On plane oscillations of the cold plasma in a constant magnetic field

Abstract

-

Full Text

1. Введение Плазма фактически представляет собой двухфазную среду, состоящую из ионов и электронов, взаимодействующих друг с другом. Существует множество моделей, описывающих ее поведение в различных режимах (см., например, [2, 9]). Среди них выделяется модель так называемой холодной (или электронной) плазмы, включающая движение только электронов. Считается, что плазма при низких температурах подчиняется такой модели, что оправдывает термин «холодная плазма». В настоящее время холодная плазма интенсивно исследуется в связи с ускорителями электронов в следе мощного лазерного импульса [7]. Уравнения гидродинамики холодной плазмы в нерелятивистском приближении в безразмерных величинах принимают вид ∂n + div (nV)= 0, ∂t ∂E ∂V ∂t + (V · ∇) V = -E - [V × B] , (1.1) ∂B = nV + rot B, ∂t ∂t = -rot E, div B = 0, (1.2) где n и V = (V1, V2, V3) - плотность и скорость электронов, a E = (E1, E2, E3) и B = (B1, B2, B3) - векторы электрических и магнитных полей. Все компоненты решения зависят от t ∈ R+ и x ∈ R3. Ионы в этой модели предполагаются неподвижными. © О. С. Розанова, 2023 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 685 686 О. С. РОЗАНОВА Основная проблема, которая интересует физиков в связи с уравнениями, описывающими холодную плазму, - это определение условий на начальные данные, при которых решение сохраняет исходную гладкость как можно дольше (в идеале - всегда). Считается, что при возникновении особенности гладкого решения выделяется энергия, нагревающая плазму, так что предположение о неподвижности ионов перестает быть справедливым. Для модельного случая одной пространственной переменной, который тем не менее очень важен для тестирования численных методов [3], исходная система уравнений существенно упрощается. Проблема возникновения особенностей в этом случае в настоящее время достаточно хорошо изучена [14], включая специальные упрощения, позволяющие проследить влияние магнитного поля в так называемой модели Дэвидсона (см. [6, 15]). Однако система (1.1), (1.2) в пространстве многих пространственных переменных чрезвычайно сложна и включает множество мод колебаний. В частности, двумерный случай важен с точки зрения физических экспериментов. Что касается численных исследований, получены результаты, подтверждающие сложное поведение среды (см. [4]). До настоящего времени для случая многих пространственных измерений существуют теоретические результаты только для случая электростатических колебаний [13] (т. е. rot E = 0), для решения с радиальной симметрией [12] или для случая линейной зависимости от пространственных переменных [16]. В этих случаях B = 0. В данной работе изучается частный случай двумерных (плоских) колебаний, для которых магнитное поле является ненулевой константой. Другими словами, V = (V1, V2, 0), E = (E1, E2, 0), B0 = (0, 0, B0 ) и V1, V2, E1, E2,n зависят от x1, x2, t. Если магнитное поле постоянно, тогда rotE = 0, rot(nV)= 0. Если условие rot (nV) = ∇n × V + n rot V = 