Том 67, № 3 (2021): Посвящается 70-летию президента РУДН В. М. Филиппова

В работе представлено численное решение задачи Стефана для расчета температуры образца вольфрама, нагреваемого лазерным импульсом. Математическое моделирование проводитсядля анализа натурных экспериментов, где наблюдается мгновенный нагрев пластинки до 9000 K за счет воздействия на её поверхность теплового потока и последующее охлаждение. Задача характеризуется нелинейными коэффициентами и граничными условиями. Важную роль играет учет испарения металла с нагреваемой поверхности. Для реализации выбран метод сплошного счета с использованием формулировки уравнения теплопроводности в единообразной форме во всей области с применением дельта-функции Дирака, основанный на подходе А. А. Самарского. Численный метод имеет второй порядок аппроксимации по пространству, интервал сглаживания коэффициентов составляет 5 К. В результате получены распределения температуры на поверхности и в поперечном сечении образца в процессе охлаждения.

В статье вводится новый вариант определения квази-нормы (в частности, нормы) в лебеговых пространствах с переменным порядком суммируемости и с его помощью доказывается аналог неравенства Гельдера для таких пространства, более общий и более точный по сравнению с известными ранее.

Исследуются абстрактные вольтерровы интегро-дифференциальные уравнения с ядрами интегральных операторов, представимых интегралами Стилтьеса. Представленные результаты базируются на подходе, связанном с исследованием однопараметрических полугрупп для линейных эволюционных уравнений. Приводится метод сведения исходной начальной задачи для модельного интегро-дифференциального уравнения с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве к задаче Коши для дифференциального уравнения первого порядка в расширенном функциональном пространстве. Доказывается существование сжимающей C₀-полугруппы. Получена оценка экспоненциального убывания полугруппы.

В работе исследуется движение перевернутого маятника, точка подвеса которого совершает высокочастотные колебания вдоль прямой, составляющей малый угол с вертикалью. Доказано, что при выполнении некоторых условий на функцию, описывающую колебания точки подвеса маятника, возникает периодическое движение маятника, и оно является асимптотически устойчивым.

Для эллиптического уравнения 2l-го порядка с постоянными старшими вещественными коэффициентами в бесконечной области, содержащей внешность некоторого круга и ограниченной достаточно гладким контуром, рассмотрена обобщенная задача Неймана. Она заключается в задании нормальных производных ${(k_j - 1)}$-го порядков, где ${1\le k_1 < ... < k_l \le 2l}$; при ${k_j = j}$ она переходит в задачу Дирихле, а при ${k_j = j +1}$ - в задачу Неймана. При некоторых предположениях относительно коэффициентов уравнения на бесконечности получено необходимое и достаточное условие фредгольмовости этой задачи и приведена формула ее индекса в гельдеровских пространствах.

Подразумевая под бивариационной системой любую систему уравнений, порожденную двумя разными гамильтоновыми действиями, мы устанавливаем связь между их вариационными симметриями. Для диссипативной задачи мы показываем эффективность использования неклассических гамильтоновых действий для построения приближенных решений с высокой точностью. Для заданного операторного уравнения с второй производной по времени мы исследуем его потенциальность, строим соответствующий функционал и находим необходимые и достаточные условия того, что оператор S является генератором симметрии построенного функционала. Теоретические результаты иллюстрируются примерами.