Functional properties of limits of Sobolev homeomorphisms with integrable distortion

Full Text

1. Введение Некоторые задачи нелинейной теории упругости (например, для гиперупругих материалов) сводятся к задаче минимизации функционала полной энергии [19]. В этой ситуации, в отличие от случая линейной теории упругости, подынтегральная функция почти всегда невыпуклая, что делает невозможным применение стандартных методов решения вариационных задач. Тем не менее, существует заложенная Боллом математическая теория, в рамках которой можно исследовать функционалы полной энергии и моделировать достаточно широкий класс прикладных задач [20, 22]. В работе [27] к вопросу о существовании решения вариационной задачи была применена современная теория квазиконформного анализа (основы теории отображений с ограниченным искажением заложены в 60-ые годы прошлого века в работах Ю.Г. Решетняка [15]), с помощью которой удалось существенно ослабить предположения о суммируемости производных допустимых деформаций. Более того, экстремальная деформация оказывается гомеоморфизмом, что соответствует физическому содержанию задачи. В настоящей работе мы закладываем основы математической теории для решения вариационных задач нелинейной теории упругости [21, 26] на группах Карно. В случае произвольных групп Карно мы устанавливаем функциональные и геометрические свойства отображения, предельного для последовательности гомеоморфизмов с интегрируемым искажением, а в случае групп Карно H-типа - его свойство инъективности почти всюду. Многие ключевые результаты и методы квазиконформного анализа на группах Карно H-типа, необходимые для решения поставленных задач, получены в недавних работах [1, 2, 9]. Обобщения работы [2] на случай произвольных групп Карно пока неизвестны. 2. Предварительные сведения Группы Карно. Напомним, что стратифицированной градуированной нильпотентной группой, или группой Карно (см., например, [23]), называется связная односвязная группа Ли G такая, что её алгебра левоинвариантных векторных полей g раскладывается в прямую сумму g = g1⊕g2⊕···⊕gm подпространств gi, удовлетворяющих условиям [g1,gi] = gi+1, i = 1,...,m-1, и [g1,gm] = {0}. Группа двухступенчатая, если m = 2. Фиксируем скалярное произведение в g. Подпространство g1 ⊂ g называется горизонтальным пространством алгебры g, его элементы - горизонтальными векторными полями. Пусть N = dimg, ni = dimgi, i = 1,...,m. Для удобства также обозначим n = n1. Фиксируем ортонормированные базисы Xi1,...,Xini подпространств gi. Поскольку экспоненциальное отображение m ni - нейтральный элемент G) есть глобальный диффеоморфизм g на G (см. [23]), мы можем отождествить точку g ∈ G с точкой x = (xij) ∈ RN. Тогда e = 0 и Растяжения δλ, заданные как δλ(xij) = (λixij), суть автоморфизмы группы для всех Однородной нормой на G называется непрерывная функция ρ : G → [0,+∞) класса C∞(G\{0}) такая, что (a) ρ(x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0; (b) ρ(x-1) = ρ(x) и ρ(δλx) = λρ(x). Из определения также следует (см. [23]): (c) существует число c > 0 такое, что для всех x,y ∈ G; (d) любые две однородные нормы эквивалентны, т. е. для любых двух однородных норм ρ1, ρ2 найдутся числа такие, что для всех x ∈ G. Кусочно-гладкая кривая γ : [a;b] → G называется горизонтальной, если γ˙(t) ∈ g1(γ(t)) для п. в. t. Расстоянием Карно-Каратеодори dcc(x,y) между точками x, y ∈ G называется точная нижняя грань длин горизонтальных кривых с концевыми точками x и y. Отметим, что согласно теореме Рашевского-Чоу (см., например, [24]) любые две точки можно соединить кусочно-гладкой горизонтальной кривой конечной длины. Метрика dcc и однородная норма ρ эквивалентны: существуют положительные постоянные α и β такие, что . (2.1) Мера Лебега dx на RN - биинвариантная мера Хаара на- однородная размерность группы G. Мера нормирована так, чтобы её значение на единичном шаре B(0,1) равно единице, |B(0,1)| = 1. Здесь B(0,1) = {x ∈ G | dcc(0,x) < 1} - шар в метрике Карно-Каратеодори. Группа Карно H называется группой Карно H-типа, если она является двухступенчатой и её алгебра Ли h = h1 ⊕ h2 может быть снабжена скалярным произведением таким, что h1⊥h2 и для каждого поля Z ∈ h2 единичной длины линейное отображение JZ : h1 → h1, определённое соотношением , ортогональное. Пример 2.1. Группа Гейзенберга Hk = (R2k+1,∗) с групповой операцией , - классический пример неабелевой группы Карно H-типа. Её алгебра Ли hk образована векторными полями . Здесь hk1 = span = span{Z}, а нетривиальными скобками Ли являются лишь [Xi,Yi] = Z, i = 1,...,k. Однородная