On Holder’s Inequality in Lebesgue Spaces with Variable Order of Summability

Abstract

In this paper, we introduce a new version of the definition of a quasi-norm (in particular, a norm) in Lebesgue spaces with variable order of summability. Using it, we prove an analogue of Holder’s inequality for such spaces, which is more general and more precise than those known earlier.

Full Text

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение 472 2. Основные результаты 474 3. Примеры 479 Список литературы 480 1. ВВЕДЕНИЕ В последние три десятилетия проявляется значительный интерес к изучению лебеговых пространств с переменным порядком суммируемости, представляющих интерес как с точки зрения развития теории функциональных пространств (см., например, [1, 6-8, 10, 11, 13, 14, 16, 17]), так и с точки зрения применений к теории дифференциальных и интегральных уравнений (см., например, [2, 4, 12, 15]). Историю вопроса и подробное изложение теории лебеговых пространствах с переменным порядком суммируемости можно найти в книгах [9, 12]. Одной из первых работ в этом направлении была статья [5]. Всюду в этой статье Ω ⊂ Rn - это измеримое по Лебегу множество, а p, q : Ω → (0, ∞] - измеримые по Лебегу функции. В случае, когда p :Ω → (0, ∞), стандартное определение лебеговых пространств с переменным порядком суммируемости Lp(·)(Ω) имеет следующий вид: f ∈ Lp(·)(Ω), если f :Ω → C, f измерима по Лебегу на Ω и |f (x)| p(x) ±f ±Lp(·) (Ω) = inf λ> 0: λ Ω dx � 1 < ∞. (1.1) { ∈ ∞} ∈ В случае, когда p :Ω → [1, ∞], О. Ковачик и Й. Ракосник [13, с. 593] дополнили это определение и дали следующее определение. Пусть Ω = x Ω : p(x) = . Тогда f LKR(Ω), если ∞ p(·) f :Ω → C, f измерима по Лебегу на Ω и KR ±f ±Lp( )(Ω) = inf λ> 0: |f (x)| p(x) λ dx + f λ � 1 < ∞. (1.2) · Ω\Ω∞ ∞ ∞ L (Ω ) © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 472 О НЕРАВЕНСТВЕ ГЕЛЬДЕРА В ЛЕБЕГОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С ПЕРЕМЕННЫМ ПОРЯДКОМ СУММИРУЕМОСТИ 473 Отметим, что LKR(Ω) = Lp( )(Ω \ Ω ) ∩ L (Ω ), это нормированное пространство с нормой p(·) ±f ±Lp( ) (Ω) и KR · · ∞ ∞ ∞ max { f ±Lp( )(Ω\Ω � � ±f ± ), ±f ±L (Ω ) KR � ±f ±L (Ω Ω ) + ±f ±L (Ω ). (1.3) ± · ∞ ∞ ∞ Lp(·) (Ω) p(·) \ ∞ ∞ ∞ В частности, если p :Ω → [1, ∞), то KR · ±f ±Lp( )(Ω) = ±f ±Lp(·)(Ω\Ω∞ ), (1.4) а если p(x)= ∞ для любых x ∈ Ω, то KR · ±f ±Lp( ) (Ω) = ±f ±L∞(Ω∞). (1.5) В [13, с. 594-595] доказан приводимый ниже вариант неравенства Гельдера для пространств