A family of piecewise-smooth solutions of a class of spatially distributed equations

Full Text

1. Введение Рассмотрим пространственно-распределенное уравнение , (1.1) где β ∈ [0, 1], а ξ = ξ(t,x) при каждом t 0 представляет собой кусочно-гладкую по пространственной переменной x функцию Уравнение (1.1) рассматривается с периодическим краевым условием ξ(t,x + 1) = ξ(t,x) и дополнительным условием нулевого по пространственной переменной среднего (1.2) M(ξ) = 0. Коротко опишем модели, при анализе которых появляется краевая задача (1.1)-(1.3). В первую очередь отметим работы, в которых исследуется динамика уравнений и систем уравнений с большим коэффициентом запаздывания из оптоэлектроники [5, 7-9]. При изучении локальной динамики этих моделей характеристический квазиполином системы, линеаризованной на ее состоянии равновесия, имеет бесконечно много корней, которые стремятся к мнимой оси при увеличении коэффициента запаздывания. Тем самым, реализуется критический случай бесконечной размерности в задаче об устойчивости состояния равновесия. В [5] был разработан асимптотический алгоритм построения системы первого приближения для решений таких моделей. Этот алгоритм основывается на переходе к уравнениям в частных производных. Как оказывается, расположение корней характеристического квазиполинома определяет и граничные условия для построенных уравнений в частных производных. Такими граничными условиями являются как периодические, так и антипериодические граничные условия, а также периодические и антипериодические краевые условия с дополнительным условием равенства нулю среднего значения решений уравнения в частных производных. Нелокальная динамика краевой задачи (1.1)-(1.3) определяет поведение решений исходной динамической системы с начальными условиями из некоторой достаточно малой окрестности состояния равновесия. Источником такого типа граничных условий являются также сингулярно возмущенные задачи параболического типа [2, 3]. В них уравнение первого приближения содержит произвольный параметр в качестве множителя при старшей пространственной производной. Поэтому возникает задача исследования в том числе уравнений без производных по пространству, но с граничными условиями, включающими условие равенства нулю среднего значения решений и с нелинейными слагаемыми в уравнении первого приближения, которые получаются путем усреднения по пространственной переменной. Также отметим, что уравнения с комплексными переменными аналогичного задаче (1.1)-(1.2) вида возникают при исследовании полносвязных систем генераторов (см. [1, 4, 6]), при этом в дополнение к ним может понадобиться условие (1.3) нулевого среднего. В случае стремления числа взаимодействующих генераторов к бесконечности получается непрерывная модель такого же типа, что и краевая задача (1.1)-(1.3). В работе исследуется динамика решений краевой задачи (1.1)-(1.3) при различных значениях параметра β. Доказано существование семейства кусочно-постоянных решений краевой задачи. Рассматривается вопрос о так называемой α-устойчивости этих решений. Для иллюстрации результатов аналитического исследования задачи (1.1)-(1.3) ее решения строятся численными методами. 2. Существование кусочно-постоянных решений с одной точкой разрыва В данном разделе статьи обратимся к проблеме существования кусочно-постоянных решений краевой задачи (1.1)-(1.3). В связи с этим отметим, что для поиска таких решений достаточно выполнения условий (1.1)-(1.2). Свойство (1.3) получается, если проинтегрировать от 0 до 1 по пространственной переменной уравнение (1.1), учесть условие (1.2) и равенство нулю производной по времени. Рассмотрим случай β = 1, при котором уравнение (1.1) содержит только квадратичную нелинейность. Покажем, что при выполнении этого условия существует однопараметрическое семейство кусочно-постоянных решений. Представим искомую функцию в виде (2.1) , где a, b, α - некоторые ненулевые постоянные, причем. Для функции (2.1) полагаем выполненным условие (1.2) периодичности