Nonlinear optics problem with transformation of a spatial variable and an oblique derivative

Full Text

Введение В различных прикладных задачах (динамика жидкости, физика плазмы, механика твердого тела, квантовая теория поля, в оптических системах и др.) для изучения различных процессов используются математические модели, представленные в виде нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, нелинейных уравнений в частных производных, функциональнодифференциальных, а также нелинейных интегральных уравнений. Широко используются нелинейные уравнения с параметрами при изучении моделей нелинейной оптики. Проводятся теоретические и численные исследования поведения решений нелинейных уравнений с параметрами. В зависимости от параметров задачи рассматриваются вопросы устойчивости, бифуркации решений, возникновения пространственно-неоднородных структур, квазипериодических решений и др. При этом применяются различные аналитические и асимптотические подходы: теория бифуркации векторных полей, теория центральных многообразий, теория нормальных форм и др. Математические модели нелинейной оптики, обладающие особенностями самоорганизующихся систем, представляют класс задач, описывающих динамику изменения светового поля в зависимости от параметров системы. Примером такой системы является оптическая система, состоящая © А.А. Корнута, В.А. Лукьяненко, 2023 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 276 из тонкого слоя нелинейной среды керровского типа и различным образом организованного внешнего контура двумерной обратной связи [1, 11], динамику которой описывает уравнение [13]: , (1) где u(x,t) - фазовая модуляция световой волны в тонком слое нелинейной среды керровского типа в пределах апертуры S ⊂ R2. Уравнение (1) рассматривается с краевыми условиями на границе ∂S, а также начальными условиями при (x,t) ∈ S × [-τ,0]. Здесь - оператор Лапласа, μ > 0 - коэффициент диффузии частиц нелинейной среды, K > 0 - коэффициент нелинейности, пропорциональный интенсивности входного поля, - видность (контрастность) интерференционной картины, Qu(x,t) = u(q(x),t), q(x) -гладкое обратимое преобразование пространственной переменной (например, отражение, поворот). Одной из задач, возникающих при исследовании процессов бифуркации в уравнении (1), является задача выявления решений различных типов (бегущих волн, вращающихся волн, фронтов). В частности, в работах А.В. Разгулина [12], Е.В. Григорьевой, С.А. Кащенко [16], М.А. Воронцова [22], Е.П. Белана [2, 3] для круговых областей в случае преобразования поворота пространственных аргументов показано появление в результате бифуркации Андронова-Хопфа вращающихся волн. А.Б. Муравник [9] исследует сингулярные уравнения, содержащие оператор Бесселя и оператор обобщенного сдвига, которые являются не только дифференциально-разностными, но и интегро-дифференциальными. В работе Е.П. Кубышкина и В.А. Куликова [8] изучаются бифуркации автоколебательных решений в круге для нелинейного дифференциального уравнения параболического типа с оператором поворота пространственного аргумента и временным запаздыванием, динамика и устойчивость которых определяются параметрами начально-краевой задачи. Дано геометрические представление области однородных состояний равновесия. В работах авторов [5, 6, 17-19] показано существование на круге, кольце и окружности периодических по времени решений, описана асимптотика этих решений. В статье исследуется задача (1) в случае τ1 = 1, τ = 0 с оператором отражения Q, который обладает свойством Q2 = I для бесконечной полосы и краевыми условиями с косой производной. Задача с косой производной для уравнения Лапласа исследовалась методом интегральных преобразований в работах П.А. Крутицкого, А.И. Сбигнева, А.В. Чикилева [7, 20]. Начально-краевая задача без преобразования пространственных переменных с косой производной для кольца изучалась в работах А.В. Разгулина и соавторов [14, 15]. Для асимптотического разложения решения сингулярно возмущенной краевой задачи для случая нелинейных граничных условий в работе Г.А. Несененко использовано интегральное представление с функцией Грина [10]. В работе проводится анализ существования, формы и устойчивости решений (1), бифурцирующих из пространственно однородных стационарных решений, т. е. решений u(x,t) = w, определяемых из уравнения w = K (1 + γ cosw), с краевыми условиями, содержащими косую производную. Указанный анализ предлагается сводить к исследованию эквивалентного нелинейного интегрального уравнения, которое представляет самостоятельный интерес. Нелинейные интегральные уравнения в дальнейшем могут использоваться для построения итерационных схем получения приближённых асимптотических решений исходной задачи. 1. Начально-краевая задача для полосы с операцией отражения Рассмотрим начально-краевую задачу для нелинейного функционально-дифференциального уравнения в частных производных параболического типа с преобразованием отражения по переменной x ∈ R. В отличии от наиболее часто рассматриваемых условий Дирихле и Неймана, рассмотрим условие с косой производной: , (1.2) (1.3) (1.4) Здесь u = u(x,y,t) - фазовая модуляция световой волны в тонком слое нелинейной среды керровского типа в пределах полосы x ∈ R, |y| l, - оператор Лапласа, D > 0- коэффициент диффузии частиц нелинейной среды, K > 0 - коэффициент нелинейности, пропорциональный интенсивности входного поля, - видность (контрастность) интерференционной картины, Qu(x,y,t) = u(q(x),y,t), q(x) = -x -преобразование отражения переменной x. Граничные условия (1.3) с косой производной определяют производные по направлению, которое образуют с внешними нормалями углы α1 = α2 = α. Представляет интерес асимптотическая форма и анализ устойчивости решений, бифурцирующих из пространственно-однородного решения (1.2) = const, определяемого равенством w = K(1 + γ cosw). Фиксируем гладкую ветвь, и выполняем замену где v = v(x,y,t) - новая неизвестная функция, которую по-прежнему будем обозначать через u(x,y,t). Приходим к задаче где u(-x,y,t), Q2 = I. Через g(x,y,t) обозначен нелинейный оператор N(Qu) как функция, зависящая от переменных (x,y,t). Уравнение (1.5) является неоднородным. Представим задачу (1.5)- (1.7) в виде нелинейного интегрального уравнения. Будем использовать преобразование Фурье по переменной x ∈ R и преобразование Лапласа па переменной t > 0. Обозначим Используя свойства преобразования Фурье и преобразования Лапласа , мы видим, что задача (1.5)-(1.7) в образах Фурье-Лапласа имеет вид функционально-дифференциального уравнения второго порядка с оператором отражения {Q : QU(ω,y,p) = U(-ω,y,p)}: , (1.8) (1.9) Вводя обозначение, приводим однородное уравнение (1.8) к системе уравнений, не содержащих явно оператор , (1.10) Решения определяются через корни характеристического уравнения системы (1.10) , или, при соответствующем выборе ветви корня, , Утверждение 1.1. Решения системы (1.10) представимы в виде . Замечание. Полученное представление далее в работе не используется. Далее получим зависимость только от двух коэффициентов. 2. Сведение к нелинейному интегральному уравнению Применим метод разделения переменных к решению краевой задачи (1.8), (1.9). Лемма 2.1. Решение U(ω,y,p) представимо в виде разложения по собственным функциям краевой задачи по переменной y: , (2.1) где (2.2) Аналогично выписываются коэффициенты разложения для G(ω,y,p) и U0(ω,y). В исходных переменных разложение (2.1) имеет вид (2.3) . Исходные коэффициенты и их изображения Фурье и Лапласа связаны соотношениями , Подставляя выражение (2.1) в краевую задачу (1.8), (1.9), находим коэффициенты разложения (2.2) и (2.3). Теорема 2.1. Начально-краевая задача с косой производной (1.5)-(1.7) представима в виде нелинейного интегрального уравнения (2.4) Доказательство. Применим метод разделения переменных:. Каждый член ряда удовлетворяет однородному уравнению (1.8) и краевому условию (1.9). Далее опустим индекс k. Разделяя переменные, для однородного уравнения получим . (2.5) Из (2.5) и условия (1.9) следует (2.6) . Решение дифференциального уравнения краевой задачи Y (y) = acosνy +bsinνy имеет нетривиальное решение при условии (2.7) Отсюда следует, что т. е. справедливо представление (2.1). Случай ν = ±ω tgα рассматривается отдельно. Для Zk(ω,p) получим систему функциональных уравнений (2.8) . Второе уравнение получено в результате применения оператора Q. Система (2.8) имеет нетривиальное решение при условии , или qk(ω,p) = ±Λ, где Коэффициенты разложения Ak и Bk определяются из неоднородной системы уравнений, содержащих оператор отражения Q: . Решения системы имеют вид , или Ak(ω,p) = K1(ω,p,k)Ck(ω,p) + K2(ω,p,k)Ck(-ω,p) + K1(ω,p,k)A0k(ω) + K2(ω,p,k)A0k(-ω), Bk(ω,p) = K1(ω,p,k)Dk(ω,p) + K2(ω,p,k)Dk(-ω,p) + K1(ω,p,k)B0k(ω) + K2(ω,p,k)B0k(-ω), где , Следовательно, (2.9) С помощью обратных преобразований Фурье и Лапласа определим оригиналы L-1{K1(ω,p,k)} и L-1{K2(ω,p,k)}, используя формулы [4] , Получим Следовательно, (2.10) shΛt. Преобразуя (2.9) с учетом (2.10) и g(x,y,t) = K(1 + γ cosu(-x,y,t)) - Λu(-x,y,t), получаем (2.4). 3. Частный случай представления в виде интегрального уравнения В разделе 2 при разделении переменных получена зависимость решения Y (y) = exp[-iω tgαy]. Рассмотрим данный случай. После применения преобразования Фурье к (1.5)-(1.7) получим начально-краевую задачу (3.1) с начальным условием U(ω,y,0) = U0(ω,y) (3.2) и краевым условием . (3.3) Представим решение однородного уравнения в виде U(ω,y,t) = A(ω,t)exp[-iω tgαy]. (3.4) Решение (3.4) удовлетворяет краевому условию (3.3). Имеет место следующая теорема. Теорема 3.1. Начально-краевая задача (3.1)-(3.3) представима в виде нелинейного интегрального уравнения где , Доказательство. Подставим (3.4) в (3.2), получим неоднородное уравнение . (3.5) Соответствующее (3.5) однородное уравнение имеет вид . (3.6) Разделяя переменные в (3.6) в виде A(ω,t) = X(ω)T(t), получим: откуда . Спектральную задачу для функционального уравнения запишем в виде , где X1(ω) = X(-ω). Существование нетривиального решения определяется условием . Если , следовательно, X(ω) - произвольная нечётная функция. Если, следовательно, X(ω) - произвольная чётная функция. Тогда , Следовательно, . Общее решение соответствующего однородного уравнения (3.1) имеет вид . Общее решение (3.1) получаем методом вариации произвольной постоянной: . (3.7) Одно из частных решений (3.8) Таким образом, с учетом формул (3.7), (3.8), соответственно, для общего решения получаем Из начального условия (3.2) Итак, С помощью обратного преобразования Фурье находим Таким образом, имеет место представление (3.1). Замечание. Представление (2.4) задачи (1.5)-(1.7) (теорема 2.1) в виде нелинейного интегрального уравнения (не содержащего оператор Q) позволяет строить итерационный процесс вида un+1 = Aun + Bu0, n = 0,1,... Считая u0 = 0, получаем u1 = Bu0, что позволяет видеть структуру решения (первое итерационное слагаемое в (2.4)). На рис. 1 представлено u1(x,y,t = 1) при фиксированных значениях параметров и начальных условиях или . Аналогичное рассуждение справедливо для частного случая теоремы 3.1. Заключение В работе начально-краевая задача для нелинейного функционально-дифференциального уравнения в полосе с оператором отражения по переменной x ∈ R и краевыми условиями с косой производной на границах полосы с помощью интегральных преобразований Фурье и Лапласа сводится к нелинейному интегральному уравнению. При разделении переменных получены спектральная задача по переменной y (|y| < l) с условиями, соответствующими косой производной, и зависимая задача по переменной x ∈ R, содержащая оператор инволюции Q (Q2 = I). Структура соответствующих нелинейных уравнений отражает структуру исходной задачи. Ядра уравнений определяются через функции Грина соответствующей линеаризованной задачи. Полученные нелинейные интегральные уравнения в дальнейшем будут использоваться для итерационных алгоритмов построения приближенных асимптотических решений исходной задачи. Частным случаем является задача с условиями Неймана. а) б) Рис. 1. Приближенное представление первого итерационного слагаемого в (2.4) при t = 1: a) для ; b) для . Fig. 1. Approximate representation of the first iteration term in (2.4) for t = 1: a) for; b) for .

About the authors

A. A. Kornuta

V. I. Vernadsky Crimean Federal University

Email: korn_57@mail.ru

V. A. Lukianenko

V. I. Vernadsky Crimean Federal University

Author for correspondence.
Email: art-inf@yandex.ru

References

Supplementary files