Lp(·)(Ω). Пусть Ω1 = {x ∈ Ω : p(x) = 1}, Ω∗ = Ω \ (Ω1 ∪ Ω∞); p∗ = ess inf p(x), p∗ = ess sup p(x), x∈Ω∗ если meas Ω∗ > 0, и p∗ = p∗ = 1, если meas Ω∗ = 0. Считается также, что Теорема 1.1. Пусть p :Ω → [1, ∞]. Тогда 1 = 0. ∞ x∈Ω∗ 1. KR KR · |f (x)g(x)|dx � Kp(·)±f ±Lp(·)(Ω)±g±Lpt ( )(Ω) (1.6) Ω для любых f ∈ Lp(·)(Ω), g ∈ Lpt(·)(Ω), где K(1) 1 1 p p(·) = ±χΩ1 ±L∞(Ω) + ±χΩ∗ ±L∞ (Ω) + ±χΩ∞ ±L∞ (Ω) + ∗ - p∗ , (1.7) χG обозначает характеристическую функцию множества G, а p!(·) - показатель, сопряженp(x) - ный к p(·): p!(x) = p(x) p(x)= ∞. 1 , если 1 < p(x) < ∞, p!(x) = ∞, если p(x) = 1, и p!(x) = 1, если В [9, с. 27-28] неравенство (1.6) доказано с немного большей постоянной K(2) 1 1 - p(·) = ±χΩ1 ±L∞ (Ω) + ±χΩ∞ ±L∞ (Ω) + ±χΩ∗ ±L∞ (Ω) 1+ p p (1.8) вместо K(1) , где p = ess inf p(x), p = ess sup p(x). (Если meas Ω1 = meas Ω = 0, то K(2) = K(1) , p(·) x∈Ω x∈Ω ∞ p(·) p(·) а если meas Ω1 > 0 или meas Ω∞ > 0, то может оказаться, что p < p∗ или p > p∗, и тогда K(2) (1) p(·) > Kp(·).) Таким образом, 1 - 1 � K(1) � K(2) � 4. Если p :Ω → (1, ∞), то K(2) = K(1) 1 1 =1 + - и p∗ p∗ p(·) p(·) p(·) p(·) p p неравенство (1.6) принимает вид |f (x)g(x)|dx � Ω - 1+ 1 1 ±f KR ±g KR . (1.9) · · p p ±Lp( )(Ω) ±Lpt( )(Ω) В [9, с. 28-29] также доказано приводимое далее следствие из неравенства (1.6) (с K(2) p(·) вместо K(1) ). p(·) p(x)q(x) Следствие 1.1. Пусть p, q :Ω → [1, ∞], для любых x ∈ Ω p(x) � q(x), r(x)= q(x) , если - p(x) p(x) < q(x) < ∞, r(x)= 1, если p(x) < q(x)= ∞, и r(x)= ∞, если p(x)= q(x). Тогда KR (3) KR KR ±fg±Lp(·) (Ω) � Kp(·),q(·)±f ±Lq(·) (Ω)±g±Lr(·) (Ω) (1.10) для любых f ∈ Lq(·)(Ω) и g ∈ Lr(·)(Ω), где K(3) (2) p(·),q(·) = Ks(·) + 1, (1.11) 474 В. И. БУРЕНКОВ, Т. В. ТАРАРЫКОВА а s(x) = q(x) p(x) , если p(x) < ∞, q(x) < ∞, s(x) = 1, если p(x) = q(x), и s(x) = ∞, если p(x) < ∞, q(x)= ∞. Целью данной работы является введение нового варианта определения квази-нормы (в частности, нормы) в пространствах Lp(·)(Ω) и доказательство с его помощью более общих и более точных аналогов неравенства Гельдера для этих пространств по сравнению с неравенствами (1.6) и (1.10). 