Generalized initial-boundary problem for the wave equation with mixed derivative

Full Text

1. Постановка задачи и основные результаты Рассмотрим обобщёную неоднородную начально-граничную задачу для волнового уравнения со смешанной производной простейшего вида uxx + p1uxt + p2utt = f(x,t), (1.1) u(0,t) = 0, u(1,t) = 0, (1.2) u(x,0) = ϕ(x), ut(x,0) = 0, (1.3) где (x,t) ∈ Q = [0, 1] × [0,+∞); p1,p2 ∈ R; ϕ(x) ∈ L1[0, 1]; f(x,t) является функцией класса Q и обе эти функции являются комплекснозначными. Здесь и далее считаем, что функция f(x,t) переменных (x,t) ∈ Q есть функция класса Q, если f(x,t) ∈ L1(QT ) при любом T > 0, где QT = [0, 1]×[0,T]. Кроме того, для краткости, испльзуются обозначения ∂u ∂u ∂2u ∂2u ux := ∂x, ut := ∂t , uxx := ∂x2 , uxt := ∂x∂t, .... Рассматривается случай гиперболического уравнения (1.1), т. е. выполняется условие . В этом случае корни ω1,ω2 характеристического уравнения ω2 + p1ω + p2 = 0 вещественны и различны. Возможны только две принципиально разные ситуации ω1 < 0 < ω2, (1.4) 0 < ω1 < ω2. (1.5) В случае (1.4) соответствующая спектральная задача (см. далее задачу (2.2)) является регулярной по Биркгофу [9, c. 66-67], а в случае (1.5) - не регулярной. Не регулярный случай был рассмотрен в [11]. Метод доказательства был отличным от метода настоящей статьи. Далее будет рассматриваться только случай (1.4). Определение обобщённого решения задачи (1.1)-(1.3) будет дано далее в пункте 3.1. Обобщённая начально-граничная задача (1.1)-(1.3) является одним из наиболее сильных обобщений классической начально-граничной задачи (определение классической задачи дается немного ниже). Внешний вид её такой же, как и у классической задачи, но смысл совсем другой. При ϕ(x) ∈ L1[0, 1] и f(x,t) класса Q задача (1.1)-(1.3) понимается чисто формально, так как ни о каком удовлетворении решения уравнению (1.1) и граничным условиям (1.2) речь уже не может идти. Решение задачи (1.1)-(1.3) ищется как суперпозиция решений двух более простых задач u(x,t) = u1(x,t) + u2(x,t), где u1(x,t) есть решение обобщённой однородной задачи (1.6) uxx + p1uxt + p2utt = 0, (1.7) u(0,t) = 0, u(1,t) = 0, (1.8) u(x,0) = ϕ(x), ut(x,0) = 0, а u2(x,t) есть решение обощенной неоднородной задачи (1.9) uxx + p1uxt + p2utt = f(x,t), (1.10) u(0,t) = 0, u(1,t) = 0, (1.11) u(x,0) = 0, ut(x,0) = 0. (1.12) Первый результат настоящей статьи относится к решению обобщённой задачи (1.7)-(1.9). Для того, чтобы его сформулировать, введём необходимые обозначения, а именно, для функции f(x) ∈ L1[0, 1] положим: , (1.13) где обозначенои, таким образом,. Кроме того, воспользуемся 2 - 1 2 - 1 известным обозначением {x} для дробной части числа x ∈ R. Теорема 1.1. Пусть ϕ ∈ L1[0, 1] и выполняется условие (1.4). Тогда решением обобщённой начально-граничной задачи (1.7)-(1.9) является функция u1(x,t) класса Q, определяемая формулой Второй результат статьи относится к решению обобщённой задачи (1.10)-(1.12). Для формулировки результата положим (1.15) Теорема 1.2. Пусть f(x,t) есть функция класса Q и выполняется условие (1.4). Тогда решением обобщённой начально-граничной задачи (1.10)-(1.12) является функция u2(x,t) класса Q, определяемая формулой - - В этой формуле звёздочки у функции F(x,t) относятся к первой переменной. Для получения этих результатов используется подход, предложенный А.