On Generalized Solutions of the Second Boundary-Value Problem for Differential-Difference Equations with Variable Coefficients

Abstract

We consider the second boundary-value problem for a second-order differential-difference equation with variable coefficients on the interval (0,d). We investigate the existence of a generalized solution and obtain conditions on the right-hand side of the equation which ensure the smoothness of generalized solutions on the entire interval (0,d).

Full Text

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 576 1. Разностные операторы на интервале Q 577 2. Некоторые сведения из вариационной теории краевых задач 580 3. Разрешимость второй краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения . . 581 4. Гладкость обобщенных решений второй краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения на подынтервалах 583 5. Гладкость обобщенных решений второй краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения на интервале целой длины 585 Список литературы 593 ВВЕДЕНИЕ Обобщенные решения первой краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа на конечном интервале впервые рассматривались в работах [2, 3]. Было показано, что решения такой задачи обладают целым рядом принципиально новых свойств. Например, гладкость обобщенных решений может нарушаться во внутренних точках интервала даже при бесконечно дифференцируемой правой части. В работах [4, 15] были получены условия на правые части уравнения, обеспечивающие гладкость обобщенных решений первой краевой задачи для дифференциально-разностных уравнений на всем интервале. Вопрос о нахождении таких условий в случае второй краевой задачи является открытым. В работах [10, 14] в случаях как первой, так и второй краевых задач были получены условия на коэффициенты дифференциально-разностного уравнения, при выполнении которых гладкость обобщенных решений дифференциально-разностного уравнения сохраняется на всем интервале для любой правой части. Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений возникают во многих важных приложениях, в частности, в задаче об успокоении системы управления с последействием [6, 8, 11, 12, 15]. Первый автор был поддержан РФФИ, грант № 20-01-00288. © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 576 ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 577 В настоящей работе исследуется вопрос о разрешимости второй краевой задачи для дифференциально-разностных уравнений с переменными коэффициентами на интервале (0, d), а также получены условия на правую часть уравнения, при выполнении которых гладкость обобщенных решений сохраняется на всем интервале (0, d). Рассматривается задача - RQu× × = f (x), x ∈ Q, (1) (RQu×)(0) = (RQu×)(d)= 0. (2) Здесь Q = (0, d), d = n+θ, n ∈ N, 0 < θ � 1, f ∈ L2(Q) - комплекснозначная функция, разностный оператор RQ будет определен позже. Статья построена следующим образом. В разделе 1 описываются разностные операторы RQ, действующие на интервале Q. В разделе 2 излагаются некоторые известные результаты из вариационной теории абстрактных краевых задач, необходимые в дальнейшем. В разделе 3 исследуется вопрос существования обобщенного решения задачи (1), (2). Разделы 4 и 5 посвящены гладкости обобщенных решений задачи (1), (2). В дальнейшем в неравенствах через c, ci и kj будем обозначать положительные постоянные, которые не зависят от функций, входящих в неравенства, если не оговорены другие условия на эти константы. 1. РАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ НА ИНТЕРВАЛЕ Q Введем операторы R : L2(R) → L2(R), IQ : L2(Q) → L2(R) и PQ : L2(R) → L2(Q) следующим образом: n (Ru)(x)= '\" j=-n aj (x)u(x + j), (1.3) (IQv)(x)= v(x), x ∈ Q; (IQv)(x)= 0, x ∈ R \ Q; (1.4) (PQv)(x)= v(x), x ∈ Q; (1.5) где aj (x) ∈ C∞(R) - комплекснозначные функции. Сдвиги аргументов x 1→ x + j оператора R могут отображать точки интервала Q в R \ Q. С учетом этих отображений краевые условия для уравнения (1) следует задавать не только на границе Q, но и на множестве R\Q. Для рассмотрения однородных краевых условий вводится оператор IQ, который является оператором продолжения нулем функции из L2(Q) в R \ Q. Для изучения дифференциально-разностного уравнения не на всем множестве R, а только лишь на интервале Q = (0, d), вводится оператор PQ, являющийся оператором сужения функции из L2(R) на Q. Введем также оператор RQ : L2(Q) → L2(Q) по формуле RQ = PQRIQ. (1.6) Q Лемма 1.1. I∗ Q = PQ, P ∗ = IQ, т. е. для всех u ∈ L2(Q), v ∈ L2 (R) имеем (IQu, v)L2 (R) = (u, PQv)L2 (Q) . Доказательство следует из (1.4), (1.5). Лемма 1.2. Операторы R : L2(R) → L2(R), RQ : L2(Q) → L2(Q) ограниченные; n (R∗u)(x)= '\" j=-n Q aj (x - j)u(x - j), R∗ = PQR∗IQ. Доказательство следует из леммы 1.1. Лемма 1.3. Если оператор R : L2(R) → L2(R) самосопряженный, то самосопряженным является и оператор RQ : L2(Q) → L2(Q). Доказательство следует из лемм 1.1 и 1.2. Введенные операторы используются для изучения краевой задачи (1), (2). Рассмотрим разбиение интервала Q = (0, d) на подынтервалы, которые образуются из этого интервала выбрасыванием орбит его концов, порождаемых группой целочисленных сдвигов. Другими словами, указанные подынтервалы являются связными компонентами множества 578 А. Л. СКУБАЧЕВСКИЙ, Н. О. ИВАНОВ (0, d) \ ({j}n ∪ {d - j}n). В зависимости от значения θ получим один или два класса непересе- 1 1 кающихся подынтервалов. Если θ = 1, то получим один класс непересекающихся подынтервалов Q1k = (k - 1, k) при k = 1,... ,n + 1; если же 0 < θ < 1, то мы рассматриваем два класса непересекающихся подынтервалов: Q1k = (k - 1,k - 1+ θ) при k = 1,... ,n +1 и Q2k = (k - 1+ θ, k) при k = 1,... , n. Отметим, что все подынтервалы одного класса получаются друг из друга сдвигом на некоторое целое число. Пример 1.1. Пусть d = 2. Тогда n = 1, θ = 1. Получим один класс подынтервалов Q11 = (0, 1) и Q12 = (1, 2) (рис. 1). РИС. 1. θ =1 Пример 1.2. Пусть d = e. Тогда n = 2, θ = e - 2. Получим два класса подынтервалов Q11 = (0,e - 2), Q12 = (1,e - 1), Q13 = (2, e) и Q21 = (e - 2, 1), Q22 = (e - 1, 2) (рис. 2). РИС. 2. θ = e - 2 Через L2( J Qsk\ обозначим подпространство функций из L2(Q), равных нулю вне J Qsk, k k k = 1,... ,N (s), где N (1) = n + 1, N (2) = n; s = 1, 2, если 0 < θ < 1; s = 1, если θ = 1. Очевидно, L2( J Q1k \ = L2(Q), если θ = 1. Обозначим через Ps : L2(Q) → L2( J Qsk\ оператор k k ортогонального проектирования функций на L2( J Qsk\ в пространстве L2(Q). k Очевидно, L2(Q)= � L2( I Qsk\. (1.7) s k Заметим, что при θ =1 оператор P1 : L2(Q) → L2( J Q1k \ является единичным оператором. Здесь, k как и ранее, Q1k = (k - 1, k) при k = 1,... ,n + 1. Из определений введенных операторов и подынтервалов вытекает следующая лемма. Лемма 1.4. Пространство функций L2( J Qsk\ есть инвариантное подпространство опеk ратора RQ. Построим изоморфизм гильбертовых пространств 2 Us : L2( I Qsk\ → LN (Qs1), k определив вектор-функцию (Usu)(x) следующим равенством: (Usu)k (x)= u(x + k - 1), x ∈ Qsk, k = 1,... ,N ; (1.8) N LN 2 (Qs1)= ТТ k=1 L2(Qs1), ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 579 где N = n +1 при s = 1; N = n при s = 2. Обозначим через Rs = Rs(x), x ∈ Qs1, матрицу порядка N (s) × N (s) с элементами rs ij (x)= aj-i(x + i - 1), x ∈ R; i, j = 1,... ,N (s). (1.9) Таким образом, матрица R1 = R1(x) имеет вид ⎛ ⎜ R1 = ⎜ a0(x) a1(x) ... an(x) a-1(x + 1) a0(x + 1) ... an-1(x + 1) . . . ⎞ ⎟ ⎟ , x ∈ R, ⎜ .. ⎝ ... . . . . ⎟ ⎠ a-n(x + n) a-n+1(x + n) ... a0(x + n) а матрица R2 = R2(x) имеет вид ⎛ ⎜ R2 = ⎜ a0(x) a1(x) ... an-1(x) a-1(x + 1) a0(x + 1) ... an-2(x + 1) . . . ⎞ ⎟ ⎟ , x ∈ R. ⎜ .. ⎝ ... . . . . ⎟ ⎠ a-n+1(x + n - 1) a-n+2(x + n - 1) ... a0(x + n - 1) Очевидно, матрица R2 может быть получена из матрицы R1 вычеркиванием последней строки и последнего столбца. В дальнейшем будем рассматривать матрицы R1(x) при x ∈ Q11, а R2(x) при x ∈ Q21. Лемма 1.5. Оператор RQs = UsRQU -1 : LN (Qs1) → LN (Qs1) является оператором умножеs 2 2 ния на квадратную матрицу Rs(x). Доказательство. Положим V ∈ LN (Qs1) и обозначим u = U -1V ∈ L2( J Qsk \ В силу (1.8) 2 s . k и (1.9) получим 1 (RQsV )i (x)= UsRQU - V (x)= (UsRQu) (x)= (RQu) (x + i - 1) = s i i N N ij = '\" al (x + i - 1)u(x + i - 1+ l)= '\" rs (x) (Usu)j ij (x)= '\" rs (x)Vj (x), x ∈ Qs1. l j=1 j=1 Здесь u(x + i - 1+ l)=0 при x + i - 1+ l ∈/ (0, d). Пусть A : H → H - ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H. Назовем оператор A положительным (неотрицательным), если (Ax, x) > 0 ((Ax, x) ): 0) для всех x ∈ H, x ±= 0. Назовем оператор A положительно определенным, если (Ax, x) > c1(x, x) для всех x ∈ H. В случае оператора умножения на эрмитову матрицу в конечномерном пространстве понятия положительного и положительно определенного операторов совпадают. Q Лемма 1.6. Оператор RQ + R∗ : L2(Q) → L2(Q) является положительно определенным тоs гда и только тогда, когда матрицы Rs(x)+ R∗(x) положительно определены для всех x ∈ Qs1, если θ = 1; s = 1, 2, если 0 < θ < 1; R∗(x) - эрмитово сопряженные матрицы. s = 1, s s Определение 1.1. Будем говорить, что дифференциально-разностное уравнение (1) удовлетворяет условию сильной эллиптичности, если матрицы Rs(x)+ R∗(x) положительно определены для всех x ∈ Qs1, s = 1, если θ = 1; s = 1, 2, если 0 < θ < 1. Очевидно, условие сильной эллиптичности для уравнения (1) эквивалентно выполнению неравенства 1 Re(RsY, Y ) ): c1Y 2 (1.10) для всех x ∈ Qs1, s и Y ∈ CN (s), где s = 1, 2, если 0 < θ < 1, и s = 1, если θ = 1; c > 0 не зависит от x и Y ; (·, ·) и 1·, ·1 - скалярное произведение и норма в CN (s) соответственно. Далее будем предполагать, что уравнение (1) удовлетворяет условию сильной эллиптичности. 580 А. Л. СКУБАЧЕВСКИЙ, Н. О. ИВАНОВ Замечание 1.1. По своим свойствам и методам исследования краевые задачи для обыкновенных функционально-дифференциальных уравнений находятся значительно ближе к краевым задачам для эллиптических дифференциальных уравнений, чем к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [15]). Например, если RQ - оператор умножения на вещественную гладкую функцию k(x) ±= 0, то уравнение (1) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение, соответствующий дифференциальный оператор будет самосопряженным, а его спектр - вещественным, дискретным и полуограниченным. Если же коэффициенты оператора RQ - вещественные числа, а матрицы Rs (s = 1, 2) симметричные, невырожденные, но не знакоопределенные, то соответствующий дифференциально-разностный оператор в уравнении (1) будет самосопряженным, а его спектр вещественным и дискретным, но не будет полуограниченным (см. [15, пример 23.2]). Таким образом, термин «сильно эллиптическое дифференциально-разностное уравнение» представляется оправданным. Определение 1.2. Краевую задачу (1), (2) будем называть второй краевой задачей для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения. 2 W k Пусть W k(Q) - пространство Соболева комплекснозначных функций из L2(Q), имеющих все обобщенные производные вплоть до k-ого порядка из L2(Q). Скалярное произведение для u, v ∈ 2 (Q) вводится по формуле 2 (Q) (u, v)W k k = '\" d r u(i)v(i)dx. i=0 0 2 Лемма 1.7. Пусть det Rs(x) ±= 0 при x ∈ Qs1, s = 1, 2, если 0 < θ < 1, и det R1(x) ±= 0 при x ∈ Q11, если θ = 1. Тогда оператор RQ : L2(Q) → L2(Q) имеет ограниченный обратный. Пусть, кроме того, w ∈ W k(Qsj ) (s = 1, 2; j = 1,... ,N (s), если 0 < θ < 1, и s = 1, j = 1,... , n+1, R если θ = 1). Тогда 2 Q -1w ∈ W k(Qsi) и 1R-1 Q w1W k � c0 N (s) '\" 1w1 k , (1.11) где c0 > 0 не зависит от w. 2 (Qsi ) j=1 W2 (Qsj ) Доказательство аналогично доказательству леммы 2.12 из [15, гл. 1, §2]. 2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВАРИАЦИОННОЙ ТЕОРИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Ниже мы изложим некоторые определения и результаты, содержащиеся в [9, гл. 2, §9]. Пусть V и H - гильбертовы пространства, причем V непрерывно и плотно вложено в H. Пространство H совпадает со своим антидвойственным, и если V × антидвойственно к V, то поскольку V плотно в H, можно отождествить H с подпространством пространства V ×. Таким образом, V ⊂ H ⊂ V ×. Обозначим через (·, ·) скалярное произведение в H, а через |·| норму в H. Если f ∈ V ×, а v ∈ V, то действие антилинейного функционала f на v мы обозначим через (f, v⊗ . В случае f ∈ H, v ∈ V мы имеем (f, v⊗ = (f, v). Обозначим через (·, ·)V и 1· 1V скалярное произведение в пространстве V и норму в V соответственно. Пусть b(u, v) - полуторалинейная непрерывная форма в V × V. Определение 2.1. Полуторалинейная непрерывная форма b(u, v) в V × V называется V -эллиптической, если 1V Re b(u, u) ): α1u 2 (2.1) для любого u ∈ V, где α > 0 не зависит от u. Рассмотрим следующую задачу: найти элемент u ∈ V такой, что b(u, v)= (f, v⊗ (2.2) для любого v ∈ V, где f ∈ V ×. ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 581 В силу непрерывности полуторалинейной формы b(u, v) в V × V мы можем представить ее в виде b(u, v)= (Au, v⊗ , u, v ∈ V, (2.3) где A : V → V × - линейный ограниченный оператор. Тогда задача нахождения решения u ∈ V, удовлетворяющего тождеству (2.2), эквивалентна линейному операторному уравнению вида Au = f. (2.4) Отметим, что в случае краевых задач для сильно эллиптических дифференциальных уравнений абстрактные задачи (2.2) и (2.4) служат эквивалентными определениями обобщенных решений. В разделе 3 мы используем эти формулировки для определения обобщенных решений второй краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения. Лемма 2.1. Пусть полуторалинейная форма b(u, v) является V -эллиптической. Тогда для любого f ∈ V × существует единственное решение u ∈ V тождества (2.2), при этом 1u1V � c01f 1V × , (2.5) где c0 > 0 не зависит от f. Наряду с задачей о нахождении решения тождества (2.2) рассмотрим следующую задачу: найти элемент u ∈ V такой, что для любого v ∈ V, где λ ∈ C задано. b(u, v)+ λ(u, v)= (f, v⊗ (2.6) Определение 2.2. Полуторалинейная непрерывная форма b(u, v) в V × V называется V -коэрцитивной, если существуют константы λ0 ∈ R и α > 0 такие, что для любого u ∈ V. Из леммы 2.1 вытекает | Re b(u, u)+ λ0|u 2 1V ): α1u 2 (2.7) Следствие 2.1. Пусть полуторалинейная форма b(u, v) является V -коэрцитивной. Тогда при λ ∈ C таком, что Re λ ): λ0, для любого f ∈ V × существует единственное решение u ∈ V тождества (2.6), при этом где cλ > 0 не зависит от f. 1u1V � cλ1f 1V × , (2.8) Эквивалентное изложение абстрактного подхода к исследованию краевых задач для сильно эллиптических дифференциальных уравнений можно найти также в [5, гл. VI]. 3. РАЗРЕШИМОСТЬ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ Введем в W 1(0, d) × W 1(0, d) полуторалинейную форму по формуле 2 2 2 bR(u, v)= RQu×, v× L (0,d) . Лемма 3.1. Существует постоянная c1 > 0 такая, что выполнено неравенство |bR(u, v)| � c11u1W 1 1v1 1 , u, v ∈ W 1(0, d), (3.1) 2 (0,d) W2 (0,d) 2 2 где c1 > 0 не зависит от u и v. При этом для каждого c3 > 0 существует c2 > 0 такое, что для любой функции u ∈ W 1(0, d) выполнено неравенство типа Гординга 2 2 2 (0,d) Re bR(u, u)+ c31u1L2 (0,d) ): c21u1W 1 . (3.2) 2 Доказательство. В силу ограниченности оператора RQ : L2(0, d) → L2(0, d) (лемма 1.2) и неравенства Коши-Буняковского получим неравенство (3.1). Покажем, что для u ∈ W 1(0, d) выполняется оценка L (0,d) Re RQu×, u× 2 2 ): c1u×1L (0,d). 2 582 А. Л. СКУБАЧЕВСКИЙ, Н. О. ИВАНОВ Используя введенный по формуле (1.8) изоморфизм Us и неравенство (1.10), получим 2 Re RQu×, u× L (Q) = Re '\" s Rs(UsPsu)×, (UsPsu)× \ LN ): 2 (Qs1 ) ): c '\" (U P u)×, (U P u)×\ s s s s s LN 2 (Qs1 ) = c1u× 2 1L2 (Q) . (3.3) Из (3.3) следует неравенство (3.2). Замечание 3.1. Из неравенства (3.3) следует, что 2 1 2 Re bR(u, u) ): c1u×1L (0,d), u ∈ W2 (0, d). В силу леммы 3.1 полуторалинейная форма bR(u, v), u, v ∈ W 1(Q), является W 1(Q)-коэрцитив- 2 2 2 ной, при этом для любого λ0 > 0 существует α > 0 такое, что неравенство (2.7) выполняется при всех u ∈ W 1(Q). Дадим теперь определение обобщенного решения задачи (1), (2), предполагая, что f ∈ L2(Q). 2 2 Определение 3.1. Функцию u ∈ W 1(Q) будем называть обобщенным решением задачи (1), (2), если для всех v ∈ W 1(Q) выполняется интегральное тождество bR(u, v)= (f, v)L2 (Q). (3.4) Из раздела 2 следует, что форму bR(u, v) можно представить в виде 2 bR(u, v)= (ARu, v⊗ , u, v ∈ W 1(Q), (3.5) где AR : W 1(Q) → (W 1(Q))× - линейный ограниченный оператор. Таким образом, можно дать 2 2 следующее определение обобщенного решения задачи (1), (2), эквивалентное определению (3.1). 2 Определение 3.2. Функцию u ∈ W 1(Q) будем называть обобщенным решением задачи (1), (2), если ARu = f. (3.6) Теорема 3.1. Если уравнение (1) удовлетворяет условию сильной эллиптичности, то вторая краевая задача (1), (2) разрешима тогда и только тогда, когда d r f (x)dx = 0, (3.7) 0 2 при этом существует единственное обобщенное решение u ∈ W 1(Q) задачи (1), (2), удовлетворяющее условию d r u(x)dx = 0. (3.8) 0 Доказательство. 1. Рассмотрим операторное уравнение (AR + λ0I)u = f, (3.9) где Re λ0 > 0. Введем неограниченный оператор AR : L2(Q) ⊃ D(AR) → L2(Q) с областью определения 2 D(AR)= {u ∈ W 1(Q): ARu ∈ L2(Q)� , действующий по формуле ARu = ARu, u ∈ D(AR). 2 В силу W 1(Q)-коэрцитивности формы bR(u, v), следствия 2.1 и непрерывности вложения L2(Q) 2 в W 1(Q) × существует ограниченный обратный оператор (AR + λ0I)-1 : L2(Q) → L2(Q), при этом 2 (Q) 1u1W 1 � k11f 1L2 (Q) . (3.10) 2 Таким образом, спектр оператора AR принадлежит множеству Re λ ): 0. Кроме того, в силу компактности вложения W 1(Q) в L2(Q) и оценки (3.10) оператор (AR + λ0I)-1 : L2(Q) → L2(Q) ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 583 компактный. Поэтому в силу теоремы 6.29 из [5, гл. III, §6] спектр σ(AR) состоит из изолированных собственных значений конечной кратности, а оператор R(λ, AR): L2(Q) → L2(Q) компактный при λ ∈/ σ(AR). 1. Определим сопряженную форму b∗ 1 R(u, v)= bR(v, u), u, v ∈ W2 (Q). Аналогично тождеству (2.3) мы получаем b∗ 1 R(u, v)= (A�R u, v⊗, u, v ∈ W2 (Q), (3.11) где A�R : W 1(Q) → W 1(Q) × - линейный ограниченный оператор. 2 2 Введем неограниченный оператор A�R : L2(Q) ⊃ D(A�R) → L2(Q) с областью определения 2 D(A�R)= {u ∈ W 1(Q): A�Ru ∈ L2(Q)}, действующий по формуле A�Ru = A�Ru, u ∈ D(A�R). Из определений операторов AR и A�R следует, что (ARu, v)L2 (Q) = bR(u, v)= b∗ (v, u)= (u, A�Rv)L (Q), u ∈ D(AR),v ∈ D(A�R). R Следовательно, A�R ⊂ A∗ R 2 и AR ⊂ (A�R)∗. Аналогично части 1 доказательства можно показать, что спектр σ(A�R) состоит из изолированных собственных значений конечной кратности. Таким образом, в силу леммы 13 из [1, гл. XIV, R §6] следует, что A�R = A∗ . 