0 выполняется изначально, то оно, вообще говоря, не выполняется при всех t 0 (существует соответствующий пример). Однако для классов радиально-симметричных или аффинных решений, где ∇n × V = 0, достаточно потребовать B0 = 0. Действительно, как следует из второго уравнения (1.1), ∂ξ ∂t + (V · ∇)ξ = -D(ξ + B0), (1.3) где D = div V, rot V = (0, 0, ξ). Таким образом, если ограничиться классом радиально-симметричных или аффинных решений, положить B0 =0 и выбрать данные такие, что ξ = 0, то rot(nV)=0 для всех t > 0. Для произвольных исходных данных условие rot(nV) = 0 вместе с требованием B0 = const делают систему (1.1), (1.2) переопределенной. Другими словами, для общего решения компонента B не может быть константой. Однако если предположить, что n = 0, то можно рассмотреть константу B0 /=0 и более широкий класс решений. Действительно, если n = 0, то условие rot (nV)=0 выполняется тождественно. Далее, первые уравнения в (1.1) и (1.2) выполняются тождественно для любого стационарного E = E0(x1, x2) такого, что rot E0 = 0. Конечно, можно спорить о том, имеет ли рассмотренный класс решений уравнений холодной плазмы физический смысл. Однако с математической точки зрения исследование движения в заданном ландшафте электрических и магнитных полей чрезвычайно интересно. В некотором смысле эта задача напоминает задачу о движении жидкости на вращающейся плоскости, возникающую в геофизических приложениях [1], но значительно сложнее. Таким образом, рассматриваемая система имеет вид ∂V с начальными данными ∂t + (V · ∇) V = -E0 - [V × B0] (1.4) V|t=0 = V0(x1, x2) ∈ C2(R2). (1.5) Для простоты предположим, что B0 > 0. Из векторного уравнения (1.4) вытекают следующие дифференциальные уравнения. 1. Матричное уравнение для неизвестной матрицы производных Q: ∂V + (V · ∇) V = -V2 - B LV - S (x ,x ), ∂t 0 0 1 2 О ПЛОСКИХ КОЛЕБАНИЯХ ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМЫ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 687 где V = (vij )= (∂xi Vj ) , S0 = (sij )= (∂xi E0j ) , ∂xi E0j = ∂xj E0i, i, j = 1, 2, L = 2. Пара скалярных уравнений для D и ξ: 0 1 -1 0 . (1.6) ∂D + (V · ∇D)= -D2 + 2J - λ(x ,x ) - B ξ, (1.7) ∂t 1 2 0 где J = det( ∂xi Vj ), i, j = 1, 2, λ = div E и выполнено (1.3). Мы видим, что уравнения (1.4), (1.6), (1.7), (1.3) записаны вдоль одного и того же поля характеристик ∂xi + (V · ∇)x = V , i = 1, 2, (x (0),x (0)) = (x ,x ), (1.8) ∂t i i d ∂ 1 2 01 02 поэтому для dt = ∂t + V ·∇ гиперболическую систему (1.4), (1.6), (1.8) можно рассматривать как замкнутую квадратично-нелинейную систему ОДУ для векторов V, x = (x1, x2) и матрицы V. Возникновение особенности означает разрушение компоненты Q за конечное время хотя бы для одной начальной точки (x01, x02). Очевидно, для произвольного E0 система из 8 уравнений dV dt = -B0LV - E0(x1, x2), (1.9) dx = V, dt dV = -V2 - B LV - S (x ,x ), (1.10) dt 0 0 1 2 ((V1(0), V2(0), x1(0), x2(0), Q(0)) = (V1(x01, x02), V2(x01, x02), x01, x02, (∂xi Vj (x01, x02))), i, j = 1, 2, может быть решена только численно. Тем не менее, при определенном выборе