On the theory of entropy suband supersolutions of nonlinear degenerate parabolic equations

Full Text

1. Введение В полупространстве , рассмотрим нелинейное параболическое уравнение ut + divx(ϕ(u) - a(u)∇xu) = 0, (1.1) в котором вектор потока ϕ(u) = (ϕ1(u),...,ϕn(u)) лишь непрерывен: ϕi(u) ∈ C(R), i = 1,...,n, а симметричная матрица диффузии измерима по Лебегу и ограничена: aij(u) ∈ L∞(R), i,j = 1,...,n. Также предполагается, что матрица (неотрицательно определена). Так как матрица диффузии может иметь нетривиальное ядро, уравнение (1.1) является вырождающимся (гиперболическим-параболическим) уравнением. В частном случае a ≡ 0 оно превращается в закон сохранения первого порядка ut + divx ϕ(u) = 0. (1.2) © Е.Ю. Панов, 2023 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 306 Уравнение (1.1) можно переписать (по крайне мере - формально) в дивергентной форме ut + divx ϕ(u) - Dx2 · A(u) = 0, (1.3) где матрица A(u) является первообразной для матрицы диффузии, а оператор Dx2 - это «дивергенция второго порядка», так что . Мы будем исследовать задачу Коши для уравнения (1.1) с начальным условием u(0,x) = u0(x) ∈ L∞(Rn). (1.4) Пусть функция g(u) ∈ BVloc(R) имеет ограниченную вариацию на любом отрезке из R. Нам понадобится ограниченный линейный оператор Tg : C(R)/C → C(R)/C, где C - пространство постоянных функций. Этот оператор определяется, с точностью до аддитивной константы, равенством , (1.5) в котором g(u-) = lim g(v) обозначает левосторонний предел функции g в точке u, а интеграл v→u- в (1.5) понимается в соответствии с формулой , где signu = 1, J(u) - интервал [0,u), если u > 0; signu = -1, J(u) = [u,0), если u 0. Следует отметить, что функция Tg(f)(u) непрерывна даже в случае разрывной g(u). Например, при g(u) = sign(u-k) имеем Tg(f)(u) = sign(u-k)(f(u)-f(k)). Заметим также, что при f ∈ C1(R) оператор Tg однозначно определяется равенством Фиксируем факторизацию матрицы диффузии a(u) вида, где b(u) = (bkj(u)), - это l × n-матрица с ограниченными и измеримыми компонентами bkj(u) ∈ L∞(R). Таким образом, справедливы равенства . Матрица b(u) может рассматриваться как квадратный корень из a(u). При l = n можно выбрать b(u)=a(u)1/2. Напомним понятие энтропийного решения задачи (1.1), (1.4), предложенное в работе [11]. Определение 1.1. Функция u = u(t,x) ∈ L∞(Π) называется энтропийным решением (кратко - э.р.) задачи (1.1), (1.4), если выполнены следующие условия: (i) при всех k = 1,...,l распределения divx Bk(u(t,x)) ∈ L2loc(Π), (1.6) где векторы Bk(u) = (Bk1(u),...,Bkn(u)) ∈ C(R,Rn) таковы, что , i = 1,...,n; (ii) для любой функции g(u) ∈ C1(R) и всех k = 1,...,l div (Π); (1.7) (iii) для любой выпуклой функции η(u) ∈ C2(R) (энтропии) (Π); (1.8) (iv) esslimt→0 |u(t,·) - u0| = 0 в L1loc(Rn). Условие (1.8) означает, что для любой неотрицательной пробной функции , (1.9) где Dx2f - симметричная матрица, состоящая из частных производных f второго порядка (гессиан), а «·» обозначает стандартное скалярное умножение векторов или матриц (в частности, скалярное произведение матриц A,B - это В изотропном случае, когда матрица диффузии скалярна, определение э.р. значительно упрощается и было предложено ранее в работе Карильо [10]. В случае законов сохранения (1.2) определение 1.1 сводится к известному определению обобщённого э.р. задачи (1.2), (1.4) в смысле С.Н. Кружкова [1]. В случае гладкого вектора потока э.р. задачи Коши всегда единственно. Однако, в рассматриваемом нами общем случае лишь непрерывного вектора потока и возможно вырожденной диффузии свойство единственности э.р. может нарушаться. Для законов сохранения (1.2) соответствующие примеры можно найти в [2, 12], где были также предложены и точные достаточные условия единственности. Позднее эти условия были распространены и на параболический случай, см., например, [8, 9, 13]. Как установлено в недавней работе [16], в общем случае всегда существуют единственные наибольшее и наименьшее э.