Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)32667ArticlesСтатьиResearch ArticleBazisnost' Rissa so skobkami dlya sistemy Diraka s summiruemym potentsialomБазисность Рисса со скобками для системы Дирака с суммируемым потенциаломSavchukA. M.СавчукА. М.artem_savchuk@mail.ruSadovnichayaI. V.СадовничаяИ. В.ivsad@yandex.ruМосковский государственный университет им. М.В. Ломоносова1512201558VOL 58, NO (2015)ТОМ 58, № (2015)12815220112022Copyright ©; 2022, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2022, Современная математика. Фундаментальные направления2022Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/32667В работе изучается оператор Дирака LP,U, порожденныйв пространстве H = (L2[0, π])2 дифференциальным выражением lP(y)=By'+Py, где B=(-i 0,0 i), P(x)=(p1(x) p2(x),p3(x) p4(x)), y(x)=(y1(x) y2(x)), и регулярными краевыми условиями U(y)=(u11 u12, u21 u22)(y1(0) y2(0))+(u13 u14,u23 u24)(y1(π) y2(π))=0. Элементы матрицы P предполагаются суммируемыми на [0, π] комплекснозначными функциями. Мы покажем, что оператор LP,U имеет дискретный спектр, состоящий из собственных значений {λn}n∈Z, причем λn = λ0n + o(1) при |n| → ∞, где {λ0n}n∈Z - спектр оператора L0,U с нулевым потенциалом и теми же краевыми условиями. Если краевые условия сильно регулярны, то спектр оператора LP,U является асимптотически простым. Мы покажем, что в этом случае система собственных и присоединенных функций оператора LP,U образует базис Рисса в пространстве H (при условии нормировки собственных функций). В случае регулярных, но не сильно регулярных краевых условий все собственные значения оператора L0,U двукратны, а собственные значения оператора LP,U асимптотически двукратны. В этом случае мы покажем, что система, составленная из соответствующих двумерных корневых подпространств оператора LP,U, образует базис Рисса из подпространств (базис Рисса со скобками) в пространстве H.1.Амиров Р. Х., Гусейнов И. М. Некоторые классы операторов Дирака с сингулярными потенциалами// Дифф. уравн. - 2004. - 40, № 7. - С. 999-1001.2.Баскаков А. Г., Дербушев А. В., Щербаков А. О. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом// Изв. РАН. Сер. Мат. - 2011. - 75, № 3. - С. 3-28.3.Велиев О. А., Шкаликов А. А. О базисности Рисса собственных и присоединенных функций периодической и антипериодической задач Штурма-Лиувилля// Мат. заметки. - 2009. - 85, № 5. - С. 671-686.4.Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. - М.: Мир, 1984.5.Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. - М.: Наука, 1965.6.Кацнельсон В. Э. Об условиях базисности системы корневых векторов некоторых классов операторов// Функц. анализ и его прилож. - 1967. - 1, № 2.- С. 39-51.7.Келдыш М. В. О полноте собственых функций некоторых классов несамосопряженных уравнений// Усп. мат. наук. - 1971. - 27, № 4. - С. 15-47.8.Кесельман Г. М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям конкретных дифференциальных операторов// Изв. вузов. Сер. Мат. - 1964. - 39, № 2.- С. 82-93.9.Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория Обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Изд. Иностранной Лит., 1958.10.Корнев В. В., Хромов А. П. Система Дирака с недифференцируемым потенциалом и антипериодическими краевыми условиями// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Мат. Мех. Информ. - 2013. - 13, № 3. - С. 28-35.11.Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. - М.: Наука, 1988.12.Лунев А. А., Маламуд М. М. О полноте системы корневых векторов для систем первого порядка. Применение к задаче Редже// Докл. РАН. - 2013. - 453, № 3. - С. 256-261.13.Лунев А. А., Маламуд М. М. О базисности Рисса системы корневых векторов для 2 × 2-системы типа Дирака// Докл. РАН. - 2014. - 458, № 3. - С. 1-6.14.Маркус А. С. О разложении по корневым векторам слабо возмущенного самосопряженного оператора// Докл. АН СССР. - 1962. - 142, № 3. - С. 538-541.15.Маркус А. С., Мацаев В. И. Теоремы сравнения спектров линейных операторов и спектральные асимптотики// Тр. Моск. Мат. об-ва. - 1982. - 45. - С. 133-181.16.Минкин А. М. Теоремы равносходимости для дифференциальных операторов// Итоги науки и техн. Совр. матем. и ее прилож. - 1997. - 49. - С. 3631-3715.17.Михайлов В. П. О базисности Рисса в L2(0, 1)// Докл. АН СССР. - 1962. - 144. - С. 981-984.18.Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. - М.: Наука, 1969.19.Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. - М.: Мир, 1979.20.Савчук А. М., Садовничая И. В. Асимптотические формулы для фундаментальных решений системы Дирака с комплекснозначным суммируемым потенциалом// Дифф. уравн. - 2013. - 49, № 5. - С. 573- 584.21.Садовничая И. В. О равносходимости разложений в ряды по собственным функциям операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями// Мат. сб. - 2010. - 201, № 9. - С. 61-76.22.Садовничая И. В. Равносходимость в пространствах Гельдера разложений по собственным функциям операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями// Дифф. уравн. - 2012. - 48, № 5. - С. 674-685.23.Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольной функции в ряды. - Петроград, 1917.24.Шкаликов А. А. О свойстве базисности собственных функций обыкновенного дифференциального оператора// Усп. мат. наук. - 1979. - 34, № 5. - C. 235-236.25.Шкаликов А. А. Граничные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в краевых условиях// Тр. сем. им. И. Г. Петровского - 1983. - 9. - С. 190-229.26.Шкаликов А. А. Некоторые вопросы теории полиномиальных операторных пучков// Усп. мат. наук - 1983. - 38, № 3. - С. 189-190.27.Albeverio S., Hryniv R. O., Mykytyuk Ya. Inverse spectral problems for Dirac operators with summable potentials// Russ. J. Math. Phys. - 2005. - 12, № 4. - С. 406-423.28.Birkho G. D. On the asymptotic character of the solutions of certain linear di erential equations containing a parameter// Trans. Am. Math. Soc. - 1908. - 9. - С. 21-231.29.Birkho G. D. Boundary value and expansion ploblems of ordinary linear di erential equations// Trans. Am. Math. Soc. - 1908. - 9. - С. 373-395.30.Birkho G. D., Langer R. E. The boundary problems and developments associated with a system of ordinary di erential equations of the rst order// Proc. Am. Acad. Arts Sci. - 1923. - 58. - С. 49-128.31.Djakov P., Mityagin B. Bari-Markus property for Riesz projections of 1D periodic Dirac operators// Math. Nachr. - 2010. - 283, № 3. - С. 443-462.32.Djakov P., Mityagin B. Criteria for existence of Riesz bases consisting of root functions of Hill and 1D Dirac operators// J. Funct. Anal. - 2012. - 263. - С. 2300-2332.33.Djakov P., Mityagin B. Unconditional convergence of spectral decompositions of 1D Dirac operators with regular boundary conditions// Indiana Univ. Math. J. - 2012. - 61, № 1. - С. 359-398.34.Dunford N. A survey of the theory of spectral operators// Bull. Am. Math. Soc. - 1958. - 64. - С. 217- 274.35.Lindelo¨f E. Sur un principe ge´ne´ral de l’analyse et ses applications a´ conforme// Acta. Soc. Sc. Fennicae. - 1915. - 46, № 4. - С. 636.Malamud M. M., Oridoroga L. L. On the completeness of root subspaces of boundary value problems for rst order systems of ordinary di erential equations//j. Funct. Anal. - 2012. - 263. - С. 1939-198037.Sadovnichaya I. V. Equiconvergence theorems for Sturm-Liouville operators with singular potentials (rate of equiconvergence in Wθ -norm)// Eurasian Math. J. - 2010. - 1, № 1. - С. 137-14638.Savchuk A. M. Spectral Properties of Dirac Operators on (0, 1) with summable potentials// The Sixth International Conference on Di erential and Functional Di erential Equations. Abstracts, Moscow. - 2011. - С. 6339.Savchuk A. M., Shkalikov A. A. The Dirac operator with complex-valued summable potential// Math. Notes. - 2014. - 96, № 5. - С. 777-810.40.Tamarkin J. D. Sur quelques points de la the´orie des e´quations di e´rentielles line´aires ordinaires et sur la ge´ne´ralisation de la se´rie de Fourier// Rend. Circ. Mat. Palermo. - 1912. - 34, № 2.- С. 345-382.41.Tamarkin J. D. Some general problems of the theory of linear di erential equations and expansions of an arbitrary function in series of fundamental functions// Math. Z. - 1928. - 27, № 1. - С. 1-54.42.Trooshin I., Yamamoto M. Riesz basis of root vectors of a nonsymmetric system of rst-order ordinary di erential operators and application to inverse eigenvalue problems// Appl. Anal. - 2001. - 80.- С. 19- 51.43.Trooshin I., Yamamoto M. Spectral properites and an inverse eigenvalue problem for nonsymmetric systems of ordinary di erential equations// J. Inverse Ill-Posed Probl. - 2002. - 10, № 6. - С. 643-658.