П. Хромовым в [22] (подробно эти результаты изложены в [23]). А именно, как и в [22], используется теория расходящихся рядов в понимании Л. Эйлера [24], который является основоположником теории суммирования расходящихся рядов. Вопросы, касающиеся расходящихся рядов, а именно, какой смысл они имеют, как понимать и трактовать сумму расходящегося ряда, какими свойствами должны обладать суммы таких рядов и другие связанные с этими вопросами понятия активно обсуждались ведущими математиками ещё во времена Эйлера, т. е. в 18-м веке. Исторический обзор можно найти в монографии [15]. При получении формул (1.14) и (1.16) для обобщённых решений важнейшую роль играют естественные аксиомы из монографии [15, с. 19] для преобразования расходящихся рядов: ; ; Также существенно используется правило интегрирования расходящихся рядов, которое предложил А.П. Хромов в [22]: , (1.17) где -определенный интеграл. И все это опирается на соответствующую теорему Лебега о почленном интегрировании тригонометрического ряда в экспоненциальной форме (формулировку теоремы Лебега для тригонометричского ряда по синусам и косинусам можно найти в [10, c. 277, теорема 3]). Наконец, как приложение к вышеприведенным результатам, рассматривается обобщённая начально-граничнная задача для волнового уравнения с ненулевым потенциалом uxx + p1uxt + p2utt = q(x)u(x,t), (1.18) u(0,t) = 0, u(1,t) = 0, (1.19) u(x,0) = ϕ(x), ut(x,0) = 0, (1.20) где ϕ(x) ∈ L1[0, 1], q(x) ∈ L1[0, 1] и q(x)u(x,t) класса Q. Показывается, что эта задача приводится к интегральному уравнению, решение которого вполне естественно назвать обобщённым решением задачи (1.18)-(1.20). Это решение получается по методу последовательных подстановок. Соответствующий результат будет сформулирован и доказан далее в разделе 4. 2. Определение классического решения, его единственность и формула для решения в виде ряда Под классическим решением задачи (1.1)-(1.3) (или, как иногда говорят, решением п.в.) понимается функция u(x,t) переменных (x,t) ∈ Q, которая: а) непрерывна вместе с ux(x,t) и ut(x,t), при этом ux(x,t) и ut(x,t)) абсолютно непрерывны и по x, и по t, и п.в. в Q выполняется равенство uxt(x,t) = utx(x,t); (2.1) б) удовлетворяет условиям (1.2)-(1.3) на границе множества Q и уравнению (1.1) п.в. в Q. Отметим, что необходимость в условии (2.1) обусловлена тем, что в случае, когда uxt(x,t) и utx(x,t) не являются непрерывными функциями, это равенство может не выполняться на множестве положительной меры [14]. Из определения видно, что в случае, когда ищется классическое решение задачи (1.1)-(1.3), необходимо считать, что абсолютно непрерывны и ϕ(0) = ϕ(1) = 0. В случае ω1 = -1, ω2 = 1 имеем p1 = 0, p2 = -1, и уравнение (1.1) является классическим уравнением колебания струны uxx - utt = 0. В [22] рассматривался именно такой случай. Как следствие, из результатов настоящей статьи вытекает полученный в [22] результат об обобщённом решении. Результаты, излагаемые в настоящей статье, относятся к общему случаю p1 ∈ R. С задачей (1.1)-(1.3) тесно связана спектральная задача L(λ)y = 0, (2.2) порождённая оператор-функцией L(λ), определяемой дифференциальным выражением с параметром λ (2.3) и краевыми условиями U1(y) := y(0) = 0, U2(y) := y(1) = 0. (2.4) Пусть Rλ есть резольвента оператор-функции L(λ), а G(x,ξ,λ) - её функция Грина. Обозначим через R1λ интегральный оператор с ядром Gξ(x,ξ,λ). В качестве фундаментальной системы решений уравнения рассмотрим систему решений y1(x,λ) := eλω1x, y2(x,λ) := eλω2x. Тогда характеристический определитель L(λ) [9, с. 26] имеет вид 1 1 , и его корни, очевидно, суть числа (2.5) - Эти числа, кроме точки λ0 = 0, являются простыми собственными значениями L(λ). Число λ0 = 0, как легко проверить, не является собственным значением. Обозначим через γk окружности {λ : |λ - λk| = δ}, где δ > 0 и настолько мало, что внутри γk находится по одному собственному значению. Результат настоящей статьи будет вытекать из результата, даваемого следующей теоремой единственности для классического решения и представления его рядом (полная версия теоремы опубликована в [12]). Теорема 2.1. Если u(x,t) есть классическое решение задачи (1.1)-(1.3) с условием (1.4) и дополнительно выполняется условие, что функция utt класса Q, то это решение единственно и находится по формуле (2.6) в которой ряд справа сходится равномерно по x ∈ [0, 1] при любом фиксированном t > 0. Из формулы (2.6) найдём, в частности, что если классические решения задач (1.7)-(1.9) и (1.10)-(1.12) существуют, то для их решений u1(x,t) и u2(x,t), соответственно, справедливы формулы: (2.7) (2.8) 3. Конечные формулы для обобщённого решения 3.1. Определение обобщённого решения. Теорема 2.1 говорит о том, что формальный ряд (2.6) и начально-граничная задача (1.1)-(1.3) тесно связаны, а именно, если эта задача имеет классическое решение, то для него справедлива формула (2.6). При этом функция ϕ(x) должна удовлетворять условиям: абсолютно непрерывны и ϕ(0) = ϕ(1) = 0. Аналогично [22] расширим понятие этой связи. Можно заметить, что ряд в (2.6) имеет смысл для любых функций ϕ(x) ∈ L1[0, 1] и f(x,t) класса Q, хотя теперь он, вообще говоря, может быть и расходящимся. Будем считать, что этот ряд является формальным решением задачи (1.1)-(1.3), когда ϕ(x) ∈ L1[0, 1] и f(x,t) класса Q. Как уже отмечалось, в этом случае задача (1.1)-(1.3) понимается чисто формально. Эту задачу (1.1)-(1.3) в случае ϕ(x) ∈ L1[0, 1] и f(x,t) класса Q мы и назвали ранее обобщённой начально-граничной задачей. Назовем ряд справа в (2.6) обобщённым решением этой обобщённой задачи. Затем можно попытаться найти сумму этого ряда, используя обычные правила анализа и накладывая дополнительно те или иные ограничения на начальную функцию ϕ(x) и неоднородность f(x,t), обеспечивающие сходимость этого ряда к некоторой сумме, понимаемой в классическом смысле по Коши как предел последовательности частичных сумм. Затем, найдя эту сумму, можно попытаться ослабить наложенные ограничения на ϕ(x) и f(x,t). Но можно, как и в [22], использовать другой подход, упростив тем самым выкладки и при этом не накладывая никаких дополнительных ограничений на ϕ(x) и f(x,t), кроме того, что ϕ(x) ∈ L1[0, 1] и f(x,t) класса Q. А именно, можно трактовать ряд справа в формуле (2.6) изначально как расходящийся (даже если он и сходится) и соответствующим образом определить (или, другими словами, назначить) «сумму» этого ряда («сумма» в кавычках означает, что это сумма именно расходящегося ряда). Таким образом, найти решение обобщённой начально-граничной задачи (1.1)-(1.3) -значит определить (или назначить) «сумму» ряда справа в (2.6). 3.2. Определение «суммы» расходящегося тригонометрического ряда. Далее будет показано, что с использованием только аксиом (А)-(В) без использования обычного определения суммы ряда по Коши как предела его частичных сумм ряд справа в (2.6) сводится к сумме конечного числа рядов вида , где (3.1) а функции f(x) ∈ L1[0, 1] выражаются по простым формулам через функцию ϕ(x) или f(x,t) и суммируемы в том и только в том случае, когда ϕ(x) ∈ L1[0, 1] и f(x,t) класса Q. Таким образом, чтобы найти формулу для обобщённого решения, необходимо определить «сумму» ряда (3.1). Наиважнейшую роль в этом играет теорема Лебега об интегрировании тригонометрического ряда [10, c. 277, теорема 3]. Нам эта теорема потребуется в следующей формулировке. Теорема 3.1 (теорема Лебега об интегрировании тригонометрического ряда). Пусть на промежутке [0, 1] задана суммируемая функция f(x), имеющая ряд (3.1) своим рядом Фурье. Если [A,B] ⊂ [0, 1], то Доказательство этой теоремы без особых затруднений получается из доказательства соответствующей теоремы, см. [10, c. 277]. После формулировки этой теоремы в [10, c. 277] отмечено: «Иначе говоря, ряд Фурье суммируемой функции можно почленно интегрировать. Этот факт весьма замечателен, поскольку сам этот ряд может и не сходиться». По сути эта теорема