по пространственной переменной. Подставим (2.1) в (1.1), тогда на интервале получаем равенство , а на интервале имеем . Вычитая равенства друг из друга, получаем (a - b)(1 - a - b) = 0. Учитывая, что имеем a + b = 1. Если теперь сложить первое из равенств, умноженное на α, со вторым, умноженным на 1 - α, то получим соотношение aα + b(1 - α) = 0, которое представляет собой условие (1.3) нулевого среднего для решения (2.1). Тем самым, при фиксированном α можно определить числа a и b в формуле (2.1) . Заметим, что при функции вида (2.1) не существует. Справедливо следующее утверждение. Лемма 2.1. Краевая задача (1.1)-(1.3) при β = 1 имеет семейство зависящих от параметра , кусочно-постоянных по пространственной переменной x решений вида ⎧ 1 - α x < α, (2.2) , α 1. Аналогичным образом рассматриваются случаи β = 0 и β ∈ (0,1). В связи с этим можно сформулировать следующие два утверждения. Лемма 2.2. Краевая задача (1.1)-(1.3) при β = 0 имеет два семейства зависящих от параметра α ∈ (0,1) кусочно-постоянных по пространственной переменной x решений вида (2.3) . Лемма 2.3. Краевая задача имеет два семейства кусочнопостоянных по пространственной переменной x решений вида (2.4) , где (2.5) . Результаты данной части работы могут быть обобщены, если промежутки постоянства функции (2.1) заменить произвольным измеримым подмножеством отрезка [0, 1]. Очевидно, что результаты лемм 2.1-2.3 не зависят от вида множеств, на которых функция принимает значения a и b, а зависят только от меры этих множеств. Если положить (2.6) где E ⊂ [0, 1], mesE = α, то формулировки лемм 2.1-2.3 сохранятся в прежнем виде. Вместе с тем, представление в форме (2.1) более наглядно, кроме того, для решений такого вида можно ввести свойство α-устойчивости и исследовать построенные решения на наличие или отсутствие этого свойства. 3. α-устойчивость кусочно постоянных решений Определим понятие α-устойчивого кусочно-постоянного решения. Пусть α0 = 0 < α1 < α2 < ··· < αk+1 = 1 и ξ∗(x) = {ρj при x ∈ [αj,αj+1), j = 0,...,k} является кусочно-постоянным решением краевой задачи (1.1). Рассмотрим решения этой краевой задачи с «близкими» к ξ∗(x) начальными условиями ξ(t0,x) = {ρj + ξj(x) при x ∈ [αj,αj+1), j = 0,...,k}. Назовем решение ξ∗(x) краевой задачи (1.1) αk-устойчивым по Ляпунову, если для каждого ε > 0 найдётся такое δ > 0, что из условияследует неравенство max|ξ(t,x) - x ξ∗(x)| < ε при всех. Если при этом lim maxx |ξ(t,x)-ξ∗(x)| = 0, то решение ξ∗(x) будем называть асимптотически α-устойчивым. t→∞ Из указанных определений вытекает, что вопрос об α-устойчивости решения на отрезке [0, 1] можно условно разбить на изучение асимптотической устойчивости отдельно на каждом из промежутков (αj,αj+1). Кроме того, справедлива теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Аналогично можно ввести понятие α-неустойчивости. Понятно, что из α-неустойчивости следует неустойчивость решения. Рассмотрим устойчивость представленных в леммах 2.1-2.3 кусочно-постоянных решений. В случае квадратичной нелинейности (β = 1) выполнено следующее утверждение. Теорема 3.1. Для любого , решение вида (2.2) краевой задачи (1.1)-(1.3) является неустойчивым. Доказательство. Представим решение краевой задачи в виде (3.1) , где ξi = ξi(t,x), i = 1,2 удовлетворяют условию . (3.2) Тем самым функция (3.1) удовлетворяет условию (1.3). Подставляя (3.1) в уравнение (1.1) и отбрасывая слагаемые более высокого порядка малости, получаем систему дифференциальных уравнений Используя условие (3.2), получаем два независимых уравнения (3.3) В системе (3.3) проинтегрируем первое уравнение по x от 0 до α, а второе от α до 1. Получим уравнения решения которых имеют вид . Подставляя найденные интегралы в (3.3), получим два линейных неоднородных уравнения, решения которых не стремятся к нулю одновременно ни при каких . Рассмотрим теперь случай кубической нелинейности (β = 0). Теорема 3.2. Пусть 1 < α < 2. Тогда решение вида (2.3) краевой задачи (1.1)-(1.3) асимп- 3 3 тотически