E0 = S0x с постоянной симметричной матрицей S0 = (sij ), i, j = 1, 2, можно получить критерий возникновения особенностей и достаточное условие глобальной по t гладкости решения в терминах начальных данных V0 и входных параметров sij и B0, см. раздел 2, теорема 2.2. В общем случае достаточные условия гладкости выглядят громоздко, поэтому приведем их следствие для случая осевой симметрии: V = U (r) x + V (r) x⊥, E0 = S(r) x, r = I x2 + x2, x⊥ = (x2, -x1), (1.11) 1 2 см. раздел 2.1. В разделе 3 мы изучаем осесимметричный случай с переменной E0 такой, что S- S(r) S+ и λ- divE0(r) λ+ с константами S± и λ±, и находим достаточные условия на V0, гарантирующие классическую гладкость задачи Коши на периоде, зависящем от B0 и S(r), см. теорему 3.1. 2. Случай аффинного E0 Легко видеть, что в случае аффинного E0 (линейная зависимость E0 от пространственных переменных) матрицы S(x1, x2) = S0 не зависят от (x1, x2), поэтому систему (1.10) можно рассматривать отдельно. Покажем, что систему (1.10) можно линеаризовать. Нам понадобится следующая версия леммы Радона 1927 г. (см. [8, теорема 3.1], а также [11]). Теорема 2.1 (лемма Радона). Матричное уравнение Риккати W˙ = M21(t)+ M22(t)W - W M11(t) - W M12(t)W (2.1) (где W = W (t) - матрица размера (n × m), M21 - матрица размера (n × m), M22 - матрица размера (m × m), M11 - матрица размера (n × n), M12 - матрица размера (m × n)) эквивалентно 688 О. С. РОЗАНОВА линейному однородному матричному уравнению M11 M12 Y˙ = M (t)Y, M = M21 M22 (2.2) (где Y = Y (t) - матрица размера (n × (n + m)), M - матрица размера (n + m) × (n + m)) в следующем смысле. Пусть на некотором интервале J ∈ R матрица-функция Y (t)= Q(t) P (t) (где Q - матрица размера (n × n), P - матрица размера (n × m)) является решением уравнения (2.2) с исходными данными I Y (0) = W0 (где I - единичная матрица размера (n × n), W0 - постоянная матрица размера (n × m)) и det Q /= 0 на J . Тогда W (t) = P (t)Q-1(t) является решением уравнения (2.1) с W (0) = W0 на J . Система (1.6) может быть записана как уравнение (2.1), в котором W = V, M11 = 0 0 0 0 , M12 = 1 0 0 1 , M21 = -S0, M22 = -B0L. Таким образом, мы получаем линейную задачу Коши ⎛q˙11 ⎜q˙21 q˙12 ⎞ q˙22 ⎟ ⎛ 0 0 1 0 ⎞ ⎜ 0 0 0 1 ⎟ ⎛q11 q12 ⎞ ⎜q21 q22 ⎟ ⎜p˙11 p˙12⎟ = M ⎜p11 p12⎟ , M = ⎜ 11 12 0⎟ , (2.3) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝-s -s 0 -B ⎠ p˙21 p˙22 p21 p22 -s21 -s22 B0 0 с начальными условиями ⎛q11 q12 ⎞ ⎜q21 q22 ⎟ ⎛ 1 0 ⎞ ⎜ 0 1 ⎟ ⎜p11 p12⎟ (0) = ⎜v11(0) v12(0)⎟ . (2.4) ⎝ ⎠ p21 p22 ⎝ ⎠ v21(0) v22(0) Здесь Q = {qij }, P = {pij }, i, j = 1, 2. Система (2.3) представляет собой линейную систему ОДУ с постоянными коэффициентами, которая может быть решена в явном виде стандартным способом. Однако, поскольку порядок системы высок, решение очень громоздко и удобнее всего использовать пакеты компьютерной алгебры (например, MAPLE). Ниже с помощью компьютерных вычислений получено и преобразовано выражение для det Q в (2.7), а также найдена асимптотика в разделе 2.1. Напомним, что det Q(0) = 1. Таким образом, производные vij = (∂xi Vj ) , i, j = 1, 2, остаются ограниченными при всех t> 0 тогда и только тогда, когда det Q> 0 при всех t> 0. Если det Q> 0 при всех t > 0 для любой характеристики, начинающейся в (x01, x02) ∈ R2, то решение задачи Коши сохраняет гладкость при всех t> 0. Тем не менее, этот критерий неявный, и было бы удобнее найти достаточное условие, гарантирующее глобальную гладкость, т. е. исследовать, когда det Q> 0 при всех t> 0. Собственные значения M следующие: 2 1 I I 2 2 μ1234 = ± √2 ± (B0 + λ) - 4K - (B0 + λ), 2 λ = div E0 = s11 + s22, K = det(∂xi E0j )= s11s22 - s12. Прежде всего заметим, что если Re μi /= 0,i = 1,... , 4, то нельзя выбрать P = (vij (0), sij (0)) ∈ R8 так, чтобы гарантировалась положительность det Q и эта положительность имела место и в окрестности P. Действительно, для случая Re μi /= 0 решение qij (t), вообще говоря, содержит возрастающий показатель. О ПЛОСКИХ КОЛЕБАНИЯХ ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМЫ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 689 Поэтому для нахождения достаточного условия гладкости, устойчивого по начальным данным, остановимся на случае Re μi = 0. Легко проверить, что оно выполняется тогда и только тогда, когда 0 4K < (B2 + λ)2, K > 0. (2.5) Следующее условие, необходимое для ограниченности det Q, состоит в том, что частоты |μi| нерезонансны, т. е. |ω-| m = , m, n ∈ N, (2.6) |ω+| / n 1 I 2 I 2 2 ω± = √2 Можно явно вычислить, что 1 B0 + λ ± (B0 + λ) - 4K. det Q = k [C + A- sin(ω+ - ω-)t + B- cos(ω+ - ω-)t + A+ sin(ω+ + ω-)t + B+ cos(ω+ - ω-)t] , (2.7) где константы k, C, A±, B± зависят от vij (0), sij (0), B0 (довольно громоздким образом). Очевидно, что C + A- + A+ = k. Здесь I C = B0K (B2 + λ)2 - 4K[B3 + (v12 - v21)B2 + (λ + 2J (0))B0 + 2s12(v11 - v22) - 0 0 0 2 - (v12 - v21)(s11 - s22)], 2 A- = λ(λ + 2B0 ) [a-(ω- + ω+)+ b-(ω- - ω+)] , B- = λ(λ + 2B0 ) [b-(ω- + ω+)+ a-(ω- - ω+)] , 1 I 2 2 1 I 2 2 A+ = 2 (B0 + λ) - 4K [a+ + b+ω-ω+] , B+ = 2 3 (B0 + λ) - 4K [a+ - b+ω-ω+] , 0 k = ((B2 + λ)2 - 4K) 2 K. Мы не выписываем длинные выражения для a±, b±. Если предположить, что для характеристики, начинающейся из (x01, x02) C2 > A2 + B2 + A2 + B2 , (2.8) - - + + тогда компоненты Q ограничены. Таким образом, мы получаем сравнительно простое достаточное условие сохранения гладкости, не совпадающее с необходимым. Таким образом, мы получаем следующую теорему. Теорема 2.2. 1. Решение задачи Коши (1.4), (1.5) сохраняет классическую гладкость для всех t> 0 тогда и только тогда, когда начальные данные E0 = S0 x и B0 таковы, что для всех (x01, x02) ∈ R2 выполняется свойство det Q(t) > 0, где матричную компоненту Q = (qij ) можно найти как часть решения задачи Коши (2.3), (2.4) для линейной системы с постоянными коэффициентами. 2. Если для всех (x01, x02) ∈ R2 начальные данные (1.5), E0 = S0 x и B0 таковы, что выполняются условия (2.5), (2.6), (2.8), то решение задачи Коши (1.4), (1.5) сохраняет классическую гладкость для всех t> 0. Замечание 2.1. Поскольку в случае 2 теоремы 2.2 функция det Q(t) является суперпозицией двух периодических движений с периодами T1 = 2π ω+ - ω- ω и T2 = + 2π + ω- , T2 < T1 (см. (2.7)), то если det Q(t) > 0 для t ∈ (0, T1], то det Q(t) > 0 для всех t> 0. 2.1. Анализ влияния напряженности магнитного поля. Напомним, что в случае E0 =0 необходимое и достаточное условие сохранения начальной гладкости выглядит очень элегантно: I (D2 - 4J + 2B0ξ - B2)I < 0, 0 It=0 см. [1, 10]. Таким образом, если мы зафиксируем исходные данные (1.5) и увеличим |B0|, мы всегда получим глобально гладкое решение. 690 О. С. РОЗАНОВА Для случая E0 /=0 мы заметим, что если увеличить |B0|, мы получим выполнение условия (2.5), т. е. получим случай 2 теоремы 2.2. Чтобы проследить влияние B0 в условии (2.8) и избежать громоздких формул, рассмотрим осесимметричный случай (1.11), в котором s11 = s22, s12 = 0, v11 = v22, v12 = -v21. Здесь константы в (2.8) выглядят проще: C = 2F s2 B2(1 + v2 + v2 + v12B0 + B2), F = B0 I B2 + 4s11, 11 0 11 12 0 0 2 2 2 A- = s11v11(B0 + 4s11)B0 (F (ω- - ω+)+ B0 (ω- + ω+)), 2 2 2 B- = s11v11(B0 + 4s11)B0 (B0 (ω- - ω+) - F (ω- + ω+)), A+ = FB2s11(s11(1 - v2 - v2 ) - v12B0)(s11 + ω ω ), 0 11 12 - + B+ = FB2s11(s11(1 - v2 - v2 ) - v12B0)(-s11 + ω ω ), 0 11 12 - + 3 k = (B2 + 4s11) 2 B3s2 . 0 0 11 Легко посчитать, что при B0 → ∞ имеем C ∼ B6, а A ,B ∼ B5, поэтому мы можем полу- 0 ± ± 0 чить глобальную гладкость, увеличивая B0. Тот же эффект мы получаем и в общем случае, без предположения осевой симметрии. 7 Отметим также, что для λ → ∞ (в осесимметричном случае λ = 2s11) имеем C ∼ λ 2 , а 5 A±, B± ∼ λ 2 , поэтому другим способом добиться глобальной гладкости является увеличение λ. 3. Произвольное E0, осесимметричный случай Для осесимметричного решения (1.11) уравнение (1.9) преобразуется к виду U˙ = -U 2 + V 2 - B0V - S(r), (3.1) V˙ = (B0 - 2V )U, (3.2) r˙ = rU. (3.3) Далее, поскольку J = DU + ξV U 2 + V 2 + rUU ∗ + rV V ∗, D = 2U + rU ∗, ξ = 2V + rV ∗, мы имеем J = DU + ξV - U 2 - V 2, и уравнения (1.7), (1.3) могут быть записаны в виде ˙ D = -D2 + 2DU + 2ξV - 2U 2 - 2V 2 - λ(r) - B0ξ, (3.4) ξ˙ = -D(ξ - B0). (3.5) В этом случае λ(r)= rS∗(r)+ 2S(r). Предположим, что S- S(r) S+, (3.6) где S± - константы. 1. Поведение решения. 1. Если S(r)= S0 = const, т. е. в случае аффинного E0, рассмотренного в предыдущем разделе, система уравнений (3.1), (3.2) может быть явно проинтегрирована. А именно, фазовая кривая на плоскости (U, V ) представляет собой окружность U 2 + V + C1 - B 2 2 0 = 4 C1 + B 2 2 0 4 - S0 - B2 0 , (3.7) 4 1 4S0 + B2 + 4U 2 + 4V 2 - 2B0V0 B0 C1 = 4 0 0 0 B0 - 2V0 , U0 = U (0), V0 = V (0), V0 /= 2 . Система (3.1), (3.2) в случае S(r)= S0 = const имеет следующие состояния равновесия: 1 1 I 2 2 2 0 ± • U = 0, V = 2 B 2 4S0 + B0 при 4S0 + B0 = 2λ + B0 > 0 - центры, период вращения 2π 0 вдоль каждой фазовой кривой равен T = !4S ; 0 + B2 О ПЛОСКИХ КОЛЕБАНИЯХ ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМЫ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 691 1 I 2 1 2 2 • U = 2 4S0 + B0 , V = 2 B0 при 4S0 + B0 = 2λ + B0 < 0 - устойчивые и неустойчивые узлы 0 (вырождающиеся при 4S0 + B2 = 0). 2. Для произвольных гладких S(r) из уравнений (3.2), (3.3) следует C2 ! r = |- 2V + B0| , C2 = r0!| - 2V + B0|, (3.8) поэтому S(r)= S(V ) и фазовая кривая системы (3.1), (3.2) принимает вид U 2 + (B0 - 2V ) 1 - 2 V + C3 V + G(V )= B2 0 , (3.9) 4 { G(V )= 2(B0 - 2V ) ∞ Поскольку при S(r) ∈ [S-, S+] S(ν) dν. (B0 - 2ν)2 S- G(V ) S+, то видим, что фазовая кривая системы (3.1), (3.2) лежит между двумя кругами, соответствующими S- и S+, заданными в виде (3.7), где константы C1 и C3 вычислены с теми же исходными данными (U0, V0). Замечание 3.1. Интеграл G(V ) можно найти явно для многих важных вариантов выбора 1 S(r), например, sin r, cos r, 1+ rα при α = 1, 2, 3, 4, и т. д. 0 Поскольку мы хотим получить аналог теоремы 2.2, остановимся на первом случае 2λ + B2 > - 0 4S + B2 > 0 (этому условию соответствует (2.5)). 2 Лемма 3.1. Пусть условие (3.6) выполнено и 4S- + B0 > 0. Тогда решение (U, V, r) задачи Коши (3.1), (3.2), (3.3) )I (U, V, r I It=0 = (U0, V0, r0), ограничено сверху и снизу константами, зависящими от начальных данных. А именно, U- U U+, V- V V+, (3.10) где 1 U± = ± max{R-, R+}, V± = 4 B0 ± max{-c- ± R-, -c+ ± R+}, 1 4S± + B0 + 4U0 + 4V0 - 2B0V0 c± = 4 2 2 2 , B0 - 2V0 = 2 ± R c + ± B 2 2 0 4 - S± - 0 B2 , R > 0. 4 ± Доказательство. Прежде всего отметим, что (3.9) подразумевает, что проекция фазовой кривой 1 системы (3.1), (3.2), (3.2) на плоскость (U, V ) симметрична относительно оси U =0 и оси V = 2 B0 (уравнения не меняются при U1 = -U и V1 = B0 - V, см. (3.8)), поэтому мы можем рассматривать 1 только квадрант U 0, V > 2 B0. Из уравнений (3.1), (3.2) мы имеем или = dU -U 2 + V 2 - B0V - S(r) dV -U (2V - B0) dZ -Z2 + V 2 - B0V - S(r) = Ψ(Z, V, t), 1 = dV -(2V - B0) , Z = U 2. (3.11) 2 692 О. С. РОЗАНОВА Обозначим Поскольку V > 1 2 B0, Ψ±(Z, V, t)= - ± . Z2 + V 2 - B0V - S -(2V - B0) Ψ-(Z, V, t) Ψ(Z, V, t) Ψ+(Z, V, t). Теперь мы можем применить теорему Чаплыгина о дифференциальных неравенствах, согласно которой решение Z(V ) задачи Коши для (3.11) с начальными условиями Z(V0)= Z0 при V > V0 удовлетворяет неравенству Z-(V ) Z(V, t) Z+(V ), а при V < V0 - обратному неравенству Z-(V ) Z(V, t) Z+(V ), где Z±(s) - решения задач dZ dV = Ψ±(Z, V ), Z(V0)= Z0. Таким образом, при V < V0 имеем Z(V, t) Z-(V ), при V > V0 имеем Z(V, t) Z+(V ), U = √ Z 0. Период T движения по проекции фазовой кривой на (U, V ) можно оценить как 2 2π 2π T ! . 0 0 !4S+ + B2 4S- + B2 Поведение проекции фазовых кривых показано на рис. 1. ± Рис. 1. Графики для U = ±√2Z . Совокупность графиков, ограничивающих проекцию фазовой кривой - сплошная линия, для 1 < S(r) < 2, B0 = 1, U0 = 1, V0 = 1,5. ± Fig. 1. Graphs for U = ±√2Z . Combination of graphs limiting the projection of the phase curve, a solid line, for 1 < S(r) < 2, B0 = 1, U0 = 1, V0 = 1.5. 