разрешает для тригонометрического ряда переставлять суммирование и интегрирование, даже если ряд расходится. Ввиду этого, как уже было отмечено, в [22] было предложено дополнить сформулированные выше три аксиомы (А)-(В) для расходящихся рядов правилом (1.17). Используя теорему 3.1, можно определить «сумму» расходящегося ряда (3.1). Лемма 3.1. Если (3.1) есть ряд Фурье функции f(x) ∈ L1[0, 1], то «сумма» ряда (3.1) есть функция f(x). Доказательство. Доказательство этой леммы почти дословно повторяет доказательство соответствующего результата из [22]. В самом деле, пусть «сумма» ряда (3.1) при x ∈ [0, 1] есть какая-то функция g(x) ∈ L1[0, 1] (мы ограничиваем себя именно такими функциями). Тогда в соответствии с правилом (1.17) имеем (3.2) По теореме 3.1 ряд в (3.2) сходится при любом x ∈ [0, 1] и его сумма есть (3.3) Таким образом, из (3.2) и (3.3) получим, что А отсюда следует, что g(x) = f(x) для п.в. x ∈ [0, 1], т. е. функция f(x) является «суммой» ряда (3.1). Лемма доказана. Утверждение леммы 3.1 вполне согласуется с идеей Эйлера [24], что «сумма некоторого бесконечного ряда есть конечное выражение, из разложения которого возникает этот ряд». Описанный метод получения «суммы» расходящегося тригонометрического ряда (3.1) является «регулярным» [15], так как для сходящихся рядов эта «сумма» совпадает с обычной суммой ряда, т. е. с функцией f(x). 3.3. Конечная формула для обобщённого решения в случае однородной задачи. В этом разделе доказывается сформулированная выше теорема 1.1 о конечной формуле (1.14) для обобщённого решения. Исходим из формулы (2.7), которую запишем в виде (3.4) Для функции Грина G(x,ξ,λ) имеет место представление , где χ(x) - функция Хевисайда (χ(x) = 1 при при x < 0). Для доказательства потребуются две леммы. Так как числа λk, k = ±1,±2,... , определяемые формулой (2.5), являются простыми полюсами функции Грина G(x,ξ,λ), то для вычетов имеют место формулы, определяемые следующей леммой. Лемма 3.2. Справедливы формулы , (3.5) (3.6) Доказательство леммы получается непосредственным подсчетом по формуле для вычетов отношения двух целых функций в случае простых полюсов [7, с. 417]. В следующей лемме даются формулы приведения интегралов от e-λkωjξf(ξ), j = 1,2 к коэффициентам Фурье по тригонометрической системе {e2kπix} некоторых преобразований функций f(ξ). Лемма 3.3. Если f(x) ∈ L1[0, 1], то справедливы формулы (3.7) (3.8) где функции f∗(ξ) и f∗(ξ) определяются формулами (1.13). Доказательство этой леммы без особых проблем получается в результате соответствующих замен переменных под знаками интегралов. Перейдём теперь к непосредственному доказательству теоремы 1.1. Используя обозначения леммы 3.2, из (3.4) получим На основании формул (3.5)-(3.6), а также аксиом (А)-(Б) из (3.9) будем иметь Отсюда, используя формулы Виета: p1 = -(ω1 + ω2) и p2 = ω1ω2, найдём Далее применяем лемму 3.3 и аксиому (А). В результате получим Теперь, чтобы получить конечную формулу для обобщённого решения, воспользуемся леммой 3.1 для определения «сумм» рядов, стоящих справа. Так как функция e2kπix есть 1-периодическая функция, то в результате получим следующее представление для правой части последней формулы при п.