Том 58, № (2015)

В работе изучается корректная разрешимость начальных задач для абстрактных интегродифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве, а также проводится спектральный анализ оператор-функций, являющихся символами указанных уравнений. Изучаемые уравнения представляют собой абстрактную форму линейных интегродифференциальных уравнений в частных производных, возникающих в теории вязкоупругости и имеющих ряд других важных приложений. Получены результаты о корректной разрешимости упомянутых интегродифференциальных уравнений в весовых пространствах Соболева вектор-функций со значениями в гильбертовом пространстве, заданных на положительной полуоси. Установлена локализация и структура спектра оператор-функций, являющихся символами этих уравнений.

Настоящая работа посвящена обзору и систематическому изложению различных обобщений метода направляющей функции в контексте его современного состояния, а также его применению к различным типам задач о нелинейных периодических колебаниях систем, описываемых дифференциальными и функционально-дифференциальными уравнениями.

Мы рассматриваем некоторые вполне нелинейные вырожденные эллиптические операторы и исследуем справедливость определенных свойств, связанных с принципом максимума. В частности, мы устанавливаем эквивалентность между свойством распространения знака и строгой положительностью подходящим образом определенного обобщенного главного собственного значения. Также мы показываем, что даже в вырожденном случае, рассмотренном в настоящей работе, хорошо известное условие на член нулевого порядка, введенное Келлером-Оссерманом, является необходимым и достаточным для существования целых слабых субрешений.

В работе изучается оператор Дирака LP,U, порожденныйв пространстве H = (L2[0, π])2 дифференциальным выражением lP(y)=By'+Py, где B=(-i 0,0 i), P(x)=(p1(x) p2(x),p3(x) p4(x)), y(x)=(y1(x) y2(x)), и регулярными краевыми условиями U(y)=(u11 u12, u21 u22)(y1(0) y2(0))+(u13 u14,u23 u24)(y1(π) y2(π))=0. Элементы матрицы P предполагаются суммируемыми на [0, π] комплекснозначными функциями. Мы покажем, что оператор LP,U имеет дискретный спектр, состоящий из собственных значений {λn}n∈Z, причем λn = λ0n + o(1) при |n| → ∞, где {λ0n}n∈Z - спектр оператора L0,U с нулевым потенциалом и теми же краевыми условиями. Если краевые условия сильно регулярны, то спектр оператора LP,U является асимптотически простым. Мы покажем, что в этом случае система собственных и присоединенных функций оператора LP,U образует базис Рисса в пространстве H (при условии нормировки собственных функций). В случае регулярных, но не сильно регулярных краевых условий все собственные значения оператора L0,U двукратны, а собственные значения оператора LP,U асимптотически двукратны. В этом случае мы покажем, что система, составленная из соответствующих двумерных корневых подпространств оператора LP,U, образует базис Рисса из подпространств (базис Рисса со скобками) в пространстве H.