2. Поведение производных. Теперь мы можем изучить поведение расходимости и завихренности решения. Напомним, что в силу свойств гиперболических систем из ограниченности D и ξ следует, что решение задачи Коши (1.4), (1.5) сохраняет исходную гладкость [5]. Осуществляя замену η = ξ - B0, систему (3.4), (3.5) можно переписать в виде ˙ 0 D = Y (D, η, U, V, λ)= -D2 + 2DU + η(2V - B0) - 2U 2 - 2V 2 - 2B0V - B2 - λ, (3.12) η˙ = -Dη. (3.13) Как следует из результатов раздела 3.1, λ(r) = λ(V ) - периодическая функция. Предположим, что λ- λ(r) λ+, (3.14) О ПЛОСКИХ КОЛЕБАНИЯХ ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМЫ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 693 где λ± - константы. 1. Систему (3.12), (3.13) можно линеаризовать с помощью леммы Радона (теорема 2.1). Действительно, здесь W = D η , M11 = (0) , M12 = (1 0) , M21 = G 0 , M22 = 2UF 2V - B0 , 0 0 0 G = -2U 2 - 2V 2 - 2B0V - B2 - λ. Таким образом, мы получаем линейную задачу Коши ⎛ q˙ ⎞ ⎛ 0 1 0 ⎞ ⎛ q ⎞ ⎛ q ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎝p˙1⎠ = ⎝G 2 U 2 V - B0⎠ ⎝p1⎠ , ⎝p1⎠ (0) = ⎝D0⎠ , (3.15) p˙2 0 0 0 p2 p2 η0 с периодическими коэффициентами, известными из (3.1)-(3.3). Из системы (3.15) следует q¨ - 2U q˙ - Gq = (2V - B0)η0, q(0) = 1, q˙(0) = D0, (3.16) что можно переписать в виде t - U (τ )dτ 0 y¨ + (3V 2 + V B0 + 2B2 - S(V )+ 2λ(V ))y = (2V - B0)η0e 0 , (3.17) t - U (τ )dτ y(0) = 1, y˙(0) = D0 - U0, y = qe 0 , и решение задачи (3.12), (3.13) разрушается тогда и только тогда, когда решение задачи (3.16) (и (3.17)) обращается в нуль. Как следует из результатов раздела 2, при S = S0 = const если происходит разрушение, то оно происходит на первом периоде колебаний, однако в случае общего вида S(r) решение (3.17) может быть резонансным, и амплитуда колебаний может расти. 2. Найдем достаточное условие сохранения гладкости в первом периоде колебаний T 2π . 0 !4S+ + B2 Предположим, что V0 > B0 , η > 0, и получим двусторонние оценки: 2 3 2 2 2 2 Y Y1+ = - 4 D + η + K11, K11 = 2(U+ + V+ - B0V-) - λ-, 3 2 2 2 2 Y Y2+ = - 4 D + a+η + K12, K12 = 3U+ - 2V+ - 2B0V+ - B0 - λ+, a = 2V- - B0, 5 2 2 2 2 Y Y- = - 4 D + a-η + K2, K2 = -6U+ - 2V+ - 2B0V- - B0 - λ+, a = 2V- - B0. 1 2 Таким образом, после замены Z = 2 D будем иметь Z d Y = dη -η = Φ(Z, η, U, V, λ). (3.18) Y∓ Аналогично разделу 3.1 обозначим Φ±(Z, η)= -η , следовательно, Φ-(Z, η) Φ(Z, η, t) Φ+(Z, η). Таким образом, из теоремы Чаплыгина следует, что решение Z(V ) задачи Коши для (3.18) с начальными условиями Z(η0)= Z0 при η > η0 удовлетворяет неравенству Z-(η) Z(η, t) Z+(η), а при η < η0 - обратному неравенству Z+(η) Z(η, t) Z-(η), 694 О. С. РОЗАНОВА где Z±(η) - решения задач dη ± ± 0 0 dZ± = Φ (Z, η), Z (η )= Z . При η0 > 0, D0 = √2Z0 0 получим, что Z уменьшается, поэтому η < η0 и Z+(V ) Z(η, t) Z-(V ) вплоть до точки 0 < η00 η+, где η+ - меньшее из решений Z+(η) = 0. Тогда в качестве новых исходных данных возьмем точку (η00, 0), в полуплоскости D < 0 значение η возрастает и Z(η, t) Z+(η), D0 = -√2Z0 0. Легко видеть, что кривая D+ = D+(η), ограничивающая проекцию фазовой кривой системы (3.12), (3.13) на плоскость (D, η) сверху при D > 0 (с оценкой через Y1+), имеет вид 2 2 3 4 D+ + 4η - C+η 2 = 3 K1, где константа C+ определяется начальной точкой (D0 > 0, η0 > 0), и она ограничена при любом C+ (старшая