2. Докажем, что оператор AR фредгольмов и ind AR = 0. Напомним, что оператор AR называется фредгольмовым, если он замкнут, имеет замкнутый в L2(Q) образ R(AR), а его ядро N (AR) и коядро R(AR)⊥ конечномерны, при этом по определению ind AR = dim N (AR) - codim R(AR). Пусть λ0 < 0. Тогда λ0 ∈ ρ(AR). Как показано выше, оператор (AR - λ0I)-1 : L2(Q) → L2(Q) - компактный. Поэтому оператор AR(AR - λ0I)-1 = I + λ0(AR - λ0I)-1 является каноническим фредгольмовым оператором с нулевым индексом. Следовательно, оператор AR фредгольмов и ind AR = 0. R 4. Если v ∈ N (AR) и w ∈ N (A∗ ), то в силу (3.3), (3.5) и (3.11) v×(x) = w×(x) = 0 почти 2 всюду на (0, d). Следовательно, v(x) ≡ const и w(x) ≡ const почти всюду на (0, d). Для существования решения задачи (1), (2) необходимо и достаточно, чтобы (f, w)L2 (Q) = 0, при этом существует единственное обобщенное решение u ∈ W 1(Q) задачи (1), (2), удовлетворяющее условию d Г u(x)dx = 0. 0 Из доказательства теоремы 3.1 вытекает Следствие 3.1. Пусть уравнение (1) удовлетворяет условию сильной эллиптичности. Тогда оператор AR фредгольмов, ind AR = 0, dim N (AR)= 1 и 1 ∈ N (AR). 3. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ НА ПОДЫНТЕРВАЛАХ Докажем, что гладкость обобщенных решений задачи (1), (2) сохраняется на подынтервалах Qsk. 2 2 Теорема 4.1. Пусть выполняется условие сильной эллиптичности (1.10), u ∈ W 1(0, d) - решение операторного уравнения (3.9) c Re λ0 > 0 и f ∈ L2(0, d). Тогда u ∈ W 2(Qsk) (s = 1, 2; k = 1,... ,N (s), N (1) = n + 1, N (2) = n, если 0 < θ < 1; s = 1; k = 1,... ,n + 1, если θ = 1), при этом справедлива оценка 1u1W 2 2 (Qsj ) � c41f 1L2 (0,d) . (4.1) Доказательство. Подставляя bR(u, v)= (RQu×, v×)L2 (0,d) в интегральное тождество bR(u, v)+ λ0(u, v)L2 (0,d) = (f, v)L2 (0,d), 584 А. Л. СКУБАЧЕВСКИЙ, Н. О. ИВАНОВ получим где f0 = f - λ0u. В силу (3.10) d r RQu×v×dx = 0 d r f0vdx, (4.2) 0 1f01L2 (0,d) � c11f 1L2(0,d). (4.3) Пусть s - фиксированное число. В интегральном тождестве (4.2) предположим, что v ∈ C∞( J Qsk\ 0 , а в случае 0 < θ < 1 положим дополнительно, что v(x) = 0 при x ∈/ k J Qsk. Из k равенства (1.8) и леммы 1.5 вытекает, что r R U P u×,U v× dx = r (U P f ,U v) dx, Qs1 s s s s Qs1 s s 0 s W 1,N где (·, ·) - скалярное произведение в CN , N = N (s). Следовательно, вектор-функция UsPsu ∈ 2 (Qs1) является обобщенным решением системы N обыкновенных дифференциальных уравнений - RsUsPsu× × (x)= (UsPsf0) (x), x ∈ Qs1, (4.4) N где W 1,N (Qs1)= ТТ W 1(Qs1). 2 2 j=1 Поскольку UsPsf0 ∈ LN (Qs1), то RsUsPsu× ∈ W 1,N (Qs1). Из неравенства (1.10) следует, что 2 2 det Rs 1. ±= 0, x ∈ Qs1, при этом по условию элементы матрицы Rs(x) - бесконечно дифференцируемые функции. Таким образом, UsPsu× ∈ W 1,N (Qs1) и UsPsu ∈ W 2,N (Qs1), т. е. u ∈ W 2(Qsk ), k = 1,... ,N (s). 2 2 2 Применяя формулу Лейбница к левой части равенства (4.4), имеем Rs(x)UsPsu××(x)= F (x), x ∈ Qs1, (4.5) где F (x)= UsPsf0(x) - R× (x)UsPsu×(x) ∈ LN (Qs1). s 2 Из неравенств (4.3) и (3.10) следует, что 1F 1LN � c21f 1L (Q). (4.6) 2 (Qs1 ) 2 Поскольку det Rs(x) ±= 0, x ∈ Qs1, из (4.5) и (4.6) следует, что 1u××1L2 (Qsj ) � c31f 1L2(Q). (4.7) Наконец, из неравенств (4.7) и (3.10) вытекает оценка (4.1). Из теоремы 4.1 следует, что обобщенное решение u(x) задачи (1), (2) также обладает соответствующей гладкостью на подынтервалах Qsk. Однако, поскольку в силу теоремы 3.1 это решение не является единственным, оценка (4.1) уже не имеет места. Таким образом, мы получаем следующий результат. 2 2 Следствие 4.1. Пусть выполняется условие сильной эллиптичности (1.10), а u ∈ W 1(0, d) - решение операторного уравнения (3.6), т. е. функция u является обобщенным решением задачи (1), (2), где f ∈ L2(0, d). Тогда u ∈ W 2(Qsk) (s = 1, 2; k = 1,... ,N (s), N (1) = n + 1, N (2) = n, если 0 < θ < 1; s = 1; k = 1,... ,n + 1, если θ = 1). Докажем теперь, что, если u(x) - обобщенное решение задачи (1), (2), то уравнение (1) выполняется почти всюду на (0, d), и справедливы краевые условия (2). 2 1 Следствие 4.2. Пусть имеет место неравенство (1.10), а u ∈ W 1(0, d) - обобщенное решение задачи (1), (2), где f ∈ L2(0, d). Тогда RQu× ∈ W2 (0, d), уравнение (1) удовлетворяется почти всюду на (0, d), при этом выполняются краевые условия (2). ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 585 Доказательство. 0 1. Полагая, что в интегральном тождестве (3.4) v ∈ C∞(0, d), и используя определение обобщенной производной в пространстве распределений D×(0, d), получим (-(RQu×)×, v) = (f, v)L2 (0,d). 0 Поскольку f ∈ L2(0, d), а v ∈ C∞(0, d) - произвольная функция, имеем -(RQu×)×(x)= f (x) (4.8) почти всюду на (0, d) и (RQu×)× ∈ L2(0, d), т. е. 2 RQu× ∈ W 1(0, d). (4.9) 2 2. Положим теперь, что в интегральном тождестве (3.4) v ∈ W 1(0, d) - произвольная функция. Из (4.9) следует, что RQu× ∈ C[0, d]. Тогда, интегрируя по частям левую часть равенства (3.4), получим d d r r - (RQu×)×vdx + (RQu×)(d)v(d) - (RQu×)(0)v(0) = 0 0 fvdx. Отсюда и из (4.8) вытекает равенство (RQu×)(d)v(d) - (RQu×)(0)v(0) = 0. (4.10) 2 Поскольку v ∈ W 1(0, d) - произвольная функция, тождество (4.10) влечет за собой выполнение равенств (RQu×)(0) = (RQu×)(d)= 0. 5. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ НА ИНТЕРВАЛЕ ЦЕЛОЙ ДЛИНЫ Для того, чтобы сформулировать результат о гладкости обобщенных решений на интервале целой длины d = n + 1, докажем вначале вспомогательные результаты, а перед этим введем некоторые обозначения. Рассмотрим блочную матрицу R1 порядка (n + 2) × (2n + 2) вида R1 R1 = ( � |R�2\ , где R�1, R�2 - матрицы порядка (n + 2) × (n + 1), которые имеют вид R�1 = R1(0) \ , 0 R�2 = 0 \ R1(1) , при этом 0 обозначает нулевую строку длины n + 1. Другими словами, ⎛ ⎜ a0(0) a1(0) ... an(0) 0 0 ... 0 a-1(1) a0(1) ... an-1(1) a0(1) a1(1) ... an(1) ⎜ ⎜ a-2(2) a-1(2) ... an-2(2) a-1(2) a0(2) ... an-1(2) ⎜ ⎜ ... ... ... ... ... ... ... ... ⎜ ⎝ a-n(n) a -n+1(n) ... a0(n) a -n+1(n) a-n+2(n) ... a1(n) ⎞ ⎟ ⎟ . ⎟ R1 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 0 ... 0 a-n(n + 1) a-n+1(n + 1) ... a0(n + 1) Обозначим через R1 (R2) матрицу порядка (n + 2) × (2n + 1), полученную из матрицы R1 вычер- 1 1 R0 киванием первого (последнего) столбца соответственно, а через 1 матрицу порядка (n + 2) × 2n, полученную из R1 вычеркиванием первого и последнего столбцов. Замечание 5.1. Первые n +1 столбцов матрицы R1 используются для описания линейных комбинаций правых производных решения в точках 0, 1,... , n, а последние n +1 столбцов матрицы R1 - для описания линейных комбинаций левых производных решения в точках 1, 2,... ,n + 1. Первая строка матрицы R1 задает линейную комбинацию значений правых производных в точках 0, 1,... , n, соответствующую краевому условию (RQu×)(0) = 0, а последняя строка этой матрицы 586 А. Л. СКУБАЧЕВСКИЙ, Н. О. ИВАНОВ задает линейную комбинацию значений левых производных в точках 1, 2,... ,n + 1, соответствующую краевому условию (RQu×)(d)= 0, см. (5.26). Строки матрицы R1 с номерами 2,... ,n задают равенства (RQu×)(i + 0) = (RQu×)(i - 0), i = 1,... , n, вытекающие из уравнения (1) и условия f ∈ L2(0, d), см. (5.18). Матрицы R1, R2 и R0 используются для подсчета числа линейно независи- 1 1 1 мых функций, которым должна быть ортогональна правая часть уравнения (1), чтобы обеспечить выполнение равенств u×(i + 0) = u×(i - 0), i = 1,... , n, т. е. гладкость обобщенных решений на всем интервале. Будем предполагать далее, что выполняется условие n '\" (|ak (0)| + |a-k (n + 1)|) ±= 0. (5.1) k=1 Замечание 5.2. Из условий (1.10), (5.1) следует, что рассматриваемое дифференциально-разностное уравнение (1) является уравнением нейтрального типа в точке x = 0 + 0 или в точке x = n +1 - 0. Действительно, из (1.10) следует, что a0(0) ±= 0, (5.2) a0(n + 1) ±= 0. (5.3) Из (5.1) следует существование числа m, 1 � m � n, такого, что либо am(0) ±= 0, (5.4) либо a-m(n + 1) ±= 0. (5.5) Пусть, например, выполнено неравенство (5.4). Обозначим через M, m � M � n, наибольшее число такое, что aM (0) ±= 0. Тогда в точке x = 0 + 0 уравнение (1) с точностью до производных первого порядка примет вид aM (0)u××(x + M )+ ··· + a0(0)u×× (x)+ ··· = f (x). (5.6) Сделаем замену переменных x + M = y. Тогда уравнение (5.6) примет канонический вид в точке y = M +0 aM (0)u×× (y)+ ··· + a0(0)u×× (y - M )+ ··· = f (y - M ). (5.7) 2 Поскольку aM (0) ±= 0 и в силу (5.2) a0(0) ±= 0, то уравнение (5.6) имеет нейтральный тип в точке x = 0 + 0 (см. [13, гл. II]). В случае выполнения неравенства (5.5) аналогично можно показать, что уравнение (1) имеет нейтральный тип в точке x = n +1 - 0. В силу теоремы 4.1 u ∈ W 2(Q1k ), k = 1,... ,n + 1. Поскольку мы рассматриваем уравнение (1) в достаточно малой правой полуокрестности точки x = 0, наши рассуждения являются обоснованными. 1 Лемма 5.1. Пусть выполнены условия (1.10) и (5.1). Тогда rank R1 = n +2 и rank R0 ): n + 1. Доказательство. 1. Докажем, что rank R1 = n+2. Рассмотрим минор Mn+2 порядка n+2 матрицы R1, составленный из первого столбца этой матрицы, а также (n + 2)-го, ... , (2n + 2)-го столбцов. В силу условия (1.10) Mn+2 = a0(0) det R1(1) ±= 0. Следовательно, rank R1 = n + 2. 1 2. Докажем теперь справедливость неравенства rank R0 ): n + 1. В силу условия (5.1) либо R0 выполняется неравенство (5.4), либо справедливо неравенство (5.5). Кроме того, в силу (1.10) det R2(1) ±= 0. Тогда (n + 1)-ая строка матрицы порядка (n + 1) × n, полученной из матрицы R1(1) вычеркиванием последнего столбца, равна нетривиальной линейной комбинации строк матрицы R2(1) порядка n × n. С другой стороны, (n + 2)-ая строка матрицы порядка (n + 2) × n, полученная из матрицы R�1 вычеркиванием первого столбца, является нулевой. Следовательно, она равна тривиальной линейной комбинации строк матрицы R2(1). Таким образом, (n + 2)-ая строка матрицы 1 1 не может быть равна линейной комбинации второй, третьей, ... , (n + 1)-ой строк этой матрицы. Это означает, что rank R0 ): n + 1. ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 587 Рассмотрим матричное уравнение R1Φ= 0, (5.8) T где Φ := (ϕ0, ϕ1,... , ϕn, -ψ1, -ψ2,... , -ψn+1)T . Обозначим H1 := (a0(0), a-1(1),... , a-n(n), 0) и H2 := (0, an(1),... , a1(n), a0(n+1))T . Перенося в уравнении (5.8) члены ϕ0H1 и -ψn+1H2 в правую часть, получим R0 1Φ0 где Φ0 := (ϕ1,... , ϕn, -ψ1,... , -ψn)T . = -ϕ0H1 + ψn+1H2, (5.9) 1 В формулировке следующего вспомогательного результата мы будем предполагать, что rank R0 = n + 1, при этом rank R1 = rank R2 = n + 2. Обозначим через P 0 оператор ортогонального проек- 1 1 R1 тирования в Cn+2 на R(R0), т. е. на образ оператора умножения на матрицу R0. В силу условия 1 rank R0 = n+1 1 1 коразмерность R(R0) равна 1. Поэтому ненулевые векторы (I -P 1 0 )H1 и (I -P 0 )H2 R1 R1 линейно зависимы. Таким образом, существует число 0 ±= αH ∈ C такое, что (I - PR0 )H2 = αH (I - PR0 )H1, (5.10) 1 1 при этом в силу (1.10) a0(0) ±= 0 и a0(n + 1) ±= 0. Следовательно, векторы H1 и H2 линейно независимы. В силу теоремы Кронекера-Капелли система уравнений (5.9) совместна тогда и только тогда, когда ϕ0 = αHψn+1, (5.11) поскольку это равенство эквивалентно тому, что rank R0 = rank Re = n + 1, где Re - расширенная 1 1 1 матрица системы (5.9). Итак, мы получили следующий результат. 1 Лемма 5.2. Пусть выполнены условия (1.10) и (5.1). Пусть, кроме того, rank R0 = n + 1, при 1 этом rank R1 1 = rank R2 = n + 2. Тогда система уравнений (5.9) совместна тогда и только тогда, когда справедливо равенство (5.11). 2 Докажем теперь, что в случае ортогональности правой части уравнения (1) в пространстве L2(0, d) конечному числу некоторых линейно независимых функций существует обобщенное решение задачи (1), (2), принадлежащее пространству W 2(0, d), т. е. обладающее соответствующей гладкостью. Предположим, что выполняются следующие условия: n '\" k=1 |a-k (k)| ±= 0, n '\" k=1 |ak (n +1 - k)| ±= 0. (5.12) Замечание 5.3. Если коэффициенты ak (x) не зависят от x, то условие (5.1) следует из условий (5.12). Обозначим через G1 = G1(x) (G2 = G2(x)) j-й столбец матрицы порядка n × (n + 1), полуj j j j ченной из матрицы R1 = R1(x) вычеркиванием первой (последней) строки (j = 1,... ,n + 1). Из условий (5.12) следует, что G1(0) ±=0 и G2 (1) ±= 0. 