α-устойчиво. Доказательство. Представим решение краевой задачи в виде (3.4) , где ξi = ξi(t,x), i = 1,2 удовлетворяют условию . (3.5) Подставим (3.4) в уравнение (1.1) и отбросим слагаемые более высокого порядка малости. Получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений тогда из условия (3.5) получаем (3.6) Как и в предыдущем случае, проинтегрируем первое уравнение системы (3.6) по x от 0 до α, а второе от α до 1. Получим уравнения решения которых равны . Подставив найденные интегралы в систему (3.6), получим два линейных неоднородных уравнения, решения которых 1 2 стремятся к нулю одновременно при < α < . При из этих же формул следует 3 3 α-устойчивость по Ляпунову ступенчатого решения. В случае произвольного β аналогично предыдущим случаям построим линеаризованную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Представим решение задачи в виде (3.7) где a(α), b(α) определены по формуле (2.5), ξj = ξj(t,x), j = 1,2, а ξj удовлетворяют условию . (3.8) Подставив (3.7) в (1.1) и отбросив слагаемые более высокого порядка малости, приходим к системе где a1(α) = 1 - 2βa(α) - 3(1 - β)a2(α), a2(α) = 1 - 2βb(α) - 3(1 - β)b2(α), b1(α) = 2βa(α) + 3(1 - β)a2(α), b2(α) = 2βb(α) + 3(1 - β)b2(α). С учетом условия (3.8) получаем два независимых друг от друга уравнения (3.9) Проинтегрируем первое уравнение системы (3.9) по x от 0 до α, а второе от α до 1. Получим два уравнения решения которых равны . Подставив найденные интегралы в (3.9), получим два линейных неоднородных уравнения, решения которых 1 - стремятся к нулю одновременно при отрицательных a1(α), a2(α), d(α). Рис. 1. Графики a1(α), a2(α) и d(α) Fig. 1. Graphs of a1(α), a2(α), and d(α) На рис. 1 представлены численно построенные графики функций a1(α), a2(α) и d(α) при различных β. Анализ этих графиков позволяет предположить, что непрерывные на отрезке [0, 1] функции a2(α), a1(α) меняют знак в точках α0(β) ∈ (0,1), α1(β) ∈ (0,1), соответственно. При всех рассмотренных β ∈ (0,1) у этих функций точка смены знака единственная и выполнено неравенство α0(β) < α1(β). Кроме того, обе функции a2(α) и a1(α) отрицательны при α ∈ (α0,α1) и d(α) < 0 для всех α ∈ (0,1). Тем самым, можно предположить, что при каждом β ∈ (0,1) существует промежуток (α0,α1) ⊂ [0, 1], на котором функции a1(α), a2(α) и d(α) отрицательны одновременно. Это означает, что при α ∈ (α0,α1) решения вида (3.7) краевой задачи (1.1)-(1.3) являются асимптотически α-устойчивыми. 4. Другие аттракторы краевой задачи, численный анализ Поскольку задача (1.1)-(1.3) в случае является диссипативной, имеет смысл исследовать динамику решений краевой задачи вне промежутка α-устойчивости кусочно-постоянных решений, имеющих одну точку разрыва. Можно доказать, что при наличии только кубической нелинейности краевая задача имеет αустойчивые кусочно-постоянные решения со значениями 1 и -1. Покажем, что это действительно так. Пусть кусочно-постоянная функция ξ(t,x) имеет n + 1 точку разрыва αj, j = 0,...,n, и на промежутках [αj-1,αj) равна (-1)j-1. Причем α0 = 0, αn = 1. Тогда из условия нулевого среднего (1.3) получаем уравнение на величины α1,...,αn-1 2α1 - 2α2 + 2α3 + ··· + 2(-1)nαn + (-1)n+1 = 0. (4.1) Подставляя ξ(t,x) в уравнение (1.1), можно заметить, что M(ξ3) также равно нулю. Тогда на промежутках [αj-1,αj) уравнение (1.1) принимает вид 0 = (-1)j-1 - (-1)3(j-1), что, очевидно, является верным тождеством. Следовательно, при выполнении условия (4.1) в случае кубической нелинейности у краевой задачи (1.1)-(1.3) действительно имеются решения рассматриваемого вида. Рассмотрим вопрос об α-устойчивости этих решений. Пусть ξ(t,x) = (-1)j-1 + ξj(t,x) при x ∈ [αj-1,αj), тогда . Подставим ξ(t,x) в уравнение (1.1) и отбросим слагаемые более высокого порядка малости. Заметим, что в этом случае . Таким образом, получаем систему линейных дифференциальных уравнений , решения которой стремятся к нулю по t. Следовательно, рассматриваемые кусочно-постоянные решения α-устойчивы. Тем не менее, открытым остается вопрос о