степень η равна 2). Это означает, что дивергенция D не может разрушаться в верхней полуплоскости. С другой стороны, кривая D- = D-(η), ограничивающая проекцию фазовой кривой системы (3.12), (3.13) на плоскость (D, η) снизу при D < 0, определяется выражением 2 4 5 4 D- - 3 a-η - C-η 2 = 5 K2, где константа C- определяется начальной точкой (D0 0, η0 > 0), и она ограничена только 5 в том случае, если C- < 0 (старшая степень η равна соответствующие условию C- < 0, выражаются в виде .) Таким образом, начальные данные, 2 2 4 2 2 2 D0 - 3 (2V- - B0)η0 < -6U+ - 2V+ - 2B0V+ - B0 - λ+, D0 < 0, (3.19) где величины U+, V± даны в (3.10), лемма 3.1. Случай ξ < 0 рассматривается аналогично. Следующая теорема подводит итог нашим рассуждениям. - Рис. 2. Слева: графики для D = √2Z (η), верхняя граница проекции фазовой траектории, D > 0, начальная точка D0 = 10, η0 = 50. Справа: графики для D = -√2Z+(η), нижняя граница проекции фазовой траектории, D < 0, начальная точка D0 = 0, η0 = 50; траектория (толстая линия) возвращается в верхнюю полуплоскость. Здесь U+ = 1, V+ = 5, V- = 1, B0 = 1, λ- = -1, λ+ = 1. √ Fig. 2. Left: graphs for D = √2Z-(η), upper bound for the projection of the phase trajectory, D > 0, the initial point is D0 = 10, η0 = 50. Right: graphs for D = - 2Z+(η), lower bound for the projection of the phase trajectory, D < 0, the initial point is D0 = 0, η0 = 50; the trajectory (the thick line) returns to the upper half-plane. Here U+ = 1, V+ = 5, V- = 1, B0 = 1, λ- = -1, λ+ = 1. О ПЛОСКИХ КОЛЕБАНИЯХ ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМЫ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 695 Теорема 3.1. Рассмотрим задачу Коши (1.4), (1.5) для осесимметричного класса решений (1.11) и предположим, что фиксированное поле E0 таково, что условия (3.6) и (3.14) справедливы для всех r0 ∈ R+, при этом U0(r), V0(r), div V0 = D0(r), rot V0 = ξ0(r) = η0(r)+ B0 таковы, что условие (3.19) справедливо для всех r0 ∈ R+. Тогда время T существования классического решения задачи Коши можно оценить снизу: 2π + T !4S . (3.20) 0 + B2 На рис. 2 показаны оценки фазовых траекторий в верхней и нижней полуплоскостях по D. Замечание 3.2. При доказательстве теоремы 3.1 используются грубые и простые оценки Y (D, η, U, V, λ), поэтому достаточное условие сохранения гладкости далеко не точно. Отсутствие ограниченной кривой Z+ для конкретных начальных данных в нижней полуплоскости D < 0 не означает, что фазовая траектория уходит в бесконечность. Нижняя оценка (3.20) также очень груба, и мы можем продолжить подсчет количества оборотов, следуя алгоритму [13]. Замечание 3.3. Обратите внимание, что большая начальная завихренность помогает реализовать (3.19) с фиксированными всеми остальными параметрами. Замечание 3.4. Очень интересная задача, которую, кажется, можно решить только численно, - это вычисление множителей Флоке для линейной системы (3.15) (см. [16]) для различных ландшафтов E0. Это помогло бы ответить на вопрос, можем ли мы контролировать гладкость решения и устойчивость равновесий с помощью E0.