р. задачи (1.1), (1.4). Подставив в (1.8) η(u) = ±u, получим, что , т. е. э.р. u является и слабым решением (1.3), что естественно. Если в определении 1.1 ограничиться неубывающими (невозрастающими) энтропиями η(u), получим понятия энтропийного субрешения и энтропийного суперрешения. Приведём строгие определения. Определение 1.2. Функция u = u(t,x) ∈ L∞(Π) называется энтропийным субрешением (кратко - э.субр.) задачи (1.1), (1.4), если выполнены условия (i), (ii) определения 1.1, для любой неубывающей выпуклой функции η(u) ∈ C2(R) справедливо энтропийное неравенство (iii), a начальное условие (iv) заменено на требование esslim(u(t,·) - u0)+ = 0 в L1loc(Rn), t→0 где z+ = max(z,0). Определение 1.3. Функция u = u(t,x) ∈ L∞(Π) называется энтропийным суперрешением (кратко - э.суперр.) задачи (1.1), (1.4), если выполнены условия (i), (ii) определения 1.1, для любой невозрастающей выпуклой функции η(u) ∈ C2(R) справедливо энтропийное неравенство (iii), a начальное условие (iv) заменено на требование esslim(u(t,·) - u0)- = 0 в L1loc(Rn), t→0 где z- = max(-z,0) = (-z)+. Легко видеть, что функция u = u(t,x) является э.р. задачи (1.1), (1.4) тогда и только тогда, когда эта функция одновременно э.субр. и э.суперр. этой задачи. Замечание 1.1. Функция u = u(t,x) является э.суперр. задачи (1.1), (1.4) тогда и только тогда, когда v = -u(t,x) -э.субр. задачи . vt + divx( ϕ( v) a( v)∇v) = 0, v(0,x) = v0(x) = u0(x), (1.10) соответствующее факторизации Действительно, вектор потока ϕ˜(v), матрица A˜ и векторы соответствующие уравнению (1.10) и указанной выше факторизации матрицы диффузии, определяются равенствами: ϕ˜(v) = ϕ( v), A˜(v) = A( v), B˜k(v) = Bk( v). Заметим также, что (с точностью до аддитивной константы). Если f,g ∈ C1(R), это соотношение следует из тождества . В общем случае нужно использовать аппроксимацию функций f,g. Таким образом, divTg˜(B˜j)(v) = divTg(Bj)(u), откуда легко следует эквивалентность условий (i), (ii) для э.суперр. u и для э.субр. v. Если η(u) - выпуклая функция, то ηˆ(v) = η(-v) также является выпуклой функцией и. Поэтому в . Поскольку условие невозрастания ηˆ эквивалентно условию неубывания η, то энтропийное неравенство (iii) для э.суперр. u равносильно требованию (iii) для э.субр. v = -u. Наконец, ввиду тождества (v(t,·) - v0)+ = (u0 - u(t,·))+ = (u(t,·) - u0)-, начальное условие для э.суперр. u сводится к начальному условию для э.субр. v. Основные результаты статьи содержатся в следующих теоремах. Теорема 1.1 (принципы максимума/минимума). Пусть u1(t,x) -э.субр. задачи (1.1), (1.4), а u2 = u2(t,x) -её э.суперр. Тогда для любой константы c ∈ R для п.в. t > 0 В частности, п.в. на Π u1(t,x) esssupu0(x), u2(t,x) essinf u0(x) (принципы максимума/минимума). Теорема 1.2. Максимум э.субр. u1 = u1(t,x) и u2 = u2(t,x) задачи (1.1), (1.4) также является э.субр. этой задачи. С учётом замечания 1.1 и тождества min(-u1,-u2) = -max(u1,u2) из теоремы 1.1 вытекает следующее утверждение. Следствие 1.1. Минимум э.суперр. u1 = u1(t,x) и u2 = u2(t,x) задачи (1.1), (1.4) также является э.суперр. этой задачи. С помощью этих результатов устанавливается существование наибольшего э.субр. (наименьшего э.суперр). Теорема 1.3. Существуют наибольшее э.субр. u = u+(t,x) и наименьшее э.суперр. u = u-(t,x) задачи (1.1), (1.4). Эти функции являются и э.р. этой задачи. Таким образом, u+,u- являются наибольшим и наименьшим э.р. задачи (1.1), (1.4), существование которых установлено в работе [16]. В изотропном случае теоремы 1.1-1.3 следуют из работ [6, 15]. Для уравнений первого порядка, включая и неоднородные, аналогичные результаты были получены значительно раньше в [3-5]. В заключение вводного раздела мы покажем, что начальное условие из определений э.субр. и э.суперр. можно включить в интегральное энтропийное неравенство вида (1.9). Для э.