существовании других кусочно-постоянных решений краевой задачи при различных значениях β и вопрос α-устойчивости этих решений. Аналитическое исследование в этом случае представляет определенную трудность, поэтому уместно проводить исследование поведения решений краевой задачи численными методами. Будем искать решение краевой задачи в виде частичной суммы ряда Фурье . (4.2) Рис. 2 Такое представление, очевидно, удовлетворяет краевому условию (1.2). Поскольку при выполнении условия нулевого среднего (1.3) следует, что коэффициент ряда Фурье при нулевой гармонике равен нулю, считаем, что в (4.2) имеет место ξ0(t) ≡ 0. Также. Подставляя (4.2) в (1.1) и выделяя коэффициенты при одинаковых гармониках, получаем систему из 2N обыкновенных дифференциальных уравнений Начальное условие ξ(0,x) также представим в виде частичной суммы ряда Фурье . Тогда система (4.3) рассматривается с начальными условиями . (4.4) Таким образом, численное решение краевой задачи (1.1)-(1.3) определяется формулой (4.2), где ξk(t) - решение системы (4.3). Построим решение задачи (1.1)-(1.3) с начальным условием ξ(0,x) = ξ0(x) + g(x), где ξ0(x) - решение вида (2.4), g(x) - малое возмущение, удовлетворяющее краевым условиям (1.2), (1.3). На рис. 2 представлен пример α-устойчивого решения вида (2.3) в случае β = 0. Возьмем теперь такое значение α, при котором решение вида (2.4) неустойчиво. Тогда при t → ∞ решения стремятся к кусочно-постоянным функциям, имеющим несколько точек разрыва. На рис. 3 представлен пример такого решения. Слева показано начальное условие краевой задачи в виде графика функции (3.4) с добавлением малого возмущения. Справа на рисунке показано это же решение при t = 15. Оно представляет собой кусочно-постоянную функцию с несколькими точками разрыва. Заметим, что дальнейшее увеличение значений переменной t не меняет структуры решения, его график не отличается от графика в правой части рис. 3. Более того, если при фиксированном ξ0(x) в качестве возмущения g(x) брать функцию вида Asin(kx), имеется зависимость количества точек разрыва α-устойчивого кусочно-постоянного решения от параметра k. А именно, чем больше k, тем больше точек разрыва имеет кусочнопостоянное решение, получающееся при вычислении решения системы (4.3). Так, в левой части рис. 4 представлено начальное условие краевой задачи в виде функции (3.4) с добавлением малого возмущения. С увеличением значений переменной t решение принимает вид кусочно-постоянной функции с несколькими точками разрыва. В левой части рис. 5 представлен график Рис. 3 k = 10, α = 0,7, t = 0 k = 10, α = 0,7, t = 15 Рис. 4 k = 30, α = 0,7, t = 0 k = 30, α = 0,7, t = 15 Рис. 5 аналогичного начального условия, к которому добавлено возмущение с большей частотой колебаний. Увеличение значений переменной t в этом случае приводит решение к кусочно-постоянной функции, имеющей большее количество точек разрыва. 5. Заключение В работе исследовалась динамика решений краевой задачи (1.1)-(1.3) при различных значениях параметра β. Доказано, что при каждом β задача имеет одно или два однопараметрических семейств кусочно-постоянных решений, зависящих от параметра α. Исследована α-устойчивость этих решений. Показано, что при существует промежуток изменения параметра α, на котором эти решения асимптотически α-устойчивы. Доказано, что в случае β = 1 все такие решения неустойчивы. Выполнено численное исследование поведения решений краевой задачи при вне промежутка α-устойчивости однопараметрического семейства кусочно-постоянных решений. Показано наличие α-устойчивых кусочно-постоянных решений, имеющих более одной точки разрыва.

About the authors

S. A. Kaschenko

P. G. Demidov Yaroslavl State University

Email: kasch@uniyar.ac.ru
Yaroslavl, Russia

D. S. Kosterin

P. G. Demidov Yaroslavl State University

Email: kosterin.dim@mail.ru
Yaroslavl, Russia

S. D. Glyzin

P. G. Demidov Yaroslavl State University

Author for correspondence.
Email: glyzin@uniyar.ac.ru
Yaroslavl, Russia

References

Supplementary files