j i L2 (Q) Q L2 (Γσ ) 0 L2 (Q) 2,Γ т. е. функция u ∈ W˚ 1 (Q) является обобщенным решением задачи (4.3)-(4.5). У такой задачи 2,Γ существует единственное обобщенное решение u ∈ W˚ 1 (Q) в силу теоремы 4.1, при этом выпол- няется априорная оценка (4.13). Отсюда получаем, что у задачи (5.1)-(5.3) также существует 2,Γ,γ единственное обобщенное решение w = RQu ∈ W 1 (Q), при этом в силу леммы 3.2 и неравен- ства (4.13) для некоторой независящей от u константы k1 имеем ∓w∓W 1 = ∓RQu∓ 1 ::: k1∓u∓ 1 ::: k1c0∓f0∓ . (5.9) 2 (Q) W2 (Q) W2 (Q) L2 (Q) Таким образом, доказано неравенство (5.6). Докажем теперь теорему о гладкости обобщенных решений задачи (5.1)-(5.3). 2,Γ,γ Теорема 5.2. Пусть выполнены условия (4.2), (5.4), и пусть w ∈ W 1 2 решение задачи (5.1)-(5.3). Тогда w ∈ W 2(Q \ (∂Q ∩ K )ε) для любого ε> 0. (Q) - обобщенное 2 Доказательство. В силу теоремы о гладкости обобщенных решений эллиптических краевых за- дач вблизи гладкого куска границы имеем w ∈ W 2(Ω1), где Ω1 = {x ∈ Q : dist(x, Γrl ) ); δ ∀r ∈ B, l = 1,... , J0(r)} для любого достаточно малого δ > 0. Отсюда и из краевых условий (5.2) следует, что Γrj \K ε 2 w| ∈ W 3/2(Γrj \ K ε), j = 1,... , J0. 2 Применяя теорему о гладкости обобщенных решений эллиптических краевых задач с неодно- родными краевыми условиями вблизи гладкого куска границы, получим, что w ∈ W 2(Ω2), √ где Ω2 = {x ∈ Q : dist(x, Γrl) ); δ ∀r ∈/ 2 w ∈ W 2(Q \ (∂Q ∩ K )ε). B, l = 1,... ,J (r)}. Полагая δ = ε/ 2, имеем Аналогично доказательству следствий 4.1 и 4.2 можно доказать следующие утверждения, вытекающие из теоремы 5.2. 2,Γ,γ Следствие 5.1. Пусть выполняются условия (4.2), (5.4), и пусть w ∈ W 1 (Q) - обобщенное решение задачи (5.1)-(5.3). Тогда w(x) удовлетворяет уравнению (5.1) почти всюду в Q. 2,Γ,γ Следствие 5.2. Пусть выполняются условия (4.2), (5.4), и пусть w ∈ W 1 - обобщен- ное решение задачи (5.1)-(5.3). Тогда для любого ε > 0 и всех r, l, r ∈/ B, l = 1,... ,J (r) на поверхности Mrlε = Γrl \ K ε определен след функции ), i,j aij wxj cos(ν, xi)+ σw, при этом краевое условие (5.3) выполняется почти всюду на этой поверхности.

About the authors

V. V. Akhlynina

RUDN University

Author for correspondence.
Email: vikalijko@gmail.com
Moscow, Russia

References

Supplementary files