размерность Hk равна ν = 2k + 2. Если скалярное произведение таково, что векторные поля Xi, Yi, i = 1,...,k, Z образуют ортонормированную систему, то отображениеопределяется соотношениями JZ(Xi) = Yi, JZ(Yi) = -Xi и, очевидно, является ортогональным. Отображения класса Соболева. Пусть Ω ⊂ G - область (непустое связное открытое множество в G). Пространство, состоит из измеримых функций u : Ω → R, интегрируемых в p-ой степени. Норма на Lp(Ω) определяется как . Функция u принадлежит Lp,loc(Ω), если u ∈ Lp(K) для всякого компакта K ⊂ Ω. Пусть левоинвариантные векторные поля X1,...,Xn образуют базис горизонтального пространства g1, и пусть Πj - гиперплоскость {x ∈ G | xj = 0}, j = 1,...,n. Мера dμj = ı(Xj)dx на Πj задаётся внутренним произведением Xj с формой объёма. Каждому y ∈ Πj соответствует интегральная линия γj(t) = exp(tXj)(y). Отображение ϕ : Ω → M из области Ω ⊂ G в метрическое пространство M абсолютно непрерывно на линиях, ϕ ∈ ACL(Ω;M), если его можно изменить на множестве меры нуль так, чтобы для каждого j = 1,...,n оно было абсолютно непрерывным на exp(tXj)(y) ∩ Ω для μj-почти всех y ∈ Πj. Полагаем ACL(Ω) = ACL(Ω;R). Пространство функций Соболева , состоит из функций u ∈ L1,loc(Ω) ∩ ACL(Ω) таких, что производные Xju (существующие п. в.) принадлежат Lp(Ω), j = 1,... ,n. Полунорма функции u ∈ L1p(Ω) равна , где ∇hu = (X1u,...,Xnu) - горизонтальный градиент u. Далее вместо мы будем писать . Эквивалентное определение пространства L1p(Ω) основано на понятии обобщённой производной: локально суммируемая функция ui : Ω → R называется обобщённой производной функции u ∈ L1,loc(Ω) вдоль векторного поля Xi, i = 1,...,n, если для любой тестовой функции v ∈ C0∞(Ω). Локально суммируемая функция u : Ω → R принадлежит L1p(Ω) в том и только том случае, когда существуют её обобщённые производные ui ∈ Lp(Ω), i = 1...,n. При этом ui = Xiu, где Xiu - классические производные функции u ∈ ACL(Ω), существующие п. в. Пространство Соболева Wp1(Ω) состоит из функций u ∈ Lp(Ω) ∩ L1p(Ω) и снабжено нормой . Пусть- две группы Карно, Ω ⊂ G - область. Рассмотрим ϕ ∈ ACL(Ω;G). Тогда Xjϕ(x) ∈ g˜1(ϕ(x)) для п. в. x ∈ Ω (см. [28, предложение 4.1]). Матрица j определяет линейный оператор Dhϕ(x) : g1 → g˜1, который называется горизонтальным дифференциалом ϕ. Известно (см. [31, теорема 1.2]), что для п. в. отображение Dhϕ(x) определено и может быть продолжено до гомоморфизма алгебр Ли, который также можно рассматривать как линейный оператор. Нормы обоих операторов находятся в отношении , (2.2) где C зависит только от структуры групп. Последнему гомоморфизму также соответствует гомоморфизм групп, известный как дифференциал Пансю, который является аппроксимативным дифференциалом по отношению к структуре группы [31]. Определение 2.1. Класс отображений Соболева состоит из отображений ϕ ∈ ACL(Ω;, для которых величина конечна. Отображение ϕ принадлежит Wp,1loc(Ω;G), если ϕ ∈ Wp1(U;G) для всякой компактно вложенной области. Далее мы пишем вместо . Эквивалентные описания отображений групп Карно класса Соболева можно найти в [31, предложение 4.2]. Заметим, что если, то все координатные функции принадлежат Wp1(Ω). Отображение ϕ класса называется отображением с конечным искажением, если Dhϕ = 0 п. в. на множестве нулей якобиана. Класс отображений ϕ : Ω → G с конечным искажением обозначается символом FD(Ω;G). Внешняя функция искажения Kϕ,p, p ∈ [1;∞), определяется по правилу , если , иначе. Пространство Lip(Ω) состоит из липшицевых в метрике Карно-Каратеодори функций u : Ω → R, а пространство Liploc(Ω) - из заданных на Ω функций, липшицевых в метрике Карно- Каратеодори на каждом компакте. Через H мы будем обозначать группу Карно H-типа, а через G - произвольную группу Карно. Отображения с конечным искажением и интегрируемой функцией искажения тесно связаны с описанием ограниченных операторов композиции однородных пространств Соболева. Теорема 2.1 (см. [10, теорема 2]). Гомеоморфизм областей в произвольной группе Карно G индуцирует ограниченный оператор композиции Liploc, однородных пространств Соболева по правилу ϕ∗(u) = u ◦ ϕ тогда и только тогда, когда 1) ϕ ∈ Wq,1loc(Ω;G); 2) ϕ имеет конечное искажение; 3) при q = p). При этом норма эквивалентна величине , т. е. для некоторой константы αp,q > 0 справедливо неравенство | . Теорема 2.2. Пусть -области на группе Карно H-типа. Если гомеоморфизм Ω порождает ограниченный оператор композицииLiploc(Ω ) → L1q(Ω), ν - 1 < , то обратное отображение ϕ-1 порождает ограниченный оператор композиции q p Liploc. Более того, при. Доказательство. Условия