1 Из следствий 4.1, 4.2 вытекает, что n+1 D(AR) = {u ∈ W 1(0, d): RQu× ∈ W 1(0, d), u ∈ W 2(Q1k ), k = 1,... ,n + 1, 2 2 2 (5.13) Пусть A0 (RQu×)(0) = (RQu×)(d)= 0� . : W 2(0, d) ⊃ D(A0 ) → L2(0, d) - ограниченный оператор с областью определения R 2 R ) = {u ∈ W (0, d): RQu ∈ W (0, d), (RQu )(0) = (RQu )(d)= 0� , действующий по формуле R D(A0 0 2 × 1 × × 2 2 0 ARu = ARu, u ∈ D(AR). Из (5.13) получим D(A0 )= D(AR) ∩ W 2(0, d). (5.14) R 2 Теорема 5.1. Пусть выполнены условия (1.10) и (5.1), а θ = 1. Предположим, что столбцы G1(0), G2 (1) линейно независимы. Тогда оператор A0 : W 2(0, d) ⊃ D(A0 ) → L2(0, d) 1 n+1 R 2 R R0 1 2 фредгольмов, 1 ∈ N (A0 ) и dim N (A0 ) = 1. Если к тому же rank = rank R = rank R , то R R 1 1 1 codim R(A0 )= 3; если же rank R0 < max {rank R1, rank R2� , то codim R(A0 )= 2. R 1 1 1 R 588 А. Л. СКУБАЧЕВСКИЙ, Н. О. ИВАНОВ Доказательство. R 1. Очевидно, функция u(x) ≡ 1 принадлежит D(A0 ). В силу следствия 3.1 выполнено 1 ∈ N (AR) и m N (AR) = 1. Таким образом, поскольку D(A0 ) ⊂ D(AR), мы заключаем, что пространство di R R N (A0 ) одномерно и состоит из констант. 2. Из части 1 доказательства теоремы 3.1 следует, что операторное уравнение (AR + λ0I)u = f (Re λ0 > 0) (5.15) имеет единственное решение uf ∈ D(AR) для любого f ∈ L2(0, d). В силу (5.14) это решение uf R принадлежит D(A0 ) тогда и только тогда, когда R Таким образом, N (A0 2 uf ∈ W 2(0, d). (5.16) + λ0I)= {0} , а условие принадлежности правой части уравнения (5.15) R образу R(A0 + λ0I) выражается соотношением (5.16). Перепишем это соотношение в виде условий ортогональности правой части уравнения (5.15) некоторым функциям из L2(0, d). По условию θ = 1. Тогда d = n + 1 и разбиение интервала (0, d) состоит из одного семейства подынтервалов Q1k = (k - 1, k), k = 1,... ,n + 1. В силу (5.13) и теоремы вложения uf ∈ W 2(Q1k ) ⊂ C1(Q ), k = 1,... ,n + 1. Поэтому определены значения производной u× (x) на 2 1k f концах подынтервалов Q1k. Обозначим ϕk = u× (k + 0), k = 0,... , n; ψk = u× (k - 0), k = 1,... ,n + 1. f f Условие (5.16) можно переписать в виде f (k + 0) = uf (k - 0), k = 1,... , n, т. е. u× × ϕk = ψk, k = 1,... , n. (5.17) С другой стороны, поскольку u ∈ D(AR), из (5.13) следует, что (RQu× )(k + 0) = (RQu× )(k - 0), k = 1,... , n. (5.18) f f В силу равенств (1.8) и леммы 1.5 соотношения (5.18) примут вид '\" r1 n+1 i+1,j (0)ϕj-1 = j=1 n+1 '\" j=1 i,j r1 (1)ψj , i = 1,... , n. (5.19) i,j Из равенств (1.9) следует, что r1 (1) = r 1 i+1,j+1 (0). Равенства (5.19) можно переписать следующим образом: r1 1 n '\" 1 1 n '\" 1 i+1,1(0)ϕ0 - ri,n+1(1)ψn+1 = j=1 (ri,j (1)ψj - ri+1,j+1(0))ϕj = j=1 ri,j (1)(ψj - ϕj ), i = 1,... , n. (5.20) Если выполняются равенства (5.17), из (5.20) следует, что ϕ0G1(0) - ψn+1G2 (1) = 0. (5.21) 1 n+1 По условию столбцы G1(0) и G2 (1) линейно независимы. Следовательно, т. е. 1 n+1 ϕ0 = 0, ψn+1 = 0, × uf (0 + 0) = 0, (5.22) × uf (n +1 - 0) = 0. (5.23) Таким образом, из условия (5.16) вытекает справедливость равенств (5.22), (5.23). С другой стороны, из равенств (5.22), (5.23), равенств (5.20) и невырожденности матрицы R2(1) (см. (1.10)) следуют равенства (5.17), т. е. условие (5.16). ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 589 2 В силу теоремы вложения C1(Q1j ) ⊂ W 2(Q1j ), j = 1,n + 1. Таким образом, из неравенства (4.1) следует, что u× (0 + 0) и u× (n +1 - 0) являются линейными ограниченными функционалами, зависящими от f f ∈ L2 f (0, d). По теореме Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве существуют (определенные единственным образом) функции g1, g2 ∈ L2(0, d) такие, что × uf (0 + 0) = (f, g1)L2 (0,d), × uf (n +1 - 0) = (f, g2)L2 (0,d). Следовательно, равенства (5.22), (5.23) примут вид (5.24) (f, gi)L2 (0,d) = 0, i = 1, 2. (5.25) 3. Исследуем теперь, при каких условиях функции g1, g2 линейно независимы (то есть R codim R(A0 + λ0I) = 2) и при каких условиях они линейно зависимы, но |g1(x)| + |g2(x)| ±=0 R на множестве положительной меры (т. е. codim R(A0 + λ0I)= 1). Для этого вначале перепишем равенство (RQu×)(0) = (RQu×)(d)= 0 (5.26) в виде '\" r1 n+1 1,j (0)ϕj-1 = 0, (5.27) '\" r1 j=1 n+1 n+1,j (1)ψj = 0. (5.28) j=1 В силу (5.13) функция u ∈ W 1(0, d) такая, что u ∈ W 2(Q1k ), k = 1,... ,n + 1, принадлежит 2 2 D(AR) тогда и только тогда, когда выполняются равенства (5.19), (5.27) и (5.28), которые можно переписать в виде матричного уравнения (5.8). 1 3a. Рассмотрим случай rank R0 1 = rank R1 1 = rank R2. Докажем, что функции g1, g2 линейно независимы. Пусть α1g1 + α2g2 = 0, где α1, α2 ∈ C, т. е. α1(f, g1)L2 (0,d) + α2(f, g2)L2 (0,d) = 0 для любого f ∈ L2(0, d). Докажем, что тогда α1 = α2 = 0. Для того, чтобы установить справедливость последних равенств, достаточно показать, что существуют функции f1, f2 ∈ L2(0, d), обладающие свойством где δij - символ Кронекера. (fj, gi)L2 (0,d) = δij, (5.29) Докажем, например, что существует функция f1 ∈ L2(0, d) такая, что (f1, g1)L2 (0,d) = 1 и (f1, g2)L2 (0,d) = 0. Другими словами, нужно построить функцию f1 ∈ L2(0, d), для которой u× ϕ0 = 1, u× (n +1 - 0) := ψ�n+1 = 0. (5.30) f1 (0 + 0) := � f1 Введем 2n-мерный вектор Φ0 := (ϕ1,... , ϕn, -ψ1,... , -ψn)T с неизвестными координатами. По- ϕ0 лагая в (5.9) ϕ0 = � =1 и ψn+1 = ψ�n+1 =0 (см. (5.30)), получим 1 R0Φ0 = -H1, (5.31) T 0 2 где H1 = (a0(0), a-1(1),... , a-n(n), 0) . Из условия rank R1 = rank R1 и теоремы Кронекера- Капелли следует, что система уравнений (5.31) разрешима. Обозначим через Φ� 0 := ( � , ... , � , ψ1, ... , -ψn)T решение системы (5.31). ϕ1 ϕn - � � Докажем, что существует функция f1 ∈ L2(0, d) такая, что решение уравнения (5.15) uf1 удовлетворяет условию (5.30) и u× (j + 0) = � , u× (j - 0) = ψ�j , j = 1,... , n. Введем функцию f1 ϕj f1 ⎧ n n 1 '\" ϕ ⎪ j J ( \ ⎪⎨j=0 w(x) := (x - j) � ξ(x - j), x ∈ j=0 j, j + , 2 n+1 ⎪'\"(x - j)ψjξ(x - j), x ∈ ( n+1 J 1 \ - ,j , � ⎪⎩j=1 j j=1 2 590 А. Л. СКУБАЧЕВСКИЙ, Н. О. ИВАНОВ 0 где ξ ∈ C∞(R) - вещественнозначная функция, 0 � ξ(x) � 1, ξ(x) = 1, x ∈ [-1/8, 1/8], supp ξ ⊂ ϕ0 = 1, ψ�n+1 = 0, а числа � ,... , � , ψ� ,... , ψ� удовлетворяют системе линейных [-1/4, 1/4], � ϕ1 ϕn 1 n алгебраических уравнений (5.31). По построению w ∈ D(AR). Положим f1 := (AR + λ0I)w. Тогда, полагая uf1 := w, получим равенства (5.30). Аналогично, используя условие rank R0 = rank R1, можно построить функцию f2 ∈ L2(0, d), для которой 1 1 u× × f2 (0 + 0) = 0, uf2 (n +1 - 0) = 1. Таким образом, мы доказали, что в случае rank R0 = rank R1 = rank R2 оператор A0 + λ0I фред- R гольмов, dim N (A0 R + λ0I)=0 и codim R(A0 1 1 1 R + λ0I)= 2. 