р. соответствующее соотношение доказано в [16]. Предложение 1.1. Функция u = u(t,x) ∈ L∞(Π), удовлетворяющая условиям (i), (ii) определения 1.1, является э.субр. задачи (1.1), (1.4) тогда и только тогда, когда для любой неубывающей выпуклой функции η(u) ∈ C2(R) и всех неотрицательных пробных функций f = f(t,x) ∈ (1.11) Доказательство. Предположим, что u = u(t,x) - э.субр. задачи (1.1), (1.4). Пусть E состоит из значений t > 0 таких, что (t,x) - точка Лебега функции u(t,x) для почти всех x ∈ Rn. Известно (см., например, [14, Lemma 1.2]), что множество E имеет полную меру Лебега на (0,+∞) и что t ∈ E является общей точкой Лебега функций при всех b(x) ∈ L1(Rn). Так как, ввиду ограниченности u, любая точка Лебега этой функции является также точкой Лебега композиции η(u) для любой функции η ∈ C(R), мы можем заменить u на η(u) в приведённом выше свойстве. Выберем функцию, такую что, и определим последовательности . Ясно, что последовательность ωr(s) сходится при r → ∞ к δ-мере Дирака слабо в (т. е. является аппроксимативной единицей), а последовательность θr(s) сходится к функции Хевисайда θ(s) поточечно и в L1loc(R). Заметим, что . Пусть , t0 ∈ E. Применяя (1.8) к неотрицательной пробной функции, получим соотношение , (1.12) где, в соответствии с определением 1.2, η(u) ∈ C2(R) - произвольная неубывающая выпуклая функция (). Поскольку a t0 - точка Лебега функции то в пределе при r → ∞ из (1.12) вытекает, что . (1.13) Далее, поскольку функция η(u) не убывает и удовлетворяет условию Липшица на любом отрезке, = const. В пределе при из этой оценки и начального условия (iv) определения 1.2 следует, что (1.14) (1.15) С учётом этого соотношения из (1.13) в пределе при следует (1.11). Обратно, предположим, что выполнено соотношение (1.11). В случае неотрицательной пробной функции (с компактным носителем, лежащим в открытом полупространстве Π) из этого соотношения вытекает энтропийное условие (iii) из определения 1.2. Остаётся только проверить начальное условие (iv) этого определения. Фиксируем неотрицательную функцию и положим f = h(x)(1-θr(t-t0)). Из (1.11) с выбранной пробной функцией f вытекает неравенство . Переходя в этом неравенстве к пределу при r → ∞, получим, что , откуда в пределе при получаем (1.16) По непрерывности соотношение (1.16) остаётся верным для любой выпуклой неубывающей энтропии η ∈ C(R) (в частности, для η(u) = (u - v)+, v ∈ R) и для любой неотрицательной функции h(x) ∈ L1(Rn). Так как u0(x) ∈ L∞(Rn), мы можем найти ступенчатую функцию , где vi ∈ R, χAi(x) - характеристические функции измеримых множеств Ai ⊂ Rn, так что произвольно. Множества Ai, i = 1,...,m, предполагаются дизъюнктными. Ввиду (1.16) . (1.17) Так как из (1.17) следует, что и, ввиду произвольности для всех h(x) ∈ L1(Rn). Ясно, что это сводится к условию (iv) esslim(u(t,x) - u0(x))+ = 0 в L1loc(Rn) t→0+ и завершает доказательство. Заметим, что утверждение, аналогичное предложению 1.1, справедливо и для э.суперр. (нужно лишь заменить неубывающие энтропии η(u) на невозрастающие). 2. Принцип максимума/минимума В этом разделе мы докажем теорему 1.1. Достаточно доказать утверждение, касающееся э.субр. (принцип максимума). Предложение 2.1. Пусть u = u(t,x) -э.субр. задачи (1.1), (1.4). Тогда ∀c ∈ R (2.1) для п.в. t > 0. Доказательство. Приведённое ниже доказательство почти дословно повторяет доказательство [16, Proposition 2.2]. Как следует из (1.8), для любой неубывающей выпуклой функции η ∈ C2(R) . (2.2) По непрерывности неравенство (2.2) справедливо для любой неубывающей выпуклой энтропии η ∈ C(R). Пусть. Заметим, что условие (2.1) нетривиально только при , что и будет предполагаться ниже. Рассмотрим сначала случай c = 0. Обозначим при , δ, ⎪ Ввиду (2.2) при u = u(t,x) , (2.3) где обозначено , Так как матрица (неотрицательно определена), матрица при k u. Поэтому матрица (ясно также, что H(u) = 0 при u 0). Заметим, что при (здесь и ниже мы используем обозначение |v| для евклидовой нормы конечномерного вектора v) и, аналогично, . Из этих оценок следует, что для любого ε > 0 , где Так как β(u) = 1 при u > δ, функция убывает на [δ,+∞). Поэтому . Прямые вычисления показывают, что . Поэтому . Итак, , (2.4) где = const. Ввиду (2.3) для любого , т. е. для любой пробной функции . (2.5) Выберем неотрицательную невозрастающую функцию ρ(r) ∈ C∞(R) со следующими свойствами: при выпукла вверх на луче (-∞,1/2] и выпукла вниз на [1/2,+∞) (так что 1/2 - точка перегиба функции ρ(r)). Такая функция всегда удовлетворяет неравенству (2.6) для некоторой положительной константы c. Действительно, при r > 1. На оставшемся отрезке по выпуклости ρ(r) и, значит, , где (r) 1. Итак, оценка (2.6) 1/2r1 выполнена. Зададим пробную функцию в виде f(t,x) = ρ(N(t - t0) + |x| - R)χ(t), где 0 < t0 < T, R > 1, константа N = N(ε) будет указана позже, а неотрицательная функция . Заметим, что ρ(N(t - t0) + |x| - R) ≡ 1 в цилиндре |x| < R, t ∈ (0,t0), так что особенность в точке x = 0 отсутствует. Таким образом, . Поскольку функция f вместе со всеми её производными экспоненциально убывает при |x| → ∞, мы можем выбрать эту функцию как пробную в (2.5). Путём простых вычислений находим, что (2.7) (2.8) , (2.9) | | где E обозначает единичную матрицу. Ввиду (2.9) для всех ξ ∈ Rn где мы используем (2.6) и неравенство. Из соотношения (2.10) следует, что матрица (неотрицательно определена), где. Используя известное свойство неотрицатель- | ности скалярного произведения A · B неотрицательно определённых матриц, находим, что (заметим, что |M(x)| = 1). Как следует из (2.5) с помощью соотношений (2.7), (2.8) и (2.11), Положив в (2.12), получим, что ввиду (2.4). Так как , последний интеграл в (2.12) неположителен и из (2.12) следует, что . Это означает, что . (2.13) Пусть E - множество полной меры значений t > 0, определённое в доказательстве предложения 1.1. Напомним, что любое значение t ∈ E является точкой Лебега функции t → Если t0 ∈ E, то из (2.13) следует, что для всех t ∈ E, Перейдём в этом неравенстве к пределу при . Из начального условия следует (так же, как в (1.14)), что откуда приходим к неравенству Rn Заметим, что где cn - мера единичного шара в Rn. Поскольку , a = const, из (2.15) следует, что при некоторых константах a1,a2 (напомним, что m + 1 > n). Поэтому, переходя к пределу при ε → 0+ в (2.14) получим, что при всех t0 ∈ E (2.16) Заметим, что и что η(u) → u+ при δ → 0. По теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла из (2.16) в пределе при δ → 0 следует, что для п.в. t = t0 > 0 . По лемме Фату в пределе при R → ∞ получим неравенство (2.17) что доказывает (2.1) при c = 0. В общем случае произвольного c ∈ R заметим, что u-c является э.субр. задачи ut + divx(ϕ(u + c) - a(u + c)∇xu) = 0, u(0,x) = u0(x) - c. Соотношение (2.17) для этого э.субр. совпадает с требуемой оценкой (2.1). Следствие 2.1. Если u = u(t,x) -э.суперр. задачи (1.1), (1.4), то ∀c ∈ R (2.18) для п.в. t > 0. Доказательство. По замечанию 1.1 функция v = -u является э.субр. задачи (1.10). По предложению 2.1 с заменой c на -c получим, что для п.в. t > 0 что эквивалентно (2.18). Ясно, что из предложения 2.1 и следствия 2.1 вытекает утверждение теоремы 1.1. 3. Метод удвоения переменных и принцип сравнения Пусть - последовательности функций, определённые при доказательстве предложения 1.1. Положим Ясно, что при всех z ∈ R и что zr+ → z+ при r → ∞ равномерно на R. Положим также mr(u,v) = v + (u - v)+r . Ясно, что эта функция является равномерной аппроксимацией max(u,v). Рассмотрим пару функций v,w ∈ L∞(Π), удовлетворяющих условиям (i), (ii) определения 1.1. Следующее свойство играет ключевую роль при обосновании метода удвоения переменных. Лемма 3.1. Для любой функции и любой функции p(u) ∈ C1(R) (3.1) где w = w(t,x), v = v(τ,y) (напомним, что θ(s) -это функция Хевисайда). Доказательство. По цепному свойству (ii) для w = w(t,x) при всех k = 1,...,l , где w = w(t,x), v = v(τ,y). Перебрасывая производные на пробную функцию f, получим (3.2) Используя теперь цепное свойство (ii) для функции v = v(τ,y), получим соотношение ψkir (w,v)divy Bk(v) = divy Tψkir (w,·)(Bk)(v). Подставляя это соотношение в (3.2) и перебрасывая производные на функции fxi, придём к равенству , (3.3) в котором (3.4) Заметим далее, что функции ωr(s) образуют аппроксимативную единицу. Поэтому для п.