теоремы 2.2 и теорема 2.1 позволяют применить результат [8, предложение 40] или [1, теорема 5], на основании которого отображение 1) принадлежит ); 2) имеет конечное искажение; 3) P-дифференцируемо п. в. в Ω (определение P-дифференцируемости см. в разделе 3.4). В доказательстве свойства работы [1] существенно применяется неравенство для ёмкости конденсатора E = (F,U), где F - континуум (т. е. связный компакт) в связном открытом множестве U: cap, установленное в [1, лемма 9] на группах Карно H-типа (здесь постоянная c10 зависит только структуры группы Карно). Напомним, что p-ёмкость конденсатора E = (F,U) определяется следующим образом: cap где инфимум берётся по всем финитным в области U функциям u ∈ L1p(U) ∩ Lip(U), равным единице на F. Обозначим символом присоединенную матрицу к матрице , определяемую из условия Dϕ(x) · adjDϕ(x) = detDϕ(x) · Id, если определитель (N × N)-матрицы отличен от нуля, и по непрерывности в топологии RN×N в остальных случаях. Далее используем легко проверяемое равенство . В точках невырожденности матрицы Якоби имеем Отсюда с учётом равенств получаем . Ниже Z ⊂ Ω - борелевское множество, содержащее нули якобиана, такое, что мера образа ϕ(Z) равна нулю, а дизъюнктное с ним борелевское множество Σ ⊂ Ω- это сингулярное множество нулевой меры функции множества : мера ϕ(Σ) положительна, в то время как мера Σ равна нулю. В случае ν-1 < q < p < ∞ с учётом последних равенств выводим (в приводимом ниже выводе применяется формула замены переменной, сформулированная ниже в предложении 3.7) Неравенство в предпоследней строке возникает из соотношения , а постоянная C в последней строке - это множитель в правой части (2.2). Случай ν -1 < q = p < ∞ проще рассмотренного (см. детали в [6]). 3. Функциональные и геометрические свойства предельного отображения В первую очередь в общем случае мы установим ряд свойств отображения, предельного для последовательности гомеоморфизмов с интегрируемым искажением, из которых в ситуации групп Карно H-типа будет выведено, что предельное отображение инъективно почти всюду. Теорема 3.1. Пусть G-группа Карно, -ограниченные области, ϕ0 ∈ L1,loc(Ω;G). Пусть -последовательность гомеоморфизмов класса Wq,[1]loc(Ω;G) ∩ FD(Ω;G) таких, что: 1) {ϕk} сходится1 к ϕ0 в L1,loc(Ω;G); 2) последовательность {Kϕk,p} ограничена в Lσ(Ω), где при q = p). Тогда ϕ0: a) индуцирует ограниченный оператор композиции , где W -ограниченная область, содержащая Ω; ; c) принадлежит классу Wq1(Ω;G); d) имеет конечное искажение. Если ещё -непостоянное отображение, то e) ϕ0 обладает N -1-свойством Лузина, т. е. |ϕ-0 1(E)| = 0 при |E| = 0, E ⊂ W. Замечание 3.1. Отметим, что из условий теоремы 3.1 в силу теоремы 2.1 вытекает, что последовательность ограничена. Действительно, пусть. Так как ϕk имеет конечное искажение, то . Доказательство теоремы 3.1 содержится в следующих утверждениях, в которых последовательно устанавливаются свойства предельного отображения ϕ0. 3.1. Ограниченность предельного оператора композиции. ных функций классаПредложение 3.1.L1,Предположим, чтоloc(Ω), сходящаяся в{Lf1k,}lock∈(Ω)N -последовательность действительнознач-к функции f : Ω → R, где Ω ⊂ G -область на группе Карно G. Предположим, что fk ∈ L1q(Ω), q ∈ (1,∞), и выполнено поточечное неравенство для п. в. x ∈ Ω при каждом k ∈ N, где последовательность функций gk ∈ Lq(Ω) ограничена в Lq(Ω). Тогда f ∈ L1q(Ω) и для всякой ограниченной неотрицательной измеримой функции α : Ω → R имеет место неравенство (3.1) Более того, если g -слабый предел в Lq(Ω) последовательности {gk}, то для п. в. x ∈ Ω. (3.2) Доказательство. Приводимое ниже доказательство - это модификация рассуждений работ [16, 17], [4, лемма 12]. Фиксируем функцию α(x) 0 и выбираем подпоследовательность {gkl} такую, что Поскольку пространство Lq(Ω), q ∈ (1,∞), рефлексивно, выделяя подпоследовательность, можно считать, что последовательность Xifkl сходится слабо в Lq(Ω) к функции hi ∈ Lq(Ω) для каждого i = 1,...,n, а подпоследовательность gkl сходится слабо в Lq(Ω) к функции g ∈ Lq(Ω) при l → ∞. Переходя в соотношении , к пределу при l → ∞, получаем, что hi - обобщённая производная Xif функции f. Функция , если , ⎩0 в противном случае, измерима и ограничена. Подпоследовательность сходится слабо в Lq(Ω) к функции |∇hf|α1/q при l → ∞. Пусть , - произвольная функция. Перейдём в выражении к пределу при l → ∞. В результате приходим к соотношению . Отсюда выводим неравенство для п. в. x ∈ Ω. Учитывая последнее соотношение и то, что gα1/q - слабый предел в Lq(Ω) подпоследовательности {gklα1/q}, получаем Таким образом, соотношения (3.1) и (3.2) доказаны. Предложение 3.2. В условиях теоремы 3.1 отображение ϕ0 индуцирует ограниченный оператор композиции , и . (3.3) Доказательство. Приводимое ниже доказательство представляет собой модификацию рассуждений работ [16, 17], [4, теорема 9]. Пусть u ∈ L1p(W) ∩ Lip(W). В силу липшицевости функции u последовательность {u◦ϕk} сходится к u◦ϕ0 в L1,loc(Ω). Согласно теореме 2.1 из ограниченности последовательности {Kϕk,p} в Lσ(Ω) вытекает, что последовательность {∇h(u ◦ ϕk)} ограничена в Lq(Ω). Более того, . (3.4) Применяя предложение 3.1 с fk = u◦ϕk, gk = |∇h(u◦ϕk)| и α = 1, получаем, что u◦ϕ0 ∈ L1q(Ω), причём (3.5) Положим . Теперь из (3.4) и (3.5) выводим . (3.6) Отсюда получаем неравенство (3.3). Предложение 3.2 доказано. Предложение 3.3. Пусть 1 < q < ∞, G-группа Карно, Ω ⊂ G-область, и пусть ϕk : Ω → G-произвольная последовательность отображений класса Wq,1loc(Ω;G), сходящаяся в L1,loc(Ω;G) к некоторому отображению ϕ0 : Ω → G. Если последовательность ограничена, то ϕ0 принадлежит классу . Доказательство. Приводимое ниже доказательство основано на рассуждениях работ [4, теорема 9] и [11, лемма 2]. Последовательность функций gk(x) = |Dhϕk|(x) ограничена в Lq(Ω). Поскольку пространство Lq(Ω) рефлексивно, последовательность {gk} можно считать слабо сходящейся к неотрицательной функции g ∈ Lq(Ω). Фиксируем точку z ∈ G. С точкой z ассоциируем функцию Последовательности функций удовлетворяют всем условиям предложения 3.1. Пределом в L1,loc(Ω) последовательности функций fk является функция f(x) = uz ◦ ϕ0(x), поэтому для неё поточечное неравенство (3.2) можно записать в следующем виде: для п. в. x ∈ Ω. (3.7) Выберем в G счётное всюду плотное множество Z0. Неравенство (3.7) можно считать выполненным одновременно для всех z ∈ Z0 при п. в. x ∈ Ω. Рассмотрим слоение Γj области Ω, порождённое каким-либо горизонтальным векторным полем Xj. На dγ-п. в. линиях γ слоения Γj, выбор которых не зависит от точки z ∈ Z0, функция (uz◦ϕ0)|γ абсолютно непрерывна, для п. в. x ∈ γ ∩ Ω. Отсюда для отрезка γ Таким образом, приращение функции uz ◦ ϕ0|γ вдоль слоя γ контролируется интегралом от интегрируемой функции g, не зависящим от выбора z ∈ Z0. Следовательно, возможен предельный переход по z ∈ Z0, а так как совокупность точек z ∈ Z0 плотна в , то последнее неравенство справедливо для любой точки. Полагая z = ϕ0(x), получим Отсюда вытекают абсолютная непрерывность отображения ϕ0 на п. в. линиях горизонтальных слоений и оценка для п. в. x ∈ Ω. Следовательно, ϕ0 принадлежит классу 3.2. Конечность искажения предельного отображения. Фиксируем произвольное открытое множество U ⊂ W. Обозначим через Lip(◦ U) пространство липшицевых в метрике Карно- Каратеодори функций u : W → R, носители которых содержатся в U. Обозначим через норму сужения оператора композиции на подпространство L1p(W)∩ Lip(◦ U). При q < p определим функцию множества Φ, сопоставляя открытому множеству U ⊂ W число . (3.8) Лемма 3.1. Функция множества Φ, определённая на открытых множествах U ⊂ W формулой (3.8), монотонна и счётно-аддитивна. Простое доказательство леммы 3.1 можно получить, рассуждая аналогично [10, лемма 3.1] (сp. c первоначальным доказательством в [11, лемма 1]). Предложение 3.4 (см. [29, 30]). Пусть D -открытое множество в G, а монотонная и счётно-аддитивная функция множества Φ определена на некоторой системе O(D) открытых подмножеств в D, содержащей все шары B(x,r) такие,что B(x,r) ⊂ D. Тогда: a) в почти каждой точке x ∈ D существует конечная производная , где -шар в метрике Карно-Каратеодори радиуса δ, содержащий точку x; b) для любого открытого множества U ∈ O(D) справедливо неравенство . Сформулируем применяемое ниже свойство евклидовых шаров в группе Карно (см. [12, 18], где доказаны свойства 1, 2 предложения 3.5, и [3], где доказано свойство 3 предложения 3.5). Евклидово расстояние между точками x = (xij), y = (yij) ∈ G определяется как . Предложение 3.5 (см. [3, 12, 18]). Для любого открытого множества U ⊂ RN с непустой границей существует не более чем счётное семейство евклидовых шаров такое, что 1) ); 2) образуют конечнократное покрытие множества U; 3) семейство может быть разбито на конечное число βN (зависящее только от размерности N) подсемейств таких, что внутри каждого из них шары не пересекаются. Следствие 3.1. Если покрытие {BE(xj,2rj)} открытого множества U ⊂ G выбрано в соответствии с предложением 3.5 , где постоянная βN зависит только от топологической размерности N группы G. Доказательство. Пусть Bi - подсемейства семейства {BE(xj,2rj)}, состоящие из взаимно-непе- βN ресекающихся шаров, и такие, что ! Bi = {BE(xj,2rj)}. Тогда очевидно имеем i . Доказательство следующего предложения основано на модификации рассуждений из [10, лемма 3.4]. Предложение 3.6. Пусть отображение ϕ0 : Ω → W, где Ω, W -области в группе Карно G, принадлежит классу Соболева и индуцирует ограниченный оператор композиции . Тогда ϕ0 имеет конечное искажение. Доказательство. Будем предполагать, что q < p; случай q = p рассматривается аналогично. Применяя функцию множества Φ, определённую выше, для любой функции можно записать , где V ⊂ W -открытое ограниченное подмножество. Фиксируем срезку , равную единице на BE(0,1) и нулю вне шара BE(0,2). Подставляя в это неравенство функции обозначает j-ю координату точки z - y ∈ G, BE(y,2r) ⊂ W, приходим к неравенству , (3.9) где C - некоторая постоянная, зависящая только от N. Здесь и далее при выводе неравенств типа (3.9) следует учесть, что L для всех - риманов градиент функции hj, а постоянная L не зависит от j. Пусть Z = {x ∈ Ω \ Σϕ0 | detDϕ0(x) = 0}, где Σϕ0 - множество сингулярности отображения ϕ0 нулевой мерой. Покажем, что . (3.10) По формуле замены переменной имеем |ϕ0(Z)| = 0. Фиксируем число ε > 0 и открытое множество U ⊂ W такие, что U ⊃ ϕ0(Z) и |U| < ε. Выберем согласно предложению 3.5 конечнократное покрытие {BE(yi,ri)} открытого множества U евклидовыми шарами. Имеем Теперь, применяя неравенство (3.9) к каждому шару BE(yi,2ri), и следствие 3.1, выводим . В последней строке применено неравенство Гёльдера: . Так как и ε > 0 - произвольное число, то (3.10) доказано, и следовательно, |Dhϕ0| = 0 почти всюду на множестве Z. 3.3. N -1-свойство предельного отображения. Далее мы будем применять формулу замены переменной с функцией кратности. Предложение 3.7 (см. [31, Theorem 5.3]). Пусть ϕ : U → G-любое отображение класса Соболева. Тогда существует некоторое подмножество Σϕ ⊂ U меры ноль такое, что отображение ϕ : U \ Σϕ → G удовлетворяет N-условию Лузина. Кроме того, для любой неотрицательной измеримой функции u : U → R справедливы следующие утверждения: 1) функция измерима; 2) верно равенство ; (3.11) 3) если функция u : U → R измерима, а функция интегрируема, то и вторая функция в формуле (3.11) также интегрируема, и верна формула (3.11). В следующем утверждении мы установим двухсторонние оценки для нормы оператора композиции . Для отображения ϕ0 : Ω → W определим функцию искажения[2] , если, (3.12) , иначе. Напомним, что в доказываемых ниже соотношениях (3.13) V - открытое множество в W, ϕ∗V - ограничение оператора композиции на подпространство - норма оператора. Предложение 3.8. Пусть отображение ϕ0 : Ω → W, где Ω, W -области в G, принадлежит классу Соболева и индуцирует ограниченный оператор композиции . Тогда (3.13) для любого открытого множества V ⊂ W, где αq,p -положительная постоянная, 1 = 1 - 1, σ q p если Доказательство. Пусть q < p. Фиксируем срезку, равную единице на субримановом шаре B(0,1) и нулю вне шара B(0,2). Подставляя в неравенство (3.9) субриманов шар B(y,2r) ⊂ W вместо евклидова, где (y-1z)j обозначает j-ю координату точки y-1z ∈ G, j = 1,...,n, в случае q < p получаем . Применим к левой части этого соотношения формулу (3.11) замены переменной . Из теоремы Лебега о дифференцировании интеграла и свойств производной аддитивной функции множества (см. предложение 3.4) вытекает для п. в. y ∈ W таких, что определена формулой (3.12). Интегрируя последнее неравенство по открытому множеству V ⊂ W, получим . Таким образом, для любого открытого множества V ⊂ W доказано . Фиксируем открытое множество V ⊂ W. Покажем, что для любой функции u ∈ L1p (W)∩Lip(V ) выполняется неравенство Так как u ◦ ϕ0 принадлежит классу ACL(Ω), то . Используя неравенство Гёльдера, выводим оценку . Из этого неравенства получаем правую часть соотношений (3.13). При q = p доказательство упрощается. Лемма 3.2. Пусть F -измеримое подмножество шара B = B(0,r) положительной меры. Для всех, выполняется неравенство , (3.14) где -некоторая постоянная, не зависящая от функции u. Доказательство. Идея приводимого ниже доказательства заимствована из [14, §10.1] (см. в [6] её применение в Rn). Достаточно доказать лемму для шара B = B(0,1), а затем воспользоваться растяжением. Напомним, что мера шара B(0,1) равна 1: |B(0,1)| = 1. Рассмотрим произвольную функцию u ∈ Wq1(B), u|F = 0, и положим | q . Пусть для определённости (иначе вместо u следует рассмотреть функцию -u). Тогда . Отсюда получаем (3.15) Заметим, что. Следовательно, применяя неравенство Пуанкаре [25, Theorem 4] во второй строке формулы (3.16), имеем где C0 - постоянная, не зависящая от u. Отсюда и из (3.15) вытекает неравенство , где. Из теоремы вложения Соболева [25, Theorem 5] и последнего неравенства выводим Из (3.17) получаем доказательство леммы. Сформулируем на группах Карно применяемую ниже лемму о покрытиях типа Уитни. Лемма 3.3 (см. [23, Lemma 1.67]). Пусть U -открытое подмножество группы G конечной меры. Существует счётное покрытие U субримановыми шарами {B(yi,ri)} такое, что: 1) ); i=1 i=1 2) кратность M покрытия {B(yi,2ri)} не превосходит 48ν. Предложение 3.9. Пусть непостоянное отображение ϕ0 : Ω → W, где Ω, W -ограниченные области в G, принадлежит классу Соболева и индуцирует ограниченный оператор композиции Тогда |ϕ-1(E)| = 0 при |E| = 0, E ⊂ W. Доказательство. Поскольку области Ω и W ограничены, можно считать, что p = ν и 1 < q < ν. Действительно, если отображение ϕ∗0 индуцирует ограниченный оператор композиции ϕ∗0 : , то в силу неравенства Гёльдера для всех , имеем . Последнее означает, что ϕ0 индуцирует ограниченный оператор композиции Lip(. Полагаем далее p = ν, 1 < q < ν. 1ый шаг. Фиксируем срезку , равную единице на субримановом шаре B(0,1) и нулю вне шара B(0,2). Подставляя в неравенство (3.9) субриманов шар 2B = B(y,2r) ⊂ W вместо евклидова BE(y,2r), и функции, получаем . Фиксируем в W произвольное борелевское множество E нулевой меры. Так как отображение ϕ0 имеет конечное искажение (см. предложение 3.6), то (в противном случае в Ω и, следовательно, Dhϕ0 = 0 п. в. в Ω, откуда получаем, что ϕ0 - постоянное отображение). Поэтому найдётся шар Q ⊂ Ω такой, что(здесь 2Q -субриманов шар с тем же центром, что и Q, и вдвое большим радиусом сравнительно с радиусом шара Q). Поскольку компоненты данного отображения измеримы, то по теореме Лузина найдётся компакт T ⊂ Q\ϕ-0 1(E) положительной меры такой, что ϕ0 : T → W непрерывно. Тогда образ ϕ0(T) ⊂ W компактен и ϕ0(T) ∩ E = ∅. Рассмотрим произвольное открытое множество U ⊃ E, ϕ0(T) ∩ U = ∅, U ⊂ W. Пусть {B(yi,ri)} - набор шаров, выбранный согласно лемме 3.3, такой, что наборы {B(yi,ri)} и {B(yi,2ri)} образуют покрытия множества U, и кратность M покрытия {B(yi,2ri)} конечна (B(yi,2ri) ⊂ U для всех i ∈ N). Тогда для функции fi, ассоциированной с шаром, имеем на множестве вне прообраза ϕ-0 1 (B(yi,2ri)), в частности, на множестве T. Кроме того, для неё справедлива оценка . В силу неравенства Пуанкаре (3.14) справедливо соотношение , где q∗ = qν/(ν-q), r -радиус шара Q, u ∈ Wq1(Q) - произвольная функция, равная нулю на множестве T ⊂ Q, а C - постоянная, не зависящая от функции u. Применяя неравенство Пуанкаре к функции вместо u, с учётом двух последних оценок и равенства σ = q∗ получаем . Применяя правую часть соотношений (3.13), выводим неравенства В силу свойств интеграла Лебега функция множества абсолютно непрерывна. Следовательно, правая часть (3.18) может быть сделана сколь угодно малой при подходящем выборе открытого множества U ⊃ E. Таким образом, N -1-свойство отображения ϕ0 : Q → G доказано. 2ой шаг. Покажем, что отображение ϕ0 обладает N -1-свойством Лузина на любом другом субримановом шаре Q1 = B(z,r1) ⊂ Ω таком, что B(z,2r1) ⊂ Ω. Шар, выбранный на предыдущем шаге, обозначим символом Q0 = Q = B(x0,r0). Пусть γ : [0,l] → Ω - спрямляемая в метрике Карно-Каратеодори кривая с концевыми точками γ(0) = x0, γ(l) = z и параметризованная длиной дуги (построение кривой с указанными свойствами можно найти в [7, лемма 3]). Пусть ещё Δ = dist( На отрезке [0,l] отметим точки 0 = s0 < s1 < ... < так, чтобыОбозначим xj = γ(sj), j = 1,2,... ,m Очевидно, шар имеет с шаром Q0 непустое пересечение W1, на котором |ϕ-0 1(E) ∩ W1| = 0. Следовательно, шар B(x1,dcc(x0,x1)) можно взять в качестве шара Q на первом шаге рассуждения. В результате придём к выводу, что . Продолжая этот процесс по индукции, докажем N -1-свойство отображения ϕ0 : B1 → G (на последнем шаге индукции следует взять шар Q1 = B(z,r1) = B(γ(sm),r1)). 3ий шаг. Остается заметить, что область Ω можно покрыть счётным набором субримановых шаров Q0,Q1,...,Qk,..., на каждом из которых мера пересечения ϕ-0 1(E) ∩ Qk равна нулю. Следовательно, прообраз ϕ-0 1(E) имеет нулевую меру, Предложение 3.9 завершает доказательство теоремы 3.1. 3.4. Доказательство равенства |Dhϕ0|(x) = |∇ϕ0|(x) для п. в. x ∈ Ω. Мы предполагаем, что в этом пункте выполнены условия теоремы 3.1. Пусть- множество нулей якобиана отображения ϕ0. Дополнение Ω\Z с точностью до множества Σ нулевой меры можно представить в виде не более чем счётной дизъюнктной совокупности измеримых множеств т. е. , на каждом из которых отображение ϕ0 : Ti → G липшицево относительно метрики Карно-Каратеодори [31]. Известно [31], что липшицево отображение ϕ0 : Ti → G P-дифференцируемо в почти всех точках плотности 1 множества Ti, i ∈ N. Если x ∈ Ti - точка P-дифференцируемости, то для некоторого гомоморфизма DPϕ0(x) : G → G групп Карно имеем при y → x, y ∈ Ti, (3.19) где dcc(z) = dcc(z,0). Соответствующий гомоморфизму DPϕ0(x) гомоморфизм Dϕ0(x) : g → g алгебр Ли однозначно определяется горизонтальным дифференциалом соотношением . Мы полагаем detDPϕ0(x) = detDϕ0(x). Свойство 3.1. Пусть z ∈ G-фиксированная точка, а- композиция отображения ϕ0 с функцией uz. Тогда для п. в. x ∈ Ω имеем равенство ∇ ◦ "[∇huz](ϕ0(x))[Dhϕ0(x)]tr, если x ∈ Ω \ Z, h(uz ϕ0)(x) = (3.20) 0, если x ∈ Z. Отсюда, в частности, получаем . (3.21) Доказательство. Пусть S ⊂ G - множество нулевой меры. Заметим, что если мера прообраза Следовательно, с точностью до множества меры нуль (т. е.ϕ-1(S) положительна, то по формуле замены переменной det|ϕ-DPϕ(x\) = 0| для п. в. x ∈1(ϕS-) 1⊂(SZ.). 1(S) Z = 0) имеем ϕ- В силу конечности искажения имеем также Dhϕ(x) = 0 на Z. Если x∈Z - точка аппроксимативной P-дифференцируемости отображения ϕ0, то DPϕ0(x)=0. Из (3.19) выводим при Таким образом, второе равенство в (3.20) доказано. Для доказательства первого равенства в (3.20) рассмотрим точку x ∈ Ti плотности 1, в которой отображение ϕ0 P-дифференцируемо (как отмечено выше, таковыми будут п. в. точки Ti). Можно предполагать, что ϕ0(x) - точка P-дифференцируемости функции . Функция -дифференцируема как композиция P-дифференцируемых отображений [32, §2, теорема 2.1]. Таким образом, (3.20) доказано. Определение 3.1. Пусть ϕ0 : Ω → G- отображение класса Wq1(Ω;G). Семейство функций ограничено в Lq(Ω) в силу неравенств, выполняющихся п. в. в Ω (см. (3.21)). Ввиду известных результатов теории K-пространств [13] совокупность всех верхних мажорант для семейства имеет наименьший элемент. Он обозначается символом |∇ϕ0|(x) и называется верхним градиентом отображения ϕ0. Лемма 3.4. Сильный градиент совпадает с верхним: для п. в. x ∈ Ω имеет место равенство |Dhϕ0|(x) = |∇ϕ0|(x). Доказательство. В доказательстве этой леммы мы применяем некоторые идеи и результаты работ [16, 17, 31]. Для доказательства неравенства |Dhϕ0 Ti плотности 1, в которой существуют горизонтальные производные Xi(uz ◦ ϕ0)(x), i = 1,...,n, и отображение ϕ0 P-дифференцируемо (как отмечено выше, таковыми будут п. в. точки Ti). Пусть ещё Dhϕ0(x) - горизонтальная часть аппроксимативного дифференциала Dϕ0(x) в точке x, а её норма достигается на векторе v ∈ g1 единичной длины:. плотен на сфереНиже и далее в доказательстве счётный набор векторовS(0,1) ∩ g1 подпространства g1. Если E - измеримое множество в{wl ∈ g1}l∈N единичной длины всюдуG, то почти все точки E будут точками линейной плотности 1 вдоль wl: (см. [31, Property 2.1])). Если x ∈ Ti \ ϕ-0 1(z) - точка P-дифференцируемости отображения ϕ0, то для точки y = xexp(twl) ∈ Ti, wl ∈ S(0,1) ∩ g1, применяя (3.19), получаем при t → 0. (3.22) В этих обозначениях имеем (3.23) Для доказательства обратного неравенства к (3.23) применим (3.21). В точках дополнения x ∈ Ti \ Z имеем . А в точках x ∈ Z получаем |∇h(uz ◦ ϕ0)(x)| = |Dhϕ0(x)| = 0. Лемма 3.4 доказана. Предложение 3.10. В условиях теоремы 3.1 отображение ϕ0 не только принадлежит Wq1(Ω;G), но и удовлетворяет соотношению (3.24) для любой неотрицательной ограниченной измеримой функции α : Ω → R. Доказательство. В предложении 3.3 доказано, что если последовательность ограничена, то ϕ0 принадлежит классу Wq1(Ω;G). Последовательность функций gk(x) = |Dhϕk|(x) ограничена в Lq(Ω). Поскольку пространство Lq(Ω) рефлексивно, последовательность gk можно считать слабо сходящейся к неотрицательной функции g ∈ Lq(Ω). Так как неравенство (3.7) выполняется для всех z ∈ G, для верхней огибающей |∇ϕ0|(x) (см. определение 3.1) имеем неравенство для п. в. x ∈ Ω. Отсюда получаем (3.24). Действительно, с одной стороны, а с другой (см. неравенство (3.23)). Предложение 3.10 доказано. 