в. (x,t) ∈ Q: где, как и раньше, {x} обозначает дробную часть числа x ∈ R. А это и есть формула (1.14). То, что решение u1(x,t) есть функция класса Q, следует из следующей леммы. Лемма 3.4. Имеет место оценка , (3.14) где обозначено ω∗ = min{|ω1|,ω2}, ω∗ = max{|ω1|,ω2}. Доказательство. Из формулы (1.14) следует оценка Оценим каждое слагаемое. Делая в I1 замену ξ получим . Обозначим через m наименьшее натуральное число такое, что . Учитывая это и принимая во внимание, что есть 1-периодическая функция, будем иметь . (3.16) Далее потребуется следующая лемма. Лемма 3.5. Для функции f(x) ∈ L1[0, 1] имеют место равенства . Доказательство. Вспоминая определение функций f∗(x) и f∗(x) (см. формулы (1.13)), легко найдём , а это есть первое равенство в формулировке леммы. Второе равенство получается аналогично. Лемма 3.5 доказана. Используя эту лемму, без труда получим из (3.16) . (3.17) - Рассмотрим теперь I2. Делая в I2 замену , получим аналогично предыдущему Похожим образом можно получить оценки . (3.19) Из (3.15), (3.17), (3.18) и (3.19) будем иметь , а это и есть утверждение леммы 3.4. Тем самым лемма 3.4 доказана. Таким образом, теорема 1.1 полностью доказана. Следствие 3.1. Пусть ϕ ∈ L1[0, 1] и выполняется условие (1.4). Тогда решением обобщённой начально-граничной задачи (1.7)-(1.9) является функция u1(x,t) класса Q, определяемая формулой , (3.20) где если ξ ∈ [0,a); (3.21) , если ξ ∈ [a,1]. Доказательство. Запишем формулу (1.14) (или, что то же самое, (3.13)) в другом виде: Используя формулы (1.13) для функций со звёздочками, получим более простое представление для комбинации функций, стоящих в скобках в (3.22): , где- именно та функция (3.21), которая фигурирует в формуле (3.20). С учётом этого формула (3.22) запишется в виде (3.20). То, что u1(x,t) есть функция класса Q, уже установлено в лемме 3.4. Таким образом, следствие 3.1 доказано. Для сравнения целесообразно привести следующий результат из [12] о формуле для классического решения задачи (1.7)-(1.9). Теорема 3.2. Пусть выполняется условие (1.4). Для того, чтобы задача (1.7)-(1.9) имела единственное классическое решение, необходимо и достаточно, чтобы функции были абсолютно непрерывны, . При этом решение u1(x,t) определяется формулой (1.14) (или (3.13)). Следовательно, и классическое, и обобщённое решения выражаются одной и той же формулой. Этот факт подтверждает правильность изложенного подхода получения формулы (1.14) для обобщённого решения u1(x,t) задачи (1.7)-(1.9). 3.4. Конечная формула для обобщённого решения в случае неоднородной задачи. В этом разделе доказывается сформулированная выше теорема 1.2 о конечной формуле (1.16) для обобщённого решения. Исходим из формулы (2.8), которую запишем в виде Используя обозначения леммы 3.2, отсюда найдём (3.23) Далее проводим рассуждения, аналогичные рассуждениям при выводе формул (3.10)-(3.12), а именно, на основании леммы 3.2 из (3.23) получим Используя обозначение (1.15), проведём во внутреннем интеграле справа в (3.24) один раз интегрирование по частям, при этом учтём равенство и аксиомы (A)-(B). Получим . Далее применяем лемму 3.3, аксиому (A) и правило (1.17). В результате получим Используя уже найденную «сумму»[7] ряда (3.1), получим следующее представление для правой части формулы (3.25): а это и есть формула (1.16). То, что u2(x,t) является функцией класса Q, вытекает из следующей леммы. Лемма 3.6. Имеет место оценка . (3.27) Доказательство. Чтобы доказать оценку (3.27), получим для функции u2(x,t), определенной формулой (3.26), другое, более удобное в некоторых вопросах, представление. Сформулируем результат в виде леммы. Лемма 3.7. Если f(x,t) есть функция класса Q и выполняется условие (1.4), то для решения u2(x,t) обобщённой начально-граничной задачи (1.9)-(1.11) справедлива формула (3.28) где (3.29) является непрерывной кусочно-линейной функцией при и удовлетворяет неравенству . (3.30) Доказательство. Положим для краткости . (3.31) Тогда выражение под интегралом (3.26) будет иметь вид Φ(α,β,τ) = F∗({α},τ) - F∗({β},τ) - F∗({α},τ) - F∗({β},τ). Найдём для функции Φ(α,β,τ) явное выражение через функцию f(x,t). Из формул (1.13) следует, что для функций со звёздочками возможны следующие четыре случая: 1) {α},{β} ∈ [0,a); в этом случае, учитывая обозначение (1.15), будем