в. β ∈ R. Ввиду ограниченности ψkir (w,β) мы вправе применить теорему Лебега об ограниченной сходимости и получить из (3.4) предельное соотношение Суммируя по k = 1,...,l и используя равенства , получим . Используя это соотношение и теорему Лебега, перейдем к пределу в равенстве (3.3). Получим желаемое равенство (3.1): Лемма доказана. Предложение 3.1. Пусть u1 = u1(t,x) -э.субр. задачи (1.1), (1.4), а u2 = u2(t,x) -э.супер. этой задачи (с возможно различными начальными функциями). Тогда (3.5) в Доказательство. Так как u1 = u1(t,x) является э.субр., то по энтропийному неравенству (1.8) с энтропией η(u) = (u - v)+r , где v ∈ R, получим . Положим здесь v = u2(τ,y), применим полученное соотношение к неотрицательной пробной функции и затем проинтегрируем по переменным (τ,y) ∈ Π. Получим в итоге неравенство u1 = u1(t,x), u2 = u2(τ,y). Аналогично, так как u2 = u2(τ,y) - э.суперр., справедливо нераη(u) = (v - u)+r , (заметим, что . Положим в этом соотношении v = u1(t,x) (при фиксированных (t,x) ∈ Π), применим к пробной функции f (по переменным (τ,y)) и затем проинтегрируем по (t,x) ∈ Π. В результате получим неравенство, аналогичное (3.6): Складывая (3.6) и (3.7), получим соотношение . Воспользовавшись элементарным неравенством выводим из этого соотношения, что Перейдём в этом неравенстве к пределу при r → ∞. Учитывая, что для любой непрерывной функции q(u) Tθr(·-v)(q)(u) r→∞→ Tθ(·-v)(q)(u) = θ(u - v)(q(u) - q(v)), Tθr(v-·)(q)(u) r→∞→ Tθ(v-·)(q)(u) = θ(v - u)(q(u) - q(v)) в пространстве C(R)/C и что по лемме 3.1 (при p ≡ 1, w = u1, v = u2) выводим из (3.8) неравенство . (3.9) Заметим, что операторная матрица . Выберем в (3.9) пробную функцию f в виде f = g(t,x)δr(τ - t,y - x), где , n . Так как (∂t + ∂τ)δr = 0, (∇x + ∇y)δr = 0, справедливы равенства (∂t + ∂τ)f = δr(τ - t,y - x)gt(t,x), (∇x + ∇y)f = δr(τ - t,y - x)∇xg(t,x), (∇x + ∇y) ⊗ (∇x + ∇y)f = δr(τ - t,y - x)Dx2g(t,x), Поэтому (3.9) перепишется в виде - - · - - Напомним, что здесь u1 = u1(t,x), u2 = u2(τ,y). Поскольку для п.в. (t,x) ∈ Π (именно, для точек Лебега функции u2) , что позволяет перейти к пределу при r → ∞ в неравенстве (3.10) и с использованием теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла получить, что , где уже u1 = u1(t,x), u2 = u2(t,x). Это означает, что выполнено требуемое соотношение (3.5). Неравенство (3.5) играет ключевую роль при доказательстве единственности э.р. и принципов сравнения. В изотропном случае A(u) = g(u)E оно было доказано ранее в [6, лемма 3.1]. Нам понадобится один специальный вариант принципа сравнения, установленный в изотропном случае в [6, лемма 3.1], а для законов сохранения (1.2) значительно раньше в [7, Lemma 1]. Предложение 3.2. Пусть u1 = u1(t,x) -э.субр., а u2 = u2(t,x) -э.суперр. задачи (1.1), (1.4) с начальными функциями u01, u02, соответственно. Предположим, что для любого T > 0 множество . { ∈ × Rn | u1(t,x) > u2(t,x) } AT = (t,x) (0,T) имеет конечную меру Лебега. Тогда для п.в. t > 0 В частности, если п.в. на Π (принцип сравнения). Доказательство. Будем следовать схеме доказательства [6, лемма 3.1], в анизотропном случае потребуются лишь незначительные изменения. Выберем 0 < t0 < t1 и положим f = f(t,x) = (θr(t - t0) - θr(t - t1))p(x/l), где r,l ∈ N, неотрицательная функция, а последовательность аппроксимаций функции Хевисайда определена при доказательстве предложения 1.1 выше. Применяя (3.5) к пробной функции f, получим после простых преобразований неравенство Пусть t0,t1 ∈ E, где E - множество полной меры значений t, для которых (t,x) является точкой Лебега функции (u1(t,x) - u2(t,x))+ для п.