Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)32664ArticlesСтатьиResearch ArticleO novykh strukturakh v teorii polnost'yu nelineynykh uravneniyО новых структурах в теории полностью нелинейных уравненийIvochkinaN. M.ИвочкинаН. М.ninaiv@ni1570.spb.eduFilimonenkovaN. V.ФилимоненковаН. В.nf33@yandex.ruСанкт-Петербургский государственный университетСанкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университетСанкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого1512201558VOL 58, NO (2015)ТОМ 58, № (2015)829520112022Copyright ©; 2022, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2022, Современная математика. Фундаментальные направления2022Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/32664В статье предлагается анализ современной ситуации в теории уравнений с m-гессиановскими стационарными и эволюционными операторами. Основная особенность этой теории - появление новых алгебраических и геометрических понятий. В работе приводится их перечень. Одним из основных является алгебраическое понятие m-положительности матриц, и мы приводим доказательство аналога классического критерия Сильвестра для них. Простым следствием этого критерия являются найденные нами необходимые и достаточные условия существования классического решения первой начально-краевой задачи для m-гессиановского эволюционного уравнения. В работе рассматривается также проблема асимптотического поведения m-гессиановских эволюций в полуограниченном цилиндре.1.Ивочкина Н. М. Интегральный метод барьерных функций и задача Дирихле для уравнений с операторами типа Монжа-Ампера// Мат. сб. - 1980. - 112, № 2. - С. 193-206.2.Ивочкина Н. М. Описание конусов устойчивости, порождаемых дифференциальными операторами типа Монжа-Ампера// Мат. сб. - 1983. - 22. - С. 265-275.3.Ивочкина Н. М. Задача Дирихле для уравнения кривизны порядка m// Алгебра и анализ. - 1990. - 2, № 3. - С. 192-217.4.Ивочкина Н. М. Мини-обзор основных понятий в теории полностью нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка// Зап. науч. сем. ПОМИ. - 1997. - 249. - С. 199-211.5.Ивочкина Н. М. От конусов Гординга к p-выпуклым гипербоповерхностям// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2012. - 45. - С. 94-104.6.Крылов Н. В. Ограниченно неоднородные эллиптические и параболические уравнения в области// Изв. АН СССР. Сер. Мат. - 1983. - 47, № 1. - С. 75-108.7.Крылов Н. В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. - Наука, 1985.8.Прокофьева С. И., Якунина Г. В. О понятии эллиптичности для полностью нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка// Диффер. уравн. и проц. управ. - 2012. - № 1. - С. 142-145.9.Сафонов М. В. О гладкости вблизи границы решений эллиптических уравнений Беллмана// Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1985. - 147, № 17. - С. 150-154.10.Филимоненкова Н. В. О классической разрешимости задачи Дирихле для невырожденных m-гессиановских уравнений// Пробл. мат. анализа. - 2011. - 60. - C. 89-111.11.Филимоненкова Н. В. Критерий Сильвестра для m-положительных матриц// Препринт СПб. мат. об-ва. - 2014. - 7.12.Харди Г. Г., Литтлвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства. - М.: Гос. изд. иностр. лит., 1948.13.Ca arelli L., Nirenberg L., Spruck J. The Dirichlet problem for nonlinear second order elliptic equations, III. Functions of the eigenvalues of the Hessian// Acta Math. - 1985. - 155. - P. 261-301.14.Chou K.-S., Wang X.-J. A variational theory of the Hessian equations// Commun. Pure Appl. Math. - 2001. - 54. - С. 1029-1064.15.G˚arding L. An inequality for hyperbolic polynomials// J. Math. Mech. - 1959. - 8. - С. 957-965.16.Evans L. C. Classical solutions of fully nonlinear convex second order elliptic equations// Commun. Pure Appl. Math. - 1982. - 25. - С. 333-363.17.Ivochkina N. M. On the Dirichlet problem for fully nonlinear parabolic equations// J. Math. Sci. (N. Y.). - 1999. - 93, № 5. - С. 689-696.18.Ivochkina N. M. Weakly rst-order interior estimates and Hessian equations// J. Math. Sci. (N. Y.). - 2007. - 143, № 2. - С. 2875-2882.19.Ivochkina N. M. On approximate solutions to the rst initial boundary value problem for the m-Hessian evolution equations// J. Fixed Point Theory Appl. - 2008. - 4, № 1. - С. 47-56.20.Ivochkina N. M. On classic solvability of the m-Hessian evolution equation// Am. Math. Soc. Transl. - 2010. - 229. - С. 119-129.21.Ivochkina N. M. On some properties of the positive m-Hessian operators in C2(Ω)// J. Fixed Point Theory Appl. - 2014. - 14, № 1. - С. 79-90.22.Ivochkina N. M., Filimonenkova N. V. On the backgrounds of the theory of m-Hessian equations// Commun. Pure Appl. Anal. - 2013. - 12. - № 4. - С. 1687-1703.23.Ivochkina N. M., Filimonenkova N. V. On algebraic and geometric conditions in the theory of Hessian equations// J. Fixed Point Theory Appl. - 2014. - 16, № 1-2. - С. 11-25.24.Ivochkina N. M., Filimonenkova N. V. On attractors of m-Hessian evolutions// J. Math. Sci. (N. Y.). - 2015. - 207, № 2. - С. 226-235.25.Ivochkina N. M., Ladyzhenskaya O. A. On parabolic problems generated by some symmetric functions of the Hessian// Topol. Methods Nonlinear Anal. - 1994. - 4. - С. 19-29.26.Ivochkina N. M., Trudinger N., Wang X.-J. The Dirichlet problem for degenerate Hessian equations// Commun. Part. Di er. Equ. - 2004. - 29. - С. 219-235.27.Ivochkina N. M., Yakunina G. V., Prokof’eva S. I. The G˚arding cones in the modern theory of fully nonlinear second order di erential equations// J. Math. Sci. (N. Y.). - 2012. - 184, № 3. - С. 295-315.28.Lieberman G. M. Second order parabolic di erential equations. - World Sci. Publ. Co. Pte. Ltd., 2005.29.Lin M., Trudinger N. S. On some inequalities for elementary symmetric functions// Bull. Aust. Math. Soc. - 1994. - 50. - С. 317-326.30.Trudinger N. S. On the Dirichlet problem for Hessian equations// Acta. Math. - 1995. - 175. - С. 151- 164.31.Trudinger N. S., Wang X.-J. A Poincare´ Equ. - 1998. - 6. - С. 315-328. type inequality for Hessian integrals// Calc. Var. Part. Di er32.Tso K. On an Aleksandrov-Bakel’man type maximum principle for second-order parabolic equations// Commun. Part. Di er. Equ. - 1985. - 10. - С. 543-553.33.Wang X.-J. A class of fully nonlinear elliptic equations and related functionals// Indiana Univ. Math. J. - 1994. - 43. - С. 25-54.34.Wang X.-J. The k-Hessian equation// In: «Lecture Notes in Mathematics». - 2009. - 1977. - С. 177-252.