3b. Заметим, что в силу леммы 5.1 помимо изученного в пункте 3a случая возможен лишь случай rank R0 = n +1 < max {rank R1, rank R2� = n + 2. 1 1 1 Пусть вначале rank R0 = n + 1, при этом либо rank R1 = n + 2, rank R2 = n + 1, либо rank R1 = 1 1 1 1 1 n + 1, rank R2 1 = n + 2. Не ограничивая общности, будем предполагать, что rank R2 = n + 2, 1 rank R1 = n + 1. Тогда в силу теоремы Кронекера-Капелли система линейных алгебраических f1 уравнений (5.9) несовместна, если для некоторого f1 ∈ L2(0, d) выполняются равенства u× (0+0) = (f1, g1) ±= 0, т. е. для указанного f1 ∈ L2(0, d) и λ0 > 0 уравнение (5.15) не имеет решения f1 uf1 ∈ D(AR) такого, что u× (0 + 0) ±= 0. Таким образом, для λ0 > 0 и всех f ∈ L2(0, d) мы имеем f (0 + 0) = 0, т. е. g = 0. С другой стороны, rank R1 = n +1 = rank R0. Поэтому (f, g1)L2 (0,d) = u× 1 1 1 в силу теоремы Кронекера-Капелли система уравнений (5.9) совместна для любых f ∈ L2(0, d). Аналогично части 3a доказательства можно показать, что существует функция f2 ∈ L2(0, d) такая, 0 f2 что (f2, g2)L2 (0,d) = u× (n +1 - 0) = ψ�n+1 = 1, т. е. g2 ±= 0. Таким образом, оператор AR + λ0I R фредгольмов, dim N (A0 R + λ0I)=0 и codim R(A0 + λ0I)= 1. Точно так же рассматривается случай rank R2 = n + 1, rank R1 = n + 2. 1 1 3c. Пусть теперь rank R0 = n + 1, при этом rank R1 = rank R2 = n + 2. В силу леммы 5.2 си- 1 1 1 стема уравнений (5.9) совместна для любой f ∈ L2(0, d) тогда и только тогда, когда справедливо равенство (5.11). Аналогично части 3a доказательства можно показать, что существует функция f2 f2 ∈ L2(0, d) такая, что u× (n+1-0) = (f2, g2)L2 (0,d) = 1. Таким образом, уравнение (5.15) разреши- 2 мо тогда и только тогда, когда g1 = αHg2 ±= 0. При этом uf ∈ W 2(0, d) в том и только в том случае, ( 0 0 когда f, g2)L2 (0,d) = 0. Следовательно, оператор AR + λ0I фредгольмов, dim N (AR + λ0I)=0 и R codim R(A0 + λ0I)= 1. R 4. Остается доказать фредгольмовость оператора A0 и свойства его индекса. Действительно, A0 0 0 R = AR + λ0I - λ0I. Таким образом, оператор AR является суммой фредгольмова оператора A0 2 2 R + λ0I : W2 (0, d) → L2(0, d) и компактного оператора -λ0I : W2 (0, d) → L2(0, d). Поэтому в силу [7, теорема 16.4] оператор A0 : W 2(0, d) → L2(0, d) является фредгольмовым и ind A0 = R ind(A0 R 2 R + λ0I). R С другой стороны, в силу пункта 1 доказательства пространство N (A0 ) одномерно и состоит из констант. Поэтому codim R(A0 )= codim R(A0 +λ0I)+1. Следовательно, если rank R0 = rank R1 = R R 1 1 rank 1, то codim R(AR)= 3, а если rank R1 < max {rank R1, rank R1� , то codim R(AR )= 2. R2 0 0 1 2 0 Пример 5.1. Рассмотрим оператор RQ : L2(0, 3) → L2(0, 3), где Q = (0, 3), (Ru)(x) = a0u(x)+ a1u(x + 1) + a-1u(x - 1) + a2u(x + 2) + a-2u(x - 2), ai ∈ R, i = 0, ±1, ±2. Тогда n = 2, θ = 1, а матрица R1 имеет вид Следовательно, G1 = (a ⎛ a0 a1 a2⎞ R1 = ⎝a-1 a0 a1⎠ . a-2 a-1 a0 ,a )T и G2 = (a ,a )T . Матрица R определяется по формуле 1 -1 -2 ⎛ a0 a1 a2 0 0 R1 = ⎜a-1 a0 a1 a0 a1 3 2 1 ⎜a a a a 1 0 ⎞ . a2⎟ a a ⎟ ⎝ -2 -1 0 -1 0 1⎠ 0 0 0 a-2 a-1 a0 ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 591 Будем предполагать, что оператор RQ удовлетворяет условию (1.10), а столбцы G1 и G2 линейно 1 3 независимы. Докажем, что тогда rank R0 = rank R1 = rank R2 = 4. (5.32) 1 1 1 1 Заметим, что, поскольку коэффициенты aj постоянные, из линейной независимости столбцов G1 3 и G2 следует выполнение условия (5.1). Очевидно, R0 ⎛ a1 a2 0 0 ⎞ ⎜ a0 a1 a0 a1 ⎟ 1 = ⎜a a a a ⎟ . ⎝ -1 0 -1 0 ⎠ 0 0 a-2 a-1 Матрица R1(R2) порядка 4 × 5 получается из матрицы R1 вычеркиванием первого (последнего) 1 1 столбца. Поэтому для доказательства равенств (5.32) достаточно показать, что 1 det R0 ±= 0. Действительно, det R0 = (a1a · a2)(a a · a a )= - det a0 a1\ det a-1 a2\ . 1 -1 0 1 -1 2 -2 a-1 a0 a-2 a1 Из условия (1.10) следует, что матрица 2a0 a1 + a-1\ a1 + a-1 2a0 положительно определена. Поэтому a0 a1\ С другой стороны, det a-1 a0 ±= 0. a-1 a2\ det a-2 a1 ±= 0, поскольку столбцы этой матрицы G1 = (a ,a )T и G2 = (a ,a )T по условию линейно независимы. 1 -1 -2 3 2 1 Таким образом, в силу теоремы 5.1 оператор A0 : W 2(0, 3) ⊃ D(A0 ) → L2(0, 3) фредгольмов, R 2 R 1 ∈ N (A0 ) и dim N (A0 )= 1, при этом codim R(A0 )= 3. Следовательно, ind A0 = -2. R R R R Замечание 5.4. Остается открытым вопрос: всегда ли в случае θ = 1 при выполнении усло- 1 вия (1.10) и линейной независимости столбцов G1 3 и G2 справедливо равенство (5.32) или есть примеры, когда равенство (5.32) не выполняется? Далее в этом разделе мы будем предполагать, что столбцы G1(0) и G2 (1) линейно зависимы. 1 n+1 В силу условий (5.12) G1(0) ±= 0, G2 (1) ±=0 и существует такое 0 ±= α ∈ C, что 1 n+1 G2 1 n+1(1) = αG1(0). (5.33) Теорема 5.2. Пусть выполнены условия (1.10), (5.1) и (5.12). Предположим, что столбцы G1 2 0 2 0 1(0) и Gn+1(1) линейно зависимы. Тогда оператор AR : W2 (0, d) ⊃ D(AR) → L2(0, d) фредгольмов, 1 ∈ N (A0 ) и dim N (A0 )= 1, при этом справедливы следующие утверждения: R R 1. Если rank R0 = rank R1 или rank R0 = rank R2, то codim R(A0 )= 2. 1 1 1 1 R 2. Если nk R0 = n + 1, rank R1 = rank R2 = n +2 и α ±= αH (см. (5.11)), то codim R(A0 )= 2. ra 1 1 1 R 3. и rank R0 = n + 1, rank R1 = rank R2 = n +2 и α = αH, то codim R(A0 )= 1. Есл 1 1 1 R Доказательство. R 1. Аналогично части 1 доказательства теоремы 5.1 мы заключаем, что пространство N (A0 ) одномерно и состоит из констант. 592 А. Л. СКУБАЧЕВСКИЙ, Н. О. ИВАНОВ R 2. Из части 1 доказательства теоремы 3.1 следует также, что операторное уравнение (5.15) имеет единственное решение uf ∈ D(AR) для любого f ∈ L2(0, d). В силу (5.14) это решение uf принадлежит D(A0 ) тогда и только тогда, когда R Таким образом, N (A0 2 uf ∈ W 2(0, d). (5.34) + λ0I)= {0} , а условие принадлежности правой части уравнения (AR + λ0I)u = f (5.35) R образу R(A0 + λ0I) выражается соотношением (5.34). Перепишем это соотношение в виде условий ортогональности правой части уравнения (5.35) некоторым функциям из L2(0, d). Сохраняя обозначения, введенные в доказательстве теоремы 5.1, для любого решения uf ∈ D(AR) уравнения (5.35) получим следующие равенства (см. (5.20)): r1 1 n '\" 1 1 n '\" 1 i+1,1(0)ϕ0 - ri,n+1(1)ψn+1 = j=1 (ri,j (1)ψj - ri+1,j+1(0))ϕj = j=1 ri,j (1)(ψj - ϕj ), i = 1,... , n. (5.36) Если выполняются равенства (5.17), из (5.36) следует, что ϕ0G1(0) - ψn+1G2 (1) = 0. (5.37) 1 В силу (5.12) и (5.33) G1(0) ±= 0, G2 n+1 1. ±= 0 и существует такое 0 ±= α ∈ C, что G2 (1) = 1 n+1 n+1 αG1(0). Таким образом, из (5.37) получим (ϕ0 - αψn+1)G1(0) = 0, т. е. 1 1 ϕ0 = αψn+1. (5.38) Другими словами, из условий (5.12) и (5.33) следует, что для получения решения уравнения (5.35), удовлетворяющего условию гладкости (5.34), правая часть уравнения (5.35) должна удовлетворять равенству (f, g)L2 (0,d) = 0, (5.39) f где g = g1 - αg2, а функции g1 и g2 определяются равенствами (f, g1)L2 (0,d) = u× (0 + 0) = ϕ0 и f (f, g2)L2 (0,d) = u× (n +1 - 0) = ψn+1. Обратно, пусть выполняется равенство (5.39). Тогда ϕ0 - αψn+1 = 0, т. е. ϕ0G1(0) = αψn+1G1(0) = ψn+1G2 (1). 1 1 n+1 Следовательно, справедливо равенство (5.37). Отсюда и из (5.36) в силу невырожденности матрицы R2(1) следует (5.17). Таким образом, если столбцы G1(0) и G2 (1) линейно зависимы, то 1 n+1 соотношение (5.34) выполняется тогда и только тогда, когда функция f ортогональна в L2(0, d) функции g = g1 - αg2 ∈ L2(0, d). 3. Рассмотрим вопрос о том, когда g ±= 0. Из доказательства теоремы 5.1 следует, что условия (5.18), (5.26) можно переписать в виде матричного уравнения (5.8). 3a. Рассмотрим случай, когда rank R0 = rank R1 или rank R0 = rank R2. Не ограничивая общно- 1 1 1 1 сти, будем предполагать, что rank R0 = rank R2. Докажем, что g ±= 0. 1 1 Для этого достаточно доказать существование функции ∈ L (0, d) такой, что (f ,g ) =1 f0 2 0 1 L2 (0,d) ( = 0, т. е. (f , g) = 1. Другими словами, достаточно построить функцию и f0, g2)L2 (0,d) 0 L2 (0,d) f0 ∈ L2(0, d), для которой u× ϕ0 = 1, u× (n +1 - 0) := ψ�n+1 = 0. (5.40) f0 (0 + 0) := � f0 T Введем 2n-мерный вектор Φ0 := (ϕ1,... , ϕn, -ψ1,... , -ψn)T с неизвестными координатами. Обозначим H1 := (a0(0), a-1(1),... , a-n(n), 0) получим � . Полагая в (5.9) ϕ0 = ϕ0 = 1 и ψn+1 = ψ�n+1 = 0, R0 0 1Φ = -H1. (5.41) 1 Из условия rank R0 1 = rank R2 и теоремы Кронекера-Капелли следует, что система уравнений (5.41) разрешима. Обозначим через Φ� 0 := ( � ,... , � , -ψ� ,... , -ψ� )T решение системы (5.41). ϕ1 ϕn 1 n Докажем, что существует функция f0 ∈ L2(0, d) такая, что при f = f0 решение уравнения (5.35) uf0 удовлетворяет условию (5.40) и u× (j + 0) = � , u× (j - 0) = ψ�j , j = 1,... , n. f0 ϕj f0 ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 593 Введем функцию ⎧ n n 1 '\" ϕ ⎪ j J ( \ ⎪⎨j=0 w(x) := (x - j) � ξ(x - j), x ∈ j=0 j, j + , 2 n+1 ⎪'\"(x - j)ψjξ(x - j), x ∈ ( n+1 J 1 \ - ,j , � ⎪⎩j=1 j j=1 2 0 где ξ ∈ C∞(R) - вещественнозначная функция, 0 � ξ(x) � 1, ξ(x) = 1, x ∈ [-1/8, 1/8], supp ξ ⊂ ϕ0 = 1, ψ�n+1 = 0, а числа � ,... , � , ψ� ,... , ψ� удовлетворяют системе линейных [-1/4, 1/4], � алгебраических уравнений (5.41). ϕ1 ϕn 1 n По построению w ∈ D(AR). Положим f0 := (AR + λ0I)w. Полагая uf0 := w, получим ра- 1 венства (5.40). Таким образом, мы доказали, что в случае rank R0 1 = rank R2 выполняется со- R отношение g ±= 0. Следовательно, оператор A0 R + λ0I фредгольмов, dim N (A0 + λ0I) = 0 и R codim R(A0 + λ0I)= 1. 3b. Пусть теперь nk R0 = n +1 и при этом rank R1 = rank R2 = n + 2. В силу леммы 5.2 ra 1 1 1 2 система уравнений (5.9) совместна для любой f ∈ L2(0, d) тогда и только тогда, когда справедливо равенство (5.11). С другой стороны, uf ∈ W 2(0, d) в том и только в том случае, когда выполняется равенство (5.38). Рассмотрим вначале случай α ±= αH . В силу (5.24) условие (5.38) можно записать в виде (f, g)L2 (0,d) = ϕ0 -αψn+1 = u× (0+0)-αu× (n+1-0) = 0. Докажем, что g ±= 0. Для этого достаточно f f доказать существование функции f1 ∈ L2(0, d) такой, что (f1, g1)L2 (0,d) = αH и (f1, g2)L2 (0,d) = 1. Другими словами, достаточно построить функцию f1 ∈ L2(0, d), для которой u× ϕ0 = αH, u× (n +1 - 0) := ψ�n+1 = 1. (5.42) f1 (0 + 0) := � f1 Тогда (f1, g)L2 (0,d) = (f1, g1 - αg2)L2 (0,d) = (f1, g1 - αH g2)L2 (0,d) + (f1, (αH - α)g2)L2 (0,d) = (αH - α)(f1, g2)L2 (0,d) = αH - α ±= 0. Введем 2n-мерный вектор Φ0 := (ϕ1,... , ϕn, -ψ1,... , -ψn)T с неизвестными координатами. По- ϕ0 лагая в (5.9) ϕ0 = � = αH и ψn+1 = ψ�n+1 = 1, получим R0 0 1Φ = -αHH1 + H2. (5.43) Из условия (5.11) и леммы 5.2 следует, что система уравнений (5.43) разрешима. Обозначим через Φ�0 := ( � ,... , � , -ψ� ,... , -ψ� )T решение системы (5.43). ϕ1 ϕn 1 n Аналогично части 3a можно доказать существование функции f1 ∈ L2(0, d) такой, что при f = f1 решение уравнения (5.35) uf1 удовлетворяет условию (5.42) и u× (j + 0) = � , u× (j - 0) = ψ�j , j = f1 ϕj f1 Следовательно, g ±= 0. Таким образом оператор A0 +λ0I фредгольмов, dim N (A0 +λ0I)=0 1,... , n. R и codim R(A0 R R + λ0I)= 1. Рассмотрим, наконец, случай α = αH. В этом случае для любой f ∈ L2(0, d) решение урав- 2 нения (5.35) uf удовлетворяет системе уравнений (5.9). Поэтому в силу леммы 5.2 и равенства α = αH справедливо равенство (5.38), которое гарантирует, что uf ∈ W 2(0, d) для любых R f ∈ L2(0, d). Таким образом, оператор A0 R + λ0I имеет ограниченный обратный (A0 + λ0I)-1 : L2(0, d) → D(A0 ). Следовательно, dim N (A0 + λ0I)=0 и R(A0 + λ0I)= L2(0, d). R R R R 4. Доказательство свойств оператора A0 следует из [7, теорема 16.4] и следствия 3.1. Авторы благодарят рецензентов за ряд замечаний, способствовавших улучшению работы.