в. x ∈ Rn. Тогда t0,t1 - точки Лебега функций t → , и из (3.11) в пределе при r → ∞ следует, что Заметим, что по условию леммы . Переходя к пределу в (3.12) при , получим, что для всех t = t1 ∈ E где мы пользуемся неравенством вместе с начальными условиями (iv) определений 1.2, 1.3. По лемме Фату из (3.13) в пределе при l → ∞ вытекает требуемое соотношение Предложение доказано. 4. Доказательство теоремы 1.2 Установим сначала, что максимум э.субр. удовлетворяет условиям (i), (ii). Это вытекает из следующего более общего свойства. Лемма 4.1. Пусть функции u1,u2 ∈ L∞(Π) удовлетворяют условиям (i), (ii) определения 1.1. Тогда функция u = max(u1,u2) также удовлетворяет этим условиям. Доказательство. Для доказательства мы снова применим метод удвоения переменных. Фиксируем Пусть p(u) ∈ C1(R), v ∈ R, r ∈ N. Из свойства (ii) с функцией g(u) = p(u)θr(u - v) в пределе при r → ∞ вытекает равенство div, причём по условию (i) divx Bk(u1) ∈ L2loc(Π). Положим в этом равенстве v = u2(τ,y), (τ,y) ∈ Π, применим к пробной функции f = f(t,x;τ,y) (относительно (t,x)) и проинтегрируем по (τ,y) ∈ Π. Получим в итоге равенство в котором u1 = u1(t,x), u2 = u2(τ,y). Аналогично, из свойств (i), (ii) для функции u2(τ,y) при g(u) = p(u)(1 - θr(u1 - u)) в пределе при r → ∞ следует, что div, где divy Bk(u2) ∈ L2loc(Π). Применяя это равенство к f (относительно переменных (τ,y)) и затем интегрируя по (t,x), получим, что Суммируя (4.1) и (4.2), получим Положим в этом соотношении, что, а последовательность ядер δr, образующая аппроксимативную единицу на Π, определена при доказательстве предложения 3.1. Тогда равенство (4.3) перепишется в виде + divx Bk(u2(t,x))(1 - Ir(t,x))]dtdx + J1r + J2r + J3r, (4.4) где обозначено - divx Bk(u2(t,x)))g(t,x)δr(τ - t,y - x)dtdxdτdy, Так как , то после возможного перехода к подпоследовательности (за которой мы сохраняем прежнее обозначение) -слабо в L∞(Π), причём . Ясно, что тогда div . - 2 (Π). (4.5) dk = divx Bk(u1(t,x))I + divx Bk(u2(t,x))(1 I) слабо в Lloc Покажем, что последовательности Jir → 0 при r → ∞, i = 1,2,3. Имеем |J1r| const при r → ∞ по свойству непрерывности в среднем для функции divx Bk(u2(t,x)). Далее, по неравенству Коши-Буняковского при i = 2,3 где C - константа Липшица функции p(u) на отрезке . Так как первый сомножитель в правой части этого неравенства стремится к нулю при r → ∞ (по свойству непрерывности в среднем), получаем, что Jir → 0. Итак, . (4.6) Перейдём к пределу при r → ∞ в равенстве (4.4). Ввиду (4.5), (4.6) правая часть этого равенства сходится (после возможного выделения подпоследовательности) к Левая же часть сходится к (это устанавливается так же, как при доказательстве предложения 3.1). В итоге получим тождество: которое означает, что divx Tp(Bk)(max(u1,u2)) = p(max(u1,u2))dk. (4.7) При p ≡ 1 из (4.7) следует, что divx Bk(max(u1,u2)) = dk ∈ L2loc(Π), так что функция u = max(u1,u2) удовлетворяет условию (i). Подставляя dk = divx Bk(max(u1,u2)) в (4.7), получим, что выполнено и условие (ii). Аналогично доказывается, что и минимум функций, удовлетворяющих свойствам (i), (ii), также удовлетворяет этим свойствам. Заметим также, что предельное соотношение (4.5) справедливо без выделения подпоследовательности, это следует из того факта, что предельная функция dk = divx Bk(max(u1,u2)) не зависит от выбора подпоследовательности. Мы готовы приступить к доказательству теоремы 1.2. Доказательство теоремы 1.2. Пусть u1 = u1(t,x), u2 = u2(t,x) - э.