O novykh strukturakh v teorii polnost'yu nelineynykh uravneniy


Cite item

Full Text

Abstract

В статье предлагается анализ современной ситуации в теории уравнений с m-гессиановскими стационарными и эволюционными операторами. Основная особенность этой теории - появление новых алгебраических и геометрических понятий. В работе приводится их перечень. Одним из основных является алгебраическое понятие m-положительности матриц, и мы приводим доказательство аналога классического критерия Сильвестра для них. Простым следствием этого критерия являются найденные нами необходимые и достаточные условия существования классического решения первой начально-краевой задачи для m-гессиановского эволюционного уравнения. В работе рассматривается также проблема асимптотического поведения m-гессиановских эволюций в полуограниченном цилиндре.

References

  1. Ивочкина Н. М. Интегральный метод барьерных функций и задача Дирихле для уравнений с операторами типа Монжа-Ампера// Мат. сб. - 1980. - 112, № 2. - С. 193-206.
  2. Ивочкина Н. М. Описание конусов устойчивости, порождаемых дифференциальными операторами типа Монжа-Ампера// Мат. сб. - 1983. - 22. - С. 265-275.
  3. Ивочкина Н. М. Задача Дирихле для уравнения кривизны порядка m// Алгебра и анализ. - 1990. - 2, № 3. - С. 192-217.
  4. Ивочкина Н. М. Мини-обзор основных понятий в теории полностью нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка// Зап. науч. сем. ПОМИ. - 1997. - 249. - С. 199-211.
  5. Ивочкина Н. М. От конусов Гординга к p-выпуклым гипербоповерхностям// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2012. - 45. - С. 94-104.
  6. Крылов Н. В. Ограниченно неоднородные эллиптические и параболические уравнения в области// Изв. АН СССР. Сер. Мат. - 1983. - 47, № 1. - С. 75-108.
  7. Крылов Н. В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. - Наука, 1985.
  8. Прокофьева С. И., Якунина Г. В. О понятии эллиптичности для полностью нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка// Диффер. уравн. и проц. управ. - 2012. - № 1. - С. 142-145.
  9. Сафонов М. В. О гладкости вблизи границы решений эллиптических уравнений Беллмана// Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1985. - 147, № 17. - С. 150-154.
  10. Филимоненкова Н. В. О классической разрешимости задачи Дирихле для невырожденных m-гессиановских уравнений// Пробл. мат. анализа. - 2011. - 60. - C. 89-111.
  11. Филимоненкова Н. В. Критерий Сильвестра для m-положительных матриц// Препринт СПб. мат. об-ва. - 2014. - 7.
  12. Харди Г. Г., Литтлвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства. - М.: Гос. изд. иностр. лит., 1948.
  13. Ca arelli L., Nirenberg L., Spruck J. The Dirichlet problem for nonlinear second order elliptic equations, III. Functions of the eigenvalues of the Hessian// Acta Math. - 1985. - 155. - P. 261-301.
  14. Chou K.-S., Wang X.-J. A variational theory of the Hessian equations// Commun. Pure Appl. Math. - 2001. - 54. - С. 1029-1064.
  15. G˚arding L. An inequality for hyperbolic polynomials// J. Math. Mech. - 1959. - 8. - С. 957-965.
  16. Evans L. C. Classical solutions of fully nonlinear convex second order elliptic equations// Commun. Pure Appl. Math. - 1982. - 25. - С. 333-363.
  17. Ivochkina N. M. On the Dirichlet problem for fully nonlinear parabolic equations// J. Math. Sci. (N. Y.). - 1999. - 93, № 5. - С. 689-696.
  18. Ivochkina N. M. Weakly rst-order interior estimates and Hessian equations// J. Math. Sci. (N. Y.). - 2007. - 143, № 2. - С. 2875-2882.
  19. Ivochkina N. M. On approximate solutions to the rst initial boundary value problem for the m-Hessian evolution equations// J. Fixed Point Theory Appl. - 2008. - 4, № 1. - С. 47-56.
  20. Ivochkina N. M. On classic solvability of the m-Hessian evolution equation// Am. Math. Soc. Transl. - 2010. - 229. - С. 119-129.
  21. Ivochkina N. M. On some properties of the positive m-Hessian operators in C2(Ω)// J. Fixed Point Theory Appl. - 2014. - 14, № 1. - С. 79-90.
  22. Ivochkina N. M., Filimonenkova N. V. On the backgrounds of the theory of m-Hessian equations// Commun. Pure Appl. Anal. - 2013. - 12. - № 4. - С. 1687-1703.
  23. Ivochkina N. M., Filimonenkova N. V. On algebraic and geometric conditions in the theory of Hessian equations// J. Fixed Point Theory Appl. - 2014. - 16, № 1-2. - С. 11-25.
  24. Ivochkina N. M., Filimonenkova N. V. On attractors of m-Hessian evolutions// J. Math. Sci. (N. Y.). - 2015. - 207, № 2. - С. 226-235.
  25. Ivochkina N. M., Ladyzhenskaya O. A. On parabolic problems generated by some symmetric functions of the Hessian// Topol. Methods Nonlinear Anal. - 1994. - 4. - С. 19-29.
  26. Ivochkina N. M., Trudinger N., Wang X.-J. The Dirichlet problem for degenerate Hessian equations// Commun. Part. Di er. Equ. - 2004. - 29. - С. 219-235.
  27. Ivochkina N. M., Yakunina G. V., Prokof’eva S. I. The G˚arding cones in the modern theory of fully nonlinear second order di erential equations// J. Math. Sci. (N. Y.). - 2012. - 184, № 3. - С. 295-315.
  28. Lieberman G. M. Second order parabolic di erential equations. - World Sci. Publ. Co. Pte. Ltd., 2005.
  29. Lin M., Trudinger N. S. On some inequalities for elementary symmetric functions// Bull. Aust. Math. Soc. - 1994. - 50. - С. 317-326.
  30. Trudinger N. S. On the Dirichlet problem for Hessian equations// Acta. Math. - 1995. - 175. - С. 151- 164.
  31. Trudinger N. S., Wang X.-J. A Poincare´ Equ. - 1998. - 6. - С. 315-328. type inequality for Hessian integrals// Calc. Var. Part. Di er
  32. Tso K. On an Aleksandrov-Bakel’man type maximum principle for second-order parabolic equations// Commun. Part. Di er. Equ. - 1985. - 10. - С. 543-553.
  33. Wang X.-J. A class of fully nonlinear elliptic equations and related functionals// Indiana Univ. Math. J. - 1994. - 43. - С. 25-54.
  34. Wang X.-J. The k-Hessian equation// In: «Lecture Notes in Mathematics». - 2009. - 1977. - С. 177-252.

Copyright (c) 2022 Contemporary Mathematics. Fundamental Directions

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies