The existence problem of feedback control for one fractional Voigt model

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this paper, we study the feedback control problem for a mathematical model that describes the motion of a viscoelastic fluid with memory along velocity eld trajectories. We prove the existence of an optimal control that gives a minimum to a given bounded and semi-continuous from below quality functional. The proof uses the approximation-topological approach, the theory of regular Lagrangian flows, and the theory of topological degree for multivalued vector elds.

About the authors

A. V. Zvyagin

Voronezh State University

Author for correspondence.
Email: zvyagin.a@mail.ru
Voronezh, Russia

E. I. Kostenko

Voronezh State University

Email: ekaterinalarshina@mail.ru
Voronezh, Russia

References

  1. Астарита Дж., Маруччи Дж. Основы гидродинамики неньютоновских жидкостей. - М.: Мир, 1979.
  2. Ахмеров Р. Р., Каменский М. И., Потапов А. С., Родкина А. Е., Садовский Б. Н. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. - Новосибирск: Наука, 1986.
  3. Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. - М.: Либроком, 2011.
  4. Дмитриенко В. Т., Звягин В. Г. Гомотопическая классификация одного класса непрерывных отображений// Мат. заметки. - 1982. - 31, № 5. - С. 801-812.
  5. Звягин В. Г. Аппроксимационно-топологический подход к исследованию математических задач гидродинамики// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2012. - 46. - С. 92-119.
  6. Звягин А. В. Задача оптимального управления для стационарной модели слабо концентрированных водных растворов полимеров// Дифф. уравн. - 2013. - 49, № 2. - С. 245-249.
  7. Звягин А. В. Оптимальное управление с обратной связью для альфа-модели Лере и альфа-модели Навье-Стокса// Докл. РАН. - 2019. - 486, № 5. - С. 527-530.
  8. Звягин А. В. О слабой разрешимости и сходимости решений дробной альфа-модели Фойгта движения вязкоупругой среды// Усп. мат. наук. - 2019. - 74, № 3. - С. 189-190.
  9. Звягин А. В. Исследование слабой разрешимости дробной альфа-модели Фойгта// Изв. РАН. Сер. мат. - 2021. - 85, № 1. - С. 66-97.
  10. Звягин В. Г., Дмитриенко В. Т. О слабых решениях регуляризованной модели вязкоупругой жидкости// Дифф. уравн. - 2002. - 38, № 12. - С. 1633-1645.
  11. Звягин В. Г., Звягин А. В., Турбин М. В. Оптимальное управление с обратной связью для модели Бингама с периодическими условиями по пространственным переменным// Зап. науч. сем. ПОМИ. - 2018. - 477. - С. 54-86.
  12. Звягин В. Г., Орлов В. П. О регулярности слабых решений обобщенной модели вязкоупругости Фойгта// Журн. выч. мат. и мат. физ. - 2020. - 60, № 11. - С. 1933-1949.
  13. Звягин В. Г., Турбин М. В. Математические вопросы гидродинамики вязкоупругих сред. - М.: Красанд, 2012.
  14. Садовский Б. Н. Предельно компактные и уплотняющие операторы// Усп. мат. наук. - 1972. - 27, № 1. - С. 81-146.
  15. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Наука и техника, 1987.
  16. Фурсиков А. В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. - Новосибирск: Научная книга, 1999.
  17. Agranovich Yu. Ya., Sobolevskii P. E. Motion of nonlinear visco-elastic fluid// Nonlinear Anal. - 1998. - 32, № 6. - С. 755-760.
  18. Aubin J. P., Cellina A. Differential inclusions. Set valued maps and viability theory. - Berlin: Springer, 1984.
  19. Bagley R. L., Torvik P. J. A theoretical basis for the application of fractional calculus to viscoelasticity// J. Rheol. - 1983. - 27. - С. 201-210.
  20. Crippa G. The ordinary differential equation with non-Lipschitz vector elds// Boll. Unione Mat. Ital. (9). - 2008. - 1, № 2. - С. 333-348.
  21. Crippa G., de Lellis C. Estimates and regularity results for the diPerna-Lions flow// J. Reine Angew. Math. - 2008. - 616. - С. 15-46.
  22. DiPerna R. J., Lions P. L. Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces// Invent. Math. - 1989. - 98, № 3. - С. 511-547.
  23. Mainardi F., Spada G. Creep, relaxation and viscosity properties for basic fractional models in rheology// Eur. Phys. J. Spec. Topics. - 2011. - 193. - С. 133-160.
  24. Zvyagin V. G., Kostenko E. I. Investigation of the weak solvability of one fractional model with in nite memory// Lobachevskii J. Math. - 2023. - 44, № 3. - С. 969-988.
  25. Zvyagin V., Obukhovskii V., Zvyagin A. On inclusions with multivalued operators and their applications to some optimization problems// J. Fixed Point Theory Appl. - 2014. - 16. - С. 27-82.
  26. Zvyagin V., Orlov V. Weak solvability of fractional Voigt model of viscoelasticity// Discrete Contin. Dyn. Syst. - 2018. - 38, № 12. - С. 6327-6350.
  27. Zvyagin V., Orlov V. Weak solvability of one viscoelastic fractional dynamics model of continuum with memory// J. Math. Fluid Mech. - 2021. - 23, № 1. - Article 9.
  28. Zvyagin V., Zvyagin A., Ustiuzhaninova A. Optimal feedback control problem for the fractional Voigt-α model// Mathematics. - 2020. - 8, № 7. - С. 1197.

Copyright (c) 2023 Zvyagin A.V., Kostenko E.I.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies