Том 69, № 2 (2023): Труды Крымской осенней математической школы-симпозиума

В работе с помощью теоремы о неподвижной точке в частично упорядоченных множествах получены достаточные условия существования единственного положительного решения краевой задачи типа Штурма-Лиувилля для одного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения; приведен пример, иллюстрирующий полученные результаты.

Теория игр сформировалась как наука во второй половине XX в. Она успела хорошо зарекомендовать себя при анализе экономических ситуаций с участием нескольких субъектов экономической деятельности (игроков), интересы которых полностью или частично противоположны. При этом в ряде случаев решение игры удовлетворяло всех игроков, но не являлось наиболее выгодным (имело место равновесие по Нэшу), а в ряде других случаев оно давало возможность максимально учесть интерес всех сторон (существовало решение, оптимальное по Парето). Перенос принципов теории игр в другие области оказался сопряжённым с рядом трудностей, связанных, в том числе, с правильной интерпретацией стратегий и выигрышей сторон в конфликтной ситуации. По этой причине, несмотря на очевидную пользу от возможного применения методов теории игр к задачам о справедливом распределении квот на вылов рыбы и других морских обитателей, данный шаг до недавнего времени сделан не был. В работе рассмотрена схема применения алгоритмов теории биматричных и кооперативных игр на примере решения задачи нахождения процента допустимого улова чёрного палтуса Баренцева моря для двух стран-участниц вылова и дана содержательная интерпретация полученных результатов. Основой для расчётов явились реальные данные, собранные российско-норвежской комиссией по рыболовству в последние десятилетия для определения пропорций вылова указанного вида рыбы в соответствующих морских зонах. Поскольку не все компоненты платёжных матриц игроков определяются однозначно, появилась возможность провести параметрический анализ математической модели конфликтной ситуации как при поиске равновесного решения, так и при реализации арбитражной схемы. Работа является расширенной и дополненной версией доклада [2].

Рассматривается задача Коши для линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, коэффициенты которой являются случайными процессами. Получены явные формулы для математического ожидания решения. Рассмотрены примеры систем с гауссовскими и равномерно распределенными случайными коэффициентами. Приведен пример расчетов для упрощенной модели обучения на микроуровне.

В данной статье рассматривается функционально-дифференциальное уравнение параболического типа на полосе с преобразованием пространственной переменной и краевыми условиями с косой производной. Используя преобразования Лапласа и Фурье, получено представление рассматриваемой задачи в виде нелинейного интегрального уравнения. Рассмотрен частный случай данного представления. Доказанные утверждения дают возможность реализовать итерационные методы получения приближенных решений нелинейных уравнений в частных производных с учетом заданных условий. Результаты показывают, что представленный метод перспективен для решения аналогичных задач.

Рассматривается нелинейное вырождающееся анизотропное параболическое уравнение второго порядка в случае, когда вектор потока лишь непрерывен, а неотрицательная матрица диффузии ограничена и измерима. Введены понятия энтропийного суб- и суперрешения задачи Коши, так что энтропийное решение этой задачи, понимаемое в смысле Чена-Пертама, является одновременно энтропийным суб- и суперрешением. Установлено, что максимум энтропийных субрешений задачи Коши также является энтропийным субрешением этой задачи. С помощью этого результата доказано существование наибольшего энтропийного субрешения (и наименьшего энтропийного суперрешения). Показано также, что наибольшее энтропийное субрешение и наименьшее энтропийное суперрешение являются и энтропийными решениями.

Исследуется начально-граничная задача для неоднородного гиперболического уравнения второго порядка в полуполосе плоскости с постоянными коэффициентами, содержащего смешанную производную, с нулевым и ненулевым потенциалом. Данное уравнение является уравнением поперечных колебаний движущейся конечной струны. Рассматривается случай нулевой начальной скорости и закрепленных концов (условия Дирихле). Предполагается, что корни характеристического уравнения простые и лежат на вещественной оси по разные стороны от начала координат. Определяется классическое решение начально-граничной задачи. В случае нулевого потенциала формулируется теорема единственности классического решения и дается формула для решения в виде ряда, членами которого являются контурные интегралы, содержащие исходные данные задачи. На основе этой формулы вводятся понятия обобщённой начально-граничной задачи и обобщённого решения. Формулируются основные теоремы о конечных формулах для обобщённого решения в случае однородной и неоднородной задач. Для доказательства этих теорем применяется подход, использующий теорию расходящихся рядов в понимании Л. Эйлера, предложенный А.П. Хромовым (аксиоматический подход). С помощью этого подхода, на основе формул для решений в виде ряда, доказываются сформулированные основные теоремы. Далее, как приложение полученных основных теорем, доказывается теорема о существовании и единственности обобщённого решения начально-граничной задачи при наличии ненулевого суммируемого потенциала и дается формула для решения в виде экспоненциально сходящегося ряда.

Рассмотрена задача убегания в постановке Л.С. Понтрягина и Е.Ф. Мищенко для линейных дискретных игр, зависящих от параметра. Получены достаточные условия и области значений параметров, обеспечивающие разрешимость задачи убегания. Полученные результаты применены к решению задачи убегания для известной в теории дифференциальных игр задачи «Изотропные ракеты»-«Мальчик и крокодил» в дискретном варианте.