иметь ; 2) {α} ∈ [0,a),{β} ∈ [a,1]; в этом случае аналогично предыдущему будем иметь ; 3) {β} ∈ [0,a),{α} ∈ [a,1]; в этом случае аналогично предыдущему будем иметь ; 4) {α},{β} ∈ [a,1]; в этом случае аналогично предыдущему будем иметь Учитывая теперь определение (3.29) функции η(s) и найденные в пунктах 1)-4) формулы для функции Φ(α,β,τ) в разных случаях, получим Подставляя найденное выражение для Φ(α,β,τ) в формулу (3.26) для решения u2(x,t), получим формулу (3.28). Докажем, что функция η(s) непрерывна при s ∈ (-∞,+∞). x = n и a + n, n ∈ Z. Функция η(s) кусочно-линейная. Разрывы могут быть только в точках Покажем, что в этих точках односторонние пределы совпадают: = 0; , - - таким образом, η(n + 0) = η(n - 0); = 1; таким образом. η(a + n + 0) = η(a + n - 0). Тем самым установлено, что η(s) есть непрерывная кусочно-линейная функция на всей вещественной оси. Осталось доказать неравенства (3.30). Если то из (3.29) получим , а если, то . Тем самым неравенства (3.30) установлены и лемма 3.7 полностью доказана. Теперь можно завершить доказательство леммы 3.6. Для этого воспользуемся представлением (3.28) для решения u2(x,t), предположением, что f(x,t) есть функция класса Q, и оценкой (3.30). Получим для ∀(x,t) ∈ QT : а отсюда сразу следует неравенство (3.27). Лемма 3.6 доказана. А, тем самым, и теорема 1.2 полностью доказана. На самом деле справедлив более сильный результат, а именно, имеет место следующая теорема. Теорема 3.3. Пусть f(x,t) есть функция класса Q и выполняется условие (1.4). Тогда решением обобщённой начально-граничной задачи (1.10)-(1.12) является функция u2(x,t), непрерывная в QT , определяемая формулами (1.16) или (3.28), и для неё имеет место оценка . (3.33) Доказательство. Непрерывность функции u2(x,t) следует из формулы (3.28), непрерывности функции η(s) на всей вещественной оси и функций α = α(x,t - τ), β = β(x,t - τ) в области (x,t,τ) ∈ [0, 1] × [0,+∞) × [0,+∞) как интегралов от суммируемой функции с непрерывными пределами интегрирования. Оценка (3.33) непосредственно вытекает из оценки (3.32). Тем самым, теорема 3.3 доказана. Для сравнения целесообразно привести следующий результат из [13] о формуле для классического решения неоднородной задачи (1.10)-(1.12). Теорема 3.4. Пусть выполняется условие (1.4). Для того, чтобы задача (1.10)-(1.12) имела единственное классическое решение u2(x,t), достаточно, чтобы функция f(x,t) была абсолютно непрерывна по t > 0 при п.в. была функцией класса Q. При этом решение u2(x,t) определяется формулой (1.16) (или (3.26)). Следовательно, и классическое, и обобщённое решения выражаются одной и той же формулой. Этот факт подтверждает правильность изложенного подхода получения формулы (1.16) для обобщённого решения u2(x,t) задачи (1.10)-(1.12). 4. Простейшая начально-граничная задача с ненулевым потенциалом Вначале вернёмся к исходной обобщённой задаче (1.1)-(1.3). В соответствии с формулой (1.6), теоремой 1.1, леммой 3.7 и обозначениями (3.31) имеет место следующая теорема. Теорема 4.1. Если ϕ(x) ∈ L1[0, 1], f(x,t) есть функция класса Q и выполняется условие (1.4), то для решения u(x,t) обобщённой начально-граничной задачи (1.1)-(1.3) справедлива формула (4.1) - где функция u1(x,t) определяется формулой (1.14). Теперь рассмотрим начально-граничную задачу (1.18)-(1.20). В этой задаче будем рассматривать правую часть q(x)u(x,t) в уравнении (1.18) как возмущение в задаче (1.1)-(1.3). Тогда по теореме 4.1 мы от задачи (1.18)-(1.20) приходим к интегральному уравению: (4.2) Вполне естественно назвать обобщённым решением обобщённой начально-граничной задачи (1.18)-(1.20) решение интегрального уравнения (4.2). Решим уравнение (4.2). Решать будем методом последовательных подстановок. Введём оператор, действующий