Том 69, № 4 (2023)

Для интегрального уравнения, решения которого доставляют стационарные состояния популяции, распределенной в арифметическом пространстве, найдены условия существования его решения и условия, при которых у этого уравнения не более одного решения.

В работе исследуется эта-инвариант эллиптических краевых задач с параметром и его основные свойства. Используя подход Мельроуза, мы определяем эта-инвариант как регуляризацию числа вращения семейства. При этом регуляризация следа включает получение асимптотики следа композиций обратимых краевых задач с параметром при больших значениях параметра. Получение асимптотики использует аппарат псевдодифференциальных краевых задач и опирается на сведение краевых задач с параметром к краевым задачам без параметра.

Мы рассматриваем технику «сшивания» численного решения конечноразностной задачи и аналитического решения, определенных на разных масштабах: вдали и вблизи границы (источника) области течения. Суть подхода заключается в том, что грубая конечноразностная задача и краевая задача в приближении исходной модели математически моделируют два разных режима течения. В своей замечательной статье Писман предлагает схему, позволяющую работать с решениями, определенными на разных масштабах, для линейных стационарных задач, вводя знаменитый радиус блока скважины Писмана. В данной статье предлагается новый подход к решению этой проблемы для неустановившегося течения, обусловленного сжимаемостью жидкости. Мы предлагаем метод склеивания решений через суммарные потоки, заданные на крупной сетке, и изменения давления, обусловленные сжимаемостью, в блоке, содержащем добывающую (нагнетательную) скважину. Важно отметить, что грубое решение «не видит» границы. С прикладной точки зрения наш отчет предоставляет математический аппарат для аналитической интерпретации смоделированных данных течения сжимаемой жидкости в пористой среде вблизи скважины. Его можно рассматривать как математическую «обертку» известной формулы радиуса блока скважины Писмана для линейного (Дарси) неустановившегося течения, но его можно применять и в гораздо более общем сценарии. В статье мы используем подход Эйнштейна для вывода уравнения материального баланса, ключевого инструмента для определения R0 для трех режимов течений сжимаемой жидкости (зависящих от времени): 1. стационарный; 2. псевдостационарный; 3. с доминированием граничного условия. Отметим, что в известных авторам работах соответствующая задача фактически не зависит от времени.

Найден явный вид слабых решений задачи Римана для вырождающегося нелинейного параболического уравнения с кусочно постоянным коэффициентом диффузии. Показано, что линии фазовых переходов (свободные границы) соответствуют точке минимума некоторой строго выпуклой и коэрцитивной функции конечного числа переменных. Аналогичный результат верен и для задачи Стефана. В пределе, когда число фаз стремится к бесконечности, возникает вариационная формулировка автомодельных решений уравнения с произвольной неотрицательной функцией диффузии.

Статья посвящена задаче Дирихле в плоской ограниченной области для линейного функционально-дифференциального уравнения второго порядка в дивергентной форме с растяжением, сжатием и поворотом аргумента старших производных искомой функции. Вопросы существования, единственности и гладкости обобщенного решения исследованы при всевозможных значениях коэффициентов и параметров преобразований в уравнении.