субр. задачи (1.1), (1.4). По лемме 4.1 функция u = max(u1,u2) ∈ L∞(Π) удовлетворяет условиям (i), (ii) определения 1.1. Проверим энтропийное условие (1.8) с неубывающей выпуклой энтропией η(u) ∈ C2(R). Для этого снова будем использовать метод удвоения переменных. Применяя для э.субр. u1 = u1(t,x) условие (1.8) с неубывающей выпуклой энтропией η(mr(u,u2)), где u2 = u2(τ,y), получим соотношение . Применяя это соотношение к неотрицательной пробной функции и интегрируя по переменным (τ,y), получим неравенство . (4.8) Аналогично, из энтропийного неравенства (1.8) для э.субр. u2 = u2(τ,y) с неубывающей выпуклой энтропией η(mr(u1,u)) после применения к пробной функции f и интегрирования по (t,x) следует неравенство . (4.9) Суммируя (4.8) и (4.9) и затем переходя к пределу при r → ∞, получим неравенство Мы учли, что при r → ∞ справедливы предельные соотношения mr(u1,u2) → max(u1,u2) в пространстве C(R)/C. Также использован факт, что замена функций и на, соответственно, η 1 2 1 - 2 η 1 2)) (1 - θ(u1 - u2)) приводит к ошибке, бесконечно малой при r → ∞. По лемме 3.1 (4.11) Так как функции не зависят от переменных (t,x), то , и после добавления к правой части соотношения (4.11) равного нулю интеграла это соотношение перепишется в виде Это позволяет переписать (4.10) в виде u1 = u1(t,x), u2 = u2(τ,y). В соответствии с методом удвоения переменных положим здесь f = g(t,x)δr(τ - t,y - x), где и перейдем к пределу при r → ∞. Так же, как при доказательстве предложения 3.1, устанавливается, что предел первого интеграла в неравенстве (4.13) равен где уже u1 = u1(t,x), u2 = u2(t,x). Предел второго интеграла в (4.13) не изменится, если мы заменим u2(τ,y) на u2(t,x) в выражениях. Используя также неравенство Йенсена, получим Заметим, что мера δr(τ - t,y - x)dτdy -вероятностная при всех (t,x). По интегральному неравенству Йенсена где Ввиду (4.5) для всех при r → ∞ div. По свойству слабой полунепрерывности снизу выпуклых функционалов , × gδr(τ - t,y - x)dtdxdτdy, (4.17) где мы использовали неравенства (4.15), (4.16). С учётом (4.14), (4.17) из (4.13) в пределе при r → ∞ следует неравенство , справедливое для любой неотрицательной пробной функции g = g(t,x). Таким образом, функция u = max(u1(t,x),u2(t,x)) удовлетворяет энтропийному условию (1.8) с любой неубывающей выпуклой энтропией η(u). Для завершения доказательства осталось заметить, что . Поэтому из начального условия (iv) определения 1.2 для э.субр. u1, u2 следует, что esslim(max(u1(t,x),u2(t,x)) - u0(x))+ = 0 в L1loc(Rn). t→0 В соответствии с определением 1.2 функция u = max(u1(t,x),u2(t,x)) - э.субр. задачи (1.1), (1.4). Индукцией по числу функций m легко установить следующий результат. Следствие 4.1. Максимум конечного множества э.субр. u1,...,um задачи (1.1), (1.4) также является э.субр. этой задачи. Ввиду замечания 1.1 и тождества min(u1,...,um) = -max(-u1,...,-um) получаем, что минимум любого конечного множества э.суперр. задачи (1.1), (1.4) также является э.суперр. этой задачи. 5. Существование наибольшего э.субр. Доказательство теоремы 1.3 Нам понадобится следующая априорная оценка функций divx Bk(u) в L2loc(Π). Лемма 5.1. Пусть u = u(t,x) -э.субр. задачи Тогда для любой функции , (5.1) где константа C(f,M) зависит только от f и M. Доказательство. Фиксируем неубывающую выпуклую энтропию η(u) ∈ C2(R) такую, что на отрезке [-M,M] (например, η(u) = eu+M). Тогда из условия (1.9) вытекает неравенство что и требовалось доказать. Мы готовы доказать существование наибольшего э.субр. Теорема 5.1. Существует наибольшее э.субр. u = u+(t,x) задачи (1.1), (1.4). Доказательство. Выберем строго положительную суммируемую функцию ρ(t,x) на Π (например, можно взять ρ = e-t-|x|) и рассмотрим функционал Поскольку любое э.субр. u = u(t,x) задачи (1.1), (1.4) удовлетворяет оценке = esssupu0(x) п.в. на Π (по принципу максимуму из теоремы 1.1), то функционал J ограничен сверху на множестве Sub э.субр. задачи (1.1), (1.4). Поэтому . Выберем последовательность э.