из C(QT) в C(QT ) по формуле: Лемма 4.1. Оператор B -линейный и ограниченный в C(QT), причём . (4.3) Доказательство. Линейность оператора B очевидна. А ограниченность оператора B и оценка (4.3) следует из неравенства, получаемого аналогично неравенству (3.32): . Лемма доказана. Образуем ряд где. Лемма 4.2. Функции an(x,t) непрерывны в. Доказательство. На основании формулы (3.20) и определения a1(x,t) имеем Рассмотрим, например, J1(x,t). Для J2(x,t) рассуждения аналогичны. Так как L1[0, 1], η(s) - непрерывная кусочно-линейная функция на всей оси, {α(x,t)} и {β(x,t)} - кусочно-линейные функции в Q, то по теореме Фубини [10, с. 328-336] можно поменять порядок интегрирования в J1(x,t). Затем делаем замену τ1 = α(ξ,τ). В результате получим интеграл по ограниченному подмножеству, мера которого непрерывно зависит от переменных x и t, от функции класса Q. Тогда непрерывность J1(x,t) есть простое следствие абсолютной непрерывности интеграла Лебега по множеству интегрирования [3, с. 301, теорема 5]. Таким образом, функции J1(x,t) и J2(x,t) непрерывны в QT , а следовательно, в силу (4.4) и a1(x,t) непрерывна в QT. Непрерывность остальных an(x,t) в QT при n 2 вытекает из непрерывности a1(x,t), формулы an = Ban-1 и определения оператора B. Тем самым, лемма доказана. Лемма 4.3. Справедливы следующие оценки при: (4.5) , (4.6) где. Кроме того,и постоянная CT не зависит от ϕ(x). Доказательство. Положим fn(x,t) = q(x)an(x,t). Так как q(x) ∈ L1[0, 1] и an(x,t) ∈ C(QT ) при , то и fn(x,t) ∈ L1(QT ). Доказательство леммы проведём, используя принцип математической индукции. При n = 1 оценка (4.5) справедлива. Предположим, что оценка (4.5) выполняется при некотором n ∈ N. Докажем, что она выполняется и для n + 1. Имеем , а это есть оценка (4.5) для n + 1. Тем самым, оценка (4.5) установлена для всех n 1. Оценка (4.6) непосредственно вытекает из оценки (4.5), если учесть, что t T. Оценим M1. Аналогично предыдущему имеем Далее проводим рассуждения, которые полностью повторяют рассуждения при доказательстве леммы 3.4, с единственным отличием, что в (4.7), в отличие от (3.15), под интегралом по переменной ξ присутствует функция |q(ξ)|. Учитывая это, без особых проблем получим оценку , где . Таким образом, лемма 4.3 доказана. Из этой леммы вытекает, что ряд A1(x,t) сходится абсолютно и равномерно в QT. Теорема 4.2. Уравнение (4.2) имеет единственное решение u(x,t) = A(x,t), (4.8) где A(x,t) = a0(x,t) + A1(x,t), получаемое по методу последовательных подстановок. Доказательство. Повторяем рассуждения из [23] при доказательстве аналогичной теоремы. Положим v(x,t) = u(x,t) - a0(x,t). Тогда из (4.2) получим для v(x,t) интегральное уравнение v(x,t) = a1(x,t) + Bv(·,t). (4.9) Так как a1(x,t) ∈ C(QT ) на основании леммы 4.2, то уравнение (4.9) рассматриваем в C(QT ). По методу последовательных подстановок из (4.9) получаем ряд A1(x,t). Поскольку B на осно- ∞ вании леммы 4.1 - линейный и ограниченный оператор в, то A1(x,t) есть решение (4.9). Докажем, что уравнение (4.9) имеет единственное решение. Допустим, что кроме A1(x,t) есть ещё другое решение w(x,t) этого уравнения. Тогда z1(x,t) = A1(x,t)-w(x,t) есть решение уравнения z(x,t) = (Bz)(x,t), а значит, и z(x,t) = (Bn-[8]z)(x,t) при любом натуральном n. Заметим, что оценка (4.6) в лемме 4.2 остается верной, если в качестве a1(x,t) взять любую функцию из C(QT ). Возьмем в качестве такой функции z(x,t). Тогда из оценки (4.6) получим . Отсюда в силу произвольности n получаем z(x,t) = 0, следовательно, единственным решением уравнения (4.9) является ряд A1(x,t), а уравнения (4.2) -ряд A(x,t). Теорема доказана. Нетрудно установить аналогичными рассуждениями, что для классического решения1 задачи (1.18)-(1.20) справедлива следующая теорема. Теорема 4.3. Если выполняется условие (1.4), функции абсолютно непрерывны, , то сумма ряда A(x,t) представляет собой классическое решение u(x,t) задачи (1.18)-(1.20) при условии, что utt(x,t) -функция класса Q. Таким образом, классическое решение задачи (1.18)-(1.20) и её обобщённое решение, даваемое теоремой 4.2, выражаются одной и той же формулой (4.8). Справедливо также следующее утверждение. Теорема 4.4. Если ϕ(x) ∈ L1[0, 1], а функция ϕh(x) удовлетворяет условиям теоремы 4.3 и ϕпри h → 0, то соответствующее функции ϕh(x) классическое решение uh(x,t) задачи (1.18)-(1.20) сходится при h → 0 по норме L1(QT ) к A(x,t). Доказательство. Утверждение теоремы без особых трудностей следует из линейности A(x,t) по ϕ(x) и леммы 4.3. Таким образом, ряд A(x,t) в случае ϕ(x) ∈ L1[0, 1] играет роль обобщённого решения задачи (1.18)-(1.20), если понимать его как предел классических решений. Иногда такое обобщённое решения называют секвенциальным (см., например, [4]). Таким образом, и обобщённое решение, определенное как решение интегрального уравнения (4.2), и секвенциальное обобщённое решение даются одной и той же формулой (4.8). 5. Краткая история вопроса Восстановить полную историю исследований начально-граничной задачи (1.1)-(1.3) довольно трудно, так как очень много математиков рассматривали такую задачу на протяжении долгого времени под разными углами зрения и использовали разные методы. Тем не менее, для полноты картины приведём некоторые исторические факты, которые в какой-то мере близки к обсуждаемым проблемам. Некоторые работы и авторы уже цитировались в процессе изложения. Уравнение (1.1) является уравнением поперечных колебаний продольно движущейся конечной струны. Такие уравнения актуальны для производственных процессов, связанных с продольным движением материалов (например, бумажного полотна). Исследование таких колебаний началось около 60 лет назад в работах [25-27]. Излагаемые в настоящей статье результаты получены с использованием двух подходов к решения начально-граничных задач для волнового уравнения в полуполосе плоскости, предложенных А.П. Хромовым. Первый подход, который можно назвать резольвентным, был применён впервые к решению начально-граничных задач для волнового уравнения в [1] и получил развитие в статьях [2, 16]. В дальнейшем А.П. Хромов дополнил резольвентный метод подходом, связанным с расходящимися рядами формальных решений. Расходящиеся ряды рассматриваются в понимании Л. Эйлера [15, 24], основоположника суммирования расходящихся рядов. Такой подход был первоначально рассмотрен в [17], а затем получил развитие в работах [18-20]. Иногда такой подход называют аксиоматическим. Наиболее просто подход А.П. Хромова описан в краткой статье [22], которая уже цитировалась. Развернутое изложение этой статьи, как уже было отмечено, дано в [23]. Историю формирования и развития этого метода, а также полученные с помощью этого метода результаты можно найти в указанных и других работах А.П. Хромова (например, в [21]). Аналогичный подход к решению смешанных задач в полуполосе плоскости для телеграфного уравнения при других краевых условиях использовал И.С. Ломов. Одними из последних его работ являются статьи [4, 5]. Другой подход, отличный от используемого А.П. Хромовым и И.С. Ломовым и при других постановках начально-граничных задач, получил развитие в работах Ф.Е. Ломовцева. Одна из последних его работ есть статья [6]. Рассматриваются и другие задачи для уравнения (1.1). Например, задача гашения поперечных колебаний продольно движущейся струны исследовадась в статье [8].

About the authors

V. S. Rykhlov

Saratov State University

Author for correspondence.
Email: RykhlovVS@yandex.ru
Saratov, Russia

References

Supplementary files