4. Инъективность почти всюду В этом разделе мы формулируем условия, при которых предельное отображение ϕ0 : Ω → H почти всюду инъективно. Напомним, что отображение ϕ : Ω → G называется инъективным почти всюду, если найдётся множество S такое, что |S| = 0 и отображение ϕ : Ω \ S → G- инъекция (здесь Ω ⊂ G - область на группе G). Теорема 4.1. Пусть H-группа Карно H-типа,-ограниченные области с условием-непостоянное отображение. Пусть {ϕk : Ω → -последовательность гомеоморфизмов класса таких, что: 1) {ϕk} сходится к ϕ0 в L1,loc(Ω;H); 2) последовательность {Kϕk,ν} ограничена в Lσ(Ω), где при q = ν). Тогда справедливы заключения теоремы 3.1 c p = ν и отображение ϕ0 почти всюду инъективное. Предложение 4.1. Пусть H-группа Карно H-типа, -область, а- гомеоморфизм. Тогда для точек выполняется соотношение , (4.1) где c -постоянная в обобщённом неравенстве треугольника (см. определение однородной нормы и её свойства в разделе 2 работы), Bρ(x,r) -шар в однородной норме, а постоянная C1 не зависит ни от x,y, ни от ψ. В доказательстве неравенства (4.1) мы применим следующий результат: Теорема 4.2 (см. [1, теорема 3]). Пусть G-двухступенчатая группа Карно, ρ ∈ C1,1(G \ {0}) -однородная норма на G, f ∈ L1p(G), p > ν - 1. Тогда функцию f можно переопределить на множестве нулевой меры так, чтобы для п. в. r > 0 она была непрерывной по Гёльдеру на сфере Sρ(r) = {x ∈ G : ρ(x) = r} и (4.2) для всех x,y ∈ Sρ(r), где постоянная C > 0 не зависит от выбора f и r. Здесь dω - поверхностная мера на сфере Sρ(r) (см. [1, Lemma 4]), а - усеченная максимальная функция Харди-Литтлвуда. Доказательство предложения 4.1. Фиксируем точку и число r0 такое, чтобы 12r0 для любой точки z ∈ Sρ(a,r0) (это то же самое, что ). Для этого положим α = 13cr0 и проверим, что при выполнении условий имеем . Теперь фиксируем точку и число r0 такие, чтобы для любой точки z ∈ Sρ(a,r0). Пусть ещё Z0 - счётное всюду плотное множество в G. Для фиксированной точки z ∈ Z0 рассмотрим функцию . Эта функция удовлетворяет условиям теоремы 4.2 при p = ν, и кроме того для п. в.. При p = ν из неравенства (4.2) на почти каждой сфере Sρ(a,t), t < r0, имеем оценку (4.3) для всех точек x,y ∈ Sρ(a,t). Заметим, что в неравенстве (4.3) возможен предельный переход при z → ψ(x), z ∈ Z0. Следовательно, (4.4) для всех точек x,y ∈ Sρ(a,t). Пусть y1, y2 ∈ Sρ(a,t) - пара точек, на которых достигается максимальное колебание ψ: osc(ψ,Sρ(a,t)) = sup{dcc(ψ(w1),ψ(w2)) : w1, w2 ∈ Sρ(a,t)} = dcc(ψ(y1),ψ(y2)). Подставляя в (4.4) точки y1,y2 ∈ Sρ(a,t) вместо x,y, c учётом выводим osc( (4.5) Sρ(a,t) Далее мы воспользуемся свойством монотонности гомеоморфизмов: колебание отображения на шаре контролируется колебанием отображения на граничной сфере: osc(ψ,Bρ(a,t)) = sup{dcc(ψ(w1),ψ(w2)) : w1, w2 ∈ Bρ(a,t)} osc(ψ,Sρ(a,t)) = sup{dcc(ψ(w1),ψ(w2)) : w1, w2 ∈ Sρ(a,t)}. (4.6) Интегрируя (4.5) по t в пределах от 0 < r < r0/2 до r0, c учётом osc(ψ,Sρ(a,r)) osc(ψ,Sρ(a,t)) для всех r < t < r0, по формуле коплощади [1, Lemma 4] получаем osc(, (4.7) Bρ(a,r0) Для произвольных точек x,y ∈ Bρ(a,r) имеем dcc(ψ(x),ψ(y)) osc(ψ,Bρ(a,r)). Из (4.7) и (4.8) для x,y ∈ Bρ(a,r) выводим (4.1). (4.8) так как в силу (4.6) osc( для всех t ∈ [r,r0]. Пусть теперь. В силу вышесказанного и для любой точки y ∈ Bρ(x,r) выполнено соотношение (4.1). · Следствие 4.1. В условиях теоремы 4.1 найдётся подпоследовательность последовательности {ψk = ϕ-k 1}, сходящаяся локально равномерно в Ω к некоторому непрерывному отображению. Доказательство. По теореме 2.2 гомеоморфизмы ψk индуцируют ограниченные операторы композиции Liploc, причём . Из теоремы 2.1 следует, что последовательность {Dhψk} ограничена в , так как области имеют конечную меру (см. замечание 3.1). Из (4.1) получаем, что семейство отображений {ψk} равномерно ограничено и равностепенно непрерывно на каждой компактно вложенной области . Так как область Ω ограничена, то существование нужной подпоследовательности стандартным образом вытекает из теоремы Асколи-Арцела, и диагонального выбора Кантора. Предложение 4.2. В условиях теоремы 4.1 отображение ϕ0 инъективно почти всюду в . Доказательство. Пусть {ψk} - подпоследовательность из следствия 4.1. Можно считать, что {ϕk} поточечно сходится к ϕ0 вне некоторого множества S меры нуль. Пусть точка x ∈ Ω \ S такова, что. Тогда из соотношений ψk ◦ ϕk(x) = x, k ∈ N, и равномерной сходимости {ψk} к ψ0 на некоторой компактно вложенной в Ω окрестности внутренней точки, переходя к пределу при k → ∞, получаем ψ0 ◦ ϕ0(x) = x. Последнее означает, что ϕ0 инъективно на множестве , т. е. ϕ0 почти всюду инъективно на . Из предложения 4.2, условияи того, что ϕ0 обладает N -1-свойством, следует его инъективность почти всюду в Ω. Таким образом, теорема 4.1 доказана.

About the authors

S. K. Vodopyanov

Novosibirsk State University

Author for correspondence.
Email: vodopis@mail.ru
Novosibirsk, Russia

S. V. Pavlov

Novosibirsk State University

Email: s.pavlov4254@gmail.com
Novosibirsk, Russia

References

Supplementary files