2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ p(·) В данной статье, в отличие от [13], мы будем пользоваться определением (1.1) пространств Lp(·)(Ω) и в случае, когда p : Ω → (0, ∞], считая, что a∞ = 0 для 0 � a < 1, 1∞ = 1, a∞ = ∞ для a > 1 и что интеграл по множеству нулевой лебеговой меры равен 0 для любой функции ϕ :Ω → [0, ∞]. Соответственно, для p :Ω → (0, ∞] мы говорим, что f ∈ LBT (Ω). если f :Ω → C, f измерима по Лебегу на Ω и ±f ±Lp( )(Ω) = inf BT · λ> 0: |f (x)| p(x) dx λ < ∞. (2.1) Отметим, что LBT (Ω) = Lp( )(Ω\Ω )∩L (Ω Ω ), это квази-нормированное пространство с квазиp(·) BT · ∞ ∞ ∞ BT KR нормой ±f ±Lp( )(Ω) (нормой, если p(x) � 1 на Ω). Таким образом, пространства Lp(·)(Ω) и Lp(·) (Ω) совпадают как· множества. Мы также будем пользоваться следующим обозначением. Для любого измеримого по Лебегу множества G ⊂ Ω и λ> 0 в частности, ρλ(p(·), f, G)= G |f (x)| p(x) λ dx, ρλ(p(·), f, Ω∞)= |f (x)| ∞ λ dx. G∞ Если ±f ±L∞(Ω) < ∞, то для любого λ > ±f ±L∞(Ω) неравенство некотором подмножестве Gλ ⊂ Ω∞ полной меры и |f (x)| < 1 выполняется на λ ρλ(p(·), f, Ω∞)= |f (x)| ∞ λ dx = 0, Gλ а при λ < ±f ±L∞ (Ω) существует такое подмножество Hλ ⊂ Ω положительной меры, что |f (x)| > λ для любых x ∈ Hλ и ρλ(p(·), f, Ω) = Ω В этих обозначениях |f (x)| p(x) λ dx � Hλ |f (x)| ∞ λ dx = ∞. · BT ±f ±Lp( )(Ω) = inf{λ > 0: ρλ(p(·), f, Ω) � 1}. Лемма 2.1. Пусть p : Ω → (0, ∞]. Тогда для любой функции f ∈ LBT (Ω) = Lp( )(Ω \ Ω ) ∩ L∞(Ω∞) справедливо равенство BT p(·) · ∞ Доказательство. · ±f ±Lp( ) (Ω) = max{±f ±Lp(·) (Ω\Ω∞), ±f ±L∞ (Ω∞)}. (2.2) 1. Пусть σ : (0, ∞) → (0, ∞) - невозрастающая функция и λ0 > 0. Если σ(λ0) � 1, то {λ � λ0 : σ(λ) � 1} = [λ0, ∞), {λ > λ0 : σ(λ) � 1} = (λ0, ∞), а если σ(λ0) > 1, то λ0 ∈/ {λ � λ0 : σ(λ) � 1} и {λ � λ0 : σ(λ) � 1} = {λ > λ0 : σ(λ) � 1}. О НЕРАВЕНСТВЕ ГЕЛЬДЕРА В ЛЕБЕГОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С ПЕРЕМЕННЫМ ПОРЯДКОМ СУММИРУЕМОСТИ 475 В обоих случаях inf{λ � λ0 : σ(λ) � 1} = inf{λ > λ0 : σ(λ) � 1}. (2.3) 2. Как отмечено выше, если λ < ±f ±L∞(Ω∞), то Ω∞ |f (x)| ∞ λ dx = ∞, а если λ > ±f ±L∞(Ω∞), то |f (x)| ∞ λ Ω∞ dx = 0, поэтому с учетом равенства (2.3) имеем BT J ±f ±Lp( ) (Ω) = inf λ> 0: · |f (x)| p(x) λ dx + |f (x)| ∞ λ 1 dx � = λ = inf J = inf J � ±f ±L∞ ±f ±L (Ω∞) : (Ω ) : Ω\Ω∞ Ω\Ω∞ |f (x)| p(x) λ |f (x)| p(x) Ω∞ dx + Ω∞ dx + |f (x)| ∞ λ |f (x)| ∞ 1 dx � = 1 dx � = λ > ∞ ∞ λ Ω\Ω∞ λ Ω∞ f (x)| p(x) λ> = inf J ±f ±L∞ (Ω∞) : | λ Ω\Ω∞ dx � 1 = = inf{λ > ±f ±L∞(Ω∞ ) : ρλ(p(·), f, Ω \ Ω∞) � 1}. 3. Пусть ±f ±Lp(·)(Ω\Ω∞ ) � ±f ±L∞(Ω∞). Тогда ρλ(p(·), f, Ω\Ω∞) � 1 для любого λ> ±f ±L а значит, и для любого λ> ±f ±L∞ (Ω∞). Поэтому {λ > ±f ±L∞(Ω∞ ) : ρλ(p(·), f, Ω \ Ω∞) � 1} = (±f ±L∞ (Ω∞), ∞) p(·) (Ω\Ω∞), и согласно п. 2 ±f ±Lp( ) (Ω) = ±f ± ∞ ∞ . (2.4) BT L (Ω ) · 4. Пусть ±f ±Lp(·)(Ω\Ω∞ ) > ±f ±L∞ (Ω∞). Тогда ρλ(p(·), f, Ω\Ω∞) > 1 для любого λ< ±f ±L и с учетомравенства (2.3) p(·) (Ω\Ω∞), {λ> ±f ±L∞ (Ω∞) : ρλ(p(·), f, Ω \ Ω∞) � 1} = = {λ � ±f ±Lp(·)(Ω\Ω∞ ) : ρλ(p(·), f, Ω \ Ω∞) � 1} = = {λ > ±f ±Lp(·)(Ω\Ω∞ ) : ρλ(p(·), f, Ω \ Ω∞) � 1} = (±f ±Lp(·) (Ω\Ω∞ ), ∞). Поэтому согласно п. 2 ±f ±Lp( )(Ω) = ±f ± p(·) \ ∞ . (2.5) BT L (Ω Ω ) · Равенства (2.4) и (2.5) означают, что выполняется равенство (2.2). Замечание 2.1. Если p(x)= ∞ для любых x ∈ Ω, то согласно (2.2) ±f ±Lp( )(Ω) = ±f ± ∞ . (2.6) BT L (Ω) · ±Lp(·)(Ω) · Замечание 2.2. Пусть p :Ω → [1, ∞]. Тогда ±f BT является нормой на Lp( )(Ω), эквивалент- ±Lp(·) (Ω) ной норме ±f KR . Действительно, согласно (1.3) и (2.2) 1 KR BT KR 2 ±f ±Lp(·)(Ω) � ±f ±Lp(·)(Ω) � ±f ±Lp(·)(Ω). (2.7) Замечание 2.3. Пусть Ω = Ω1 ∪ Ω∞, Ω1 ∩ Ω∞ = 0, meas Ω1 < ∞, meas Ω∞ > 0, a1, a2 � 0; p(x)= 1, f (x)= a1 на Ω1; p(x)= ∞, f (x)= a∞ на Ω∞. Тогда KR J a1 a∞ · ±f ±Lp( )(Ω) = inf λ > 0: Ω1 dx + λ λ � 1 = L∞(Ω∞) = inf{λ > 0: a1 meas Ω1 + a∞ � λ} = a1 meas Ω1 + a∞ 476 В. И. БУРЕНКОВ, Т. В. ТАРАРЫКОВА и · BT ±f ±Lp( ) (Ω) = max{±f ±L1 (Ω1 ), ±f ±L∞ (Ω∞)} = max{a1 meas Ω1, a∞}. Если a1, a∞ > 0, то BT KR · ±f ±Lp( )(Ω) < ±f ±L p(·) (Ω), KR BT причем если a1 meas Ω1 = a∞, то ±f ±Lp( ) (Ω) = 2±f ±L (Ω) и левое неравенство в (2.7) обращается в равенство. · p(·) Если же a1 =0 или a∞ = 0, то правое неравенство в (2.7) обращается в равенство. Пусть Ω ⊂ Rn - измеримое множество, α, X, Y - неотрицательные измеримые на Ω функции, α(x) � 1, α = ess inf α(x), α = ess sup α(x). X(x) dx � 1, Ω Y (x) dx � 1, Ω x∈Ω x∈Ω В приводимых ниже рассуждениях мы будем часто пользоваться следующим простым неравенством: (α(x)X(x)+ (1 - α(x))Y (x)) dx � 1+ α - α. (2.8) Ω При α(x)=0 или α(x)=1 может встретиться произведение 0 · ∞. В этом случае мы считаем, что 0 ·∞ = 0. Если Ω1 и Ω2 - не пересекающиеся измеримые по Лебегу подмножества Ω, X(x)= 0 на Ω \ Ω1, Ω1 X(x) dx = 1; Y (x)=0 на Ω \ Ω2, Ω2 Y (x) dx = 1, и α(x)= α на Ω1, α(x)= α на Ω2, то неравенство (2.8) обращается в равенство. Теорема 2.1. Пусть Ω ⊂ Rn - измеримое по Лебегу множество; p, q : Ω → (0, ∞] - измеримые по Лебегу функции такие, что · для любых x ∈ Ω 0 < p(x) � q(x) � ∞; p(x)q(x) • r(x) = q(x) - p(x) , если p(x) < q(x) < ∞, r(x) = p(x), если p(x) < q(x) = ∞, и r(x) = ∞, если p(x)= q(x); · m = ess inf x∈Ω Если p > 0, то p(x) q(x) , M = ess sup x∈Ω BT p(x) q(x) , p= ess inf p(x). x∈Ω 1 p BT BT · ±fg±Lp( ) (Ω) � (1 + M - m) для любых f ∈ LBT (Ω) и g ∈ LBT (Ω). ±f ±L q(·) (Ω)±g±L r(·) (Ω) (2.9) q(·) Доказательство. r(·) Шаг 1. Пусть сначала 0 < p(x) < q(x) < ∞ для любых x ∈ Ω, при этом Ω∗ = Ω. Воспользуемся неравенством Юнга где a, b � 0, s > 1 и s! = s s . Пусть - 1 ab � BT as bst + , s s! BT · λ> ±f ±Lq( ) (Ω), μ > ±g±L r(·) (Ω). (2.10) Полагая s = q(x) , a = |f (x)| p(x) и b = |g(x)| p(x), получим, что s! = q(x) r(x) = и p(x) λ μ q(x) - p(x) p(x) |f (x)| |g(x)| p(x) � p(x) |f (x)| q(x) + p(x) |g(x)| r(x). λ · μ q(x) λ 1 - q(x) μ О НЕРАВЕНСТВЕ ГЕЛЬДЕРА В ЛЕБЕГОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С ПЕРЕМЕННЫМ ПОРЯДКОМ СУММИРУЕМОСТИ 477 Следовательно, |f (x)g(x)| p(x) dx � 1 - p(x) |f (x)| q(x) + p(x) |g(x)| r(x) dx. (2.11) λμ q(x) λ Ω Ω q(x) μ Согласно (2.10) и определению пространств LBT (Ω) и LBT (Ω) имеем Ω В силу неравенства (2.8) с q(·) |f (x)| q(x) dx � 1, λ Ω r(·) |g(x)| r(x) dx � 1. μ α(x)= p(x) q(x) )= , X(x |f (x)| q(x) λ , Y (x)= |g(x)| μ r(x) из неравенства (2.11) следует, что |f (x)g(x)| p(x) dx � 1+ M λμ Ω - m. Значит, поскольку (1 + M - m)- p(x) p � (1 + M - m)-1 для почти всех x ∈ Ω, |f (x)|·|g(x)| p(x) 1 dx � 1 |f (x)|·|g(x)| p(x) dx � 1 p Ω (1 + M - m) λμ и (1 + M - m) λμ Ω 1 BT p · ±fg±Lp( )(Ω) � (1 + M - m) λμ. (2.12) Взяв инфимум по всем рассматриваемым λ и μ, получим неравенство (2.9). Шаг 2. Пусть теперь 0 < p(x) � q(x) < ∞ для любых x ∈ Ω, G1 = {x ∈ Ω : p(x) < q(x)}, G2 = {x ∈ Ω : p(x) = q(x)} и выполняются неравенства (2.10). Согласно неравенству (2.8) с Ω, замененным на G1, и с учетом того, что для почти всех x ∈ G2 согласно равенству (2.6) BT BT · |g(x)| � ±g±L∞(G2 ) = ±g±Lr( )(G2 ) � ±g±L r(·) (Ω), (2.13) следовательно, |g(x)| < 1, получим, что μ |f (x)g(x)| p(x) dx = |f (x)g(x)| p(x) dx + |f (x)| p(x) |g(x)| p(x) dx � λμ λμ λ μ Ω G1 G2 p(x) |f (x)| q(x) + p(x) |g(x)| r(x) dx + p(x) |f (x)| q(x) dx � q(x) λ G1 1 - q(x) μ q(x) λ � G2 p(x) |f (x)| q(x) + 1 p(x) |g(x)| r(x) dx. (2.14) � q(x) λ Ω - q(x) μ Далее, используя неравенство (2.8), с учетом неравенств (2.10), как в шаге 1, получим неравенство (2.12) и, значит, и неравенство (2.9). Шаг 3. Пусть далее 0 < p(x) � q(x) � ∞ и p(x) < ∞ для любых x ∈ Ω, G3 = {x ∈ Ω, q(x) < ∞}, G4 = {x ∈ Ω, q(x) = ∞} и выполняются неравенства (2.10). Согласно неравенству (2.14) с Ω, замененным на G3, и с учетом того, что для почти всех x ∈ G4 согласно равенству (2.6) BT BT · |f (x)| � ±f ±L∞(G4 ) = ±f ±Lq( )(G4 ) � ±f ±L q(·) (Ω), (2.15) следовательно, |f (x)| < 1, получим, что λ |f (x)g(x)| p(x) dx = |f (x)g(x)| p(x) dx + |f (x)| p(x) |g(x)| p(x) dx � λμ λμ λ μ Ω G3 G4 478 В. И. БУРЕНКОВ, Т. В. ТАРАРЫКОВА p(x) |f (x)| q(x) + p(x) |g(x)| r(x) dx + p(x) |g(x)| r(x) dx � � q(x) λ G3 1 - q(x) μ 1 - q(x) μ G4 p(x) |f (x)| q(x) + 1 p(x) |g(x)| r(x) dx. (2.16) � q(x) λ Ω - q(x) μ Далее, используя неравенство (2.8), с учетом неравенств (2.10), как в шаге 1, получим неравенство (2.12) и, значит, неравенство (2.9). Шаг 4. Пусть, наконец, 0 < p(x) � q(x) � ∞ для любых x ∈ Ω, G5 = {x ∈ Ω, p(x) < ∞}, G6 = {x ∈ Ω, p(x) = q(x) = ∞} и выполняются неравенства (2.10). Согласно неравенству (2.16) с Ω, замененным на G5, и с учетомтого, что на G6 q(x)= r(x)= ∞ и что согласно равенству (2.15) с G4, замененным на G5, и (2.13) с G2, замененным на G6, для почти всех x ∈ G6 BT BT получим, что · |f (x)| � ±f ±Lq (Ω), |g(x)| � ±g±Lr( ) (Ω), |f (x)g(x)| p(x) dx � λμ G6 G6 и ±f ±Lq (Ω) λ · ±g±Lr (Ω) ∞ dx =0 μ |f (x)g(x)| p(x) dx = λμ Ω G5 p(x) |f (x)| q(x) + |f (x)g(x)| p(x) dx � λμ p(x) |g(x)| r(x) dx � � q(x) λ G5 1 - q(x) μ p(x) |f (x)| q(x) + p(x) |g(x)| r(x) dx � q(x) λ Ω 1 - q(x) μ (здесь, в дополнение к принятым ранее соглашениям, мы считаем, что ∞ = 1). Далее, используя неравенство (2.8), с учетомнеравенств (2.10), как в шаге 1, получим нер∞авенство (2.12) и, значит, неравенство (2.9). Отметим некоторые частные случаи неравенства (2.9). Если 1 � p(x) � ∞ для любого x ∈ Ω, то 1 1 BT BT - |f (x)g(x)| dx � Ω · · 1+ p p ±f ±Lp( )(Ω)±g±Lpt ( )(Ω). (2.17) Если в теореме 1.1 meas Ω1 > 0 или meas Ω∞ > 0 и meas Ω∗ > 0, то постоянная в неравенстве (2.17) меньше постоянной в неравенстве (1.6), которая в этом случае равна 3+ 1 p∗ 1 - p∗ . Если же в теореме 1.1 meas Ω1 = meas Ω∞ = 0, meas Ω∗ > 0, то p∗ = p, p∗ = p и постоянная в неравенстве (2.17) совпадает с постоянной в неравенстве (1.6), принимающем вид (1.9), но и в этом случае неравенство (2.17) точнее неравенства (2.12), так как согласно неравенству (2.7) BT BT KR KR ±f ±Lp( )(Ω)±g±Lpt ( )(Ω) � ±f ±Lp( ) (Ω)±g±L t (Ω). · · · c p (·) c Если 0 < p(x) � ∞ для любого x ∈ Ω, c � 1, c! = - ∞ , если c > 1, c! = , если c = 1, то 1 BT BT BT в частности, · ±fg±Lp( ) (Ω) � ±f ±L cp(·) · (Ω)±g±Lct p( )(Ω), (2.18) BT BT BT · ±fg±Lp( ) (Ω) � ±f ±L 2p(·) (Ω)±g±L 2p(·) (Ω), (2.19) BT BT BT · ±fg±Lp( ) (Ω) � ±f ±L p(·) ∞ (Ω)±g±L (Ω). (2.20) О НЕРАВЕНСТВЕ ГЕЛЬДЕРА В ЛЕБЕГОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С ПЕРЕМЕННЫМ ПОРЯДКОМ СУММИРУЕМОСТИ 479 Если meas Ω < ∞, 0 < p(x) � q(x) � ∞ и p > 0, то 1 где при r > 0, r < ∞ ±f ±Lp( )(Ω) � (1 + M - m) BT p · ±1±Lr( ) (Ω)±f ±Lq( ) BT BT · · (Ω), (2.21) ±1±Lr( ) (Ω) � r BT ((meas Ω) 1 , если meas Ω � 1, 1 · (meas Ω) r , если meas Ω > 1. Действительно, пусть meas Ω � 1. Так как 1 r(x) � 1 r при 0 <λ � 1, то λ λ J 1 r J 1 r(x) 0 <λ � 1: Ω и λ dx � 1 ⊂ 0 <λ � 1: λ Ω dx � 1 ±1±Lr( ) (Ω) � inf BT J · 0 <λ � 1: Ω 1 r(x) λ 1 dx � � � inf J0 <λ � 1: 1 r dx � 1 r � = inf {0 <λ � 1: λ � (meas Ω) 1 1 = (meas Ω) r . λ Ω Аналогично рассматривается случай, когда meas Ω > 1. 3. ПРИМЕРЫ 1. Пусть Ω1, Ω2 - не пересекающиеся измеримые по Лебегу множества конечной меры, Ω = Ω1 ∪ Ω2, 0 < p1, p2 < ∞, 0 � a1, a2 < ∞, В этом случае 1 ∈ 1 (a , если x Ω , ϕ(x)= a2, если x ∈ Ω2, p(x)= (p1, если x ∈ Ω1, p2, если x ∈ Ω2. ±ϕ±Lp( ) (Ω) = inf BT λ> 0: · Ω |ϕ(x)| p(x) λ dx � 1 = 0: = inf Jλ> a1 p1 λ meas Ω1 + a2 p2 λ 1 meas Ω2 � = λ∗, где λ∗ - единственный положительный корень уравнения 1 p1 1 p2 где t1 λ + t2 λ - 1= 0, (3.1) t1 = ap1 meas Ω1, t2 = ap2 meas Ω2. (3.2) 1 2 2. Пусть в примере 1 p1 = 2, p2 = 1, тогда (3.1) - квадратное уравнение и BT 1 2 ±ϕ±Lp(·) (Ω) = 2 t2 + 4t1 + t2 . В этом случае p!(x)= 2, если x ∈ Ω1, и p!(x)= ∞, если x ∈ Ω2. Пусть 0 < b1, b2 < ∞ и 1 ∈ 1 (b , если x Ω , ψ(x)= Согласно формуле (2.2) b2, если x ∈ Ω2. где ±ψ± pt( ) = max BT L (Ω) · J ±b1±L2 (Ω1 ), ±b2±L∞ (Ω2 ) = max / b J 1 meas Ω1, b2 = max{τ1, τ2}, τ1 = b1/meas Ω1, τ2 = b2. 480 В. И. БУРЕНКОВ, Т. В. ТАРАРЫКОВА Кроме того, |ϕ(x)ψ(x)| dx = a1b1 meas Ω1 + a2b2 meas Ω2 = √t1 τ1 + t2τ2. Ω Пусть C > 0. Рассмотрим для определенной выше функции p(x) неравенство BT BT |f (x)g(x)| dx � C±f ±Lp( )(Ω)±g±Lpt ( )(Ω), (3.3) · · Ω выполняющееся для любых f ∈ LBT (Ω) и g ∈ LBT (Ω). В этом случае p = 1, p = 2 и согласно q(·) r(·) неравенству (2.17) C � 1,5. С другой стороны, выбирая в (3.3) f = ϕ и g = ψ, имеем C � sup (/ 2(√t1 τ1 + t2τ2) ) = sup 2(√t1 + t2) / 2(1 + ξ) = max / = 1,25. 2 t1 ,t2,τ1 ,τ2 >0 t2 + 4t1 + t2 max{τ1, τ2} 2 t1 ,t2>0 t2 + 4t1 + t2 ξ>0 ξ2 +4+ ξ Отметим еще, что согласно неравенству (2.7) из неравенства (2.17) следует, что для рассматриваемой функции p(x) KR KR |f (x)g(x)| dx � 1,5 ±f ±Lp( ) (Ω)±g±Lpt ( )(Ω) · · Ω для любых f ∈ Lp(·)(Ω) и g ∈ Lpt(·)(Ω), в то время как из неравенства (1.6) следует только, что это неравенство выполняется с постоянной 2 (вместо 1,5). В заключение, авторы благодарят рецензента за тщательное чтение статьи и ряд замечаний, которые были учтены авторами.