субр. ur так, что J(ur) > R-1/r, r ∈ N. Положим u¯r = maxui(t,x). i∈1,r По следствию 4.1 u¯r - также э.субр. задачи (1.1), (1.4). Так как, - Поскольку последовательность u¯r монотонно возрастает и ограничена сверху константой b, существует предел для п.в. (t,x) ∈ Π, удовлетворяющих условию . Заметим также, что для всех r ∈ N справедлива оценка снизу u¯r(t,x) = essinf u1(t,x). В частности, при M = max(|a|,|b|) , (5.2) а значит, также и Ясно, что J(u+) = lim J(¯ur) = R. r→∞ Покажем, что u+ также является э.субр. задачи (1.1), (1.4). Как следует из леммы 5.1 и оценки (5.2), последовательности divx Bk(¯ur) ограничены в L2loc(Π). Поэтому после возможного выделения подпоследовательностей они сходятся слабо при r → ∞ к некоторым функциям dk = dk(t,x) ∈ L2loc(Π): div Переходя к пределу при r → ∞ в тождествах , получим, что (заметим, что Bk(¯ur) → Bk(u+) сильно в L1loc(Π)), откуда следует, что div, т. е. u+ удовлетворяет условию (i) определения 1.1. Аналогично, по условию (ii) для э.субр. u¯r для любого g(u) ∈ C1(R) выполнены равенства div. Так как при r → ∞ Tg(Bk)(¯ur) → Tg(Bk)(u+), g(¯ur) → g(u+) сильно в L2loc(Π), а div divx Bk(u+) слабо в L2loc(Π), то можно перейти в этих равенствах к пределу при r → ∞ и получить, что div. Это означает, что функция u+ удовлетворяет и условию (ii) определения 1.1. По предложению 1.1 для любой неубывающей выпуклой энтропии η(u) ∈ C2(R) и любой неотрицательной пробной функции справедливы неравенства Перейдём в этом неравенстве к пределу при r → ∞. Ясно, что Заметим далее, что последовательности слабо в L2(Π,fdtdx). По известному свойству слабой полунепрерывности снизу L2-нормы получим после суммирования почто (5.5) С помощью предельных соотношений (5.4), (5.5) из (5.3) следует неравенство . В соответствии с предложением 1.1 мы можем утверждать, что u+ является э.субр. задачи (1.1), (1.4). Покажем, что это э.субр. - наибольшее. Для этого возьмём произвольное э.субр. u ∈ Sub задачи (1.1), (1.4). По теореме 1.2 тогда v = max(u+,u) ∈ Sub. Так как R = J(u+) имеем J(v) = J(u+) = R. Тогда . Поскольку ρ = ρ(t,x) > 0, заключаем, что п.в. на Π для всех u ∈ Sub. Это и значит, что u+ - наибольшее э.субр. Теорема доказана. По замечанию 1.1 функция u- = -v+, где v+ - наибольшее э.субр. задачи (1.10), является наименьшим э.суперр. задачи (1.1), (1.4). Для завершения доказательства теоремы 1.3 достаточно установить, что наибольшее э.субр. задачи (1.1), (1.4) является и её э.р. Для этого выберем строго убывающую последовательность br, r ∈ N, такую что br > b = esssupu0(x) для всех r ∈ N и определим соответствующую последовательность начальных функций Заметим, что ∀r ∈ N п.в.. Известно, что существует э.р. ur = ur(t,x) задачи (1.1), (1.4) с начальной функцией u0r(x). Например, можно взять наибольшее (или наименьшее) э.р.; существование таких э.р. установлено в [16]. Как показано в [16], последовательность ur убывает и сходится при r → ∞ к наибольшему э.р. u˜ исходной задачи. По принципу максимума п.в. на Π. Поэтому в слое ΠT = (0,T) × Rn множество {u+ > ur} ⊂ {b > ur} = {br - ur > br - b}, и следовательно, meas, где мы использовали неравенство Чебышёва и теорему 1.1 для э.суперр. ur. Таким образом, выполнено требование предложения 3.2, а значит, выполнен принцип сравнения для э.субр. u+ и э.суперр. ur, так что из неравенства u0 u0r следует, что u+ ur п.в. на Π. В пределе при r → ∞ получаем, что п.в. на Π. Но так как u˜ - э.р., а значит, и э.субр. задачи (1.1), (1.4), в то время как u+ - наибольшее э.субр. этой задачи, верно обратное неравенство u˜ u+ п.в. на Π. Итак, u+ = u˜ является э.р., что завершает доказательство теоремы 1.3.

About the authors

E. Yu. Panov

Yaroslav-the-Wise Novgorod State University; Scientific Research and Development Center

Author for correspondence.
Email: eugeny.panov@novsu.ru
Novgorod the Great, Russia

References

Supplementary files