Eta-invariant of elliptic parameter-dependent boundary-value problems

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this paper, we study the eta-invariant of elliptic parameter-dependent boundary value problems and its main properties. Using Melrose’s approach, we de ne the eta-invariant as a regularization of the winding number of the family. In this case, the regularization of the trace requires obtaining the asymptotics of the trace of compositions of invertible parameter-dependent boundary value problems for large values of the parameter. Obtaining the asymptotics uses the apparatus of pseudodifferential boundary value problems and is based on the reduction of parameter-dependent boundary value problems to boundary value problems with no parameter.

About the authors

K. N. Zhuikov

RUDN University

Author for correspondence.
Email: zhuykovcon@gmail.com
Moscow, Russia

A. Yu. Savin

RUDN University

Email: a.yu.savin@gmail.com
Moscow, Russia

References

  1. Агранович М. С. Об эллиптических псевдодифференциальных операторах на замкнутой кривой// Тр. Моск. мат. об-ва. - 1984. - 47. - С. 22-67.
  2. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида// Усп. мат. наук. - 1964. - 19, № 3. - C. 53-161.
  3. Жуйков К. Н. Савин А. Ю. Эта-инвариант для семейств с параметром и периодическими коэффициентами// Уфимск. мат. ж. - 2022. - 14, № 2. - С. 37-57.
  4. Жуйков К. Н., Савин А. Ю. Эта-инварианты для операторов с параметром, ассоциированных с действием дискретной группы// Мат. заметки. - 2022. - 112, № 5. - C. 705-717.
  5. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками// Тр. Моск. мат. об-ва. - 1967. - 16. - С. 209-292.
  6. Ремпель Ш., Шульце Б.-В. Теория индекса эллиптических краевых задач. - М.: Москва, 1986.
  7. Скубачевский А. Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения// Усп. мат. наук. - 2016. - 71, № 5. - С. 801-906.
  8. Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. - М: Наука, 1978.
  9. Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1973.
  10. Atiyah M., Patodi V., Singer I. Spectral asymmetry and Riemannian geometry. I// Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. - 1975. - 77. - С. 43-69.
  11. Atiyah M., Patodi V., Singer I. Spectral asymmetry and Riemannian geometry. II// Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. - 1976. - 78. - С. 405-432.
  12. Atiyah M., Patodi V., Singer I. Spectral asymmetry and Riemannian geometry. III// Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. - 1976. - 79. - С. 71-99.
  13. Boutet de Monvel L. Boundary problems for pseudodifferential operators// Acta Math. - 1971. - 126.- С. 11-51.
  14. Bunke U. On the gluing problem for the η-invariant// J. Differ. Geom. - 1995. - 41. - С. 397-488.
  15. Dai X. Adiabatic limits, non-multiplicativity of signature and the Leray spectral sequence// J. Am. Math. Soc. - 1991. - 4. - С. 265-321.
  16. Donnelly H. Eta-invariants for G-spaces// Indiana Univ. Math. J. - 1978. - 27. - С. 889-918.
  17. Fedosov B. V., Schulze B.-W., Tarkhanov N. The index of higher order operators on singular surfaces// Paci c J. Math. - 1999. - 191, № 1. - С. 25-48.
  18. Gilkey P. B., Smith L. The eta invariant for a class of elliptic boundary value problems// Commun. Pure Appl. Math. - 1983. - 36. - С. 85-132.
  19. Grubb G. Functional calculus of pseudodifferential boundary problems. - Boston: Birkh¨auser, 1996.
  20. Kuchment P. An overview of periodic elliptic operators// Bull. Am. Math. Soc. - 2016. - 53, № 3. - С. 343-414.
  21. Lesch M. Differential operators of Fuchs type, conical singularities, and asymptotic methods. - Stuttgart- Leipzig: B. G. Teubner Verlag, 1997.
  22. Lesch M., Moscovici H., Pflaum M. J. Connes-Chern character for manifolds with boundary and eta cochains// Mem. Am. Math. Soc. - 2012. - 220, № 1036. - С. viii+92.
  23. Lesch M., Pflaum M. Traces on algebras of parameter dependent pseudodifferential operators and the eta-invariant// Trans. Am. Math. Soc. - 2000. - 352, № 11. - С. 4911-4936.
  24. Melrose R. The eta invariant and families of pseudodifferential operators// Math. Res. Lett. - 1995. - 2, № 5. - С. 541-561.
  25. Melrose R., Rochon F. Eta forms and the odd pseudodifferential families index// В сб.: «Perspectives in mathematics and physics: Essays dedicated to Isadore Singer’s 85th birthday». - Somerville: Int. Press, 2011. - С. 279-322.
  26. Mrowka T., Ruberman D., Saveliev N. An index theorem for end-periodic operators// Composю Math. - 2016. - 152, № 2. - С. 399-444.
  27. Mu¨ller W. Eta-invariants and manifolds with boundary// J. Differ. Geom. - 1994. - 40. - С. 311-377.
  28. Nazaikinskii V., Savin A., Schulze B.-W., Sternin B. Elliptic theory on singular manifolds. - Boca Raton: CRC-Press, 2005.
  29. Ruzhansky M., Turunen V. Global quantization of pseudo-differential operators on compact Lie groups, SU(2), 3-sphere, and homogeneous spaces// Int. Math. Res. Not. - 2013. - 2013, № 11. - С. 2439-2496.
  30. Savin A. Yu., Zhuikov K. N. η-invariant and index for operators on the real line periodic at in nity// Eurasian Math. J. - 2021. - 12, № 3. - С. 57-77.
  31. Schrohe E. A short introduction to Boutet de Monvel’s calculus// В сб.: «Approaches to singular analysis. Based on the workshop, Berlin, Germany, April 8-10, 1999». - Basel: Birkha¨user, 2001. - С. 85-116.
  32. Taubes C. H. Gauge theory on asymptotically periodic 4-manifolds// J. Differ. Geom. - 1987. - 25, № 3. - С. 363-430.
  33. Zhuikov K. N. Index of differential-difference operators on an in nite cylinder// Russ. J. Math. Phys. - 2022. - 29, № 2. - С. 280-290.

Copyright (c) 2023 Zhuikov K.N., Savin A.Y.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies